高二数学抛物线及其标准方程复习题
高二数学抛物线及其标准方程练习
抛物线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中；只有一项符合题目要求）1．抛物线82x y -=的准线方程是（ ） A ．321=x B ．41=x C ．y=2D ．y=42．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点；且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y x 42±=3．过（0；1）作直线；它与抛物线x y 42=仅有一个公共点；这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．设抛物线)0(2>=a ax y 与直线y=kx+b （k ≠0）有两个公共点；其横坐标分别是1x 、2x ；而3x 是直线与x 轴交点的横坐标；则1x 、2x ；3x 的关系是（ ）A ．213x x x +=B ．21311x x x += C ．313221x x x x x x +=D ．213231x x x x x x +=5．若抛物线)0(22>=p px y 上三点的纵坐标的平方成等差数列；那么这三点的焦半径的关系是（ ）A ．成等差数列B ．成等比数列C ．既成等差又成等比数列D ．既不成等差又不成等比数列6．已知A 、B 是抛物线)0(22>=p px y 上两点；O 为坐标原点；若|OA|=|OB|；且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点；则直线AB 的方程是（ ）A ．x=pB ．p x 23=C ．p x 25=D ．3p二、填空题7．经过抛物线x y 42-=的焦点且与直线y=2x 所成的角为45°的直线方程为_________。
8．经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A ；),(22y x B ；则2121x x y y 的值为__________。
三、解答题9．求顶点在原点；以y 轴为对称轴；其上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1的抛物线方程。
13级高二数学抛物线复习题及答案
抛物线复习一、选择题1.一动圆圆心在抛物线y x 42=上，过点(0 , 1)且与定直线l 相切，则l 的方程为（ C ） A.1=x B.161=x C.1-=y D.161-=y 2.点M(5,3)到抛物线y=ax 2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( B ) (A)y=12x 2 (B)y=121x 2或y=-361x 2 (C)y=-36x 2 (D)y=12x 2或y=-36x 2 3.过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ C ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条4.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ A ）A ．8B ．10C ．6D ．45.如果1P ，2P，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ D ）．A ．5B ．6C ． 7D ．9 [解析]B 根据抛物线的定义，可知12ii i pPF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =66.已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是（ C ）A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C二、填空题7.已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为y x 122-= ．解：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．8.已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为3π或23π 。
最新高二数学 抛物线专题练习解析版
抛物线一、选择题（11）1.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M的横坐标为3，且满足|MF|=2p，则抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=12x D. y2=6x·B·解：抛物线的准线方程为x=−p2，∴|MF|=3+p2=2p，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．故选：B．根据抛物线的性质可得2p=3+p2，解出p即可得出抛物线方程．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．2.已知点A(1,y0)(y0>0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为 3，则y0=()A. 2B. 2C. 22D. 4·C·解：∵点A到该抛物线焦点的距离为3，∴1+p2=3，解得p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x，把点A(1,y0)(y0>0)代入可得：y02=8，解得y0=22．故选：C．点A到该抛物线焦点的距离为3，可得1+p2=3，解得p.把点A(1,y0)(y0>0)代入抛物线方程解出即可．本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2−4x−12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是()A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [8,12]·B·解：抛物线的准线l：x=−2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆(x−2)2+y2=16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B−x A)+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆(x−2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈(2,6)∴6+x B∈(8,12)故选B．由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+ (x B−x A)+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．4.已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为()A. 12B. 1C. 2D. 4·C·解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=−1，根据抛物线定义，∴y M+1=3，解得y M=2，∴点M到x轴的距离为2，故选：C，先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y M+1=2，求得y M，可得点M到x轴的距离．本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．5.已知点P是抛物线x=14y2上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为()A. 2B.C. −1D. +1·C·解：抛物线x=14y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标(1,0)．依题点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到(0,2)与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得最小值为点A(0,2)到F(1,0)的距离减1，可得：(0−1)2+(2−0)2−1=5−1．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．6.抛物线y=−18x2的准线方程是()A. x=132B. x=12C. y=2D. y=4·C·解：抛物线y=−18x2的标准方程为：x2=8y，可得p=4，抛物线y=−18x2的准线方程是：y=2．故选：C．化简抛物线方程，直接求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7.若直线y=2x+p2与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A. 5pB. 10pC. 11pD. 12p·B·解：直线方程代入抛物线方程，可得x2−4px−p2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4p，∴y1+y2=9p∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y1+y2+p=10p，故选：B．直线方程代入抛物线方程，可得x2−4px−p2=0，利用韦达定理及抛物线的定义，即可得出结论．本题考查直线与抛物线位置关系的运用，考查抛物线的定义与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M(3,12)，则|PM|+|PF|的最小值是()A. 112B. 6 C. 72D. 92·D·解：∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离=3+32=92．∴|PM|+|PF|的最小值是92，故选D．利用抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，可得|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离，即可得出结论．本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是()A. y2=−16xB. y2=−32xC. y2=16xD. y2=32x·C·解：∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=−4，可得点P到直线x=−4的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x=−4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得p2=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C根据题意，点P到直线x=−4的距离等于它到点(4,0)的距离.由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．10.已知A，B为抛物线E：y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点，△AOB是等边三角形，其面积为483，则p的值为()A. 2B. 23C. 4D. 43·A·解：设B(x1,y1)，A(x2,y2)，∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22．又∵y12=2px1，y22=2px2，∴x22−x12+2p(x2−x1)=0，即(x2−x1)(x1+x2+2p)=0．又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0．∴x2−x1=0，即x1=x2．由抛物线对称性，知点B、A关于x轴对称．不妨设直线OB的方程为：y=33x，联立y2=2px，解得B(6p,23p)．∵面积为483，∴34·43p 2=483，∴p=2故选A．11.M是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|MF|=p，K是抛物线C准线与x轴的交点，则∠MKO=()A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘·C·解：由题意，取点M(p2,p)，∵K(−p2,0)，∴k KM=1，∴∠MKO=45∘，故选C．由题意，取点M(p2,p)，K(−p2,0)，由此，即可得出结论．本题考查抛物线的方程与定义，考查斜率的计算，比较基础．二、填空题（4）12.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2,2)，则|MF|+|MN|的取值范围为______．·[3,+∞)·解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线x=−1根据抛物线定义可知|MF|=x M+1∴当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，最小为2+1=3，∴|MF|+|MN|的取值范围为[3,+∞)．故答案为：[3,+∞)．根据抛物线定义可知MF|=x M+1，判断出当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，即可求出|MF|+|MN|的取值范围．本题主要考查了抛物线的应用.当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则1|AF|+1|BF|=______．·1·【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义.对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．【解答】解：易知F坐标(1,0)准线方程为x=−1.设过F点直线方程为y=k(x−1)代入抛物线方程，得k2(x−1)2=4x.化简后为：k2x2−(2k2+4)x+k2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴1|AF|+1|BF|=x1+1+x2+1(x1+1)(x2+1) =x1+x2+2x1+x2+x1x2+1 =x1+x2+2x1+x2+2=1，故答案为1．14.已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为______．·43·解：由题可知焦点F(1,0)，准线为x=−1设点A(x A,y A)，∵抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，∴x A+p2=5，∴x A=4，∴y A=4，∴点A(4,4)，∴直线AF的斜率为4−04−1=43，故答案为：43．求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，求出A的横坐标，然后求解斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．15.若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C(2,0)为圆心，半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．·3·解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=−2的距离d．又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点，Q为(1,0)时取等号．故|PQ|+|PC|得最小值为3．故答案为：3．先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.属于中档题．三、解答题（5）16.已知抛物线的标准方程是y2=6x，(1)求它的焦点坐标和准线方程，(2)直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45∘，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．·解：(1)抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴p2=32∴焦点为F(32,0)，准线方程：x=−32，(2)∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45∘，∴直线L的方程为y=x−32，代入抛物线y2=6x化简得x2−9x+94=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．·(1)抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，(2)先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式.属于基础题．17. 已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，直线2x −y +2=0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ． (1)若直线AB 过焦点F ，求抛物线C 的方程； (2)若QA ⊥QB ，求p 的值．·解：(1)根据题意，直线2x −y +2=0与y 轴的交点为(0,2)，则F (0,2)，∴抛物线C 的方程为x 2=8y ；(2)由 x 2=2py y =2x +2得：x 2−4px −4p =0，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=4p ，x 1x 2=−4p ，∴Q (2p ,2p )，∵QA ⊥QB ，则QA ⋅QB=0， (x 1−2p )(x 2−2p )+(y 1−2p )(y 2−2p )=0，(x 1−2p )(x 2−2p )+(2x 1+2−2p )(2x 2+2−2p )=0， 5x 1x 2+(4−6p )(x 1+x 2)+8p 2−8p +4=0， 代入得4p 2+3p −1=0，解得p =14或p =−1(舍去) ∴p =14．·(1)根据题意，求出直线2x −y +2=0与y 轴的交点坐标，即可得抛物线焦点坐标，进而可得抛物线的方程；(2)联立直线与抛物线的方程，可得x 2−4px −4p =0，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将QA ⊥QB 转化为QA ⋅QB=0，由根与系数的关系分析可得5x 1x 2+(4−6p )(x 1+x 2)+8p 2−8p +4=0，代入得4p 2+3p −1=0，解可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，关键是由抛物线焦点坐标求出抛物线的方程．18. 已知抛物线C ：y =2x 2和直线l ：y =kx +1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． ·(1)证明：联立抛物线C ：y =2x 2和直线l ：y =kx +1，可得2x 2−kx −1=0， ∴△=k 2+8>0，∴l 与C 必有两交点；(2)解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则y 1x 1+y2x 2=1① 因为y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，代入①，得2k +(1x 1+1x 2)=1②因为x 1+x 2=12k ，x 1x 2=−12，代入②得k =1．·(1)联立抛物线C ：y =2x 2和直线l ：y =kx +1，可得2x 2−kx −1=0，利用△>0，即可证明l 与C 必有两交点；(2)根据直线OA 和OB 斜率之和为1，利用韦达定理可得k 的值．本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．19. 已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的准线是直线l ：x =−2，焦点是F ．(1)求抛物线C 的方程． (2)若l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，且M 到焦点F 的距离为8，求△AFM 的面积S ．·解：(1)由已知得：−p2=−2∴p =4 所以抛物线C 的方程是：y 2=8x(2)由已知得：A (−2,0)，F (2,0)，所以|AF |=4 设抛物线上的点M (x 0,y 0)，由抛物线的定义知：|MF |=x 0+p2=x 0+2=8∴x 0=6代入y 02=8x 0，得y 02=8×6=48∴|y 0|=4 3∴S =1|AF ||y 0|=1×4×4 3=8 3·(1)由抛物线C ：y 2=2px (p >0)的准线是直线l ：x =−2，求出p ，即可求抛物线C 的方程．(2)设抛物线上的点M (x 0,y 0)，求得|MF |，再由三角形的面积公式计算可得结论．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查准线方程和焦点坐标，同时考查三角形的面积计算，属于基础题．20. 在平面直角坐标系中，定点F (1,0)，P 是定直线l ：x =−1上一动点，过点P 作l的垂线与线段PF 的垂直平分线相交于点Q ，记Q 点的轨迹为曲线T ，过点E (2,0)作斜率分别为k 1，k 2的两条直线AB ，CD 交曲线T 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． (1)求曲线T 的方程；(2)若k 1+k 2=1，求证：直线MN 过定点． ·(1)解：过点P 作l 的垂线与线段PF 的垂直平分线相交于点Q ，∴|QP |=|QF |，即点Q 到点F (1,0)的距离等于点Q 到直线l 1：x =−1的距离，由抛物线的定义可得点Q 的轨迹是以F 为焦点，以直线l 1：x =−1为准线的抛物线， 方程为y 2=4x ．(2)证明：设AB 的方程为y =k 1(x −2)，联立抛物线方程得k 1y 2−4y −8k 1=0，y 1+y 2=4k 1，y 1y 2=−4m ，AB 中点M (2k 12+2,2k 1)，同理，点N (2k 22+2,2k 2)，∴k MN =k 1k2k 1+k2=k 1k 2， ∴MN ：y −2k 1=k 1k 2[x −(2k 12+2)]，即y =k 1k 2(x −2)+2， ∴直线MN 恒过定点(2,2)． ·(1)由抛物线的定义可得点Q 的轨迹是以F 为焦点，以直线l 1：x =−1为准线的抛物线，即可求曲线T 的方程；(2)设AB的方程为y=k1(x−2)，联立抛物线方程得k1y2−4y−8k1=0，y1+y2=4，k1y1y2=−4m，求出M，N的坐标，由此能证明直线MN恒过定点(2,2)．本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．。
高二抛物线方程练习题
高二抛物线方程练习题一、求解下列抛物线的方程：1. 抛物线的焦点为F(-2,3)，与x轴交于点A，且FA的斜率为2/3。
解析：设抛物线的方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
由抛物线的焦点公式得，对于焦点F(-2,3)，有：$\begin{cases} x_F = -\frac{b}{2a}\\ y_F = \frac{4ac-b^2}{4a}\\\end{cases}$代入F(-2,3)得： $\begin{cases} -2 = -\frac{b}{2a}\\ 3 = \frac{4ac-b^2}{4a}\\ \end{cases}$化简得： $\begin{cases} b=4a\\ 3 = \frac{8ac-16a^2}{4a}\\\end{cases}$解得： $\begin{cases} a=1\\ b=4\\ c= \frac{11}{2}\\ \end{cases}$故抛物线的方程为y=x²+4x+ $\frac{11}{2}$。
2. 抛物线的焦点为F(3,4)，与x轴交于点A，且以点(5,12)为顶点。
解析：设抛物线的方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
由抛物线的焦点公式得，对于焦点F(3,4)，有：$\begin{cases} x_F = -\frac{b}{2a}\\ y_F = \frac{4ac-b^2}{4a}\\\end{cases}$代入F(3,4)得： $\begin{cases} 3 = -\frac{b}{2a}\\ 4 = \frac{9a-b^2}{4a}\\ \end{cases}$化简得： $\begin{cases} b = -6a\\ 36a = 9a - b^2\\ \end{cases}$解得： $\begin{cases} a = -\frac{1}{3}\\ b = 2\\ c = \frac{16}{3}\\ \end{cases}$故抛物线的方程为y=- $\frac{1}{3}$ x² + 2x + $\frac{16}{3}$。
高二数学选修1、2-3-1抛物线及其标准方程
2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线 [答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎭⎫94，±32 D.⎝⎛⎭⎫52，±102 [答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2， ∴x 0＝74，∴y 0＝±72. 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18C ．8D ．－8 [答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能[答案] B [解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 [答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5， ∴k 2＝43，即k ＝±233. 因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24 [答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p 2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.123 D.143 [答案] B[解析] p 2＝c ＝32，∴p ＝ 3. 10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.[答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1， 由题意知3－p 2＝1或p 2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．[答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． [答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12， x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12. |3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，138、⎝⎛⎭⎫12，78.三、解答题15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6，∴设点M 的坐标为(x,6)．∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得P A →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)整理得x 2－2x －4＝0可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0∴OC ⊥OD17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．(1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
高中数学抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( )A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( )A.5B.4C.3D.25.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.答案解析1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?【解析】由条件可知=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x.2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,∴方程为y2=9x或y=-3x2.4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=5.5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P 点的轨迹是( )A.抛物线B.线段C.直线D.射线【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),则解得y0=.答案:7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),∴=1或-7,解得p=2或-14.答案:2或-148.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.答案:29.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,∴双曲线的方程为:-=1.10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,所以y2=即点P的轨迹方程为y2=方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).综上,点P的轨迹方程为y2=【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x<0的情况.11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高二人教B数学选修同步练习抛物线及其标准方程
选修1-2 2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( )A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．不存在[答案] C[解析] 当F ∈l 上时，是直线，当F ∉l 上时，是抛物线．2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94x B ．x 2＝43y C ．y 2＝－94x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝43y [答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23. 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线方程为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0[答案] B[解析] ∵抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义知y M ＋116＝1， ∴y M ＝1516. 5．抛物线y 2＝8px (p >0)，F 为焦点，则p 表示( )A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14C ．F 到准线距离的18D ．F 到y 轴的距离[答案] B[解析] 设y 2＝2mx (m >0)，则m 表示焦点到准线的距离，又2m ＝8p ，∴p ＝m 4. 6．抛物线y ＝14ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( ) A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2) C ．(0，a )D ．(1a，0) [答案] C[解析] a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.7．(2010·福建理，2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0[答案] D[解析] ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)．∴圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．9．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为() A ．20B ．8C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p2＝20.10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3[答案] A[解析] 设(x 0，y 0)为抛物线y ＝－x 2上任意一点，∴y 0＝－x 20， ∴d ＝|4x 0＋3y 0－8|5＝|－3⎝⎛⎭⎫x 0－232－203|5， ∴d min ＝2035＝43. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.[答案] 2[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由抛物线定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可设抛物线方程为y 2＝2ax ，∵点P (2,4)在抛物线上，∴42＝4a ，∴a ＝4.即所求抛物线的方程为y 2＝8x .14．在抛物线y 2＝12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．[答案] (6，±62)[解析] 设抛物线的焦点F (3,0)，准线x ＝－3，抛物线上的点P ，满足|PF |＝9，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋P 2＝x 0＋3＝9，∴x 0＝6，∴y 0＝±6 2. 三、解答题15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)y 2＝6x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)x ＝ay 2(a ≠0)．[解析] (1)∵2p ＝6，∴p ＝3.又∵开口向右，∴焦点坐标是(32，0)， 准线方程为x ＝－32. (2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x . ∴2p ＝52，p ＝54，开口向左． ∴焦点为(－58，0)，准线方程为x ＝58. (3)∵原抛物线方程为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |. 当a >0时，p 2＝14a ，抛物线开口向右，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a； 当a <0时，p 2＝－14a ，抛物线开口向左，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a.故当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a. 16．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．[解析] ∵点(1，－2)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p ′y (p ′>0)，又点(1，－2)在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，或1＝4p ′，p ′＝14， 故所求抛物线方程为：y 2＝4x 或x 2＝－12y .17．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． [证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∴|AB |＝|AC |＋|BD |.又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，∴|MH |＝12(|AC |＋|BD |)＝12|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证． 18．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值． [解析] 已知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设AB 方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24. ∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝k 2p ＋2p k 2＋p p 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p 24＝2p (为定值)．。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练抛物线及其标准方程
1．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选B.由p2＝2得p ＝4，因为准线方程为x ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝8x .2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(4,0) D ．(－4,0)解析：选B.由x 2＝－8y 得p ＝4，p2＝2，故抛物线的焦点为(0，－2)．3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.由y 2＝8x 得准线方程为x ＝－2，点P 到y 轴的距离为4，则到准线的距离为6. 故点P 到该抛物线焦点的距离为6.4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为(a4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a 4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a4|·|－a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选 B.5．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为( )A ．3 B. 3 C. 6D ．6解析：选C.x 23＋4y 2p 2＝1的左焦点为(－3－p 24，0)，其在y 2＝2px 的准线上， ∴－3－p 24＝－p2⇒p 2＝6，又p >0，∴p ＝ 6.6．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．解析：由y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义可知：p 是焦点到准线的距离．由y 2＝8x 得，p ＝4.答案：47．点P 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为________．解析：将直线l ：x ＝－6向右平移2个单位长度，得l ′：x ＝－4.依题意知，点P 到F (4,0)的距离等于点P 到l ′：x ＝－4的距离，可见P 点的轨迹是以F (4,0)为焦点，x ＝－4为准线的抛物线，且p2＝4，焦点在x 轴的正半轴上，方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．解析：由x 24－y 25＝1得双曲线的右焦点为(3,0)．故抛物线方程为y 2＝2px ， 则p2＝3，p ＝6. ∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：y 2＝12x9．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是y ＝3； (2)过点P (－22，4)； (3)焦点到准线的距离为 2.解：(1)由准线方程为y ＝3知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，且p2＝3，则p ＝6，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y . (2)∵点P (－22，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点P (－22，4)代入y 2＝－2px ，得p ＝22；代入x 2＝2py ，得p ＝1，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－42x 或x 2＝2y .(3)由焦点到准线的距离为2，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝22x 或y 2＝－22x 或x 2＝22y 或x 2＝－22y .10.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．解：建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0) ，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y ， 因为已知集装箱的宽为3 m ，所以当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m.所以5－34＝414>4.故卡车可以通过此隧道．1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两个动点E ，F ，且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝4x (x ≠0)C ．y 2＝－4xD ．y 2＝－4x (x ≠0)解析：选B.设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)，(y 1，y 2均不为0)，由EP →∥OA →得y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →得y 2＝－y x .再由AE →⊥AF →得y 2＝4x (x ≠0)．故选B.2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (p2，0)．不妨取FA →所在的直线方程为y ＝3(x －p 2)，代入y 2＝2px ，解得A (32p ，3p )．故|OA →|＝ (32p )2＋(3p )2＝212p . 答案：212p 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．解：由抛物线的定义知，|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，所以x 1＝|FP 1|－p2，x 2＝|FP 2|－p 2，x 3＝|FP 3|－p2，因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.故|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．4．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：(1)如图甲所示，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，A，P，F三点共线时所求的距离之和最小且最小值为|AF|，即为 5.(2)如图乙所示，BQ垂直准线于Q且交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。
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抛物线及其标准方程
选
题:丁周卫
班级________姓名________________ 学号
____________
一.填空题
1．抛物线2ax y =的标准方程是y=2，则a 的值为__________.
2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，
则抛物线的方程是_____________________
3．已知px y 22=上点M （4，m ）到焦点的距离为6，则
2m p =________________.
4．已知直线l 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被
抛物线截得的线段长为4，则=a .
5．若抛物线 px y 22
=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p =______________
6．抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是
7．已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于
A 、
B 两点，设FB FA >，则FA 与FB 的比值等于
*8．已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P
到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为
二.解答题
9．一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6.5m ，一竹排上有一宽4m 高6m 的大木箱，问此大木箱能否通过拱桥？
10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为)6,2
3(，求抛物线与双曲线的方程
*11．已知抛物线24
=的焦点为F,过点F作两条互相垂直的弦AB、
y x
CD,设AB、CD的中点分别为M、N.
(1)求证以AB为直径的⊙M必与抛物线24
=的准线相切;
y x
(2)直线MN是否过某一定点,若过,求出该定点的坐标,若不过,试说明理由.。