高中数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 达标检测 Word版含解析
[最新]数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲达标检测Word版含解析
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＝ a2＋b2＋a2
1－x x
＋ b2x ≥a2＋ b2＋2ab＝(a＋ b)2， 1－x
当且仅当
a2
1－x x
＝ 1b－2 xx时等号成立．
所以 m≤(a＋b)2， m 的最大值为 (a＋b)2，选 B.
答案： B
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上 )
答案：
x|－32≤
x≤
3 2
a＋b 2 14．已知 x>0，y>0，x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，则 cd
的最小值是 ________．
解析： 因为 x，a，b，y 成等差数列，所以 x＋ y＝ a＋b， a＋b 2 x＋y 2 x2＋y2＋ 2xy x y
又 x，c，d，y 成等比数列，所以 xy＝cd， cd ＝ xy ＝ xy ＝y＋ x＋
3－ |x|≥0，
3－|x|≤ 0，
或
|2x＋ 1|－4>0， |2x＋1|－4<0.
|x|≤ 3，
－ 3≤ x≤3，
即
∴
|2x＋1|>4，
2x＋1>4或2x＋ 1<－4，
－ 3≤x≤3，
∴3
5
x>2或 x<－2.
53 ∴－ 3≤x<－ 2或 2<x≤ 3.故选 C.
答案： C
9．一个长方体的长，宽，高分别为 a，b，c 且 a＋b＋c＝9，当长方体体积最大
A．6
B．7
C． 8
D．9
解析：
1 a2－1
1 b2－1
1－a 1＋a 1－b 1＋ b
＝
a2b2
高中数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 一 不等式 1 不等式的基本性质 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．“x<－1”是“x2－1>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．答案：A2．下列命题中不正确的是()A．若3a>3b，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则a d> bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d答案：D3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为() A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.答案：A4．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0 C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：∵1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能解析：x 1＋x 2<0⇒x 1<－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.同理：f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 3)<0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]<0.即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.答案：B6．有以下四个条件：①b >0＞a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a ＜1b 成立的有________．解析：①∵b >0>a ，∴1b >0>1a ；②∵0>a >b ，∴1a <1b <0；③∵a >0>b ，∴1a >0>1b ；④∵a >b >0，∴1b >1a >0.答案：①②④7．若－1<a <2，－2<b <1，则a －|b |的取值范围是________．解析：∵－2<b <1，∴0≤|b |<2.∴－2<－|b |≤0.而－1<a <2，∴－3<a －|b |<2.答案：(－3,2)8．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M 、N 的大小关系是________．解析：法一：M －N ＝11＋a ＋11＋b －a 1＋a －b 1＋b＝1－a1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )，由已知可得，a >0，b >0且0<ab <1，∴1－ab >0，∴M －N >0，即M >N .法二：M N ＝2＋a ＋ba ＋b ＋2ab ，∵0<a <1b ，∴0<ab <1，∴2ab <2，∴a ＋b ＋2ab <a ＋b ＋2，∴2＋a ＋ba ＋b ＋2ab >1.又M >0，N >0，∴M >N .答案：M >N9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .10．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．解析：∵a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a .又∵a 2＋c 2>0，a >0，∴b >0.又∵bc >a 2>0，∴bc 同号．∴c >0.∵(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，又∵a >0，∴b －c ≥0.当b －c >0时，b >c .又bc >a 2，b ＝a 2＋c 22a ，∴a 2＋c 22a ·c >a 2，即(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0，a －c <0，即a <c .∴a <c <b .当b －c ＝0时，b ＝c .∵bc >a 2，∴b 2>a 2，b ≠a .∵a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2＝0，∴a ＝b .∴矛盾，也就是b －c ≠0.综上可知，a <c <b .[B 组 能力提升]1．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．答案：A2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0可得，－1<a <0，∴－a >a 2>0，∴0>－a 2>a .综上有－a >a 2>－a 2>a .答案：B3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式：①b a >b －1a －1；②(a ＋b )2>(b ＋1)2；③(a －1)2>(b －1)2.其中不恒成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a (a －1)＝a －ba (a －1).因为a －b >0，a (a －1)符号不确定，①不恒成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2>0，②不恒成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③4．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y 2x 4，且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x3y 4≤27.答案：275．已知a ，b ，c 均为正数，且b <c ，比较ab 与ac ＋bc 的大小．解析：法一：∵a >0，且b <c ，∴ab <ac ，∵c >0，b >0，∴bc >0，∴ac ＋bc >ac >ab ，即ab <ac ＋bc .法二：∵a >0，b >0，c >0，∴0<a <a ＋b ，∵0<b <c ，∴ab <c (a ＋b )，即ab <ac ＋bc .法三：ab －(ac ＋bc )＝a (b －c )－bc .∵b <c ，∴b －c <0，而a >0，∴a (b －c )<0.又∵b >0，c >0，∴bc >0，－bc <0，∴a (b －c )－bc <0，即ab －(ac ＋bc )<0.∴ab <ac ＋bc .6．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解析：由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得⎩⎨⎧ －4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3，∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎨⎧ －4≤u ≤－1－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403.∴－1≤－53u ＋83v ≤20，即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20]。
数学人教A版选修4-5优化练习第一讲 达标检测 Word版含解析
达标检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若>>，则－( )．小于．大于．大于等于．小于等于解析：∵>>，∴－>－>，∴<，∴－>.故选.答案：．已知＋>，<，那么，，－，－的大小关系是( )．>>－>－．>－>－>．>>－>－．>－>>－解析：∵＋>，<，∴>－>>>－，∴>－>>－.答案：．若＝－，则＋的最小值是( )．．解析：由＝－得＝，而＋＝＋＝＋＋≥＝＝.答案：．已知－<的解集为{<<}，则实数等于( )．．．．解析：由－<得，－<<＋，由已知得(\\(－＝，＋＝.))解得(\\(＝，＝.))答案：．函数＝－＋－的最小值为( )．．．．解析：＝－＋－≥－＋－＝.答案：．若∈(－∞，)，则函数＝有( )．最大值．最小值．最大值－．最小值－解析：＝＋＝＋≤－＝－.答案：．若对任意∈，不等式≥恒成立，则实数的取值范围是( )．≤．＜－．≥．＜解析：取＝时，≥恒成立，所以＝符合，可以排除，.取＝时，≥恒成立，所以＝符合，从而排除，所以正确答案为.答案：．使有意义的所满足的条件是( )．－≤<．－<≤．－≤<－或<≤．－≤≤解析：使式子有意义的所满足的条件为(\\(－≥，＋－>，))或(\\(－≤，＋－<.))即(\\(≤，＋>，))∴(\\(－≤≤，＋>或＋<－，))∴(\\(－≤≤，>()或<－().))∴－≤<－或<≤.故选.答案：．一个长方体的长，宽，高分别为，，且＋＋＝，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( )．．．．解析：∵＝＋＋≥，当且仅当＝＝＝时取得最大值∴≤，。
高中数学人教A版选修4-5优化练习：综合检测 Word版含解析
综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab >0，－c a <－db ，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc <ad B ．bc >ad C.a c >b dD ．a c <b d解析：－c a <－db ，ab >0两边同乘以ab ，－bc <－ad ， ∴bc >ad ，选B. 答案：B2．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >2D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2 解析：由|3x －2|>4，得3x －2>4或3x －2<－4. 即x >2或x <－23. 答案：C3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时取等号． 答案：C4．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1，S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，那么( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1≥S 2D ．S 1≤S 2解析：由排序不等式，得顺序和≥反序和，即S 1≤S 2，选D. 答案：D5．若x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝30，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，10] C ．[3，＋∞)D ．[10，＋∞)解析：∵x ＋y ＋z ≥33xyz ， 即xyz ≤103， ∴lg(xyz )≤lg 103＝3，即lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤3，当且仅当x ＝y ＝z ＝10时取等号．故选A. 答案：A6．不等式|x ＋1|＋|2x －4|>6的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：原不等式可化为以下几种： ①⎩⎨⎧x <－1－x －1－2x ＋4>6⇒x <－1； ②⎩⎨⎧ －1≤x ≤2x ＋1－2x ＋4>6⇒∅； ③⎩⎨⎧x >2x ＋1＋2x －4>6⇒x >3. 故选B. 答案：B7．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D ．k ≤－3解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ＜2，3，x ≥2，则f (x )min ＝－3，∴k <－3. 答案：B8．函数y ＝2x －3＋8－4x 的最大值为( ) A. 3 B ．53 C. 5D ． 2解析：由已知得函数定义域为[32，2]，y ＝2x －3＋2×4－2x ≤[12＋(2)2][(2x －3)2＋(4－2x )2]＝3，当且仅当2x －31＝4－2x 2，即x ＝53时取等号． ∴y max ＝ 3. 答案：A 9．设A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t7＋t，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t＝A . 答案：B10．若0<α<β<γ<π2，则F ＝sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α－12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)的符号为( ) A ．F >0 B ．F <0 C ．F ≥0D ．F ≤0解析：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上为增函数，y ＝cos x 在(0，π2)上为减函数．∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式：乱序和≥反序和， 则sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 答案：A11．已知a 2＋b 2＋c 2＝9，x 2＋y 2＋z 2＝16，则 (x ＋a )2＋(y ＋b )2＋(z ＋c )2的最大值为( ) A ．5 2 B ．7 C ．9 D ．5 3解析： (x ＋a )2＋(y ＋b )2＋(z ＋c )2＝x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2＋2(ax ＋by ＋cz )＝25＋2(ax ＋by ＋cz )， ∵ax ＋by ＋cz ＝(ax ＋by ＋cz )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(a 2＋b 2＋c 2)＝9×16＝12， ∴原式≤25＋2×12＝49＝7， 故最大值为7，选B. 答案：B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤1，|x 2|≤1时，| f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，由g (x )与M 的关系是( ) A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉MD ．不能确定解析：g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)·(x 1＋x 2＋2)， |g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤4|x 1－x 2|，所以g (x )∈M . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时等号成立． 答案：914．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1且|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，∴a 2＋a ＋1<1，∴a 2＋a <0. ∴－1<a <0. 答案：(－1,0)15．有一长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，满足1x 2＋1y 2＋1z 2＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥(1＋1＋1)2＝9，即x 2＋y 2＋z 2≥1.当且仅当x ＝y ＝z ＝33时取等号，∴长方体的对角线长l ＝x 2＋y 2＋z 2的最小值为1. 答案：116．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案：12三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12分)解不等式|2x －1|＋|2－x |<x ＋3. 解析：(1)当x <－3时，显然无解，(2)当－3≤x ≤12时，原不等式为1－2x ＋2－x <x ＋3. 即0<x ≤12.(3)当12<x ≤2时，原不等式为2x －1＋2－x <x ＋3， 即1<3，显然成立，∴12＜x ≤2.(4)当x >2时，原不等式为2x －1＋x －2<x ＋3， 即2<x <3.综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x |0<x <3}． 18．(12分)若a >2，b >3，求a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值．解析：因为a >2，b >3，所以a －2>0，b －3>0，所以a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)(b －3)·1(a －2)(b －3)＋5＝3＋5＝8(当且仅当a ＝3，b ＝4时，等号成立)． 所以所求最小值为8.19．(12分)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝2，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解析：由柯西不等式，(x ＋y ＋z )2≤[(2x )2＋(3y )2＋z 2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12，因为x ＋y ＋z ＝2，所以2x 2＋3y 2＋z 2≥2411，当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1，即x ＝611，y ＝411，z ＝1211时，等号成立，所以2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为2411.20．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b . 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b . 由排序原理知：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b ， 将上面两个同向不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b .21．(13分)已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝100. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋1b n，记T n 是数列{a n }的前n 项之积，即T n ＝a 1a 2a 3…a n ，试证明：T n >b n ＋1. 解析：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝110b 1＋10×92d ＝100，得d ＝2，b n ＝2n －1. (2)a n ＝1＋1b n＝1＋12n －1， T n ＝a 1a 2a 3…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1，当n ＝1时，T 1＝1＋11＝2>3，命题得证．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1>2k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1. ∵2k ＋1×2k ＋3<(2k ＋1)＋(2k ＋3)2＝2k ＋2，∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3，∴T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1>2k ＋3.即n ＝k ＋1时命题成立． 综上知，当n ∈N ＋时，T n >b n ＋1.22．(13分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC ＝80米，塔所在的山高OB ＝220米，OA ＝200米，图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，tan α＝12，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)?解析：如图建立平面直角坐标系，则A (200,0)，B (0,220)，C (0,300)．直线l 的方程为y ＝(x －200)tan α，即y ＝x －2002.设点P 的坐标为(x ，y )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x －2002(x >200)，由经过两点的直线的斜率公式，得k PC ＝x －2002－300x ＝x －8002x .k PB ＝x －2002－220x＝x －6402x .由直线PC 到直线PB 的夹角的公式得(由图可知k PC ，k PB 均小于0，即x <640) tan ∠BPC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k PB －k PC 1＋k PB ·k PC ＝1602x 1＋x －8002x ·x －6402x ＝64xx 2－288x ＋160×640＝64x ＋160×640x－288(x >200)．要使tan ∠BPC 达到最大，只需x ＋160×640x－288达到最小，由基本不等式x ＋160×640x－288≥2160×640－288. 当且仅当x ＝160×640x 时上式取得等号，故当x ＝320时，tan ∠BPC 最大，这时点P 的纵坐标y 为320－2002＝60. 由实际问题知，0<∠BPC <π2，所以tan ∠BPC 最大时∠BPC 最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大．。
高中数学人教A版选修4-5模块综合检测(一) Word版含解析
模块综合检测(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．不等式－>的解集是( )．{>}解析：选因为－>，所以－>或－<－，所以>或<－.．如果关于的不等式－＋＋≥的解集是全体实数，则实数的取值范围是( )．(－∞，]∪[，＋∞)．[－，－]．[]．(－∞，－]∪[－，＋∞)解析：选在数轴上，结合绝对值的几何意义可知≤－或≥－.．若，，，∈，则(\\(＋>＋，,(－((－(>))是(\\(>，>))成立的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选若(\\(＋>＋，①,(－((－(>. ②))由②知，－与－同号，又由式①，得(－)＋(－)>，∴－>，－>，即>且>.故充分性成立．若则∴(\\(＋>＋，,(－((－(>，))故必要性亦成立．．关于的不等式－<－的解集为( )．()解析：选原不等式⇔－<－<－⇔⇔⇔<<，故原不等式的解集为()．．若＋＝，则＋的取值范围是( )．[]．[－]．(－∞，－]．[－，＋∞)解析：选因为>>，所以＝＋≥＝，故≤，即＋≤＝－，所以＋≤－.．已知，，，∈，且>，－<－，则下列各式恒成立的是( )．>．<><解析：选对－<－两边同乘－，由－<，得>.．若＞，使不等式－＋－＜在上的解集不是空集的的取值是( )．＝．＜＜．以上答案均不对．＞解析：选函数＝－＋－的最小值为，所以－＋－＜的解集不是空集，需＞.．函数＝＋的最大值为( )解析：选由已知得函数定义域为，＝＋×≤＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立．∴＝.．一长方体的长、宽、高分别为，，且＋＋＝，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( )．．．．解析：选∵＝＋＋≥，∴≤，当且仅当＝＝＝时取得最大值，此时其表面积为×＝.．记满足下列条件的函数()的集合为，当≤，≤时，()－()≤－，又令()＝＋－，则()与的关系是( )．()∈．()．不能确定．()∉解析：选()－()＝＋－－＝(－)·(＋＋)，()－()＝－·＋＋≤－(＋＋)≤－，所以()∈.二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把正确答案填写在题中的横线上)．已知<，<，则＋与＋的大小关系是．解析：(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝(－)(－)，。
人教版高中数学选修4-5练习第一讲 复 习 课 Word版含解析
复习课
整合·网络构建]
警示·易错提醒]
．不等式性质的两个易错点．
()忽略不等式乘法中“大于”这一条件．()求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．
．应用基本不等式求最值的三个注意点．
()“一正”：各项或各因数都是正数．
()“二定”：积(或和)为定值．
()“三等”：等号成立的条件．
．绝对值不等式的两个注意点．
()解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉
绝对值符号．()在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．
专题一基本不等式的应用
在用基本不等式求最值时，
“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”
“配系数”“拆项法”“的代换”等．
例] 已知＞，求函数＝的最小值．
解：＝＝＝≥，
当且仅当－＝，即＝时，等号成立，
所以当＝时，有最小值，最小值为.
归纳升华
．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一
正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不
等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式
的形式再进行求解．变式训练] 已知＞，＞，且＋＝，求＋的最小值．。
2019数学人教a版选修4-5优化练习：第一讲 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式 含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．设x ，y ，z>0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz)，而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23， ∴lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B2．函数y ＝x 2·(1－5x)(0≤x ≤15)的最大值为( ) A.4675 B.2657 C.4645 D.2675解析：∵0≤x ≤15，∴1－5x ≥0， ∴y ＝x 2·(1－5x)＝425[52x ·52x ·(1－5x)] ≤425[52x ＋52x ＋(1－5x )3]3＝4675. 当且仅当52x ＝1－5x ， 即x ＝215时取“＝”，故选A. 答案：A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式正确的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π 解析：如图，设圆柱半径为R ，高为h ，则4R ＋2h ＝6，即2R ＋h＝3.V ＝S ·h ＝πR 2·h ＝π·R ·R ·h ≤π⎝⎛⎭⎪⎫R ＋R ＋h 33＝π，当且仅当R ＝R ＝h ＝1时取等号． 答案：B4．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，则必有( ) A ．0≤M<18B.18≤M<1 C ．1≤M<8 D ．M ≥8解析：M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥8bc ·ac ·ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．答案：D5．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( )A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x 3＝6，∴y min ＝6 B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332 C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4 D ．y ＝x(1－x)(1－2x)≤13[3x ＋(1－x )＋(1－2x )3]3＝881， ∴y max ＝881解析：A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc(a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤(a ＋b ＋c 3)3(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x>0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋(x ＋1x )≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 答案：C。
2020年高二数学人教A版选修4-5练习1 Word版含答案
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD.a d >b c【解析】 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 【答案】 A2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0D.a 2－b 2<0【解析】 a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0.故选C. 【答案】 C3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2，b ＝－1验证即可求解．【答案】 B4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a【解析】 ab 2－ab ＝ab (b －1)， ∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴b －1＜0，ab ＞0，∴ab 2－ab ＜0，即ab 2＜ab ； 又ab 2－a ＝a (b 2－1)，∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a.【答案】 D5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的()【导学号：32750004】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵0＜ab＜1，当a＜0且b＜0时可推得b＞1 a，所以“0＜ab＜1”不是“b＜1a”的充分条件，①反过来，若b＜1 a，当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”也不是“b＜1a”的必要条件，②由①②知，应选D.【答案】 D二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【解析】f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出1a<1b成立的有________．(填序号)【解析】1a<1b⇔1a－1b<0⇔b－aab<0，∴①②④可推出1a<1b成立．【答案】①②④8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．【解析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc；(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.【证明】(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴0＜－1c＜－1d.又a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴3－ad＞3－bc，即－3ad＞－3bc.两边同乘以－1，得3ad＜3bc.(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴1(a－c)2＜1(b－d)2.又∵e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，求x3y4的取值范围．【解】由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81. ①又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13. ②由①×②得18×16≤x4y2·1xy2≤81×13，即2≤x3y4≤27，因此x3y4的取值范围是[2,27]．[能力提升]1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜1b或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．【答案】 A2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜b c；③log b(a－c)＞log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是() A．①B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a＞b＞1，c＜0，得1a＜1b，ca＞cb；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以a c＜b c；因为a－c＞b－c，所以log b(a－c)＞log a(a－c)＞log a(b－c)，①②③均正确．【答案】 D3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出log b 1b＜log a1b＜log a b成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号) 【解析】∵log b1b＝－1，若1＜a＜b，则1b＜1a＜1＜b，∴log a1b＜log a1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜1b＜1a，∴log a b＞log a1b＞log a1a＝－1＝log b1b，故条件②可以；若0＜a＜1＜b，则0＜1b＜1，∴log a1b＞0，log a b＜0，条件③不可以．故应填②.【答案】②4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【导学号：32750005】【解】由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得⎩⎨⎧－4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝v－u3，c＝4u－v3，∴f(3)＝9a＋c＝－53u＋83v.又⎩⎨⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403，∴－1≤－53u ＋83v ≤20， 即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20]......................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
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达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．小于等于0D ．大于等于0解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0， ∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c >0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0,0>b >－a ， ∴a >－b >b >－a . 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B ．2333 C.32 3D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ， 由已知得⎩⎨⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2. 答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1解析：y ＝(x －1)22x －2＋12x －2＝x －12＋12(x －1)≤－21－x 2·12(1－x )＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立， 所以a ＝0符合，可以排除A ，D. 取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B. 答案：B 8．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( )A ．－3≤x <32 B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3 D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为 ⎩⎨⎧3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎨⎧3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0.即⎩⎨⎧|x |≤3，|2x ＋1|>4， ∴⎩⎨⎧－3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C. 答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( ) A ．27 B ．54 C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27， 此时其表面积为6×32＝54.故选 B. 答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1＝(1－a )(1＋a )(1－b )(1＋b )a 2b 2＝(1＋a )(1＋b )ab ＝2ab ＋1，∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1.∴ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9.答案：D11．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立， 所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≥4，或a ≤－1. 答案：A12．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x ≥m 恒成立，则m 的最大值是( ) A ．(a －b )2 B ．(a ＋b )2 C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵a 2x ＋b 21－x ＝[a 2x ＋b 21－x][x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a 2(1－x )x ＝b 2x1－x 时等号成立．所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________． 解析：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32； 当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为|x －12|＋|x ＋12|≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32 14．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．解析：因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a ＋b ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，所以xy ＝cd ，(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x y ＋yx ＋2≥2x y ·y x ＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，取等号．答案：415．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y ≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4. 答案：416. 下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c ； ④若a <b <0，c >0，则c a >cb .其中正确命题有________．(填序号)解析：②不正确，因为0<c <1时，lg c <0.①③④正确． 答案：①③④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设x 、y 、z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值． 解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ， ∴x 2y 3z ≤1(当x2＝y ＝4z 时，取“＝”)．∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.18．(12分)已知ab ≠0，且a >b ，试比较1a 与1b 的大小． 解析：1a －1b ＝b －a ab ， ∵ab ≠0，a >b ，∴b －a <0， 如果ab <0，b －a ab >0，∴1a >1b， 如果ab >0，b －a ab <0，∴1a <1b .19．(12分)解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解析：①当x >2时，原不等式等价于 ⎩⎨⎧x >2(2x －4)－(3x ＋9)<1⇒x >2. ②当－3≤x ≤2时，原不等式等价于 ⎩⎨⎧ －3≤x ≤2－(2x －4)－(3x ＋9)<1⇒－65<x ≤2. ③当x <－3时，原不等式等价于 ⎩⎨⎧x <－3－(2x －4)＋(3x ＋9)<1⇒x <－12. 综上所述知不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－65或x <－12.20．(12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9. 证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a ＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.②由①，②结合不等式的性质得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2 ≥33b ×331b ＝9，当a ＝b ＝1时，取等号． 21．(13分)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x>2时，g(x)>5.综上所述，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．则m的取值范围为(－∞，5]．法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．解析：设点P的坐标为(x，y)．(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x －3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．。