小专题复习课(五)磁偏转问题圆心确定四法
高二物理电学专题提升专题26四种确定带电粒子圆心位置的方法
专题26 四种确定带电粒子圆心位置的方法一：专题概述1．带电粒子在匀强磁场中圆周运动分析 (1)如何确定“圆心”①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点(一般是射入和射出磁场时的两点)，过这两点作带电粒子运动方向的垂线(这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向)，则两垂线的交点就是圆心，如图8－2－9(a)所示．②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图(b)所示．③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图(c)所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角(∠PAM )，画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O ，该点就是圆心．(2)如何确定“半径”方法一：由物理方程求：半径R ＝mv qB；方法二：由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定． (3)半径的计算方法方法一 由物理方法求：半径R ＝mv qB；方法二 由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(4) 如何确定“圆心角与时间”①速度的偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角(回旋角)θ＝2倍的弦切角α，如图(d)所示． ②时间的计算方法．方法一：由圆心角求，t ＝θ2π·T ；方法二：由弧长求，t ＝s v. 二：典例精讲1．带电粒子在单直线边界磁场中的圆周运动典例1：如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场．一电子（质量为m、电荷量为e）以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：（1）电子从磁场中射出时距O点多远；（2）电子在磁场中运动的时间为多少．【答案】（1）．（2）（2）电子在磁场中的运动周期电子在磁场中的运动时间应为163m t TBe＝＝2．带电粒子在双直线边界磁场中的圆周运动典例2：在如图所示的xOy平面内，y≥0.5 cm和y<0的范围内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B＝1.0 T，一个质量为m＝1.6×10－15 kg，带电荷量为q＝1.6×10－7 C的带正电粒子，从坐标原点O以v0＝5.0×105 m/s的速度沿与x轴成30°角的方向斜向上射出，经磁场偏转恰好从x轴上的Q 点飞过，经过Q点时的速度方向也斜向上(不计重力，π＝3.14)，求：(1) 粒子从O点运动到Q点所用的最短时间；(2) 粒子从O点运动到Q点所通过的路程．【答案】(1)1.028×10－7s(2)0.051 4n m(n ＝1,2,3，…)【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，在没有磁场的区域中做匀速直线运动，粒子经历的周期数越少，则粒子运动的时间就越短；粒子的路程为在磁场中的路程与在没有磁场的区域中的路程的和。
磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法
磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法
一、视角投影法
视角投影法是将三维物体投影到二维平面，采用图形学和几何图形关系，从而确定圆心的方法。
这种方法可以采用图形分析法和数学模型法。
通过数学证明，将投影的不同视角对磁偏转物体的边界点映射到X轴和Y轴上，可以使得直线模型的参数最小化，从而获得圆心。
二、拟合法
拟合法考虑了圆心就是一组投影点的坐标平均值，既可以利用所有点的坐标作为圆心，也可以只选择几个关键点作为圆心的拟合点，即：算法拟合整个圆，直到所有拟合点落在圆上，确定圆心的位置。
三、位置误差法
位置误差法是利用度量的位置误差，如果将检测度量投影到X轴和Y 轴上这两个轴的实际值和度量值的差求平均数，就可以得出最终的圆心。
四、质点法
质点法是利用磁偏转物体上的质点求势能和动能，并以此为基础采用最小势能最大动能获得圆心分布趋势，与视角投影、拟合、位置误差的求解圆心的思路不同，而以物体的内部结构为分析基础，获得物体内结构分布的局部分布规律，从而获得圆心分布规律。
五、正则化变量法
正则化变量法是坐标转换算法，以磁偏转物体的X轴和Y轴为基准，把中心点投影到X轴和Y轴上，变换成正则化变量，再通过最小二乘法，最小化上述变量，从而求出圆心的位置。
磁偏转问题中确定圆心的几种方法
磁偏转问题中确定圆心的几种方法山东莘县第一中学郭英进（252400）带电粒子在磁场中的偏转问题，是典型的力学、电磁学相结合的综合题，此类问题在历年全国和各省、市高考中经常出现。
解决匀强磁场中的带电粒子，只在洛伦兹力作用下，做圆周或圆弧运动这类问题的思路是：运用平面几何知识，确定圆心的位置，根据r=mv/qB 作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和相关物理规律列方程进行求解。
其中确定圆心的位置，是解决此类问题的关键，那么如何快速准确地确定圆心呢？一、数学模型：由过圆的切线、弦确定圆心的三条线（如右图所示）（1）已知圆的切线，过切点作它垂线，垂线过圆心O。
（2）已知圆上的弦AB，作弦的中垂线,中垂线过圆心O。
（3）已知圆的两条切线，切线夹角的角平分线过圆心O。
二、应用举例：（一）由两速度的垂线定圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨迹上任意两点处的速度方向必沿圆的两条切线方向。
由数学模型（1）知，过这两点分别作速度的垂线，则两垂线的交点就是圆心。
例1（08年高考理综宁夏卷）如图1-1所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。
有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。
质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角ϕ，A点与原点O的距离为d。
接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。
不计重力影响。
若OC与x轴的夹角为ϕ，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小；（2）匀强电场的场强大小。
解析：(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。
由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上。
依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线，与OC交于O＇，则AO＇垂直于C O＇，则O＇就是圆弧的圆心。
设圆弧的半径为R ，则有R =dsin ϕ①由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得Rv m qvB 2=②将①⎺式代入②式，得ϕsin mqBdv =③(2)质点在电场中的运动为类平抛运动。
打破常规,巧妙出围——磁偏转作图技巧分解
a b R2 2 2
2 2
2
2
R b R a O
解：略
（2R） a b
2
A
11
【例3】 如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直 xOy平面并指向纸面外，磁感应强度为 B.一带正电的粒子 ( 不计重 力)以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正向 的夹角为 θ.若粒子射出磁场的位置与 O点的距离为 l，求该粒子的 电荷量与质量之比q/m.
poooqoopo例题1长为l的水平极板间有垂直纸面向内的匀强磁场如图7所示磁感应强度为b板间距离也为l两极板不带电现有质量为m电量为q的带负电粒子不计重力从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场欲使粒子打到极板上求初速度的范围
打破常规,巧妙出围
——磁偏转作图技巧
四川省广汉中学 张川东
1
说明
9
训练1： 如图所示，初速度为零的负离子经电势差为U的电场加速后，从离子枪
T 中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板 MN和PQ之间， 离子所经空间存在着磁感应强度为B的匀强磁场．不考虑重力作用，离子的比 荷q/m在什么范围内，离子才能打在金属板上？
R1 ( R1
解：略
2
d 2 ) d2 2
l R sin 2
B
C
A
v0
解：略
12
训练2：如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂 直纸面向里．电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘a点沿圆的半径aO方向射 入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角．试求：
(1)粒子做圆周运动的半径；
专题一：磁偏转解题方法 - 副本
30o
R
30o
R
B
O
一、在磁场中匀速圆周运动的分析方法
“三步走”分析法： 一、画轨迹，定圆心 ——前提 二、抓几何关系，求半径 ——关键 三、求周期或时间
【确定圆心的方法】
法一：已知入射方向和出射方向时: 过入射点和出射点分 别作垂直于入射方向 和出射方向的直线， 两条直线的交点就是 圆轨迹的圆心O.
第三章
磁场
专题 带电粒子匀强磁场 中做圆周运动的分析方法
【例题】如图所示, 一束电子（电量为e）以速 度v 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d 的匀强 磁场中, 穿透磁场时速度方向与电子原来入射 方向的夹角是30o, 电子的质量是多少? 穿透磁 场的时间又是多少？ d v
2deB m= v
t=
d
3v
【基本模型讲解】 y 2.一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x轴上的某点 P（a，0）以速度v，沿与x v 正方向成60°的方向射入 第一象限内的匀强磁场中, 并恰好垂直于y轴射出第一 O’ 象限. 求匀强磁场的磁感应 强度B和射出点的坐标.
O
B
v
a
60°
x
3mv B 2aq
（ 0，3a）
【基本模型讲解】
t5＝t4＝t3＞t2＞t1
二、在有界磁场中的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的临界条件是粒子 的运动轨迹与磁场边界相切.
2、对于同种带电粒子,若转过的圆心角越 大,则粒子在磁场中运动的时间就越长．
三、在磁场中的多解问题： 造成多解的常见原因：
（1）粒子电性不明确形成多解 （2）磁场方向不明确形成多解 （3）临界状态不唯一形成多解 （4）运动的重复性形成多解
确定圆心四法[整理]
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确定圆心四法河南省息县一高（464300） 李树学带电粒子垂直进入磁场，在洛伦兹力的作用下，会做匀速圆周运动，找到圆心，画出轨迹，是解题的关键，下面举例说明圆心的确定方法。
一、两速度的垂线 例 1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O ，半径为r 。
当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。
为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，则此时磁场的磁感强度B 应为多少？ 解析 电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a 、b分别为进入和射出磁场的点。
做a 、b 速度的垂线，交点O 1为轨迹圆的圆心，如图2所示。
以V 表示电子进入磁场时的速度，221mv eU = (1)m 、e 表示电子质量和电量，则：Rmv evB 2= (2)从图可知，偏转角θ与r 、R 的关系为：Rr=2tan θ (3)由以上三式解得：2tan 21θe mU r B =二、两条弦的垂直平分线例2 如图3所示，在垂直坐标平面的范围有足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向向里，一带正电荷量为q 的粒子，质量为m ，从O 点以某一速度垂直射入磁场，其轨迹与x 、y 轴的交点A 、C 到O 点的距离分别为a 、b ，试求：（1）初速度方向与x 轴夹角；（2）初速度的大小。
解析 （1）粒子垂直射入磁场，在xOy平面内做匀速圆周运动，OA 、OC 是圆周上的两条弦，做两条弦的垂直平分线，交点O1为圆轨迹的圆心。
以O1为圆心，以OO1=R 为半径画圆。
正电荷在O 点受到的洛伦兹力方向如图4所示，由左手定则知，粒子的速度方向指向为过O 做OO1的斜向上的垂线，如图4所示。
设速度方向与x 轴的夹角为θ，由几何关系知θ=∠OC O 1，在直角三角形D OO 1中，有：b a b a ==22tan θ，因此，速度方向与x 轴的夹角为)arctan(b a =θ。
利用对称轴确定磁偏转圆心
三、结合电磁感应知识例3图4为电磁流量计的示意图．圆管直径为d ，由非磁性材料制成，所在空间充满磁感应强度为B 的匀强磁场．导电液体从管中流过时，可测得管壁直径两端的电动势为E ，推导管中液体的流量Q （单位时间内流过管道横截面的液体的体积）的表达式．析和解导电液体在匀强磁场流动产生感应电动势E =Bdv ，得v =E Bd ，则流量Q =vS =EBd ·πd ()22=πdE 4B四、结合磁场知识例4图5中铅盒A 中的放射源放出大量正离子，从狭缝S 1由静止经加速电压U 加速后，再通过狭缝S 2从小孔G 垂直于MN 射入磁感应强度为B 、方向垂直于纸面向外、半径为Ｒ且与MN 相切的圆形匀强磁场，并经过MN 上的F 点（未画出），且GF 槡=3Ｒ．求该离子的比荷．（离子重力可忽略）析和解设离子被加速后获得的速度为v ，由动能定理有：qU =12mv 2离子做匀速圆周运动的轨道半径r =槡3Ｒ3，又Bqv =m v 2r，得qm =6U B 2Ｒ2．上列展现了电磁法测非电磁量的巧妙，实际应用中“速度选择器”、“光强计”、“电阻温度计”和“加速度计”等仪器也运用了此类方法，这些实例可培养学生的创新精神和实践能力，同时能提高他们的学习素养与综合实力．参考文献：［1］王宗谟，吴江．近似替换须注意条件———第十七届全国中学生物理竞赛预赛第四题参考解答有误［J ］．物理教学探讨，2001，19（8）：31－32．［2］张学宪．高中同步创新课堂优化方案物理选修3－1人教版［M ］．武汉：崇文书局，2017．［3］钱泽仪．新思路丛书高中物理———电磁学［M ］．重庆：重庆出版社，2008．［责任编辑：颜卫东］利用对称轴确定磁偏转圆心亢小宁（陕西省榆林府谷中学719400）摘要：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题的关键是：准确找出做圆周运动轨迹的圆心并做出轨迹，找圆心的方法有：切垂线法、中垂线法、角平分线法等，还有一类问题，圆心的确定方法，笔者称作对称轴法．关键词：圆形磁场；带电粒子在磁场中运动；对称轴法中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2020）07－0055－02收稿日期：2019－12－05作者简介：亢小宁（1986－），女，硕士，从事物理教学研究．案例（2013新课标Ⅰ卷）如图1所示，半径为Ｒ的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q （q ＞0），质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为Ｒ/2．已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60ʎ，则粒子的速率为（不计重力）（）．A ．qBＲ/2mB ．qBＲ/mC ．3qBＲ/2mD ．2qBＲ/m 解析粒子从C 点射入，过C 作速度方向的垂线CE ，再过磁场圆圆心作一条直线与垂线CE 成30ʎ，此时交点O'为粒子轨迹圆的圆心，然后以O'为圆心画轨迹，如图2所示，可以看出OO'为轨迹对称轴，把圆心角平分，圆—55—心角等于速度偏转角，即∠CO'D =60ʎ，对称轴平分圆心角，又CE =Ｒ/2，则∠C OE =30ʎ，∠C OO'=∠C O'O =30ʎ，CO'=CO ，即r =Ｒ．再根据洛仑兹力提供向心力有，qvB =mv 2/Ｒ解得v =qBＲ/m ，所以B 选项正确．常见的此类题还有不少题目，均可尝试此解法．活学活用1（2018·资阳模拟）如图3所示，半径为Ｒ的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子以速度v 1从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过时间t 1射出磁场．另一相同的带电粒子以速度v 2从距离直径AOB 的距离为Ｒ/2的C 点，平行于直径AOB 方向射入磁场，经过时间t 2射出磁场．两种情况下，粒子射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角均为60ʎ．不计粒子受到的重力，则（）．A ．v 1ʒv 2槡=2ʒ1B ．v 1ʒv 2槡=3ʒ1C ．t 1=t 2D ．t 1＞t 2解析粒子从C 点射入，过C 作速度方向的垂线CM ，再过磁场圆圆心作一条直线与垂线CM 成30ʎ，此时交点O 2为粒子轨迹圆的圆心，然后以O 2为圆心画轨迹，如图4所示，可以看出OO 2为轨迹对称轴，把圆心角平分，圆心角等于速度偏转角，即∠CO 2D =60ʎ，对称轴平分圆心角，又C 点距离直径AOB 的距离为Ｒ/2，则∠COE =30ʎ，∠CO 2O =∠COO 2=30ʎ，CO 2=CO ，四边形O 2COD 为菱形，Ｒ2=Ｒ；粒子从A 点射入，过A 作速度方向的垂线AN ，再过磁场圆圆心作一条直线与垂线AN 成30ʎ，此时交点O 1为粒子轨迹圆的圆心，然后以O 1为圆心画轨迹，如图4所示，可以看出OO 1为轨迹对称轴，把圆心角平分，圆心角等于速度偏转角，即∠AO 1E =60ʎ，对称轴平分圆心角，则∠AO 1O =30ʎ，根据三角形AO 1O ，由几何关系可知ＲＲ1=tan 30ʎ，根据带电粒子在磁场中运动的半径公式r =mv /Bq ，速度与半径成正比，则v 1ʒv 2=Ｒ1ʒＲ2槡=3ʒ1，所以A 错误，B 正确；根据周期公式T =2πm /Bq 可知，粒子的周期相同，圆心角都为60ʎ，经过时间相同，所以C 正确，D 错误．活学活用2如图5所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），O 为圆心，P 为边界上的一点．相同的带电粒子a 、b （不计重力）先后从P 点射入磁场，粒子a 正对圆心射入，速度方向改变60ʎ后离开磁场，粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向成60ʎ角，已知它们离开磁场的位置相同．下列说法正确的是（）．A ．a 、b 两粒子的速度大小之比v a ʒv b =1ʒ2B ．a 、b 两粒子在磁场中运动的时间之比t a ʒt b =1ʒ3C ．a 、b 两粒子在磁场中运动的半径之比r a ʒr b =1ʒ2D ．a 、b 两粒子在磁场中运动的轨迹长度之比s a ʒs b =2ʒ3解析粒子a 从P 点射入，过P 作速度方向的垂线PM ，再过磁场圆圆心作一条直线与垂线PM 成30ʎ，此时交点O 1为粒子轨迹圆的圆心，然后以O 1为圆心画轨迹，可以看出OO 1为轨迹对称轴，把圆心角平分，圆心角等于速度偏转角，对称轴平分圆心角，则∠PO 1O =30ʎ；粒子b 从P 点射入，过P 作速度方向的垂线PN ，再过磁场圆圆心作一条直线与垂线PN 成30ʎ，此时交点O 2为粒子轨迹圆的圆心，然后以O 2为圆心画轨迹，带电粒子a 、b 在磁场中运动的轨迹，如图6所示，根据几何关系可知，a 、b 两粒子运动的轨迹半径之比r a ʒr b =2ʒ1，选项C 错误；由r =mv /Bq 可得，a 、b 两粒子的速度大小之比v a ʒv b =2ʒ1，选项A 错误；a 、b 两粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角之比为1ʒ3，根据T =2πm /Bq ，t =θT /2π可得，a 、b 两粒子在磁场中运动的时间之比t a ʒt b =1ʒ3，选项B 正确；根据运动的轨迹长度s =vt 可得，a 、b 两粒子在磁场中运动的轨迹长度之比s a ʒs b =2ʒ3，选项D 正确．“带电粒子在磁场中的运动”是高中物理的重难点，其难度主要在于“几何关系”的确定，包括圆心、角度、长度等．上述类型问题在参考资料的讲解中，对“几何关系”的说明一带而过，不能帮助学生准确定圆心突破难点．通过以上分析可以看到，“对称轴法”的构建可以帮助学生迅速准确的找到轨迹圆圆心，使几何图形规范，便于观察分析，快速找到边角关系，进而顺利解决问题．参考文献：［1］葛东升．磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法［J ］．物理教学，2012（1）：53－54．［2］聂传虎．磁偏转问题中确定圆心的四法［J ］．新高考（高一物理），2013（6）：13－14．［3］成德中．磁偏转基本问题的破解［J ］．求学·高考资讯指导（理科生版），2014（5）：51－53．［责任编辑：颜卫东］—65—。
确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法
确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法作者：吴洪翔来源：《中学课程辅导·教学研究》2016年第11期摘要：带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强，是高中物理的一个难点，也是高考的热点。
解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何知识。
其中，关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识。
在本文中，笔者将给出几种找圆心常用的方法。
关键词：物理教学；带电粒子；圆运动；确定圆心的方法中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0099方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
例1.如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。
求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为：例2. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r，当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，则此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：电子先经过加速电场获得一定的速度，然后垂直于磁场方向进入磁场，不考虑电子重力的影响，电子在洛仑兹力的作用下在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出磁场的点。
作电子a、b在二点速度νa、νb的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心，如图2所示。
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③
2B2 R 2 q 联立以上各式解得： U m
以上四种方法是确定圆心极为有效的办法，在解题过程中要灵 活选择使用，突破圆心的确定这一难点，就会使此类问题变得
迎刃而解．
在真空中,半径为r=3×10-2 m的圆形区域内,
有一匀强磁场,磁场的磁感应强度为B=0.2 T,
线与垂直平分线的交点分别为O1、O2，则O1、 O2为圆心，粒子1转过的角度为∠OO1P=π+θ， 粒子2转过的角度为∠OO2P=π-θ
两粒子在磁场中运动的周期均为 T 2πm
qB 粒子1从O点运动到P点所用的时间为：1 π θ T t 2π 粒子2从O点运动到P点所用的时间为：2 π θ T t 2π
(2)求这两个粒子从O点射入磁场时的时间间隔.
【深度剖析】(1)设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R， 洛伦兹力充当向解得：R R Bq
(2)如图所示，为两粒子在匀强磁场中运动的 轨迹图．作图方法是：作OP的垂直平分线，
分别过入射点O作入射速度1、2的垂线．两垂
2 mv0 qv 圆形磁场区域的半径为r．由牛顿第二定律得： 0 B R
由几何关系得：r=
Smin
2 3πm2 v0 πr 2 4B2q 2
3 R 2
(2)粒子从O点沿圆弧到A点，所经历的时间
t OA T 2πm 3 3qB
sAb=Rcot30°
t Ab s Ab 3m v0 Bq
(1)圆形磁场区域的最小面积； (2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间及b点坐标．
【深度剖析】(1)由于粒子沿y轴正方向射入，所以圆心必在x轴 上，反向延长b处的速度方向与y轴相交于C点，作∠OCA的角平
分线与x轴相交于O′点，过O′点作bC的垂线，垂足为A点．则
O′A=O′O=R,所以，以OA为直径的圆的磁场区域面积最小．设
方向如图所示,一带正电粒子,以初速度
v0=106 m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场,已知 该粒子荷质比为q/m=108 C/kg,不计粒子重力,则: (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是多少? (2)若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角,其入射时粒子的方 向应如何?最大偏转角多大?
【解析】(1)设粒子做圆周运动的半径为R,
2 v0 mv 则 qv0 B m , 得R 0 0.05 m R Bq
(2)由分析知,弦ab是粒子轨迹上的弦,也是 圆形磁场的弦,如图所示.粒子在磁场中运 动的最长弦就是ab,其对应的圆心角就是最 大的偏转角α,此时初速度方向与ab连线夹 角为θ,则 θ＝ α .
下面介绍磁偏转问题圆心确定常用的四种方法：
一、半径法
适用情况：如果已知带电粒子的
出射速度和入射速度方向，分别作出 过入射点和出射点速度方向的垂线， 两垂线的交点便是圆心．如图甲所示．
【典例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是使用磁偏转技术 实现的．电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁 场区，如图所示，磁场方向垂直于圆面．磁场区的中心为O，半 径为r．当不加磁场时，电子束将通过O点而达到屏幕的中心M 点．为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转 一已知角度θ ，此时磁场的磁感应强度为多大？(已知电子质量
所以粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间为
t t OA t Ab
s O b
m 2π ( 3 ) Bq 3
b点横坐标为xb=R+2R= 3mv0 ,
Bq
R 2R sin30
故b点坐标为( 3mv0 ,0)
Bq
三、垂直平分线法
适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和做圆周运
适用情况：如果已知带电粒子的
出射速度和入射速度方向，则入射速度
方向的延长线和出射速度方向的反向延
长线夹角的角平分线与入射速度垂线 的交点就是圆心.如图乙所示.
【典例2】一质量为m、带电量为q的粒子，以速度v0从O点沿y轴 正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂 直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x 轴正方向夹角为30°，不计重力．求：
【典例4】在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形匀强磁场区
域，磁感应强度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸面内，该区
域的圆心坐标为(R,0)，有一个质量为m，带电量为-q的粒子，
R 由静止经电场加速后从点(0， )沿x轴正方向射入磁场，粒子从 2
射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重力影响．试 求： (1)粒子在磁场区域经历的时间; (2)加速电场的电压.
2
由几何知识有 sin α r 3
2 R 5
得α=74° 所以θ=
α =37° 2
故粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时,粒子飞离磁场时有 最大偏转角,其最大值为74°.
答案：(1)0.05 m
(2)见解析
（五） 磁偏转问题圆心确定四法
带电粒子(不计重力)垂直射入匀强磁场，粒子的运动轨迹 是圆周或圆弧．这类问题是常见的典型的力学、磁场知识结合 的综合题，在高考中多次考查，是考试的难点． 求解这类问题的关键是：定圆心画出轨迹,求出半径,确定
圆心角等．其中解决带电粒子在有界磁场中的运动、确定圆心
是解题的难点．
动轨迹的一条弦，先作出过入射点速度方向的垂线，然后作弦
的垂直平分线，两垂线的交点便是圆心．
【典例3】如图,虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面
的交线，在平面右侧的空间存在磁感应强度为B的
匀强磁场，方向垂直纸面向外，O是MN上的一点， 从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、 速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面 内各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点 相遇，P到O点的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用． (1)求所考查的粒子在磁场中运动的轨道半径;
为m，电荷量为e)
【深度剖析】分别作入射点和出射点速度方向的垂线，其交点 为电子做匀速圆周运动的圆心C，以v表示电子进入磁场时的速
度，则
eU 1 mv 2 2
① ② ③
r e 2
mv 2 evB R 又有 tan θ r 2 R
由以上各式解得： 1 2mU tan θ B
二、角平分线法
【深度剖析】(1)因为粒子从射入到射出 磁场通过了该磁场的最大距离，即MP应
是圆形磁场区域的直径，同时也是粒子
做圆周运动的一条弦．过P点作直线 NP⊥MP,与竖直线交于N点．作MN的中点即 是粒子做圆周运动的圆心(直角直径法)． 设从M点射入磁场的速度方向与半径MC夹角为θ，
R 故 sinθ 2 1 R 2
即θ=30°
在磁场中偏转的角度为α=2θ=60°,有 t α T
2π
带电粒子在磁场中运动的周期为 T 2πm
Bq 所以粒子在磁场区域经历的时间 t πm 3Bq
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,由洛伦兹力提供向心
mv 2 力得： qvB r
①
②
r=2R 带电粒子在加速电场加速过程中，由功能关系得：
两粒子射入的时间间隔： Δt=t1-t2= T
θ L 又因为：∠O1OP= θ ， cos 故 2 2 2R θ π
4m qBL Δt t1 t 2 arccos qB 2mv
四、直角直径法
适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和过入射点
的一条弦，先作出过入射点速度方向的垂线，然后过弦的另一 端点作弦的垂线，两垂线的交点和入射点的连线便是该圆的直 径，作直径的中点便是圆心．