高一数学《图像变换》PPT课件
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《图像变换》ppt课件
6.1 主成分变换
实例
➢ 将Landsat TM的6个波段及SAR的全色波段组成一个向量集：
X T1 ,T M 2 ,T M 3 ,T M 4 ,T M 5 ,T M 7 ,S M T AR
➢ 上述7个波段图像经过K-L变换后，得到的特征向量矩阵为：
299.9617 46.8219 15.1973 62.8113 45.672548.4156 73.3472 46.8219 16.2920 49.218 19.4162 14.852813.6120 21.4375
植被指数fy1c卫星图像得到全球10天ndvi合成图像3664彩色变换641his彩色变换642彩色变换的应用3764彩色变换641his彩色变换遥感图像处理系统中还经常会采用his模型色调hue强度tensity饱和度saturation称为色彩的三要素h色调i强度s饱和度模型不是基于色光混合来再现颜色的它表示的彩色与人眼看到的更为接近
➢ 例如：安康的植被在0.65 μm附近有一个明显的吸收谷，反射率很低；在 0.7-0.8μm处是一个陡坡，反射率急剧上升，并在0.8-1.3μm之间构成一个 高的、反射率可达40%或更大的反射峰，这种反射光谱曲线是含有叶绿素 植物的共同特点(叶绿素反射特征)。红外波段植被与淡色土壤、红波段的 植被与深色土壤及水体反射率接近，无法分开。当用红外波段减红波段时， 由于植被在这两个波段的反射率差别很大，相减后植被具有很高的差值； 而土壤和水体在这两个波段的反射率差别很小，差值很小，因此在差值图 像中植被信息得到突出，很容易确定其分布区域。
y3—黄度分量〔黄度指数，Yellow Stuff〕，植被的枯 萎程度；
y4—噪声，无实践意义。
K6-T.2变缨换帽TM变的换转换系数
教A版高中数学必修一1.2.2 函数的图像变换(共37张PPT)
函数 y loga x与y log 1 x loga x 的图象关于x轴对称
a
y
点（X,-Y)与(X，Y)
关于X轴对称 y log2 x
谁不变关
于谁对称
O
y log3 x
y log1 x x
3
一般地，y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
y log1 x
2
x轴 对称；
例3.①画函数 g(x) x2 2 | x |的图象，并说明
解：f (x) x 3 (x 2) 1 1 1 1 1
x2 x2
x2 x2
f (x) x 3 的图象是由函数g(x) 即1： 的f图(象 x) g(x 2) 1
x2
x
向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到。
其对称中心为（- 2,1）
观察下面指数函数的图象
得到：y a x与y ( 1 ) x a x (a 0且a 1)的 a
y=f(x)沿x轴 y=f(x+a)
当a>0时，向左平移a个单位 当a<0时，向右平移|a|个单位
规律：左加右减
例2：画出下列函数的图 象, 并说明它们的关系:
(1) f(x)=x2 (2) g(x)=x2+2 (3) h(x)=x2－2
8
7
g(x) x2 2
6
又 g(x) f (x) 2
翻折到y轴左侧，便得到g(x) x2 2 | x | f (| x |)的图象，
（2）画函数h(x) | x2 2x |的图象，并说由函数
f (x) x2 2x的图象怎样变换而得到？
解析：h(
x)
x2
x
2
2x (x 2x (0
函数图像变换ppt课件
横坐标取相反数 纵坐标不变
y=f(x)与y=f(-x)图象关
横坐标、纵坐标 同时取相反数
y=f(x)与y=-f(-x)图象
对 称 变 换Biblioteka 于y轴对称关于原点对称
问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的 图象的关系，并画出它们的示意图. (4)y=log2x (3)y=-2-x (1)y=2-x (2)y=-2x
2 x (x1 )1 1 1 y x 1 x 1 x1
1 y x x换成x-1
1 y x 1
向右平移1个单位
y
O
1 -1
（1，-1）
x
向下平移1个单位
1 y 1 x 1
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y y y y
1
O
1 1 x
O
1 x -1
O
-1
x
O1
x
（x,y)和(-x,y) 关于y轴对称！ （x,y)和(y,x) y 轴y=x 与和 y=f(-x) 的图象关于 对称； 关于直线 对 （ x,y)和(-x,-y) 对 （1）y=f(x) （x,y) (x,-y) 称！ 关于原点对称！ x 轴 对称； 与 y=-f(x) 的图象关于 关于x 轴对称！ 称 （2）y=f(x) 变 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称；
y=f(x-1) 1 -1 O 1
x
y=f(x)-1 -1
a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a)左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位
图像变换PPT课件
18
（3）量化噪声 : 为数字图像的主要噪声，产生原因是对连 续图像的量化所造成，可通过增加量化比特数，以及采用 最优量化方法来改善。 （4）“盐和胡椒“噪声：典型的如在变换域中的误差在反 变换后造成的变换噪声。
19
图像平均分为空间域和频率域平均两种方法。 1）空间域平均：对空间的每一个象素取一个邻域S，做 如下计算：（其中S可取四邻域或八邻域）
定义：
H G F
G为输入信号的频谱，F为输出信号的频谱。
从图中可以看出，滤波前 后，频谱基本不变，这点 对滤波器的设计和使用很 有意义。
30
中值滤波：一种典型的顺序统计滤波方法。还有其他几种 类似方法。
特点：基于滤波器窗口中的像素点的排序。
1）最小和最大值滤波器：
^
f
x, y
max gs,t
s,t sxy
gi x, ygr x, y
16
目的： 减少图像中的噪声。
方法： 空域方法：邻域平均等 频域方法：利用噪声主要分布在高频段的特点
进行滤波。
17
图像处理中的常见噪声： （1）加性噪声
这种噪声与图像信号的强度不相关。如传输噪声。 g=f+n
f 为理想图像，n为噪声。 （2）乘性噪声
这种噪声与图像信号的强度相关。如胶片颗粒噪声。 g=f+fn
32
作业： 5.1,5.3,5.5
选做题：就本次课的内容，自已拟定一个题目。
提出问题的能力是一个科研工作者的基本能力！它有时比解决一个问题更重要！ 33
所有灰度级出现的相对频率，称P(Z)的图像为图像f的直方 图。P(Z) 经常用做图像中的灰度级概率密度的估计值。
图像与直方图之间不是一一对应的关系，同一个直方 图可与多个图像相对应。
（3）量化噪声 : 为数字图像的主要噪声，产生原因是对连 续图像的量化所造成，可通过增加量化比特数，以及采用 最优量化方法来改善。 （4）“盐和胡椒“噪声：典型的如在变换域中的误差在反 变换后造成的变换噪声。
19
图像平均分为空间域和频率域平均两种方法。 1）空间域平均：对空间的每一个象素取一个邻域S，做 如下计算：（其中S可取四邻域或八邻域）
定义：
H G F
G为输入信号的频谱，F为输出信号的频谱。
从图中可以看出，滤波前 后，频谱基本不变，这点 对滤波器的设计和使用很 有意义。
30
中值滤波：一种典型的顺序统计滤波方法。还有其他几种 类似方法。
特点：基于滤波器窗口中的像素点的排序。
1）最小和最大值滤波器：
^
f
x, y
max gs,t
s,t sxy
gi x, ygr x, y
16
目的： 减少图像中的噪声。
方法： 空域方法：邻域平均等 频域方法：利用噪声主要分布在高频段的特点
进行滤波。
17
图像处理中的常见噪声： （1）加性噪声
这种噪声与图像信号的强度不相关。如传输噪声。 g=f+n
f 为理想图像，n为噪声。 （2）乘性噪声
这种噪声与图像信号的强度相关。如胶片颗粒噪声。 g=f+fn
32
作业： 5.1,5.3,5.5
选做题：就本次课的内容，自已拟定一个题目。
提出问题的能力是一个科研工作者的基本能力！它有时比解决一个问题更重要！ 33
所有灰度级出现的相对频率，称P(Z)的图像为图像f的直方 图。P(Z) 经常用做图像中的灰度级概率密度的估计值。
图像与直方图之间不是一一对应的关系，同一个直方 图可与多个图像相对应。
函数图像的变换优秀课件
函数图像的变换优秀课件
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿 x轴
y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位 当a<0时，向右平移
|a|个规单律位：左加右减
平移变换—竖直平移 y=x2 +1
1 1 , 1 0,1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
y (1) x 2
-2
-3
y
4
y log2x
3
y log2x1
-4 -3 -2 -1
2
1,1
1
4,2 4,1
1,0
x 0 1 2 1 , 1 3 4
-1 2 1,1
ylog2x1
-2 1 , 2 2
（x,y)换成（x,-y)
1、 y f (x) 关于y轴对称 yf(x) 3、y f (x) 关于原点对称 yf(x)
（x,y)换成（-x,y)
（x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y x2 与 y x2 的图像关于______x__轴_____对称；
2、 f (x)2x1 与g(x)21x的图像关于_____y__轴______对称；
y f(x)=x2
1
O -1
y=x2 -1 x
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x)沿 y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单 位
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿 x轴
y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位 当a<0时，向右平移
|a|个规单律位：左加右减
平移变换—竖直平移 y=x2 +1
1 1 , 1 0,1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
y (1) x 2
-2
-3
y
4
y log2x
3
y log2x1
-4 -3 -2 -1
2
1,1
1
4,2 4,1
1,0
x 0 1 2 1 , 1 3 4
-1 2 1,1
ylog2x1
-2 1 , 2 2
（x,y)换成（x,-y)
1、 y f (x) 关于y轴对称 yf(x) 3、y f (x) 关于原点对称 yf(x)
（x,y)换成（-x,y)
（x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y x2 与 y x2 的图像关于______x__轴_____对称；
2、 f (x)2x1 与g(x)21x的图像关于_____y__轴______对称；
y f(x)=x2
1
O -1
y=x2 -1 x
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x)沿 y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单 位
第三章图像的几何变换ppt课件
a b
T
c d
需要使用2×3阶变换矩阵，取其形式为
1 0 x
T
0 1 y
此矩阵的第一、二列构成单位矩阵，第三列元素为平移常量。
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6
所以需要在点的坐标列矩阵［x y］T中引入第三个元素，增
加一个附加坐标，扩展为3×1的列矩阵［x y 1］T，这样用三维
空间点（x, y, 1）表示二维空间点（x, y），即采用一种特殊的坐
I(x, y)=F(int(c1×x), int(c2×y))
其中
1
1
c1 k1 ,c2 k2
由此公式可以构造出新图像。
图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。
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22
其次讨论图像的比例放大：
在图像的放大操作中，则需要对尺寸放大后所多出来 的空格填入适当的像素值，这是信息的估计问题，所以较 图像的缩小要难一些。
a1 b1
H＝ 1 c1
O
a
y
c b
x
图3-2 齐次坐标的几何意义
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10
3.1.3 二维图像几何变换的矩阵
利用齐次坐标改成3×3阶形式的变换矩阵，实现2D图像几何
变换的基本变换的一般过程是：
x0i 1、 将2×n阶的二维点集矩阵 表示成齐次坐标
y 0 i 2 n
2、然后乘以相应的变换矩阵即可完成。即
x
1
0
x
x0
y 0
1
y
y0
1
0
0
1
1
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（3-2）
36
对变换矩阵求逆，可以得到式（3-2）的逆变换
高一数学《图像平移与翻折变换》精品PPT课件
在《通往财富自由之路》中，笑来先生有一段对财富的精彩描述：人类真正认识市场的好处不过两三百年，而真正研究经济的运作规律迄今也不过300年，而人类对投资理财的探索，只不过200多年才开始的，对于概率和复利这样认知和应用也不到100年左右。根本称不上经验丰富。
谢谢欣赏 很多人还在使用老祖先遗留下来的模型，什么都要及时获取。那些通过赌博想要一夜暴富的人，那些把买彩票当成改变自己命运的人，那些刚起步就想一蹶而就的人，那些一直寻找武功秘籍、一旦习得、功力大涨、想要天下无敌的人。 人们太想一瞬间以弱变强，以一个成功者的形象出现在人们面前，灼灼生辉，光芒四射，受万人敬仰。
小结 (对称变换） ： 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对 称
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x2 2 x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
y y=f(x)
O
12
x
Y
y f (x)
O
X
Y
谢谢欣赏 很多人还在使用老祖先遗留下来的模型，什么都要及时获取。那些通过赌博想要一夜暴富的人，那些把买彩票当成改变自己命运的人，那些刚起步就想一蹶而就的人，那些一直寻找武功秘籍、一旦习得、功力大涨、想要天下无敌的人。 人们太想一瞬间以弱变强，以一个成功者的形象出现在人们面前，灼灼生辉，光芒四射，受万人敬仰。
小结 (对称变换） ： 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对 称
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x2 2 x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
y y=f(x)
O
12
x
Y
y f (x)
O
X
Y
高一数学新人教A版必修1课件《函数图象变换》
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿x轴 y=f(x+a)
当a>0时，向左平移a个单位 当a<0时，向右平移|a|个单位
规律：左加右减
基础练习二
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) y=x2 (2) y=x2+1 (3) y=x2－1
(1) y=3x+4 (2) y=－3x+4
y=3x+4
y=－3x+4
y=3x+4
对f(-x)=x2+2x+1
称
y
变
换
O
x
f(x)=x2-2x+1
对称变换 小结 一、关于Y轴对称
1、y f (x) 关于y轴对称 y f (x)
x代x
y不变
对
f(x)=x2-2x
对称变换
练习4：
1、求与y=x3-1的图象关于y 轴对称的图象的解析式。Y=(-x)3-1
2、求与y=x3-1的反函数图象 关于原点对称的图象的解析式。
Y= - 3√1-x
课后小测
1、已知y=x3向左平移一个单位再 向上平移两个单位，求其反函数。
y=(x+1)3+2
2、奇函数y=f(x)图象沿x轴正方向 平移一个单位后所得图象为C1,又 图象C2与C1关于原点对称，求C2 对应函数解析式。 y=f(x+1)
课堂练习
1、画出函数
y=(x+3)2－2的图象.
y=x2
y=(x+3)2
y=x2
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2 2 2
小结 (翻折变换） ：
1.将函数y=f(x)图象保留x轴上方的部分并且把x轴下方 的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图象
2.将函数y=f(x)图象去掉y轴左方的部分，保留y轴右方 的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图 象
求方程 x 4 x 3 m 的根的个数。
函数的图象
函数图象是研究 函数的重要工具,它为 研究函数的数量关系 及其图象特征提供一 种”形”的直观体现, 是利用”数形结合” 解题的重要基础.
数少形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 数形分离万事休
华罗庚
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法:(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②变换作图法:(即一个图象经过变换得到另一个 与之相关的函数图象的方法) 函数图象的四大变换方法
横坐标取相反数 纵坐标不变 图象关于y轴对称
横坐标、纵坐标 同时取相反数 图象关于原点对称
对 称 变 换
小结：对称变换
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称.
2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称. 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称.
沿y轴向上平移3个单位得到函数 y 3
1 的图象先沿x轴向左平移2个单位，再 x 1
的图象。
练习1
1 1 (1) y 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y f ( x)恒过点(1,1), 则y f ( x - 4)过
y
1 2x 1
点(5,1) 。 (3)f ( x)图像关于x 1对称，则f ( x - 4)
x 关于 5 对称。
例2. 设f(x)=
1 x
(x>0)，分别作出函数y=-f(x)、y=f(-x)、
y=-f(-x) 的图象，并指出与函数f(x)图象的关系 。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称
2
小
结
1.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要先找出该 函数的基本初等函数，再分析其通过怎样的变换(平移、 对称等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即 找不到该函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定 义域、讨论函数的性质（如单调性、奇偶性、特殊点、 特征线等),再用描点法或图象变换法得出图象。
移一个单位得y=(x-1)2+1的图象。 （2）将y=x2的图象沿x轴向左平移一个单位，再沿y轴方向向下平 移两个单位得y=(x+1)2-2的图象。
例1：观察下列函数，画出下列函数的图 像：
1 (1) y f ( x) ; 2x 1 (2) y f ( x) 2x 2 1 (3) y f ( x) 2x 2
作业： 1、 画出下列函数的图像 2 x 1 1 （1） y （2） y x 2 3 x 1 2、 分别画出下列函数的图像，并指出它们 的单调区间 （1） y 2 x 3 （2） y 2 x 3 （3） y x x 2
2
（4） y x x 2
2
总结：k>0,向负方向平移；k<0，向正方向 平移。
3x 7 例1. 画出函数 y 的图象。 x2
解：
3x 6 1 3x 7 y x2 x2
1 3 x2
好象学过 怎么办呢？ 1 … y 的图象！
x
y
1 y x
平移变换
o
x
1 y 3 x2
x2
因此：我们可将函数 y
4.函数y=f(x)与它的反函数的图象关于直线y=x对称.
5.若函数y=f(x)在定义域内满足f(a+x) =f(b-x)，则函数y=f(x)的图 象关于直线x=(a+b)/2对称. 第5点的证明： 在函数y=f(x)上任取一点M(m,n),则M关于直线x=(a+b)/2的对 称点是N(a+b-m,n)，且f(m) =n, 因为f(a+b-m)=f[a+(b-m)]= f[b-(b-m)]=f(m)=n 所以点N在y=f(x)的图象上，所以函数y=f(x)的图象关于直线 x=(a+b)/2对称
函数图象的变换
小结（平移变换）：
1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位 （k>0时向左，k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
注意：左右平移是相对于自变量 x 而言
2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位 （k>0时向下，k<0向上）得y +k =f(x) 的图象。
例3. 设f(x)=
x 2 x , 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)的解
2
析式及其定义域，并分别作出它们的图象。 y y=f(x)
O
1
2
x
Y
y | f ( x) |
y f ( x)
O
X
Y
y (x) y ff ( x )
O
X
练习2、画出下列函数的图象
1 y x ，y 2 x 2 y 1 x，y 1 x 3 y x 4 x 3，y x 4 x 3，y x 4 x 3
平移
伸缩
对称
翻折
2 复习：函数 y ( x 1) 2 1和 y ( x 1) 2 2 的图象分别是由 y x 的图
象经过如何变化得到的？y源自y=x2y=(x-1)2+1
平 移 变 换
y=(x+1)2-2
o
1
x
解：（1）将y=x2的图象沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴方向向上平
小结 (翻折变换） ：
1.将函数y=f(x)图象保留x轴上方的部分并且把x轴下方 的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图象
2.将函数y=f(x)图象去掉y轴左方的部分，保留y轴右方 的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图 象
求方程 x 4 x 3 m 的根的个数。
函数的图象
函数图象是研究 函数的重要工具,它为 研究函数的数量关系 及其图象特征提供一 种”形”的直观体现, 是利用”数形结合” 解题的重要基础.
数少形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 数形分离万事休
华罗庚
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法:(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②变换作图法:(即一个图象经过变换得到另一个 与之相关的函数图象的方法) 函数图象的四大变换方法
横坐标取相反数 纵坐标不变 图象关于y轴对称
横坐标、纵坐标 同时取相反数 图象关于原点对称
对 称 变 换
小结：对称变换
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称.
2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称. 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称.
沿y轴向上平移3个单位得到函数 y 3
1 的图象先沿x轴向左平移2个单位，再 x 1
的图象。
练习1
1 1 (1) y 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y f ( x)恒过点(1,1), 则y f ( x - 4)过
y
1 2x 1
点(5,1) 。 (3)f ( x)图像关于x 1对称，则f ( x - 4)
x 关于 5 对称。
例2. 设f(x)=
1 x
(x>0)，分别作出函数y=-f(x)、y=f(-x)、
y=-f(-x) 的图象，并指出与函数f(x)图象的关系 。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称
2
小
结
1.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要先找出该 函数的基本初等函数，再分析其通过怎样的变换(平移、 对称等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即 找不到该函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定 义域、讨论函数的性质（如单调性、奇偶性、特殊点、 特征线等),再用描点法或图象变换法得出图象。
移一个单位得y=(x-1)2+1的图象。 （2）将y=x2的图象沿x轴向左平移一个单位，再沿y轴方向向下平 移两个单位得y=(x+1)2-2的图象。
例1：观察下列函数，画出下列函数的图 像：
1 (1) y f ( x) ; 2x 1 (2) y f ( x) 2x 2 1 (3) y f ( x) 2x 2
作业： 1、 画出下列函数的图像 2 x 1 1 （1） y （2） y x 2 3 x 1 2、 分别画出下列函数的图像，并指出它们 的单调区间 （1） y 2 x 3 （2） y 2 x 3 （3） y x x 2
2
（4） y x x 2
2
总结：k>0,向负方向平移；k<0，向正方向 平移。
3x 7 例1. 画出函数 y 的图象。 x2
解：
3x 6 1 3x 7 y x2 x2
1 3 x2
好象学过 怎么办呢？ 1 … y 的图象！
x
y
1 y x
平移变换
o
x
1 y 3 x2
x2
因此：我们可将函数 y
4.函数y=f(x)与它的反函数的图象关于直线y=x对称.
5.若函数y=f(x)在定义域内满足f(a+x) =f(b-x)，则函数y=f(x)的图 象关于直线x=(a+b)/2对称. 第5点的证明： 在函数y=f(x)上任取一点M(m,n),则M关于直线x=(a+b)/2的对 称点是N(a+b-m,n)，且f(m) =n, 因为f(a+b-m)=f[a+(b-m)]= f[b-(b-m)]=f(m)=n 所以点N在y=f(x)的图象上，所以函数y=f(x)的图象关于直线 x=(a+b)/2对称
函数图象的变换
小结（平移变换）：
1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位 （k>0时向左，k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
注意：左右平移是相对于自变量 x 而言
2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位 （k>0时向下，k<0向上）得y +k =f(x) 的图象。
例3. 设f(x)=
x 2 x , 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)的解
2
析式及其定义域，并分别作出它们的图象。 y y=f(x)
O
1
2
x
Y
y | f ( x) |
y f ( x)
O
X
Y
y (x) y ff ( x )
O
X
练习2、画出下列函数的图象
1 y x ，y 2 x 2 y 1 x，y 1 x 3 y x 4 x 3，y x 4 x 3，y x 4 x 3
平移
伸缩
对称
翻折
2 复习：函数 y ( x 1) 2 1和 y ( x 1) 2 2 的图象分别是由 y x 的图
象经过如何变化得到的？y源自y=x2y=(x-1)2+1
平 移 变 换
y=(x+1)2-2
o
1
x
解：（1）将y=x2的图象沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴方向向上平