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2017-2018年广东省普通高中高三上学期学业水平考试数学试卷与解析PDF(1月份)

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广东省揭阳市2018届高三上学期学业水平(期末)考试数学(理)试题

广东省揭阳市2018届高三上学期学业水平(期末)考试数学(理)试题

否 输出lg S 是k =k +1 开始结束 输入k =1,S =1 S =S ×k图2绝密★启用前揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试（期末）数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2xx x B ≥=，则=B A I （A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}4,2{ （D ）}4,3,2{（2）已知复数(12)()z i a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则||z =（A ）5（B ）52（C ）32（D ）50（3）已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q 若22lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（A ）p q ∨ （B ）p q ∨⌝ （C ） p q ⌝∨ （D ）p q ⌝∨⌝（4）已知sin 24a π=r ，cos 24b π=r ，且a r 、b r 的夹角为12π，则=a b ⋅r r（A ）116 （B ）18 （C ）38 （D ）14（5）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤-1040x y x y x ，则y x z --=的最小值为（A ）6- （B ）4- （C ）2-（D ）0（6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是（A ）222()()f x x x π=- （B ）()cos f x x x π=+（C ）()sin f x x x = （D ）2()cos 1f x x x =+- 图1（7）图2程序框图是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯Λ的常用对数值，那么在空白判断框中，应该填入（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k （8）某几何体三视图如右图3示，则此几何体的体积为（A ）π48640+（B ）π176（C ）π16640+ （D ）704（9）已知10<<<b a ，则（A ）1ln ln <b a （B ）bba a ln ln > 121o yxπ-π正视图3• 侧视图俯视图88 图3 10（C ）b b a a ln ln < （D ）ba b a >（10）已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点， 且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |= （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC的面积为4153，2=a ，3=b ，则=Aasin（A ） 364 （B ）151516（C ）3154 （D ）364或151516（12）已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为112233(,),(,),(,),,(,),n n x y x y x y x y L 则1nii x==∑（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）7)1(+ax 的展开式中3x 的系数为280-，则实数a 的值为________.（14）记函数2()2f x x x =+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是 .（15）设函数()cos()3f x x π=-，则以下结论:①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43x π=对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(,)2ππ单调递减其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）（16）已知双曲线1222=-by x 的离心率为25，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q在圆1)1(22=-+y x 上运动时， ||||1PF PQ +的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）DCBAPED C BA 已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -=. （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若2132n n nb S -=+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4（1）所示，平面多边形ABCDE 中， AE=ED ，AB=BD ，且5AB =，2AD =，2AE =，1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 4（2）将ADE ∆折起，得到四棱锥P ABCD -，如图4（2）示． 图4（1）（Ⅰ）求证：PB AD ⊥； （Ⅱ）图4（2）中，若5PB =，求PD 与平面PAB 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维 长度（单位：mm ）， 得到如图5的茎叶图，整数位为茎， 图5小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的 大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由） （Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标 准如下表：等 级 七 六 五 四 三 二 一 长度(mm) 小于26.0 [26.0,27.0) [27.0,28.0) [28.0,29.0) [29.0,30.0) [30.0,31.0) 不小于31.0试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望.（20）（本小题满分12分）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段AP 上，且2AP AQ =，当点P 在圆上运动时.（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为21sin 2cos 2ρθθ=-+，（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求MON ∠的值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||||)(a x a x x f --+=，（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1(af 与|)(|x f 的大小．揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说ODCAP 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DA CB AC A C B C DC解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故1nii x==∑2n .二、填空题题序 13 14 1516 答案2-13①②④25 解析（16）依题意可知1=a ，21=b ，设)1,0(B ，由12||||2PF PF -=得 12||||=||||+2PQ PF PQ PF ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B e 上点的最小值，即2min 231||||1122F Q F B =-=-=,故1min 15(||||)222PQ PF +=+=．三、解答题（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差6313a a d -==，---------------------------2分由258,a a +=得1258a d +=，解得132a = ------------------------------------------------4分∴1(1)(2)22n n n n n S na d -+=+=；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2n S n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分 ∴n n b b b b T ++++=Λ3211111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++L L -------------------8分11111111321(1)()233412221n n n n n -=++++-++++++⨯++-L L -------10分3113(21)2122n n n =--+⨯-++ 1113212n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分（18）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分zyx ODCB AP∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分 又OB OP O =I ，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225OP OB PB +==，∴PO OB ⊥,-------------------------------------7分∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示， 则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,(0,11),(011)DP AP =-=u u u r u u u r ，，，，(2,0,1)BP =-u u u r , 设(,,)m a b c =u r 为平面PAB 的一个法向量，则由00200AP m b c a c BP m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩u u u r u r u u u r u r令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-u r，---------------------------10分 设PD 与平面PAB 所成角为θ，则|,cos |sin ><=m DP ρθ||||||m DP m DP ρρ⋅⋅=322324=⨯=，-------------------11分 故22sin 3θ=，即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为223.--------------------12分 【解法2：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225OP OB PB +==，∴PO OB ⊥,-------------------7分又OP ⊥OD ，OB OD O =I ,∴OP ⊥平面ABD ，----------------------------------------------------------8分设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D PAB P ABD V V --=得PAB ABD S h S PO ∆∆⋅=⋅,∵12,2ABD S AD OB ∆=⋅=1135222APB S AP ∆=⋅-=,∴214332h ⨯==，-----------------------------------------------------10分设PD 与平面PAB 所成角为θ，则422sin 332h PD θ===⋅, 即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为223.----------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：51255=，--------------3分； 30.1225=，---------------------------------------------------4分 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和325（或0.12）.-----5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为15， 不是二级的概率为14155-=， 依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又44256(0)()5625P ξ===（或0.4096），13414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096）， 22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256）， 411(4)=5625P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分 故ξ的分布列为：14455E ξ=⨯=（或0.8）.-------------------------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分由2AP AQ =得则00,2x x y y ==，--------------------------------------------------------------------------2分∵点P 在圆224x y +=上，即22004x y +=，∴22(2)4x y +=，即12422=+y x ， ∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+y x （2±≠x ）.--------------------------------------5分 （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，ξ0 1 2 3 4()P ξ256625（或0.4096）256625（或0.4096）96625（或0.1536）16625（或0.0256）1625（或0.0016）则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分把m kx y +=代入12422=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162222-+-=∆m k m k )48(822m k -+=，由0>∆，得22)12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分由11222221=+-=+k kmx x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以222222)12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142>k ，所以k 的取值范围是),1414()1414,(∞+--∞Y ．--------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+，e x ax x a xf -++=1ln )('e a xx a -++=1ln ，----------------------------------1分 设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ，即e e a x x a -=-++001ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分 又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ， 得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ，联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设e a xx a x f x g -++==1ln )(')(， 由01)('2>-=xax x g 得a x 1>， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1,0(a 上单调递减，得e a a a af x f -+-==2ln )1(')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0）， 由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ， ∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分②当e a <<0时，0)1(')('min <=a f x f ，e1 a 1 X 1 x y )('x f )(x f又0)('>+=-ae ae e a ef ，∴存在11x a >，使1'()0f x =，----------------------9分 又0)1('=-++-=e a e a e f ，而ae 11<，∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞U 时，0)('>x f ，当11(,)x x e∈时，0)('<x f ，∴函数)(x f 在)1,0(e 和1(,)x +∞上单调递增，在11(,)x e上单调递减，-----10分又03)1(<--=ea e f ，01)(>-=a e e f ae，---------------------------------------11分∴函数)(x f 仅有一个零点，综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为圆心，2为半径的圆的上半圆，----2分其极坐标方程为[]()20,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[]()20,ρθπ=∈，21sin 2cos 2ρθθ=-+,得sin 2cos20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24πθ=或524πθ=，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分所以2||πθθ=-=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分 ③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分当1||<a 时，012>-a ，||2||2||1||1)1(222a a a a a a a a f ==--+=，-------------------7分 |2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ．------------------------------------------------------------------------------10分。

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分 两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

(完整版)2018年的1月广东省普通高中的学业水平考试数学试卷真的题目及答案详解解析汇报

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2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。

广东省2017-2018学年高三10月百校联考理数试题 Word版含答案

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2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{|(1)(5)0}M x x x =--<，集合{|N x y =，则M N 等于（ ）A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[4,5)D ．(4,5) 2.设复数z 为纯虚数，a R ∈，且1013x a i+=-，则a 的值为（ ） A ． 3 B ． -3 C ．1 D ．-13.下面是2010年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（ ）A ．350B ．340C ．330D ． 306 4.若sin cos tan 390αα+=，则sin 2α等于（ ） A. 23-B.34-C. 23D. 345.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，4AB =，则CD 等于（ ）A ．1223AB AE + B ．1223AB AE -C. 1223AB AE -+ D ．1223AB AE -- 6.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于A B 、两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2．32 C. 5 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 40B ．48 C. 56 D ．928.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ）A ．94B ． 99 C. 45 D ．2039.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000/km h ，飞行员先看到山顶的俯角为18，经过108s 后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为（ ）A．(15cos78)km - B．(15sin78)km -C. (15cos78)km - D．(15sin78)km - 10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A，()B p ,且||PA||BF 等于（ ）A ． 4B ．92C. 5 D ．11211.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>在区间(0,)π上存在3个不同的0x ，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．523(,]26 B ．523(,)26 C. 319(,)26 D ．319(,]2612.已知函数3,1()2,1x x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程(())f f x a =存在2个实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．[24,0)-B ．(,24)[0,2)-∞-C.(24,3)- D ．(,24][0,2]-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为_________.14.函数()426xxf x =--的零点为___________.15.设32340123455(12)2481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____________.16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率；（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事的工作与大学所学专业对口的人数为X ，求X 的数学期望()E X . 19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，3AB AP ==，2AD PB ==，E 为线段AB 上一点，且:7:2AE EB =，点F G M ，，分别为线段PA PD BC 、、的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 与直线CD 交于点N ，求二面角P MN A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F ，点,B C 分别是该椭圆的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ，记直线BM ，BP 的斜率分别为12k k ，.（1）当直线PM 过点F 时，求PB PM 的值；（2）求12||||k k +的最小值，并确定此时直线PM 的方程. 21. （本小题满分12分）设函数()2cos (1)ln(1)f x x x x x =--+++，22()()g x k x x=+.其中0k ≠.（1）讨论函数()g x 的单调区间；（2）若存在1(1,1]x ∈-，对任意21(,2]2x ∈，使得12()()6f x g x k -<-成立，求k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点A 分别作O 的切线AP 与割线AC ，P 为切点，AC 与O 交于B C 、两点，圆心O 在PAC ∠的内部，//BD AP ，PC 与BD 交于点N .（1）在线段BC 上是否存在一点M ，使A P O M 、、、四点共圆？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. （2）若CP CD =，证明：CB CN =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线:6OP πθ=()p R ∈与圆C 交于点M N ，，求线段MN 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时，||15x y xy ++<.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: ACDAC 6-10:BCADB 11、12：AB 二、填空题13.-2 14. 2log 3 15. 1- 16.6349π三、解答题17.解：（1）∵163412a a a a +=+=，………………1分∴16,a a 是2212110x x -+=方程的两根，且16a a <，………………2分 解得11a =，611a =，………………4分∴61510a a d -==，即2d =，………………5分 ∴21n a n =-.………………6分280(3053510)80 2.051 3.8414040651539k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.………5分（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率为65138016=.………………7分 （3）由题意可得13~(4,)16X B ，………………9分 ∴1313()4164E x =⨯=.……………………12分 19.（1）证明：在等腰APB ∆中，112cos 3PBABP AB ∠==，则由余弦定理可得22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =.………………2分 ∴2224PE BE PB +==，∴PE AB ⊥.………………3分∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，∴PE ⊥平面ABCD .………………4分（2）解：由已知可得//EN AD ，………………5分以E 为坐标原点，EP EB EN 、、分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则2((0,,1)(0,0,2)33P M N ，，，从而2(,1)33PM =-，2(0,,1)3MN =-.………………7分设平面PMN 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PM =，0n MN =，即2033x y z -++=，203y z -+=，令3y =，可得平面PMN的一个法向量为2)n =.………………9分 由（1）知平面AMN的一个法向量为4(3EP =，………………10分cos ,n EP ==，………………11分 由图可知二面角P MN A --的平面角为锐角， 故二面角P MN A --.………………12分20.解：（1）由椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍得2a =.………………1分由题意(0,1)B ，(0,1)C -，焦点F ，当直线PM 过点F 时，则直线PM 的方程为11y =-，即1y x =-，令2y =-得x=(2)P -.………………3分联立22141x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M .………………4分 因为(3,3)PB =，15()77PM =，………………5分 所以454590777PB PM =+=.………………6分 （2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--，………………7分 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，………………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，………………10分则1231||||||||4k k m m +=-+≥=31||||4m m -=，即m =±时取等号.所以12||||k k +此时直线PM 的方程为1y x =-.………………12分 21.解：（1）32222(1)'()2k k x g x kx x x -=-=，………………1分当0k >时，令'()0g x >，得1x >，∴()g x 的递增区间为(1,)+∞.………………2分令'()0g x <，得1x <，0x ≠，∴()g x 的递减区间为(,0)(0,1)-∞，...................3分 0k <当时，同理得()g x 的递增区间为(,0)(0,1)-∞，；递减区间为(1,)+∞. (5)分（2）'()2sin 1ln(1)12sin ln(1)f x x x x x =-+++=++，………………6分 ∵当(1,1]x ∈-时，2sin y x =及ln(1)y x =+均为增函数， ∴'()f x 在(1,1]-为增函数，又'(0)0f =，………………7分 ∴当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1]x ∈时，'()0f x >. 从而，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,1]上递增，………………8分 ∴()f x 在(1,1]-上的最小值为(0)2f =-.………………9分 ∵12()()6f x g x k -<-，∴12()6()f x k g x <-+，∴min min ()6()f x k g x <-+，当0k >时，∴min ()(1)3g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >.当0k <时，min ()(2)5g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >， 又0k <，∴0k <时不合题意. 综上，(1,)k ∈+∞.………………12分22.（1）解：当点M 为BC 中点时，A P O M 、、、四点，证明如下： ∵M 为BC 的中点，故OM BC ⊥，即90OMA ∠=. 又∵OP AP ⊥，∴90OPA ∠=，∴OMA ∠与OPA ∠互补，∴A P O M 、、、四点共圆.………………5分 （2）证明：∵//BD AP ，∴CNB CPA ∠=∠， 连接PD ，∵AP 为切线，∴PDC CPA ∠=∠，∴CNB PDC ∠=∠，∵CP CD =，∴CPD PDC ∠=∠，又∵CBN CPD ∠=∠，∴CBN CNB ∠=∠，∴CB CN =.………………10分23.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=.………………5分（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==.………………10分 24.解：（1）3,2,1()31,2,213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 当2x <-时，由30x ->得，3x >，舍去； 当122x -≤≤时，由310x +>得，13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得，3x <，即132x <<. 综上，1(,3)3M =-.………………6分 （2）∵,x y M ∈，∴||3x <，||3y <，∴||||||||||||||||||||333315x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++<++⨯=.………………10分。

广东省2017-2018高三学业水平考试模拟试题试题文科数学解析版

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广东省2017-2018高三学业水平考试模拟试题试题（数学文）【解析版】第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合(){}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则下列结论正确的是（ ）A.3A -∈B.3B ∉C.A B B =D.A B B =3.“ϕπ=”是“函数()sin 2y x ϕ=+为奇函数” 的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件4.向量()1,2BA =- ，()3,4BC = ，则AC = （ ）A.()4,2B.()4,2--C.()2,6D.()4,2-5.某商场有四类食品,食品类别和种数见下表:现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类A.7B.6C.5D.46.方程125x x -+=的解所在的区间（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,47.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线的斜率为（ ） A.2±B. C.12±D.±8.已知x 、y 满足约束条件53151053x y x y x y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则35z x y =+的最小值为（ ）A.17B.11-C.11D.17-作直线:35l z x y =+，则z 为直线在x 轴上的截距的3倍，当直线经过可行域上的点A 时，直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()()min 325111z =⨯-+⨯-=-，故选B.考点：线性规划9.图（1）中的网格纸是边长为的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A.4B.8C.16D.20图（1）侧视图正视图俯视图10.已知函数()()()221,03,0ax x x f x ax x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a <B.0a >C.1a ≥D.01a <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13题） 11.计算：33log 18log 2-= .12.图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .考点：1.茎叶图；2.平均数；3.古典概型13.对于正整数n ，若(),,n pq p q p q N *=≥∈，当p q -最小时，则称pq 为n 的“最佳分解”， 规定()q f n p =．关于()f n 有下列四个判断：①()41f =；②()11313f =；③()3248f =；④()2013f =12013.其中正确的序号是 .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲线上一动点，4,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ的最小值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，4CD =，3AB BC =，则圆O 的半径长是 .【答案】3.【解析】试题分析：3AB BC = ，4AC AB BC BC ∴=+=，由切割线定理得22244CD BC AC BC =⋅==⇒2BC =，因此36AB BC ==，故圆O 的半径为3.考点：切割线定理三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是首项为，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S.∴()()()()2121223112131312n n n n n n n S a a a b b b n -+-=+++++++=+=-+- .考点：1.等差数列与等比数列的通项公式；2.分组求和法17.（本小题满分12分）根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市2013年10月日—10月30日，对空气质量指数AQI 进行监测，获得数据后得到如图（4）的条形图（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率； （2）在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率.A 包含的基本事件有：(),a e 、(),a f 、(),b e 、(),b f 、(),c e 、(),c f 、(),d e 、(),d f 、(),e f ，9种可能，故所求的概率()93155P A ==.考点：1.频率分布条形图；2.古典概型18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c .（1）若cos 2cos 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，且ABC ∆的面积2S =，求C sin 的值.由余弦定理得：22222222cos 928a b c bc A c c c c =+-=+-=，a ∴=，19.（本小题满分14分）如图（5），已知A 、B 、C 为不在同一直线上的三点，且111////AA BB CC ，111AA BB CC ==. （1）求证：平面ABC //平面111A B C ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，且14AC AA ==，3BC =，5AB =，求证：1A C ⊥平面11AB C ；（3）在（2）的条件下，设点P 为1CC 上的动点，求当1PA PB +取得最小值时PC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）167.【解析】试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明11//AC AC和11//BC B C ，利用直线与平面平行的判定定理得到//AC 平面111A B C 和//BC 平面111A B C ，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面//ABC 平面111A B C ；（2）先证明BC ⊥平面11ACC A ，于是得到1AC BC ⊥，由11//B C BC 再由四边形11ACC A 为正方形得到11ACAC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明1A C ⊥平面11AB C ；（3）将三棱柱ABC - 111A B C 的侧面沿着1AA 展开，利用A 、P 、1B 三点共线求出1PA PB +的最小值，并利用相似三角形求出PC 的长度.试题解析：（1）证明：11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11ACC A 是平行四边形，11//AC AC ∴，AC ⊄ 面111A B C ，11A C ⊂面111A B C //AC ∴平面111A B C ，同理可得//BC 平面111A B C ，又AC CB C = ，∴平面//ABC 平面111A B C ；（2）1AA ⊥ 平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，4AC =，3BC =，5AB =，222C BC AB ∴+=，BC AC ∴⊥，BC ∴⊥平面11ACC A ，1BC AC ∴⊥，11//BC B C ∴，111B C AC∴⊥， 又1AA AC ⊥，1AC AA =得11ACC A 为正方形，11ACAC ∴⊥， 又1111AC B C C = ，1AC∴⊥平面11AB C ； （3）将三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 绕侧棱1CC 旋转到与侧面11BCC B 在同一平面内如下图示，连20.（本小题满分14分）如图（6），已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点；圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为，求椭圆C 的标准方程.图（6）yxBO E F DGyxBO A E F D考点：1.椭圆的离心率；2.直线与圆的位置关系；3.椭圆的方程21.（本小题满分14分）设函数()1n n f x ax bx c +=++(0)x >，其中0a b +=，n 为正整数，a 、b 、c 均为常数，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=.（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：对任意的()0,x ∈+∞都有()1nf x e <.（e 为自然对数的底）。

广东佛山市2017-2018学年上学期高三数学理科期末试卷附答案解析

广东佛山市2017-2018学年上学期高三数学理科期末试卷附答案解析

广东佛山市2017-2018学年上学期高三第三次调研数学理科试卷满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数5122iz i-=+的实部为（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．22．已知全集U R =，集合{}0,1,2,3,4A =，{}2|20B x x x =->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 图1C ．{}3,4D ．{}0,3,43．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94．已知x R ∈，则“22x x =+”是“2x x =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线1:2sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．1808．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（ ）A ．212B ．15C ．332D ．189．已知()22xx a f x =+为奇函数，()()log 41xg x bx =-+为偶函数，则()f ab =（ ） A ．174 B ．52 C ．154- D ．32-10．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =（ ）A ．1033B ．10C ．103D ．20311．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，10PA =，2PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．24π B ．28π C ．32π D ．36π12．设函数322()32(0)f x x ax a x a =-+≠，若1212,()x x x x <是函数2()()g x f x a x λ=-的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <； ②若02λ<<，则12()()f x f x <；③若2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确的结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．设b a c b a λ+=-==),1,1(),2,1(，若c a ⊥，则实数λ的值等于 ．14．已知0a >，()()412ax x -+的展开式中2x 的系数为1，则a 的值为 ．15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 ．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆与过1F 的直线l 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若2P Q P N =，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n n S a n R λλ=+∈．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．18．(本题满分12分)有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下：（Ⅰ）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（Ⅱ）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈．请用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥ 0.050 0.025 0.010 0.005 k3.841 5.024 6.635 7.87919．(本题满分12分)如图4，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3=AB ,6=CD ,4==AP AD , ︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影落在BAD ∠的平分线上； （Ⅱ）求二面角C PD B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的焦点与抛物线2C ：282y x =的焦点F 重合，且椭圆右顶点P 到F 的距离为322-. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且满足PA PB ⊥，求PAB ∆面积的最大值.21．(本题满分12分) 已知函数x x a x x f 21ln )()(+-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为x y 21=，求a 的值； （Ⅱ）若e a e221<<（e 是自然对数的底数），求证：0)(>x f .请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号． 22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围. 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BAABD 6-10:CCCDC 11、D 12：B 二、填空题13. 5- 14.12 15. 1316.2 三、解答题17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的通项为)0(≠+=k b kn a n ，则2)2(2)(1b k kn n a a n S n n ++=+=， 由n a S n n λ+=22可得n b kn b k kn n λ++=++2)()2(即2222)2()2(b n kb n k n b k kn +++=++λ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=02222b kb b k k k λ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===101λλb k所以1=λ.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知n a S n n +=22，当1=n 时，12211+=a a ，得11=a 所以n n d n a a n =-+=-+=11)1(1， 所以)121121(21)12)(12(111212+--=+-=+-n n n n a a n n所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++. 18.解：（Ⅰ）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量,X Y ， 则()60000.470000.380000.290000.17000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=,()50000.470000.390000.2110000.17000E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()222(60007000)0.4(70007000)0.3(80007000)0.2D X =-⨯+-⨯+-⨯22(90007000)0.11000+-⨯=()222(50007000)0.4(70007000)0.3(90007000)0.2D Y =-⨯+-⨯+-⨯22(110007000)0.12000+-⨯=,则()()()(),E X E Y D X D Y =<,我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （Ⅱ）因为10.5513 5.024k =>，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22⨯列联表：计算221000(5000070000)20006.734600400450550297k -==≈⨯⨯⨯ 2 6.734 6.635k =>，差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025<，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.解：（Ⅰ）设点O 为点P 在底面ABCD 的射影，连接AO PO ,，则PO ⊥底面ABCD ， 分别作,OM AB ON AD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，连接,PM PN ， 因为PO ⊥底面ABCD ,AB ⊂底面ABCD ，所以PO AB ⊥， 又OM AB ⊥,OM OP O = ，所以AB ⊥平面,OPM PM ⊂平面OPM ，所以AB PM ⊥，同理AD PN ⊥，即090AMP ANP ∠=∠=，又,PAB PAD PA PA ∠=∠=，所以AMP ANP ∆≅∆， 所以AM AN =，又AO AO =，所以Rt AMO Rt ANP ∆≅∆，所以OAM OAN ∠=∠，所以AO 为BAD ∠的平分线.（Ⅱ）以O 为原点，分别以,,OM ON OP 所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为4PA =，所以2AM =，因为,AB AD AO ⊥为BAD ∠的平分线，所以045,2,22OAM OM AM AO ∠====，所以2222PO PA AO =-=，则(2,1,0),(0,0,22),(2,2,0),(2,4,0)B P D C ---， 所以(4,3,0),(2,2,22),(0,6,0)DB DP DC === 设平面BPD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则11111114302220n DB x y n DP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，可取1(32,42,1)n =-，设平面PDC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则由2221116022220n Dc y n DP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取2(2,0,1)n =-，所以12121261517cos ,511832121n n n n n n ⋅-===+++⋅ ，所以二面角B PD C --的余弦值为51751.20.解：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得a b >， 且(22,0),22,3223,1F c a c a b =-=-⇒== ，所以椭圆1C 的方程为2219x y += . （Ⅱ）依题意，可设直线,PA PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线:(3)PA y k x =-，则直线1:(3)PB y x k=--， 联立：22(3)19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(19)54(819)0k x k x k +-+-=， 则226119PA k k=+⋅+同理可得：22222166111919k PB k k k k=+⋅=+⋅++⋅， 所以PAB ∆的面积为：22222222222118(1)18(1)18(1)32(19)(9)9(1)64829(1)64k k k k k k S PA PB k k k k k k +++===≤=+++++⋅， 当且仅当23(1)8k k +=，即473k ±=是面积取得最大值38. 21. （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，()3ln 22a f x x '=-+ ， 由题意知00000000121()ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪-+=⎪⎩，则0000()ln 0ln 10x a x ax x-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得01,1x a ==或0,1x a a ==，所以1a =.（Ⅱ）令()()3ln 2a g x f x x x '==-+，则()21ag x x x'=+， 因为122a e e <<，所以()20x a g x x+'=>，即()g x 在(0,)+∞上递增，以下证明在()g x 区间(,2)2aa 上有唯一的零点0x ，事实上31()ln ln 222222a a a a g a =-+=-，3(2)ln 2ln 2122a g a a a a =-+=+因为122a e e <<，所以21()ln0222a e g <-=，1(2)ln(2)102g a e<⋅+=， 由零点的存在定理可知，()g x 在(,2)2aa 上有唯一的零点0x ， 所以在区间0(0,)x 上，()()()0,g x f x f x '=<单调递减； 在区间0(,)x +∞上，()()()0,g x f x f x '=>单调递增， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln 02ag x x x =-+=，即003ln 2a x x =-， 所以20000000315()()()222a a f x x a x x x x x =--+=--，即00001()()(2)2af x x a x x =--. 0)(),2,2(00>∴∈x f a a x ,故当e a e221<<时，0)(>x f22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设12(,),(,)2M N πρθρθ+，其中(0,)2πθ∈，则124sin 4sin()4(sin cos )42()24OM ON sin ππρρθθθθθ+=+=++=+=+ ，所以当4πθ=，OM ON +取得最大值为42.23.解：（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立， 若11a -<< ，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-， 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-.（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min5[]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，()[]22max,()()24a a f x x ax f x f =-+==，因为5544y y a a ++-≥+，所以当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦， 即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是]5,0(.。

2017-2018学年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练Word版含答案

2017-2018学年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练Word版含答案

2017-2018学年广东省普通高中业水平考试数学模拟训练满分100分，考试时间90分钟一、选择题:本大题共15小题，每小题4分，满分60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1. 设集合{}2,0,1M =-，{}1,0,2N =-,则=MNA.{}0B. {}1C. {}0,1,2D. {}1,0,1,2- 2．已知复数()23z i =+，则||z =A.4B.6C. 8D. 10 3. 函数()f x =的定义域是 A. (),1-∞ B. ()1,-+∞ C. []1,1- D. (1,1)- 4. 若向量(2sin ,2cos )a θθ=，则a =A. 8B. 4C. 2D. 1 5. 下列等式正确的是A. lg 7lg31+=B. 7lg 7lg3lg 3= C. 3lg 3lg 7lg 7= D. 7lg37lg3= 6.下列抛物线中，其方程形式为22(0)y px p =>的是A. B. C. D.7. 设向量()4,5a =，()1,0b =，()2,c x =，且满足()a b c +,则x =A. 2-B. 12-C. 12D. 28. 下列函数在定义域上单调递减的是A.12y x =B. 2x y =C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 2y x =9. 函数()4sin cos ()f x x x x R =∈的最大值是A. 1B. 2C. 4D. 810.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，若()4,3P 是角θ终边上的一点，则tan θ=A.35 B. 45 C. 43 D. 3411.“()()120x x -+>”是“102x x ->+”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 12. 在图1所示的平行四边形ABCD 中，下列等式子不正确的是A. AC AB AD =+B. AC AD DC =+C. AC BA BC =-D. AC BC BA =-13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是A ．24B ．48C ．60D ．7214. 在样本12345x x x x x ，，，，若1x ，2x ，3x 的均值为80，4x ，5x 均值为90，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 均值是A. 80B. 84C. 85D. 9015.若圆2222432x y x y k k +-+=--与直线250x y ++=相切，则k =A.3或1-B. 3-或1C. 2或1-D. 2-或1二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。

2017-2018学年广东省高三(上)第二次联考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年广东省高三(上)第二次联考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}2．（5分）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣3．（5分）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题4．（5分）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣16．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）8．（5分）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09．（5分）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+211．（5分）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．14．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= ．16．（5分）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．18．（12分）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．20．（12分）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•广东月考）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}【分析】根据交集和并集的定义即可求出，【解答】解：∵设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴B={2，4，5，6}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的交集并集，属于基础题．2．（5分）（2015秋•贺州月考）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，可得（cosx﹣sinx）=，即cosx﹣sinx=，两边平方可得1﹣sin2x=，sin2α=．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•广东月考）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．【解答】解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；若l⊥β，l⊂α时，根据平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②为真命题；故选：B．【点评】要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．4．（5分）（2015秋•贺州月考）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1﹣x+2x＞0，且≠，由此求得x的范围．【解答】解：若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则＞0 且向量与不共线，∴1﹣x+2x＞0，且≠，求得x＞﹣1，且 x≠，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016春•莆田校级期末）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，因为a2，a3，2a1成等差数列，所以2×a3=a2+2a1，则，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），所以===，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6．（5分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】根据条件先判断函数在[0，+∞）上是增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，∴此时函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵函数f（x）是偶函数，∴a=f（﹣2）=f（2），b=f（1），c=f（3），则f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），则b＜a＜c，故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．7．（5分）（2016•岳阳校级模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出ω和φ的值是解决本题的关键．8．（5分）（2015秋•广东月考）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据“p或q”的真假性判断①是错误的；根据原命题与它的否命题的关系得出②是正确的；根据全称命题的否定是特称命题可判断③是错误的；根据sinA＞时∠A＞成立，充分性成立；∠A＞时sinA＞不一定成立，必要性不成立；得出④正确．【解答】解：对于①，若“p或q”为假命题，则p、q中两个都是假命题，故①错误；对于②，根据原命题与它的否命题的关系知，“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”，故②正确；对于③，命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故③错误；对于④，△ABC中，当sinA＞时，＞∠A＞，即∠A＞成立，是充分条件；当∠A＞时，不能得出sinA＞，即不是必要条件；综上，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故④正确．所以，不正确的判断是①③，共2个．故选：B．【点评】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是综合性题目．9．（5分）（2011•浙江模拟）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】用向量的加法法则将条件中的向量，都用以A为起点的向量表示得到，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到选项．【解答】解：在AB上取一点D，使得，在AC上取一点E，使得：．则由向量的加法的平行四边形法则得：，由图可知，若点P落在△ABC的内部，则．故选D．【点评】本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等10．（5分）（2015秋•广东月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+2【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，其直观图如下图所示：半球的曲面面积为：2π，半球的平面面积为：π﹣×2×1=π﹣1，棱锥侧面VAC和VBC的面积均为：=，棱锥侧面VAB的面积为：=，故组合体的表面积为：3π+2﹣1，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．11．（5分）（2015秋•广东月考）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用两个新的运算法则及其指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：M=27⊕=+（）﹣2=3+2=5，N=⊗25=lg（）2﹣lg=﹣lg2﹣lg5=﹣1，∴M+N=5﹣1=4，故选：C【点评】本题考查了新的运算法则、及其指数与对数的运算法则，属于基础题．12．（5分）（2015秋•广东月考）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．【解答】解：由题意知，a1=a∈（0，1]，a2=2a∈（0，2]，①当a∈（0，]时，则a2=2a∈（0，1]，所以a3=2a2=4a，由a3=a1得，4a=a，得a=0（舍去）；②当a∈（，1]时，a2=2a∈（1，2]，所以a3==，由a3=a1得，=a，得a=1或a=（舍去），综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，故选：D．【点评】本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2015秋•贺州月考）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．【分析】求出向量+λ，然后利用垂直条件，求解即可．【解答】解：=（2，1），=（﹣1，﹣3），+λ=（2﹣λ，1﹣3λ）．（+λ）⊥，可得λ﹣2+9λ﹣3=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，∴f′（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．15．（5分）（2015秋•广东月考）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义表示为点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，∵图象可知，可行域中的点B（，3）离（0，0）最远，故x2+y2的最大值为（）2+32=25，即（）2=16，即=4或﹣4，解得a=1或a=﹣（负值舍去），故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用x2+y2的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16．（5分）（2015秋•广东月考）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15 小时．【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是 A港口受到台风影响的时间．【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=500千米因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根据勾股定理 DC=300千米因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是300×2=600千米T==15（小时）故答案为15．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）（2015秋•贺州月考）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．【分析】（1）由题知：||=||=1，cos==cos2A﹣sin2A，由此能求出A．（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），从而y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．【解答】解：（1）∵向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），∴由题知：||=||=1，∵与的夹角为，∴cos==cos2A﹣sin2A，即cos2A=﹣，又∵0＜A＜，0＜2A＜π，∴2A=，故A=．（2）由正弦定理，得==2，b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），∴y=y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x），令y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x）=0，得x=60°，∴x=60°时，y=f（x）取最大值y max==3．【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=n﹣1，两式作差得：3n﹣1a n=1，∴a n=．当n=1时，a1=1也满足上式．∴a n=（n∈N*）．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．数列{}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，∴S n=﹣+．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•沈阳校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．【分析】（1）由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC1D1；（2）三棱锥P﹣BDC1的底面积为定值，由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1，故P到平面BDC1的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C1﹣ABD的体积即可．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，PD⊂平面AA1D1D，∴AB⊥PD．∵AD=AA1，∴四边形AA1D1D为正方形，P为对角线AD1的中点，∴PD⊥AD1，又∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴PD⊥平面ABC1D1．（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，∵P为线段AD1上的点，∴点P到平面BDC1的距离为定值．而三角形BDC1的面积为定值，∴三棱锥P﹣BDC1的体积为定值，即三棱锥D﹣PBC1的体积为定值．V=V=V=V==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．（2）利用定义法证明其单调性．（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：∵函数f（x）=a﹣是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即，解得：a=1．当a=1时，f（x）=1﹣=f（﹣x）═==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故得a=1满足题意．所以：a=1．（2）由（1）可知f（x）=；设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴所以：f（x1）﹣f（x2）＜0；故，函数f（x）为R上的增函数．（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．从而不等式：f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞f（﹣t2+tk），即得：t2+2＞﹣t2+tk．∴2t2﹣tk+2＞0对任意于t∈[﹣1，]，恒成立．记g（t）=2t2﹣tk+2，开口向上，对称轴x=，则g（t）在∈[﹣1，]上的最小值大于0．即恒成立．①当＜﹣1时，即k＜﹣4时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调增函数，g（t）min=g（﹣1）=4+k＞0，解得：k＞﹣4，故得k无解，②当﹣1≤时，即﹣4≤k≤2时，g（t）min=g（）=2﹣＞0，解得：4＞k＞﹣4，故得﹣4＜k≤2．③当＞时，即k＞2时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调减函数，g（t）min=g（）=＞0，解得：k＜5，故得2＜k＜5，综上所述：实数k的取值范围是{k|﹣4＜k＜5}．【点评】本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．21．（12分）（2015秋•贺州月考）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，求出m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，求出导数，求得x=1是φ（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞），可得f′（x）=﹣=即有当0＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，此时f（x）在（e，+∞）上单调递增；则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，由g（x）=f′（x）﹣x+m=﹣﹣x+m（x＞0），f（1）=m，方程g（x）=f（1）可化为m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减；所以x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，φ（x）的最大值为φ（1）=﹣+1=又φ（0）=φ（）=0，结合y=φ（x）的图象，可知①当m＞或m=0时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上无解；②当0＜m＜时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有两解；③当m＜0或m=时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有一个解．综上所述，当m＞或m=0时，不存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）；当m≤且m≠0时，存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和数形结合的思想，考查运算能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2015秋•广东月考）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【分析】（1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD ∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，，JKDC．【解答】（1）证明：连接BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA﹣3）=4，解得：DA=4．由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴，∴AB==5．∴OC==．【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程：x﹣y+2=0；…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．…（4分）（2）将曲线C的化为普通方程得：x2+y2﹣4y=0．…（6分）由直线与圆方程联立解得：或…（8分）所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，），（2，）．…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015秋•广东月考）设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1=，当x≥2时，f（x）=﹣4，不合题意；当﹣1≤x＜2时，f（x）=﹣2x≥0，解得﹣1≤x≤0；当x＜﹣1时，f（x）=2＞0，符合题意．综上，f（x）≥0的解集为（﹣∞，0]．（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即﹣4=﹣x+a，解得：x=a+4；当﹣1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即﹣2x=﹣x+a，解得：x=﹣a；当x＜﹣1时，方程f（x）=g（x），即2=﹣x+a，解得：x=a﹣2．使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则，解得：﹣2＜a＜1．所以a的取值范围是（﹣2，1）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

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2017-2018学年广东省普通高中高三（上）学业水平考试数学试卷（1月份）一、选择题：本大题共15小题.每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|﹣1≤x＜2}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．M D．N2．（4分）对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是（）A．lgy﹣lgx=lg B．lg（x+y）=lgx+lgyC．lgx3=3lgx D．lgx=3．（4分）已知函数f（x）=，设f（0）=a，则f（a）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．04．（4分）设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣45．（4分）设实数a为常数，则函数f（x）=x2﹣x+a（x∈R）存在零点的充分必要条件是（）A．a≤1 B．a＞1 C．a≤D．a＞6．（4分）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B． C．D．7．（4分）某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）A．6和9 B．9和6 C．7和8 D．8和78．（4分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（4分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是（）A．0 B．C．﹣2 D．10．（4分）如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．11．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，则C=（）A． B．C． D．12．（4分）函数f（x）=4sinxcosx，则f（x）的最大值和最小正周期分别为（）A．2和πB．4和πC．2和2πD．4和2π13．（4分）设点P是椭圆=1（a＞2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2|=4，则|PF1|+|PF2|=（）A．4 B．8 C．4 D．414．（4分）设函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）为奇函数，若x1＜0，x2＞0，则下列结论不正确的是（）A．f（0）=0 B．f（x1）＞0 C．D．15．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，则a12+a22+…+a n2=（）A．4（2n﹣1）2 B．4（2n﹣1+1）2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16．（4分）双曲线﹣=1的离心率等于．17．（4分）若，且0＜θ＜π，则tanθ=．18．（4分）笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为．19．（4分）圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是．三、解答题：本大题共2小题.每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20．（12分）若等差数列{a n}满足a1+a3=8，且a6+a12=36．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+1﹣2a n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PB=BC，F为BC 的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．2017-2018学年广东省普通高中高三（上）学业水平考试数学试卷（1月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题.每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|﹣1≤x＜2}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．M D．N【解答】解：集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|﹣1≤x＜2}，则M∩N={﹣1，0，1}．故选：B．2．（4分）对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是（）A．lgy﹣lgx=lg B．lg（x+y）=lgx+lgyC．lgx3=3lgx D．lgx=【解答】解：对于A项，当x＞0，y＞0时，lgy﹣lgx=lg，故A正确；对于B项，令x=y=1，则lg（x+y）=lg2＞lg1=0，而lgx+lgy=0，不成立，故B错误；对于C项，当x＞0时，lgx3=3lgx，故C正确；对于D项，由对数的换底公式得lgx=，故D正确．故选B．3．（4分）已知函数f（x）=，设f（0）=a，则f（a）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．0【解答】解：∵a=f（0）=03﹣1=﹣1，∴．故选：C．4．（4分）设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵的虚部是2，∴，即x=﹣4．故选：D．5．（4分）设实数a为常数，则函数f（x）=x2﹣x+a（x∈R）存在零点的充分必要条件是（）A．a≤1 B．a＞1 C．a≤D．a＞【解答】解：若函数（x）=x2﹣x+a（x∈R）存在零点，则，故选C．6．（4分）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B． C．D．【解答】解：对于A项，1×2﹣0×1≠0，错误；对于B项，，，则，正确；对于C项，，错误；对于D项，，错误．故选：B．7．（4分）某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）A．6和9 B．9和6 C．7和8 D．8和7【解答】解：∵男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，∴抽样比为，应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数为．故选：A．8．（4分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为V=2×2×1=4，故选：C．9．（4分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是（）A．0 B．C．﹣2 D．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由得：A（0，1）；故当直线z=x﹣2y过A（0，1）时，Z取得最小值，故z=0﹣2=﹣2，故选：C﹣10．（4分）如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A项，，错误；对于B项，，错误；对于C项，，错误；对于D项，，正确．故选D．11．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，则C=（）A． B．C． D．【解答】解：由余弦定理，得，又∵0＜C＜π∴，故选：A．12．（4分）函数f（x）=4sinxcosx，则f（x）的最大值和最小正周期分别为（）A．2和πB．4和πC．2和2πD．4和2π【解答】解：函数f（x）=4sinxcosx=2sin2x，由﹣1≤sin2x≤1知，∴f（x）的最大值为2，f（x）的最小正周期为．故选：A．13．（4分）设点P是椭圆=1（a＞2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2|=4，则|PF1|+|PF2|=（）A．4 B．8 C．4 D．4【解答】解：∵点P是椭圆=1（a＞2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=4，∴+4=16⇒a=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=2×4=8，故选：B．14．（4分）设函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）为奇函数，若x1＜0，x2＞0，则下列结论不正确的是（）A．f（0）=0 B．f（x1）＞0 C．D．【解答】解：对于A项，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，正确；对于B项，∵f（x）为R上的减函数，∴x1＜0⇒f（x1）＞f（0）=0，正确；对于C项，∵x2＞0∴，∴，正确；对于D项，∵x1＜0∴，∴，错误．故选D．15．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，则a12+a22+…+a n2=（）A．4（2n﹣1）2 B．4（2n﹣1+1）2C．D．【解答】解：当n≥2时，；当n=1时，适合上式．∴，∴是首项为4，公比为4的等比数列，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16．（4分）双曲线﹣=1的离心率等于．【解答】解：由双曲线可知a=3，b=4所以c==5∴离心率e==故答案为．17．（4分）若，且0＜θ＜π，则tanθ=．【解答】解：∵，且0＜θ＜π，∴，∴，故答案为：．18．（4分）笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为．【解答】解：∵笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，∴两次使用的都是黑色笔的概率为．故答案为：．19．（4分）圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是（x﹣4）2+（y+2）2=2．【解答】解：联立，解得，∴圆心坐标为：（4，﹣2）．∵圆与直线x+y﹣4=0相切，∴圆心（4，﹣2）到直线x+y﹣4=0的距离为，∴圆的半径为．∴圆的标准方程为（x﹣4）2+（y+2）2=2，故答案为：（x﹣4）2+（y+2）2=2．三、解答题：本大题共2小题.每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20．（12分）若等差数列{a n}满足a1+a3=8，且a6+a12=36．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+1﹣2a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．∴∴a n=2+（n﹣1）×2=2n∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2）由（1）知，a n=2n，=a n+1﹣2a n=2（n+1）﹣2×2n=﹣2n+2，∴b n+1∴b n=﹣2（n﹣1）+2=﹣2n+4又∵b1=2适合上式∴，﹣b n=﹣2n+2﹣（﹣2n+4）=﹣2∴b n+1∴数列{b n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．∴．21．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PB=BC，F为BC 的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．【解答】证明：（1）∵DE垂直平分PC，∴E为PC的中点，又∵F为BC的中点，∴EF为△BCP的中位线，∴EF∥BP，又∵EF⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴EF∥平面ABP．（2）连接BE，∵PB=BC，E为PC的中点，∴PC⊥BE，∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE，又∵BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BDE，∴PC⊥平面BDE，又∵BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD，∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD，又∵PC∩PA=P，PC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又∵AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

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