2014年4月福建省质检文科数学及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学文
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1.若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P⋂Q等于( )A.{x|3≤x＜4}B. {x|3＜x＜4}C. {x|2≤x＜3}D. {x|2≤x≤3}解析：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P⋂Q={x|3≤x＜4}.答案：A.2.复数(3+2i)i等于( )A. -2-3iB. -2+3iC. 2-3iD. 2+3i解析：(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.答案：B.3.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A. 2πB. πC. 2D. 1解析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，答案：A.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4.不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2.答案：B.5.命题“∀x∈[0，+∞)，x3+x≥0”的否定是( )A.∀x∈(-∞，0)，x3+x＜0B.∀x∈(-∞，0)，x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞)，x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞)，x03+x0≥0解析：∵命题“∀x∈[0，+∞)，x3+x≥0”是一个全称命题.∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞)，x03+x0＜0答案：C.6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是( )A. x+y-2=0B. x-y+2=0C. x+y-3=0D. x-y+3=0解析：由题意可得所求直线l经过点(0，3)，斜率为1，故l的方程是 y-3=x-0，即x-y+3=0，答案：D.7.将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f(x)的函数图象，则下列说法正确的是( )A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于直线x=对称D. y=f(x)的图象关于点(-，0)对称解析：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin(x+)=cosx.即f(x)=cosx.∴f(x)是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos(-)=0，∴y=f(x)的图象关于点(-，0)、(，0)成中心对称.答案：D.8.若函数y=log a x(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )A.B.C.D.解析：由对数函数的图象知，此函数图象过点(3，1)，故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a-x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=(-x)a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a(-x)与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错.答案：B.9.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A. 80元B. 120元C. 160元D. 240元解析：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，答案：C.10.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于( )A.B. 2C. 3D. 4解析：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4答案：D.11.已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为( )A. 5B. 29C. 37D. 49解析：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为(a，b)，半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B(6，1)，∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，答案：C12.在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )A.B.C.D.解析：设F1(-c，0)，F2(c，0)，再设动点M(x，y)，动点到定点F1，F2的“L-距离”之和等于m(m＞2c＞0)，由题意可得：|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m，即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x＜-c，y≥0时，方程化为2x-2y+m=0；当x＜-c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当-c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当-c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c-；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y-m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x-2y-m=0.结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求.答案：A.二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13.(4分)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为.解析：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，答案：0.1814.(4分)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于.解析：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=4+c2-2c，解得：c=1，则AB=c=1，答案：115.(4分)函数f(x)=的零点个数是.解析：当x≤0时，由f(x)=0得x2-2=0，解得x=或x=(舍去)，当x＞0时，由f(x)=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，作出函数y=lnx和y=6-2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f(x)的零点个数为2，答案：216.(4分)已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于.解析：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，答案：201.三.解答题：本大题共6小题，共74分.17.(12分)在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81.(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.解析：(Ⅰ)设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案.答案：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得.∴；(Ⅱ)∵，b n=log3a n，∴.则数列{b n}的首项为b1=0，由b n-b n-1=n-(n-1)=1，可知数列{b n}是以1为公差的等差数列.∴.18.(12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+)+1，从而求得f()的值.(Ⅱ)根据函数f(x)=sin(2x+)+1，求得它的最小正周期.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间.答案：(Ⅰ)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1，∴f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.(Ⅱ)∵函数f(x)=sin(2x+)+1，故它的最小正周期为=π.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z.19.(12分)如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.解析：(Ⅰ)证明CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面，V A-MBC=V C-ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A-MBC的体积.答案：(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；(Ⅱ)∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD.∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A-MBC=V C-ABM=S△ABM•CD=.20.(12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解析：(Ⅰ)利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；(Ⅱ)利用古典概型概率公式，即可得出结论.答案：(Ⅰ)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；(Ⅱ)从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.(12分)已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.解析：(Ⅰ)设S(x，y)曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；(Ⅱ)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变.答案：(Ⅰ)设S(x，y)曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S到F(0，1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=-1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y.(Ⅱ)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变，证明如下：由(Ⅰ)可知抛物线的方程为y=，设P(x0，y0)(x0≠0)则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即.由得，由得，又N(0，3)，所以圆心C()，半径r==∴点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变.22.(14分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，+∞)时，恒有x2＜ce x.解析：(1)利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g(x)=e x-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；(3)利用(2)的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x2＜ce x.即得结论成立.答案：(1)由f(x)=e x-ax得f′(x)=e x-a.又f′(0)=1-a=-1，∴a=2，∴f(x)=e x-2x，f′(x)=e x-2.由f′(x)=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；∴当x=ln2时，f(x)有极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4.f(x)无极大值. (2)令g(x)=e x-x2，则g′(x)=e x-2x，由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′(x)＞0，∴当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x；(3)对任意给定的正数c，总存在x0=＞0.当x∈(x0，+∞)时，由(2)得e x＞x2＞x，即x2＜ce x.∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，+∞)时，恒有x2＜ce x.。
2014年高考真题(文科数学)福建卷 纯Word版解析可编辑
2014·福建卷(文科数学)1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.2．[2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2 D．13．A[解析] 由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.4．[2014·福建卷] 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1-1A．1 B．2 C．3 D．44．B[解析] 当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05．C[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.6．[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝06．D[解析] 由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.7． [2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-28． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C [解析] 设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4 m 3，高为1 m ．得另一边长为4xm. 记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C. 10． [2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.11． [2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||)的点的轨迹可以是( )A BC D图1-412．A [解析] 设M (x ，y )是轨迹上任意一点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，||MF 1|＋|MF 2||＝2a ，其中a 为常数，且a >c >0，由“L －距离”定义，得|x ＋c |＋|y |＋|x －c |＋|y |＝2a ，即|y |＝12(2a －|x ＋c |－|x －c |)，当y ≥0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x <c ；－x ＋a ，x ≥c ，当y <0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，－a ＋c ，－c ≤x <c ，x －a ，x ≥c .则满足上述关系的图像只有选项A.13． [2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-513．0.18 [解析] 设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18， 所以可以估计阴影部分的面积为0.18.14． [2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． (这是边文，请据需要手工删加)14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.15． [2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 16． [2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 17． [2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.18． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19． [2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积 V A - MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：行政区 区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000 E20%10 000(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个． 所以所求概率为P (M )＝310.21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 22． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 22．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， 则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。
2014年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）36．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函对称）的图象关于点（﹣，cos （﹣）的图象向左平移）cos=cos ））的图象关于点（﹣，8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）B ．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器210．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）B点，则的对角线的交点，∴=211．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，22，解得，即12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”．B．．D．；﹣二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．，15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是2．x=（舍去）16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．，解得；（Ⅱ）∵18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．sin2x+）2x+2x+≤，=sin2x+1+cos2x=））+）sin+1=2x+=﹣≤+﹣，﹣]19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．S，SCD=20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．=6400共有=10入国家标准，共有=3都达到中等偏上收入国家标准的概率21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．，=的方程为：，即，，（r=22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．，则＞=＞。
福建省高三数学毕业班4月质检试题 文 新人教A版
2014年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，则A B ⋂等于A ．{}0,2B ．{}1,0,2-C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|12x x -≤≤ 2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为A ．4 XB ．5C ．8D ．103．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是 Ａ．圆柱 Ｂ．圆锥 Ｃ．三棱柱 Ｄ．四棱柱4．函数()f x =A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2⋃D ．[)(]0,11,2⋃ 5．“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n ()3,n n N ≥∈边形内的概率为n P ，下列论断正确的是A ．随着n 的增大，n P 减小B ．随着n 的增大，n P 增大C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，n P 先减小后增大7．已知0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示．为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象 A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，若(lg )0f x <，则x 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1,)+∞D ．(10,)+∞9．若直线ax by ab +=（0,0a b >>）过点()1,1，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A ． 1B ．2C ．4D ． 8 10．若ABC ∆满足2A π∠=，2AB =，则下列三个式子：①AB AC ，②BA BC ，③CA CB 中为定值的式子的个数为A ．0B ．1C ．2D ．311．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF = A ．2 B ． 3 C ．4 D ．512．已知()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=，下列命题中，真命题是A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数B ．若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数D ．若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．复数()1i i +=__________． 14．已知1sin 3α=，则cos 2α=__________． 15．已知y x ,满足4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．16．在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则ka (),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，则()1,2b =为Ω的一个向量周期；④若平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=（[]m 表示不大于m 的最大整数），则()1,1c =为Ω的一个向量周期．其中真命题是＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。
福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学文试题
福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测数学(文科)试卷 参考答案与评分标准第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. D2.D3. B 4．A 5. D 6. D 7. D 8. B 9. C. 10．C 11. C 12. A第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．16π14．9 15． 16.．②④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→- ······················································· 2分 由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π······················· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ···· 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ········································· 9分∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ···················································· 10分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （ 开区间也可以）···································································································· 12分18. （本小题满分12分）解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>Q ks5u 1111==n 13n 13n n a aa +∴+g Q ，又 ······················································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ····································· 4分n 1n 11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ····························································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++L ……① ················································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++L ……② ········································ 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++-L ·························· 9分1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ······································· 10分3114323n nn n S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nn S +--∴=⨯ ··························································· 12分19. （本小题满分12分）. 解：(Ⅰ)设“从该批电器中任选1件，其为”B ”型”为事件1A ， ············· 1分则15059()5010P A -== ································································· 3分 所以从该批电器中任选1件，求其为”B ”型的概率为910. ·················· 4分 (Ⅱ)设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A ”型”为事件2A ,记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中”A ”型为a ，b .从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种．······································································································ 8分 其中恰有1件为”A ”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种． ········ 10分 所以263()105P A ==. 所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A ”型的概率为35. ······································································································· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ·································· 2分 （I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ····························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<p ， ·················································· 6分 即3x 10.5<p . ··································································· 7分 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ······················································ 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ·········································· 12分 21. （本小题满分12分）解：（1）32f x =2x x ax +-Q （） '2f x =34x x a ∴+-（） ············ 2分对于x R ∈恒有2'()224f x x x ≥+-，即2240x x a ++-≥对于x R ∈恒成立····································································································· 4分44(4)0a ∴∆=--≤ 3a ⇒≤······················································· 5分 max 3a ∴= ··················································································· 6分（2）a=3F x =()f x k x --Q 当时（）有三个零点3224k x x x ∴=+-有三个不同的实根··············································· 7分 32()24g x x x x =+-令，则2'()=3x 4x 4g x +- ···························· 8分令'()0g x =解得1222,3x x =-= ,'(),()x g x g x 情况如下表：········ 由上表知，当2x =-时()g x 取得极大值(2)8g -=，当23x =时()g x 取得极小值240()327g =- 数形结合可知，实数k 的取值范围为40(,8)27-········································· 12分22. （本小题满分14分）解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ························ 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，······························································· 3分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，········································································· 5分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ··········································· 6分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ····································· 8分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ························································· 9分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-， ······················· 10分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，·· 1分 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得22199********km m k k =--g ，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································· 12分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，·································· 13分 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >，所以k的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝U U U∞，，，，∞． ·····14分ks5u。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}2．复数(3＋2i) 等于()A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2π B．π C．2 D．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()A．1 B．2 C．3 D．45.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥06．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝07．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2 个单位，得到函数y ＝f (x ) 的图象，则下列说法正确的是 ( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 8．若函数 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ( )9.要制作一个容积为 4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元11．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2 ＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( )A ．5B ．29C ．37D ．4912．在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) 间的“L －距离”定义为 ||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点 F 1，F 2的“L －距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|| )的点的轨迹可以是( )二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0 的零点个数是________．16. 已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设 b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前 n 项和S n . 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ) . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 19．(本小题满分12分)如图，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．20．(本小题满分12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8 000B30% 4 000C15% 6 000D10% 3 000E20%10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．(本小题满分12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1) 的距离比它到直线y＝－3 的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3 分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ax (a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1 .(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0 时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0 ，使得当 x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .答案1．解析：选A 因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A. 2．解析：选B 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B.3．解析：选A 所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S ＝2π×1×1＝2π，故选A.4．解析：选B 当n ＝1时，21>12成立，当n ＝2时，22>22不成立，所以输出n ＝2，故选B.5.解析：选C 把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C. 6解析：选D 依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.7．解析：选D 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D. 8．解析：选B 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，y ＝3－x 不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D ，故选B.9.解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x ＝160(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号)．所以该容器是最低总造价为160元．10．11．解析：选C 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.12．解析：选A 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c >0，则||F 1F 2||＝2c ，依题意，得||PF 1||＋||PF 2||＝2d (d 为常数且d >c )，所以|x ＋c |＋|y －0|＋|x －c |＋|y －0|＝2d ，即|x ＋c |＋|x －c |＋2|y |＝2d .①当－c ≤x ≤c 时，(x ＋c )＋c －x ＋2|y |＝2d ，即y ＝±(d －c )； ②当x <－c 时，－(x ＋c )＋c －x ＋2|y |＝2d ，即x ±y ＋d ＝0； ③当x >c 时，(x ＋c )＋x －c ＋2|y |＝2d ，即x ±y －d ＝0. 画出以上三种情形的图象，即可知选项A 正确.13．解析：依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S 阴影＝0.18.答案：0.1814．解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝22－(3)2＝1.答案：115．解析：当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，因为f ′(x )＝2＋1x >0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝ln 3>0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)有且只有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.答案：216.解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：20117．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.18．解：解法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4 ＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 解法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19．解：解法一：(1)∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.解法二：(1)同解法一．(2)由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BCD ，BD＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V A -BCD －V M -BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋6 000×0.15a ＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{A ，C }，{A ，E }，{C ，E }，共3个，所以所求概率为P (M )＝310.21．解：解法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)， 则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 解法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3， 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1， 化简得，由线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同解法一．22．解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值， 且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，即g ′(x )>0. 所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x . (3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需要x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln (4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)，易知k >ln k ，k >ln 2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x . ②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .。
2014年高考文科数学(福建)卷试题及其参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1. 若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P 等于（ ）A ．}43|{<≤x xB ．}43|{<<x xC ．}32|{<≤x xD ．}32|{≤≤x x2. 复数i i )23(+等于（ ）A ．i 32--B ．i 32+-C ．i 32-D ．i 32+3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A ．π2B ．πC ．2D ．1 4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 命题“0),,0[3≥++∞∈∀x x x ”的否定是（ ）A ．0),0,(3<+-∞∈∀x x xB ．0),0,(3≥+-∞∈∀x x xC ．0),,0[0300<++∞∈∃x x x D ．0),,0[0300≥++∞∈∃x x x6. 已知直线l 过圆4)3(22=-+y x 的圆心，且与直线01=++y x 垂直，则直线l 的方程是（ ）A ．02=-+y xB ．02=+-y xC ．03=-+y xD ．03=+-y x7. 将函数x y sin =的图像左移2π个单位，得到函数)(x f y =的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．)(x f y =是奇函数 B ．)(x f y =的周期是πC ．)(x f y =的图像关于直线2π=x 对称 D ．)(x f y =的图像关于直线)0,2(π-对称8. 若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）9.9.要制作一个容积为34m ，高为m 1的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→→→→+++OD OC OB OA 等于（ ）A ．→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM11. 已知圆1)()(:22=-+-b y a x C ，平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+Ω00307:y y x y x ，若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为（ ）A ．5B ．29C ．37D ．4912. 平面直角坐标系中，两点),(111y x P ，),(222y x P 间的“-L 距离”定义为||||||212121y y x x P P -+-=，则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“-L 距离”之和等于定值（大于||21F F ）的点的轨迹可以是（ ）第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014福建,文1)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于().A.{x|3≤x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}答案:A解析:结合数轴,得P∩Q={x|3≤x<4}.故选A.2.(2014福建,文2)复数(3+2i)i等于().A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i答案:B解析:(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.故选B.3.(2014福建,文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().A.2πB.πC.2D.1答案:A解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.4.(2014福建,文4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:第一次循环n=1,判断21>12成立,则n=1+1=2;第二次循环,判断22>22不成立,则输出n=2.故选B.5.(2014福建,文5)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是().A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0C.∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0D.∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0答案:C解析:全称命题的否定是特称命题,故该命题的否定是∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0.故选C.6.(2014福建,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是().A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案:D解析:直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选D.7.(2014福建,文7)将函数y=sin x的图象向左平移π个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是().A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称D.y=f(x)的图象关于点-π2,0对称答案:D解析:y=sin x的图象向左平移π个单位,得y=f(x)=sin x+π=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点 kπ+π2,0(k∈Z)对称,当k=-1时,点为-π2,0,故D正确.综上可知选D.8.(2014福建,文8)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是().答案:B解析:由题中图象可知log a3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.9.(2014福建,文9)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=4,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x+20x=20 x+4x+80,x∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2x·4x+80=160,当且仅当x=4,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选C.10.(2014福建,文10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于().A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案:D解析:因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+ OD=4OM.故选D.11.(2014福建,文11)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0.若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为().A.5B.29C.37D.49答案:C解析:由题意,画出可行域Ω,圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,所以b=1.所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a∈[-2,6].所以a2+b2=a2+1∈[1,37],所以a2+b2的最大值为37.故选C.12.(2014福建,文12)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是().答案:A解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a>0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于||F1F2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当x<-a,y≥0时,上式可化为y-x=b2;当-a≤x≤a,y≥0时,上式可化为y=b2-a;当x>a,y≥0时,上式可化为x+y=b2;当x<-a,y<0时,上式可化为x+y=-b;当-a≤x≤a,y<0时,上式可化为y=a-b2;当x>a,y<0时,上式可化为x-y=b;可画出其图象.(也可利用前三种情况,再关于x轴对称)故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2014福建,文13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 . 答案:0.18解析:由几何概型可知180=S 阴影正方形=S 阴影,所以S 阴影=0.18.故答案为0.18.14.(2014福建,文14)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则AB 等于 . 答案:1解析:由余弦定理可知:cos A=b 2+c 2-a 22bc=4+c 2-32×2c=12,所以c=1.故答案为1.15.(2014福建,文15)函数f (x )= x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是 .答案:2解析:当x ≤0时,令f (x )=x 2-2=0,得x=± ∴x=- .当x>0时,f (x )=2x-6+ln x ,f'(x )=2+1x>0.所以f (x )单调递增,当x →0时,f (x )<0;当x →+∞时,f (x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上有一个零点. 综上可知共有两个零点.故答案为2.16.(2014福建,文16)已知集合{a ,b ,c }={0,1,2},且下列三个关系:①a ≠2;②b=2;③c ≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于 . 答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a ≠2,b ≠2,c=0,此种情况不成立; (2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立; (3)当③成立时,则a=2,b ≠2,c ≠0,即a=2,b=0,c=1, 所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)(2014福建,文17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比q ,结合通项公式a n =a 1q n-1或a n =a m q n-m 得a n 的通项公式. (2)借助(1)的结论,先求得b n ,可得b n 为等差数列,利用等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2,求得S n .解:(1)设{a n }的公比为q ,依题意,得 a 1q =3,a 1q 4=81,解得 a 1=1,q =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =n (b 1+b n )2=n 2-n2. 18.(本小题满分12分)(2014福建,文18)已知函数f (x )=2cos x (sin x+cos x ).(1)求f 5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:对于(1),可把x=5π4代入f (x )的解析式,认真运算,便可求得结果,另外也可先化简再求值,化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好,注意化简的最终形式一般为f (x )=A sin(ωx+φ).对于(2),根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性,准确求出周期与单调区间. 解法一:(1)f 5π =2cos5π sin 5π+cos 5π=-2cos π4-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x+2cos 2x =sin 2x+cos 2x+1 = 2sin 2x +π+1,所以T=2π=π. 由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为 kπ-3π,k π+π,k ∈Z . 解法二:f (x )=2sin x cos x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+1= 2sin 2x +π+1.(1)f 5π=2sin 11π+1= 2sin 3π+1=2.(2)T=2π2=π.由2k π-π≤2x+π≤2k π+π,k ∈Z ,得k π-3π≤x ≤k π+π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为 kπ-3π,k π+π,k ∈Z . 19.(本小题满分12分)(2014福建,文19)如图,三棱锥A-BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD. (1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB=BD=CD=1,M 为AD 中点,求三棱锥A-MBC 的体积.分析:(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种,结合本题条件,可证明CD 垂直于平面ABD 内的两条相交直线即可证得CD 垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积V=13Sh ,但要注意转换顶点和底面,对于本题,可将S △ABM 求出,高即为CD=h ,代入公式可求得,也可借助图中关系,利用V A-MBC =V A-BCD -V M-BCD 求得. 解法一:(1)∵AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ,AB ∩BD=B ,AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,∴CD ⊥平面ABD. (2)由AB ⊥平面BCD ,得AB ⊥BD , ∵AB=BD=1,∴S △ABD =1.∵M 是AD 的中点,∴S △ABM =12S △ABD =14. 由(1)知,CD ⊥平面ABD , ∴三棱锥C-ABM 的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC 的体积 V A-MBC =V C-ABM =13S △ABM ·h=112. 解法二:(1)同解法一.(2)由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD , 又平面ABD ∩平面BCD=BD ,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N, 则MN⊥平面BCD,且MN=1AB=1.又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=12.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=13AB·S△BCD-13MN·S△BCD=112.20.(本小题满分12分)(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP 不低于12616GDP如下表:(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.分析:(1)该城市人均GDP即为求平均值,利用公式代入认真运算,可得人均GDP,判断其所在范围,可知是否达到中等偏上收入国家标准.(2)从5个行政区中随机抽取2个,列出所有基本事件,再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件.利用古典概型概率公式可求得其概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20aa=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=310.21.(本小题满分12分)(2014福建,文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.分析:(1)根据题意,可知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义可得曲线Γ的方程;或利用求方程的一般做法,设点坐标,建立几何关系,转化为代数关系,整理便可得到其方程.对于(2),先求导,得斜率,利用点斜式可得直线l的方程,与y=0联立,得A点坐标,与y=3联立,得M点坐标,直线y=3与y轴的交点N易知,进而得出圆心和半径,结合勾股定理可得|AB|为定值,问题得证.解法一:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=1x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=14x02,由y'=12x,得切线l的斜率k=y'|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=1x0(x-x0),即y=1x0x-1x02.由y=1x0x-1x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M1x0+6,3.又N(0,3),所以圆心C1x0+3,3,半径r=1|MN|=1x0+3,|AB|=|AC|2-r2=1x0-1x0+302+32-1x0+32=.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.解法二:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)同解法一.22.(本小题满分14分)(2014福建,文22)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.分析:(1)由题意可知点A的横坐标为0,先求出f(x)的导函数f'(x),则曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g(x)=e x-x2,只需g(x)>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g(x)的单调性,从而得证.(3)中存在性问题处理,可结合(2)的结论,合理利用e x>x2,只是将e x>x2的x2中一个x赋值即可,所以可令x0=1,当x>x0时,e x>x2>1x,利用不等式的传递性来解决问题.或根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.可构造函数,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证.解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得,g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,即g'(x)>0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)对任意给定的正数c,取x0=1c,由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>x0时,e x>x2>1cx,即x<c e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)令k=1(k>0),要使不等式x<c e x成立,只要e x>kx成立.而要使e x>kx成立,则只需要x>ln(kx),即x>ln x+ln k成立.①若0<k≤1,则ln k≤0,易知当x>0时,x>ln x≥ln x+ln k成立.即对任意c∈[1,+∞),取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.②若k>1,令h(x)=x-ln x-ln k,则h'(x)=1-1x =x-1x,所以当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)内单调递增.取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln2),易知k>ln k,k>ln2,所以h(x0)>0.因此对任意c∈(0,1),取x0=4,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)①若c≥1,取x0=0,由(2)的证明过程知,e x>2x,所以当x∈(x0,+∞)时,有c e x≥e x>2x>x,即x<c e x.②若0<c<1,令h(x)=c e x-x,则h'(x)=c e x-1.令h'(x)=0,得x=ln1.当x>ln1c时,h'(x)>0,h(x)单调递增.取x0=2ln2c ,h(x0)=c e2ln2c-2ln2c=22c-ln2c,易知2-ln2>0,又h(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以当x∈(x0,+∞)时,恒有h(x)>h(x0)>0,即x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.。