2012年北京顺义二模数学(含答案)

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北京市中考数学二模试题汇编人教新课标版

目录丰台区2012年初三统一练习石景山2012年初三统一练习顺义区2012年初三统一练习大兴区2012年初三统一练习通州区2012年初三统一练习门头沟2012年初三统一练习房山区2012年初三统一练习延庆县2012年初三统一练习密云县2012年初三统一练习海淀区2012年初三统一练习丰台区2012年初三统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12 C ．2 D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 ED AA．12B．13C．14D．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是A．14B．12C．34D．15．若230x y++-=则y x的值为A．－8 B．－6 C．6 D．86．下列运算正确的是A．222()a b a b+=+ B．235a b ab+=C．632a a a÷= D．325a a a⋅=7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A．30428002800=-xxB．30280042800=-xxC．30528002800=-xxD．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是A．北 B．京 C．精 D．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）91x-x的取值范围是．10．分解因式：=+-babba25102．11．如图, ⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，如果1OD=，那么BAC∠=________︒．DOCBA12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…，利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： ()︒⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03 ．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点．（1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1 4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚 200 小丽30021DOCBA（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ．（1）求证：OC ⊥OB ；（2）如果OD =1，tan∠OCA =52，求AC 的长．21．某课外小组为了解本校八年级700名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，根据收集的数据绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图(各组数据包括最小值，不包括最大值)．（1）补全下面的频数分布表和频数分布直方图：（2）可以估计这所学校八年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有多少人？分组/时频数频率 6～8 2 0.04 8～10 0.12 10～12 12～14 18 14～16 10 0.20 合计501.00OD CBAMFEBCDA22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF的三条高线交于点H ，如果AC =4，EF =3，求AH 的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH 平移至△GCF 的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH 的长等于．（2）如果AC =a ，EF =b ，那么AH 的长等于．BA D CEFHG HFECDA B图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．12345–1–2–3–412345–1–2xy O（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图225．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为．AEFPD CE BAD F P北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCBCADAA题号 91011 12答案x ≥12)5(-a b 60°21n+；5151 13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --=， ∴223a a -=．…3分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明：∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中，OA=OB ，∠AOC =∠BOD ，CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分∴∠C =∠D ． …………….5分 17．解：（1）反比例函数ky x=的图象经过点A (-1，1) ， ∴-11-1k =⨯=．…………1分（2）P 1(0，2)、 P 2(0，-2)、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚 200 98 小丽300150.5（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分 ∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分20．（1）证明：∵OA =OB ， ∴∠B =∠4． ∵CD =AC ， ∴∠1=∠2．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1． ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AC ．……1分∴∠OAC =90°．∴∠1+∠4=90°． ∴∠3+∠B =90°． ∴OC ⊥OB ．……2分（2）在Rt △OAC 中，∠OAC =90°， ∵tan∠OCA =52， ∴52OA AC =．……3分 ∴设AC =2x ，则AO =5x ．由勾股定理得，OC =3x ．∵AC =CD ， ∴AC =CD =2x ． ∵OD =1， ∴OC =2x +1．∴2x +1=3x ．……4分∴x =1． ∴AC =21⨯=2．……5分21．解：（1）……3分（注：错一空扣1分，最多扣3分）…4分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有672人．22．解：（1）7；……3分（2）22a b -．……5分分组/时频数频率 6～8 2 0.04 8～10 6 0.1210～12 14 0.28 12～14 18 0.36 14～16 10 0.20合计 50 1.0023．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意；当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°．过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况432ABCD O1即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21．∵PQ ，∴NQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分 ∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分∴二次函数的解析式为：2232y x x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’，设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3． ∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’，在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1． ∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分石景山区2012年初三第二次统一练习数学试卷7654321NMCD BPFEACA B yxB'C'DA'O考生须知 1．本试卷共10页．第10页为草稿纸，全卷共五道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．题号一二三四五总分分数第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后的括号内．1．2的算术平方根是（） A ．21B ．2C ．2-D ．2±2．2012年2月，国务院同意发布新修订的《环境空气质量标准》增加了PM2.5监测指标．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米=0．000 001 米，那么数据0.000 002 5用科学记数法可以表示为（） A ．6105.2-⨯ B ．5105.2-⨯ C ．5105.2⨯- D ．6105.2-⨯-3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒ 4年星级饭店客房出租率（%）的情况如下表：年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 出租率62625265626160524956A ．61、62B ．62、62C ．61.5、62D ．60.5、625．如图，有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京精神——“爱国、创新、包容、厚德”的字样．背面完全相同，现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片恰好是“创新”的概率是（） A ．31 B ．32 C ．61 D ．41 6．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）第3题图爱国创新包容厚德爱国创新A ．5B ．6C ．7D ．87．将二次函数2x y =的图象如何平移可得到342++=x x y 的图象（） A ．向右平移2个单位，向上平移一个单位 B ．向右平移2个单位，向下平移一个单位 C ．向左平移2个单位，向下平移一个单位 D ．向左平移2个单位，向上平移一个单位8．已知正方形纸片的边长为18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边（棱）长是（） A ．6B ．23C ．29D ．32第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分式3-x x有意义的条件为． 10．分解因式：=-339ab b a ______ ________． 11．已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是．12．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）第8题图第11题图111210987654321第12题图13．()22145cos 314.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒---π．解：14．解分式方程123482---=-xxx ．解：15．已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．证明：16．已知：0162=-+x x ，求代数式()()()()3312122+-+--+x x x x x 的值．解：17．已知一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-，与x 轴、y轴分别交于 A 、 B 两点． (1)求此一次函数的解析式；(2)点C 是坐标轴上一点，若△ABC 是底角为︒30的等腰三角形，求点C 的坐标．解：18．列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60 m 、50 m 的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m 的一横两纵的甬道．（1）用含x 的代数式表示草坪的总面积S ；yx O 321FEABC D（2）当甬道总面积为矩形总面积的4.10%时，求甬道的宽．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ．（1）求∠BAF 的度数；（2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？解：20．以下是根据全国 2011年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：（产量相关数据精确到1万吨）（1）请补全扇形统计图；（2）通过计算说明全国的粮食产量与上一年相比，增长最多的是年；（3）2011年早稻的产量为万吨；（4）2008-2011这三年间，比上一年增长的粮食产量的平均数为多少万吨，若按此平均数增长，请你估计2012年的粮食产量为多少万吨．（结果保留到整数位）解：21．已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MPA BDEC B 'F 6%22%%早稻夏粮秋粮2011年各类粮食占全体粮食的百分比分组统计图的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．解：22．阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积. 解：五、解答题（本题满分22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：直线122y x =+分别与 x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点P （a ，b ）在直线AB 上，点P 关于y 轴的对称点P ′ 在反比例函数xky =图象上．(1) 当a =1时，求反比例函数xky =的解析式；DCBAM CODPB图⑴ 图⑵ 图⑶（C ）OCBAOCB A(2) 设直线AB 与线段P'O 的交点为C ．当P'C =2CO 时，求b 的值；(3) 过点A 作AD //y 轴交反比例函数图象于点D ，若AD =2b，求△P ’DO 的面积．解：24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.A B C D E AE B C D图1 图2y x O 备用图解：25．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；∠=∠，（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFE CFE 若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：yOx备用图草稿纸石景山区2012初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题号 12345678答案Ｂ A D D A C C Ｂ二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．3≠x ； 10．()()b a b a ab 33-+； 11．225-225π； 12．10；6．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解：()22145cos 3--14.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒-π=4223122+⨯-- ……………………………4分 =322+…………………………………………………5分 14． 123482---=-xxx解：()()123228---=-+x x x x ……………………………1分 ()()()42382--+-=x x x ……………………………3分46822+---=x x x ……………………………4分∴10-=x经检验：10-=x 是原方程的根．………………………5分15．证明：∵∠1=∠2=∠3∴DAE BAC ∠=∠…………………………… 1分又∵AFE DFC ∠=∠∴E C ∠=∠ …………………………… 2分在△ABC 和△ADE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AB EC DAE BAC …………………………… 3分 ∴△ABC ≌△ADE ……………………………………………………… 4分∴BC=DE ． ……………………………………………………… 5分 16．解：原式222922144x x x x x -++-++= …………………………………2分1062++=x x ………………………………… 3分当0162=-+x x 时，162=+x x ………………………………… 4分原式11=． …………………………………5分17．解：(1)∵一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-∴⎩⎨⎧-=+-=323b k k 解得⎩⎨⎧=-=33b k∴一次函数解析式为33+-=x y …………………………………1分(2)令0=y ，则1=x ；令0=x 则3=y∴()()3,0,0,1B A∵1=OA ,3=OB …………………………2分 ∴2=AB ∴︒=∠30ABO若AC AB =，可求得点C 的坐标为()0,31C 或()3,02-C ………………………4分若CA CB =如图︒=︒-︒=∠3030603OAC ，3330tan 3=︒=OA OC ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C …………………………………………5分 ∴()0,31C ,()3,02-C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C 18．解：（1）S = 6050⨯－（60 x + 2×50 x －2×x 2 ）=3000 + 2x 2－160x ．………2分（2）由题意得：-2x 2+160x =60501000104⨯⨯， ………………3分解得 x = 2 或 x = 78． …………………………………4分又0＜x ＜50，所以x = 2，答：甬道的宽是2米． ……………………………………5分 19. 解：（1）∵BE =EF ∴∠EFB =∠B ，由题意，△EF B '≌△BEF∴∠EFB ’ =∠EFB =∠B=30° ∴△BFA 中，︒=︒-︒-︒-︒=∠90303030180BAF ……………………………………2分（2）联结DF ，∵AD //BC ，AF ∥CD∴四边形AFCD 是平行四边形 ……………………………………3分 ∴∠C =∠A FB =60°∴CD =AF =3230cos =︒EF ……………………………………4分若BC DF ⊥，则360cos =︒=CD FC此时3=AD ． ……………………………………5分 20．（1）72%；（2）2011；（3）3427； ……………………每空1分，共3分（4）（57121-52871）÷3≈=1417 ………………………………………4分57121+1417=58538. ………………………………………5分21.（1）联结CO , … …………………………………1分∵DM ⊥AB∴∠D+∠A=90° ∵PC PD = ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC ⊥OC∴直线PC 是⊙O 的切线 …………………………………2分（2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q ∴Rt △CQA 中 ∴22tanD QAC tan ==∠ ∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x …………………………………4分 ∴22=AQ∴242==AQ AN …………………………………5分22. 解：（1）150° ………………………1分(2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………………3分在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴︒=︒-︒=90270360． ……………………4分34522=-=∴BC 6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分23．（1）∵点P 在直线AB 上, 1=a 时，2121+⨯=b =25………………………1分 ∴)25,1(P ，∴)25,1(-'P ，代入x k y = 得25-=k ， ∴x y 25-= …………………………2分（2）联结'PP∵点P 和点P '关于y 轴对称 ∴'PP ∥x 轴P 'Pxy ODC BA O 'DCBA∴OCA C PP ∽△△'∴'PP ∶=OA C P '∶CO …………3分 ∵CO C P 2'= ∴'PP =OA 2∵221+=x y 与x 轴交于点A 、点B ∴)0,4(-A ，)2,0(B 可得4=OA∴8'=PP ∴a =4∴42421=+⨯=b ………………………5分（3）当点P 在第一象限时：∵点P 和点P '关于y 轴对称且),(b a P∴),('b a P -∵y AD ∥∴)24-(b D ， ∵D P 、点点'在xk y =上 ∴b a b⨯-=⨯-24 ∴2=a∴32221=+⨯=b ∵),23,4(-D )3,2('-P∴29'=DO P S △ …………6分当点P 在第二象限时：)24-(bD -，∴b a b⨯-=-⨯-24∴2-=a∴12)2(21=+-⨯=b∵),21,4(--D )1,2('P∴23'=DO P S △ …………7分24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG =A∴76∠=∠=∠F∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =∴BE AG CG CF 2121===由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD∴DC DB 2=(3) 结论：DC DB 2=.25.解：（1）点A （0，2m -7）代入y ＝－x 2＋2x ＋m -2，得m =5∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 ………………………2分（2）由⎩⎨⎧=++-=x y x x y 2322得⎪⎩⎪⎨⎧==323y x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x∴B （32,3），C （32,3--）B （32,3）关于抛物线对称轴1=x 的对称点为)32,32('-B可得直线C B '的解析式为32632-+=x y ，由⎩⎨⎧=-+=132632y x y ，可得⎩⎨⎧==61y x∴)6,1(F ………………………5分（3）当)2,2(t t M --在抛物线上时，可得03242=-+t t ，4131±-=t ，当)2,(t t P --在抛物线上时，可得32=t ，3±=t ，舍去负值，所以t 的取值范围是34131≤≤+-t ．………………8分87654321E D AGF图(2)F E B AO 顺义区2012届初三第二次统一练习考生须知1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯B ．49.110⨯C ．49110⨯D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（）A B C D4．把2416a b b -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-C ．24(2)b a -D ．4(2)(2)b a a +-5．北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是 A.众数是6 B.极差是8C.平均数是6D.方差是46．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位， OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7．从1,-2, 3，-4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是A ．14 B ．13 C ．12D ．238．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是DCBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若分式261xx--的值为0，则x的值等于．10．如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若2BE=，3EC=，则BFDF的值为．11．将方程2410x x--=化为2()x m n-=的形式，其中m，n是常数，则m n+=．12．如图，△ABC中，AB=AC=2 ，若P为BC的中点,则2AP BP PC+的值为；若BC边上有100个不同的点1P，2P，…，100P，记i i i im AP BP PC=+(1i=，2，…，100)，则12m m++…100m+的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：101()322sin45(32)4---+︒-．14．解不等式2(2)x+≤4(1)6x-+，并把它的解集在数轴上表示出来．15．已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD ，AB=CD．FEDCBAP i P CBAFBA求证：BF = CE ．16．解分式方程：32322x x x -=+-．17．已知2x －3=0，求代数式5(2)(2)(4)1x x x x ---++的值．18．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y （万吨）随着时间x （年）逐年成直线上升，y 与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．20．已知：如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，BC ∥OP 交⊙O 于点C ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11sin23APC ∠=，求PC 的长及点C 到PA 的距离．21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课FEDC B AOCBAP外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：图书种类频数频率科普常识 840 b名人传记 8160.34 中外名著 a0.25 其他1440.06（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a ，b 的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？22．阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，直线AB 经过第一象限，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），过点P 分别向x 轴、y 轴PyB D作垂线，垂足分别为C 、D ．设OC=x ，四边形OCPD 的面积为S ．（1）若已知A （4，0），B （0，6），求S 与x 之间的函数关系式；（2）若已知A （a ，0），B （0，b ），且当x=34时，S 有最大值98，求直线AB 的解析式；（3）在（2）的条件下，在直线AB 上有一点M ，且点M 到x 轴、y 轴的距离相等，点N在过M 点的反比例函数图象上，且△OAN 是直角三角形，求点N 的坐标． 24．已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系；（2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为P ．（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的FED CBAFE D C B A坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线212y x bx c =++上，点N 在y 轴上，要使以M 、N 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M 、N 是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．顺义区2012届初三第二次统一练习数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．3； 10．25； 11．7； 12．4，400．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：101()322sin 45(32)4---+︒--2432212=-+⨯- …………………………………………………… 4分 322=- …………………………………………………………………… 5分 14．解：去括号，得 24x +≤446x -+．…………………………………………… 1分移项，得 24x x -≤464-+-．…………………………………………… 2分合并，得 2x -≤-2 ． ………………………………………… 3分系数化为1，得 x ≥1 ． ……………………………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：……………………………………… 5分15．证明：∵ AE ∥DF ，∴∠1=∠2． ………………………… 1分 ∵ AB ∥CD ， ∴ ∠B =∠C ．………………………… 2分在△ABE 和 △DCF 中， 12,,,B C AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△DCF ．…………………………………………………… 4分 ∴ BE =CF ． ∴BE -EF =CF -EF ．即BF =CE ．……………………………………………………………… 5分16．解：去分母，得 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x --+=+-．…………………… 1分去括号，得 223624312x x x x ---=-． ………………………… 2分整理，得 88x -=-．…………………………………………………… 3分解得 1x =． ……………………………………………………………… 4分经检验，1x =是原方程的解．……………………………………………… 5分 ∴ 原方程的解是1x =．17．解：5(2)(2)(4)1x x x x ---++22510(28)1x x x x =--+-+ ……………………………………………… 2分22510281x x x x =---++24129x x =-+ ………………………………………………………………… 3分(23)(23)x x =+- …………………………………………………………… 4分当2x －3=0时，原式(23)(23)0x x =+-=．………………………………… 5分18．解：（1）设y 与x 之间的关系式为y=kx+b ．……………………………………… 1分21F EDC B A由题意，得20084,2010 6.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2004.k b =⎧⎨=-⎩ …………………… 3分∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －2004（2008≤x ≤2012）． …………… 4分（2）当x ＝2012时，y ＝2012－2004＝8．∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．……… 5分19．解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB ∥DC ．∴EB=AB=1． ………………………………………………………………… 1分在Rt △ABE 中，222AE AB BE =+=．………………………………… 2分在Rt △DCE 中，22221310DE DC CE =+=+=．………………… 3分∵AB ∥DC ，∴12EF EB DF BC ==． …………………………………………………………… 4分设EF x =，则2DF x =．∵EF DF DE +=， ∴210x x +=． ∴10x =． ∴22103DF x ==5分 20．解：（1）直线PC 与⊙O 相切．证明：连结OC ，∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC ， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA ，OP=OP ，∴△POC ≌△POA ． ……………………………………………… 1分 ∴∠PCO =∠PAO ． ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切． ……………………………………………… 2分（2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=12APC ∠． ∴11sin 5sin 23APC ∠=∠=．∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°． ∴1cos 2sin 53∠=∠=． 4321O C B AP图3MPCBAD85674321O CBAP∵∠3=∠1 =∠2， ∴1cos 33∠=．连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．………………………………………… 3分∴OA=OB=OC=3，2242AC AB BC =-=．∴在Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠．∴2262PC OP OC =-=．…………………………………… 4分过点C 作CD ⊥PA 于D ， ∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=．在Rt △CAD 中，14cos 842233AD AC =∠=⨯=． ∴22163CD AC AD =-=．……………………………………… 5分 21．解：（1）∵1-28%-38%=34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．……… 1分（2）∵1440.062400÷=，∴24000.25600a =⨯=， ……………………………………………… 2分84024000.35b =÷=． ……………………………………………… 3分（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为20434%600÷=． ……………………………… 4分 ∴该校学生平均每人读课外书：24006004÷=．答：该校学生平均每人读4本课外书． ………………………………… 5分22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分（1）如图3，以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分（2）以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分23．解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，由A （4，0），B （0，6），得40,6.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,26.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为362y x =-+．……………………………… 1分 ∵OC=x ，∴3(,6)2P x x -+． ∴3(6)2S x x =-+．即2362S x x =-+（0< x <4）． …………………………………… 2分（2）设直线AB 的解析式为y mx n =+，∵OC=x ，∴(,)P x mx n +．∴2S mx nx =+．∵当x=34时，S 有最大值98，∴3,24939.1648n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为23y x =-+．………………………………… 3分∴A （32，0），B （0，3）．即32a =，3b =．……………………………………………………… 5分（3）设点M 的坐标为（M x ，M y ），由点M 在（2）中的直线AB 上， ∴23M M y x =-+．∵点M 到x 轴、y 轴的距离相等， ∴M M x y =或M M x y =-．当M M x y =时，M 点的坐标为（1，1）．过M 点的反比例函数的解析式为1y x=． ∵点N 在1y x=的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………………… 6分当M M x y =-时，M 点的坐标为（3，-3），BD C FEA 过M 点的反比例函数的解析式为9y x=-． ∵点N 在9y x=-的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为3,62⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………… 7分综上，点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭或3,62⎛⎫- ⎪⎝⎭．24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF ．证明：∵D 是AB 中点，∴AD=BD ，又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ． ∵CD ⊥AB ，AD=BD ， ∴CA=CB ．∴∠1 =∠2． ∵AE ⊥AB ，BF ⊥AB ， ∴∠3 =∠4=90°．∴∠1+∠3 =∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF ． ∴△CAE ≌△CBF ．∴∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 2分（2）∠ACE=∠BCF 仍然成立．证明：连结BE 、AF ．∵CD ⊥AB ，AE ⊥AB ， ∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD = AE ，CD = AB ，△CDB ≌△BAE ．……………… 3分∴CB=BE ，∠BCD=∠EBA ．在Rt △CDB 中，∵∠CDB =90°，∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°．即∠CBE =90°．∴△BCE 是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°． ……………………………………………… 4分同理可证：△ACF 是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°． ……………………………………………… 5分 ∴∠ACF=∠BCE ．∴∠ACF -∠ECF =∠BCE -∠ECF ．即∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 6分（3）∠ECF 的度数为90°-α．……………………………………………… 7分4321F E DCB A。

北京市顺义区2012—2013学年度高三年级第二次统练数学试卷(理工类)

北京市顺义区2012—2013学年度高三年级第二次统练数学试卷（理工类）一、选择题（共1小题；共5分）1. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）2. 设的内角、、的对边分别为、、且，，，则______，的面积 ______．三、解答题（共2小题；共26分）3. 已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．4. 如图，在长方体中，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若二面角的大小为，求的长．四、选择题（共7小题；共35分）5. 已知集合，，则 ______A. B.C. D.6. 复数 ______A. B. C. D.7. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为______A. B. C. D.8. 已知数列中，，等比数列的公比满足，且，则 ______A. B. C. D.9. 设变量满足约束条件则的取值范围是______A. B. C. D.10. 已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且，，，则的最大值为______A. B. C. D.11. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则的面积的最小值为______A. B. C. D.五、填空题（共5小题；共25分）12. 的展开式中含的项的系数为______（用数字作答）．13. 如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且，，若与圆相切，且，则 ______．14. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 ______ ．15. 已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．16. 设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数．当时，；当且时，．则函数在上的零点个数为______．六、解答题（共4小题；共52分）17. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：，，，，．（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取名参加中心广场的宣传活动，再从这名中采用简单随机抽样方法选取名志愿者担任主要负责人．记这名志愿者中"年龄低于岁"的人数为，求的分布列及数学期望．18. 已知函数，其中为正实数，．（1）若是的一个极值点，求的值；（2）求的单调区间．19. 已知椭圆（）的两个焦点分别为，，且，点在椭圆上，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，，三点共线．求的最大值．20. 已知函数，，其中为大于零的常数，，函数的图象与坐标轴交点处的切线为，函数的图象与直线交点处的切线为，且．（1）若在闭区间上存在使不等式成立，求实数的取值范围；（2）对于函数和公共定义域内的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差．求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于．答案第一部分1. A第二部分2.第三部分3. （1）（2），得故的定义域为．因为所以的最小正周期为．因为函数的单调递减区间为，由，得，所以的单调递减区间为．4. （1）在长方体中，因为平面，所以．因为，所以四边形为正方形，因此．又，所以平面．又，且，所以四边形为平行四边形．又在上，所以平面．（2）的中点为，连接．因为为的中点，所以且．因为为的中点，所以．而，且，所以，且，因此四边形为平行四边形．所以，而平面，所以平面．（3）为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，故，，．由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，则，，所以令，则，，所以．设与所成的角为，则．因为二面角的大小为，所以，即，解得，即的长为．第四部分5. A6. B7. B8. B9. C 10. D11. C第五部分12.13.14.15. ；16.第六部分17. （1）因为小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为，所以所以名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）．（2）用分层抽样的方法，从中选取名，则其中年龄"低于岁"的人有名，"年龄不低于岁"的人有名．的可能取值为，，，．故的分布列为所以．18. （1）因为是函数的一个极值点，所以即，解得．经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为．（2）令，得当，即时，方程①的两根为此时与的变当化情况如下表极大值极小值，即时，，即，此时在上单调递增．综上所述：当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为．当时，的单调递增区间为．19. （1）由已知得且，解得，，所以所以椭圆的方程为．（2）设，．当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合．显然，，三点不共线，不符合题设条件．故可设直线的方程为．由消去整理，得则所以点的坐标为．因为，，三点共线，所以，．因为，所以，此时方程①为．当时，且，则又所以故当时，的最大值为．20. （1）由题意，得的图象与坐标轴的交点为，且则切线的斜率为．由题意，得的图象与直线的交点为，且则切线的斜率为．由，得结合，解得．不等式可化为令，则由及均值不等式，得又时，由此，时，从而所以在上是减函数，故在上是减函数，则因此，实数的取值范围是．（2）和公共定义域为．由（1），得令，则从而在上是增函数，所以即式两边取对数，得再用代，得由，得即从而因此，和在其公共定义域内的所有偏差都大于．。

2012年北京市各区二模试题分类解析【数学理】(5)三角函数

五、三角函数（必修四）1.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC =，AC =，π3A =，则B = _____．答案：π4. 2.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ D ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角3.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠等于（ C ） A ．60或120 B ．120 C ．150 D ．30或150 4.（2012年丰台二模理7）已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是（ C ）A ．B ．C ．D ．5.（2012年昌平二模理9）在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.答案：127π。

6.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转90到点B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin2α的值为．答案：)3,1(-2-7.（2012年海淀二模理11）在ABC ∆中，若120=∠A ，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .。

8.（2012年西城二模理15）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．解：（Ⅰ）22ππππ()cos ()sin cos 12121262f =--==． ………………5分（Ⅱ） 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)3x =+． ………………9分因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 取得最大值2． ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c的取值范围是)+∞． ………………13分 9.（2012年朝阳二模理15）已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）由()12(cos 21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．…3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =. …5分 (Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分10.（2012年丰台二模理15）已知函数()cos sin )f x x x x =-（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +--12sin 22x x -＝cos(2)6x π+（Ⅰ）()cos(2)336f πππ=⨯+==7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． …13分 11.（2012年昌平二模理15）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-.（Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围.解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分即：θ=3π……6分（Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ … 11分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a … 13分12.（2012年东城二模理15）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为-解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.由2π8T ==ω，得4π=ω. ………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42+=ϕ，即4π=ϕ . ………5分所以π()sin()sin (1)444f x x x =+=+ππ. ………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin (51)1,4f =+=-所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………7分所以MN PN MP ===由余弦定理得3cos5MNP ∠==-. ………11分因为[)0,MNP ∠∈π，所以4sin 5MNP ∠=. ……13分。

2012顺义区中考数学二模

2012顺义区中考数学二模一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2．（4分）据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为（）A．9.1×105B．9.1×104C．91×104D．9.1×1033．（4分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（）A． B．C． D．4．（4分）把4a2b﹣16b分解因式，结果正确的是（）A．b（2a﹣4）2B．b（2a+2）（2a﹣2）C．4b（a﹣2）2D．4b（a+2）（a﹣2）5．（4分）北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是（）A．众数是6 B．极差是8 C．平均数是6 D．方差是46．（4分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为（）A．7个单位B．6个单位C．5个单位D．4个单位7．（4分）从1，﹣2，3，﹣4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去小扇形，把纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）若分式的值为0，则x的值等于．10．（4分）如图，▱ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．11．（4分）将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=．12．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP•PC的值为；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）解不等式2（x+2）≤4（x﹣1）+6，并把它的解集在数轴上表示出来．15．（5分）已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD，AB=CD．求证：BF=CE．16．（5分）解方程：．17．（5分）已知2x﹣3=0，求代数式5x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+4）+1的值．18．（5分）某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随若时间x（年）逐年成直线上升，y 与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的关系式；（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．20．（5分）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，，求PC的长及点C到PA的距离．21．（5分）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？22．（5分）阅读下列材料：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B 重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC=x，四边形OCPD的面积为S．（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x=时，S有最大值，求直线AB的解析式；（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．24．（7分）已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B （﹣1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上的一点，若∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y=x2+bx+c上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】9的平方根有：=±3．故选C．2．【解答】9.1万=9.1×104，故选：B．3．【解答】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．故选A．4．【解答】4a2b﹣16b=4b（a2﹣4）=4b（a+2）（a﹣2）．故选D．5．【解答】这组数据6出现了4次，最多，所以这组数据的众数为6；这组数据的最大值为10，最小值为2，所以这组数据的极差=10﹣2=8；这组数据的平均数=（2+5×2+6×4+7×2+10）=6；这组数据的方差S2=[（2﹣6）2+2×（5﹣6）2+4×（6﹣6）2+2×（7﹣6）2+（10﹣6）2]=3.6；则四个选项中，A、B、C正确，D错误．故选D．6．【解答】连接EF，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴EF是圆的直径，∵OE=4，OF=3，∴EF==5，即圆的直径为5个单位．故选C．7．【解答】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，积是正数的有4种情况，∴积是正数的概率是：=．故选B．8．【解答】严格按照图中的顺序向下对折，向右对折，向右下角对折，从右下角剪去一个四分之一圆，展开得到结论．故选A．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】由题意得：x﹣1≠0，2x﹣6=0，解得：x=3．故答案为：3．10．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BE=2，EC=3，∴BC=AD=BE+CE=2+3=5，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴BE：AD=BF：DF=2：5，即=，故答案为：．11．【解答】x2﹣4x﹣1=0，移项得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴m=2，n=5，∴m+n=5+2=7，故答案为：7．12．【解答】如图1中，∵AB=AC，BP=PC，∴AP⊥BC，∴AP2+BP•PC=AP2+PB2=AB2，∵AB=2，∴AP2+BP•PC=AB2=4，故答案为：4；如图2中，作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．根据勾股定理，得AP i2=AD2+DP i2=AD2+（BD﹣BP i）2=AD2+BD2﹣2BD•BP i+BP i2，又P i B•P i C=P i B•（BC﹣P i B）=2BD•BP i﹣BP i2，∴M i=AD2+BD2=AB2=4，∴M1+M2+…+M100=4×100=400．故答案为：400．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】==．14．【解答】去括号得2x+4≤4x﹣4+6，移项得2x﹣4x≤﹣4+6﹣4，合并得﹣2x≤﹣2，系数化为1得x≥1．不等式的解集在数轴上表示如下：15．【解答】证明：∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC，∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=CF，∴BE﹣EF=CF﹣EF．即BF=CE．16．【解答】去分母得：3x（x﹣2）﹣2（x+2）=3（x﹣2）（x+2），去括号得：3x2﹣6x﹣2x﹣4=3x2﹣12，移项得：3x2﹣6x﹣2x﹣3x2=﹣12+4，合并同类项得：﹣8x=﹣8把x的系数化为1得：x=1，检验：把x=1代入最简公分母（x﹣2）（x+2）≠0，∴原分式方程的解为：x=1．17．【解答】5x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+4）+1=5x2﹣10x﹣（x2+2x﹣8）+1=5x2﹣10x﹣x2﹣2x+8+1=4x2﹣12x+9 =（2x﹣3）2．当2x﹣3=0时，原式=0．18．【解答】（1）由图象可知函数图象经过点（2008，4）和（2010，6）设函数的解析式为：y=kx+b∴解得，∴y与x之间的关系式为y=x﹣2004；（2）令x=2011，∴y=2011﹣2004=7，∴该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为7万吨．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】：∵四边形ABCD是矩形，且AD=2，CD=1，∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC=∠C=90°，AB∥DC．∴EB=AB=1．在Rt△ABE中，；在Rt△DCE中，；∵AB∥DC，∴．设EF=x，则DF=2x．∵EF+DF=DE，∴x+2x=∴x=，∴DF=2x=．20．【解答】（1）直线PC与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵BC∥OP，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OB=OC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA，OP=OP，∴△POC≌△POA，∴∠PCO=∠PAO．∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∴∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切；（2）连AC，如图，∵△POC≌△POA，∴∠5=∠6=∠APC，∴sin∠5=sin∠APC=，∵∠PCO=90°，∴∠2+∠5=90°，∴cos∠2=sin∠5=，∵∠3=∠1=∠2，∴cos∠3=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴cos∠3===，∴AB=6，∴OA=OB=OC=3，AC==4，在Rt△POC中，OC=3，sin∠5==，∴OP=9，∴PC==6，过点C作CD⊥PA于D，∵∠ACB=∠PAO=90°，∴∠3+∠7=90°，∠7+∠8=90°．∴∠3=∠8．∴cos∠8=cos∠3=，在Rt△CAD中，cos∠8===，∴AD=，∴CD==，即点C到PA的距离为．21．【解答】（1）∵1﹣28%﹣38%=34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．（2）∵144÷0.06=2400，∴a=2400×0.25=600，b=840÷2400=0.35．（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为204÷34%=600．∴该校学生平均每人读课外书：2400÷600=4．答：该校学生平均每人读4本课外书．22．【解答】如图2．∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．∴BP=BE，PC=AE，∴∠BPE=∠BEP=45°．又PA：PB：PC=1：2：3，∴AE2=AP2+PE2，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．故答案是：135°；（1）如图3，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，△APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．（2）如图3．∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，∴△PCM是等边三角形，∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC﹣∠PMC=65°．∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，∴∠APM=60°，∴∠PAM=180°﹣∠APM﹣∠AMP=55°．∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．故答案是：60°、65°、55°．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（4，0），B（0，6），得解得∴直线AB的解析式为．∵OC=x，∴．∴．即（0＜x＜4）．（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，∵OC=x，∴P（x，mx+n）．∴S=mx2+nx．∵当x=时，S有最大值，∴解得∴直线AB的解析式为y=﹣2x+3．∴A（，0），B（0，3）．即，b=3．（3）设点M的坐标为（x M，y M），由点M在（2）中的直线AB上，∴y M=﹣2x M+3．∵点M到x轴、y轴的距离相等，∴x M=y M或x M=﹣y M．当x M=y M时，M点的坐标为（1，1）．过M点的反比例函数的解析式为．∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，∴点N的坐标为．当x M=﹣y M时，M点的坐标为（3，﹣3），过M点的反比例函数的解析式为．∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，∴点N的坐标为．综上，点N的坐标为或．24．【解答】（1）猜想：∠ACE=∠BCF．证明：∵D是AB中点，∴AD=BD，又∵AE=BD，BF=AD，∴AE=BF．∵CD⊥AB，AD=BD，∴CA=CB．∴∠1=∠2．∵AE⊥AB，BF⊥AB，∴∠3=∠4=90°．∴∠1+∠3=∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF．∴△CAE≌△CBF（SAS）．∴∠ACE=∠BCF．…（2分）（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．证明：连接BE、AF．∵CD⊥AB，AE⊥AB，∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD=AE，CD=AB，△CDB≌△BAE．…（3分）∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°．∴∠EBA+∠CBD=90°．即∠CBE=90°．∴△BCE是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°．…（4分）同理可证：△ACF是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°．…（5分）∴∠ACF=∠BCE．∴∠ACF﹣∠ECF=∠BCE﹣∠ECF．即∠ACE=∠BCF．…（6分）（3）∠ECF的度数为90°﹣α．…（7分）25．【解答】（1）将点A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入中，得，解得，∴二次函数的解析式为．（2）令y=0，得，解得x1=﹣1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），∵，∴顶点P的坐标为（1，﹣2）．过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F，易得∠ACB=∠PCD=45°，，，又∵∠DPC=∠BAC，∴△ACB∽△PCD，∴，∵BC=3﹣（﹣1）=4，∴，∴，∴点D的坐标为．（3）①当BD为一边时，由于，此时可得点M的横坐标为或﹣，代入函数解析式，可得点M的坐标为或．②当BD为对角线时，根据对角线互相平分，可得平行四边形的中心的坐标为（，0）由∵点N的横坐标为0，∴点M的横坐标为，代入函数解析式可得此时点M的坐标为．综上可得点M的坐标为：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）．。

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，则集合M∩N=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 3}D.{1, 3}2. 已知i为虚数单位，则复数i(1−i)所对应点的坐标为（）A.(−1, 1)B.(1, 1)C.(1, −1)D.(−1, −1)3. 已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 下列函数中周期为π且图象关于直线x=π3对称的函数是（）A.y=2sin(12x+π3) B.y=2sin(12x−π3)C.y=2sin(2x+π6) D.f(x)=2sin(2x−π6)5. 给出计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A.i>10B.i<10C.i>20D.i<206. 若向量a→，b→的夹角为π3，且|a→|=2，|b→|=1，则向量a→+2b→与向量a→的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π67. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.60B.80C.100D.120f A(x)≤f B(x)∀x∈U8. 已知全集为U，P⊆U，定义集合P的特征函数为f P(x)={1,x∈P0,x∈C U P，对于A⊆U，B⊆U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有f CU A(x)+f A(x)=1；②对∀x∈U，若A⊆B，则f A(x)≤f B(x)；③对，有f A∩B(x)=f A(x)⋅f B(x)；④对∀x∈U，有f A∪B(x)=f A(x)+f B(x)．其中，正确结论的序号是（）A.①②④B.②③④C.②③D.①②③二．填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）已知点P(−3, 4)在角α的终边上，则sinα=________．如图，随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位cm）按照区间[155, 160)，[160，165)，[165, 170)，[170, 175)，[175, 180)，[180, 185)分组，得到样本身高的频率分布直方图．则频率分布直方图中的x值为________；若将身高在[170, 175)，[175, 180)，[180, 185)区间内的学生依次记为A，B，C三组，用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，则从A ，B ，C 三组中依次抽取的人数为________．以双曲线x 2−4y 2=4的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为________．如果实数x 、y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，则y−1x−1的最小值为________；最大值为________．函数y =11−x的图象与函数y =2cos π2x(−4≤x ≤6)的图象所有交点的横坐标之和等于________．已知集合A ={x|x =a 0+a 1×2+a 2×22}，其中a i ∈{0, 1, 2}(i =0, 1, 2)，且a 2≠0，则集合A 中所有元素之和是________；从集合A 中任取两元素m ，n ，则随机事件“|m −n|≥3”的概率是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．已知向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)，设函数f(x)=m →⋅n →．（1）求函数f(x)的值域；（2）已知锐角△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若f(A)=513，f(B)=35，求f(C)的值．如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB =90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA =BC =1，AB =√2，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ，使CG // 平面PAF ，并求三棱锥A −CDG 的体积．设数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1=3，a 3=2a 2+9（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和S n ．已知函数f(x)=(a −1)x 2+2ln x ，g(x)=2ax ，其中a >1 （1）求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求ℎ(x)的单调区间．已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，点F(1, 0)为椭圆的右焦点．（1）求椭圆G 的方程；（2）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆G 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在着动点P(m, 0)，使得以PM ，PN为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围．对于定义域为A 的函数f(x)，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，则称函数f(x)是A 上的严格增函数；函数f(k)是定义在N ∗上，函数值也在N ∗中的严格增函数，并且满足条件f （f(k)）=3k ．（I ）判断函数f(3x )=2×3x (x ∈N)是否是N 上的严格增函数；（II ）证明：f(3k)=3f(k)；（III ）是否存在正整数k ，使得f(k)=2012，若存在求出k 值；若不存在请说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】将集合M中的元素0，1，3分别代入x=3a中计算，确定出集合N中的元素，得到集合N，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，∴集合N中的元素为：0，3，9，即N={0, 3, 9}，则M∩N={0, 3}．故选C2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先将z化为代数形式，确定好实部虚部，复数与复平面内点的对应关系得出对应的点的坐标．【解答】解：z=i(1−i)=i−i2=1+i，根据复数与复平面内点的对应关系，z对应的点为(1, 1)故选B．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定复合命题及其真假判断【解析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解答】解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题.由¬p是假命题，知p是真命题,∴ “p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．4.【答案】D【考点】正弦函数的对称性【解析】根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：选项A，C中周期为π，排除A，C，将x=π3代入y=2sin(2x+π3)可得y=0≠±2，排除B.将x=π3代入y=2sin(2x−π6)，y=2取得最值．D对故选D.5.【答案】A【考点】程序框图【解析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i−1表示加的项数，当加到120时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i−1=10执行“是”，所以判断框中的条件是“i>10”.故选A.6.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：设向量a→与向量a→+2b→的夹角等于α，∵ 向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|=2，|b →|=1，∴ a →⋅(a →+2b →)=a →2+2a →⋅b →=4+2×2×1×cos π3=6，|a →+2b →|=√(a →+2b →)2=√4+4+4×2×1×cos π3=2√3，∴ cos α=a →⋅(a →+2b →)|a →||a →+2b →|=2×23=√32， ∵ α∈[0, π]， ∴ α=π6. 故选A ．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图判断几何体的形状，画出其直观图，判断数据所对应的量，代入公式求解即可．【解答】解：几何体的直观图如图：几何体为四棱柱，底面为等腰梯形，高为4， ∴ V=2+82×4×4=80．故选B ． 8. 【答案】 D【考点】全称命题与特称命题【解析】利用特殊值法解决．先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．【解答】解：利用特殊值法进行求解．设U ={1, 2, 3}，A ={1}，B ={1, 2}．那么：对于①有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f C U A (1)=0，f C U A (2)=1，f C U A (3)=1．可知①正确；对于②有f A (1)=1=f B (1)，f A (2)=0<f B (2)=1，f A (3)=f B (3)=0可知②正确；对于③有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∩B (1)=1，f A∩B (2)=0，f A∩B (3)=0．可知③正确；对于④有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∪B (1)=1，f A∪B (2)=1，f A∪B (3)=0可知．④不正确；其中，正确结论的序号是：①、②、③．故选D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）【答案】 45【考点】三角函数【解析】由于已知点P(−3, 4)在角α的终边上，可得 x =−3，y =4，r =|OP|=5，再由sin α=yr ，求得结果．【解答】解：∵ 已知点P(−3, 4)在角α的终边上，∴ x =−3，y =4，r =|OP|=5，则sin α=y r =45，故答案为 45．【答案】 0.06,3，2，1 【考点】用样本的频率分布估计总体分布分层抽样方法【解析】因为各组的频率之和为1，由此列出等式，利用频率=频数/总人数，计算出x ；算出三个小组每组学生数，按照分层抽样的方法，即按比例抽样，即各小组按需30:20:10进行抽取即可．【解答】解：由频率分布直方图可知5x =1−5×(0.01+0.03+0.04+0.04+0.02) 所以x =0.06．由于100×(0.06×5)=30（人），100×(0.04×5)=20（人），100×(0.02×5)=10（人）故A ，B ，C 三组的人数分别为30人，20人，10人．因此应该从A ，B ，C 组中每组各抽取6×3060=3（人），6×2060=2（人），6×1060=1（人）．故答案为：0.06；3，2，1．【答案】y 2=4√5x 【考点】抛物线的求解【解析】由双曲线的中心和焦点坐标得出抛物线的顶点坐标和焦点坐标，从而写出抛物线方程．【解答】解：由双曲线x 2−4y 2=4的中心为(0, 0)，右焦点知，抛物线中心(0, 0)，焦点坐标( √5, 0)， ∴ p2=√5，p =2√5， ∴ 抛物线方程是y 2=4√5x ．故答案为：y 2=4√5x ．【答案】12,2 【考点】简单线性规划【解析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与点(1, 1)构成的直线的斜率最值．【解答】解：不等式组{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0表示的区域如图，z =y−1x−1的几何意义是可行域内的点与点(1, 1)构成的直线的斜率问题．当取得点B(−1, 0)时， z =y−1x−1取最小值为12，当取得点C(0, −1)时， z =y−1x−1取最大值为2，故答案为：12，2．【答案】 6【考点】余弦函数的图象【解析】先确定函数的对称性，再确定交点的个数，即可得到结论．【解答】解：函数y =11−x 的对称中心为(1, 0)，函数y =2cos π2x(−4≤x ≤6)关于(1, 0)中心对称∴ 函数y =11−x 的图象与函数y =2cos π2x(−4≤x ≤6)的图象共有6交点，∴ 函数y =11−x的图象与函数y =2cos π2x(−4≤x ≤6)的图象所有交点的横坐标之和等于3×2=6故答案为6 【答案】 99,3655【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】由题意列出a 0，a 1，a 2的所有取值情况，求值后根据集合中元素的互异性得到集合A 中的元素，然后直接求和；由排列组合知识求出从集合A 中的元素中任意取出2个元素的所有情况数，列举得到满足|m −n|≥3的情况数，然后运用古典概型概率计算公式求概率．【解答】解：由题意可知，a 0，a 1，a 2的所有取值情况为： a 0=0，a 1=0，a 2=1，x =4； a 0=0，a 1=0，a 2=2，x =8； a 0=0，a 1=1，a 2=1，x =6； a 0=0，a 1=1，a 2=2，x =10； a 0=0，a 1=2，a 2=1，x =8； a 0=0，a 1=2，a 2=2，x =12； a 0=1，a 1=0，a 2=1，x =5； a 0=1，a 1=0，a 2=2，x =9； a 0=1，a 1=1，a 2=1，x =7； a 0=1，a 1=1，a 2=2，x =11； a 0=1，a 1=2，a 2=1，x =9； a 0=1，a 1=2，a 2=2，x =13； a 0=2，a 1=0，a 2=1，x =6； a 0=2，a 1=0，a 2=2，x =10； a 0=2，a 1=1，a 2=1，x =8； a 0=2，a 1=1，a 2=2，x =12； a 0=2，a 1=2，a 2=1，x =10； a 0=2，a 1=2，a 2=2，x =14；由集合中元素的互异性可知，集合A 中共有11个元素，分别为：4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．所以集合A 中的所有元素之和为4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=99．从集合A 中的11个元素中，任取两元素m ，n 的所有取法种数为A 112=110种．满足|m −n|≥3的有：m =4时，n 取7到14中的任意一个数，共8种； m =5时，n 取8到14中的任意一个数，共7种； m =6时，n 取9到14中的任意一个数，共6种；m =7时，n 取10到14中的任意一个数和4，共6种； m =8时，n 取11到14中的任意一个数4，5，共6种； m =9时，n 取4，5，6，12，13，14，共6种； m =10时，n 取4，5，6，7，13，14，共6种；m =11时，n 取4到8中的任意一个数和14，共6种； m =12时，n 取4到9中的任意一个数，共6种； m =13时，n 取4到10中的任意一个数，共7种； m =14时，n 取4到11中的任意一个数，共8种；所以满足|m −n|≥3的共72种，则随机事件“|m −n|≥3”的概率是72110=3655．故答案为99；3655．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．【答案】解：（1）由题意可得函数f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ，再由余弦函数的值域可得函数f(x)的值域为[−1, 1]．（2）在锐角△ABC 中，f(A)=513，f(B)=35，∴ cos A =513，cos B =35， ∴ sin A =1213，sin B =45，∴ f(C)=cos C =−cos (A +B)=−cos A cos B +sin A sin B =−513×35+1213×45=3365．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积【解析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式、二倍角公式，求得函数f(x)的解析式为cos x ，再由余弦函数的值域可得函数f(x)的值域．（2）在锐角△ABC 中，由 f(A)=513，f(B)=35，求得cos A 和 cos B 的值，可得 sin A 和sin B 的值，再由f(C)=cos C =−cos (A +B)，利用两角和的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）由题意可得函数f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ，再由余弦函数的值域可得函数f(x)的值域为[−1, 1]．（2）在锐角△ABC 中，f(A)=513，f(B)=35，∴ cos A =513，cos B =35，∴ sin A =1213，sin B =45，∴ f(C)=cos C =−cos (A +B)=−cos A cos B +sin A sin B =−513×35+1213×45=3365．【答案】解：（1）∵ 四边形是平行四边形，∴ AD // BC ，可得∠ACB =∠DAC =90∘，即AC ⊥DA ∵ PA ⊥平面ABCD ，DA ⊆平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又∵ AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH ⊥PA 于H ，连接FH ，则△PAD 中，GH 平行且等于12AD∵ 平行四边形ABCD 中，FC 平行且等于12AD ，∴ GH // FC 且GH =FC ，四边形FCGH 为平行四边形，得GC // FH ， ∵ FH ⊂平面PAF ，CG ⊄平面PAF ，∴ CG // 平面PAF ，即G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ．设点G 到平面ABCD 的距离为d ，则由G 为PD 中点且PA ⊥平面ABCD ，得d =12PA =12，又∵ Rt △ACD 面积为12×1×1=12∴ 三棱锥A −CDG 的体积V A−CDG =V G−CDA =13S △ACD ×12=112．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】（1）平行四边形ABCD 中，证出AC ⊥DA ．结合PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥DA ，由线面垂直的判定定理，可得DA ⊥平面PAC ．（2）设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH ⊥PA 于H ，连接FH ，可证出四边形FCGH 为平行四边形，得GC // FH ，所以CG // 平面PAF ．设点G 到平面ABCD 的距离为d ，得d =12PA =12，结合Rt △ACD 面积和锥体体积公式，可算出三棱锥A −CDG 的体积．【解答】解：（1）∵ 四边形是平行四边形，∴ AD // BC ，可得∠ACB =∠DAC =90∘，即AC ⊥DA ∵ PA ⊥平面ABCD ，DA ⊆平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又∵ AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH ⊥PA 于H ，连接FH ，则△PAD 中，GH 平行且等于12AD∵ 平行四边形ABCD 中，FC 平行且等于12AD ，∴ GH // FC 且GH =FC ，四边形FCGH 为平行四边形，得GC // FH ， ∵ FH ⊂平面PAF ，CG ⊄平面PAF ，∴ CG // 平面PAF ，即G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ．设点G 到平面ABCD 的距离为d ，则由G 为PD 中点且PA ⊥平面ABCD ，得d =12PA =12，又∵ Rt △ACD 面积为12×1×1=12∴ 三棱锥A −CDG 的体积V A−CDG =V G−CDA =13S △ACD ×12=112．【答案】解：（1）∵ 数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1=3，a 3=2a 2+9，设公比为q ，则3q 2=2×3×q +9，解得q =3，或q =−1（舍去），故a n =3×3n1=3n ．（2）∵ b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a n =log 3 (a 1⋅a 2⋅a 3...a n ) =log 3 31+2+3+⋅⋅+n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，故有1b n=2n(n+1)=2[1n −1n+1]，故有S n =2[(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1．【考点】等比数列的性质数列的求和【解析】（1）由a 1=3，a 3=2a 2+9，设公比为q ，则有3q 2=2×3×q +9，解得q 的值，即可求得数列{a n }的通项公式．（2）由于b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a n =log 3(a 1⋅a 2⋅a 3...a n )，把通项公式代入，利用对数的运算性质化简可得b n =n(n+1)2，可得1b n=2n(n+1)，用裂项法求得数列{1b n}的前n 项和S n ．【解答】解：（1）∵ 数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1=3，a 3=2a 2+9，设公比为q ，则3q 2=2×3×q +9，解得q =3，或q =−1（舍去），故a n =3×3n1=3n ．（2）∵ b n =log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a n =log 3 (a 1⋅a 2⋅a 3...a n ) =log 3 31+2+3+⋅⋅+n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，故有1b n=2n(n+1)=2[1n −1n+1]，故有S n =2[(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1．【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=(a −1)x 2+2ln x ， ∴ f′(x)=2(a −1)x +2x∴ f′(1)=2a ∵ f(1)=a −1∴ 曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y −(a −1)=2a(x −1)，即y =2ax −a −1；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=2(a −1)x +2x +2a =2(x+1)[(a−1)x−1]x(x >0)令ℎ′(x)>0，可得x <−1或x >1a−1；令ℎ′(x)<0，可得−1<x <1a−1， ∴ 函数ℎ(x)的单调增区间是(−∞, −1)，(1a−1, +∞)；单调减区间是(−1, 1a−1)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）求导函数，利用导数的正负，可得函数ℎ(x)的单调区间．【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=(a −1)x 2+2ln x ，∴ f′(x)=2(a −1)x +2x ∴ f′(1)=2a ∵ f(1)=a −1∴ 曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y −(a −1)=2a(x −1)，即y =2ax −a −1；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=2(a −1)x +2x +2a =2(x+1)[(a−1)x−1]x(x >0)令ℎ′(x)>0，可得x <−1或x >1a−1；令ℎ′(x)<0，可得−1<x <1a−1， ∴ 函数ℎ(x)的单调增区间是(−∞, −1)，(1a−1, +∞)；单调减区间是(−1, 1a−1)．【答案】解：（1）由题意可得{e =ca=√22a 2=c 2+b 2c =1，解得{a 2=2b =c =1，故椭圆G 的方程为x 22+y 2=1；（2）当k =0时，不满足题意．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，t =1k ，线段MN 的中点E(x 0, y 0)．设直线l:ty =x −1，联立{ty =x −1x 2+2y 2=2化为(t 2+2)y 2+2ty −1=0， ∴ y 1+y 2=−2tt 2+2，∴ y 0=y 1+y 22=−tt 2+2．∴ x 0=ty 0+1=2t 2+2，因此E(2t 2+2，−tt 2+2)．因为在x 轴上存在着动点P(m, 0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，所以必有PE ⊥MN ，∴ 1t ⋅−t t 2+22t 2+2−m =−1，化为m =1t 2+2， ∵ t 2>0． ∴ 0<m <12．故m 的取值范围是(0,12)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）利用离心率计算公式及a ，b ，c 的关系可得{e =c a=√22a 2=c 2+b 2c =1，解得即可；（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，t =1k ，线段MN 的中点E(x 0, y 0)．设直线l:ty =x −1，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，进而得到E 的坐标，用t 表示．因为在x 轴上存在着动点P(m, 0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，所以必有PE ⊥MN ，k ⋅k PE =−1，即可求出m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得{e =ca =√22a 2=c 2+b 2c =1，解得{a 2=2b =c =1，故椭圆G 的方程为x 22+y 2=1；（2）当k =0时，不满足题意．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，t =1k ，线段MN 的中点E(x 0, y 0)．设直线l:ty =x −1，联立{ty =x −1x 2+2y 2=2化为(t 2+2)y 2+2ty −1=0，∴ y 1+y 2=−2tt 2+2，∴ y 0=y 1+y 22=−tt 2+2．∴ x 0=ty 0+1=2t 2+2，因此E(2t 2+2，−tt 2+2)．因为在x 轴上存在着动点P(m, 0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，所以必有PE ⊥MN ，∴ 1t ⋅−t t 2+22t 2+2−m =−1，化为m =1t 2+2，∵ t 2>0． ∴ 0<m <12．故m 的取值范围是(0,12)．【答案】（I ）解：设任意的x 1，x 2∈N ，当x 1<x 2时，有3x 1<3x 2，则3x 1−3x 2<0， ∴ f(3x 1)−f(3x 2)=2⋅3x 1−2⋅3x 2=2(3x 1−3x 2 )<0， ∴ 函数f(3x )=2×3x (x ∈N)是N 上的严格增函数．（II ）证明：∵ 对k ∈N ∗，f （f(k)）=3k ， ∴ f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f （f(k)）=3k ，得f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)，故f(3k)=3f(k)；（III ）先证明：f(3k−1)=2×3k−1(k ∈N ∗)．若f(1)=1，由已知f （f(k)）=3k 得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a >1，∴ f （f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a ⇒f(1)<f(a)=3，得{f(1)≠1f(1)<3f(1)∈N ∗，∴ f(1)=2，由③f （f(1)）=f(a)=3，得f （f(1)）=f(2)=3，∴ f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)=3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，… 依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k ∈N ∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k =1时，显然成立；（2）假设当k =l(l ≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k =l +1时，f(3l )=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l ．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k ∈N ∗f(3k−1)=2×3k−1成立． ∵ f(3k−1)=2×3k−1(k ∈N ∗)，且f(x)是严格单调增函数，∴ 存在p =3k−1+1，当p 个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p 个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k ．而2×37−1<2012<37，即f(37−1)<2012<f(2×37−1)， ∴ 必存在k ，满足37−1<k <2×37−1，使得f(k)=2012．【考点】复合函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】（I）定义法：设任意的x1，x2∈N，当x1<x2时，通过作差判断f(3x1)与f(3x2)的大小关系，根据严格增函数的定义可作出判断；（II）由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=f(3k)①，再由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=3f(k)②，联立①②可得结论．（III）先证明：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)，由此可知存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k，据此可得结论．【解答】（I）解：设任意的x1，x2∈N，当x1<x2时，有3x1<3x2，则3x1−3x2<0，∴f(3x1)−f(3x2)=2⋅3x1−2⋅3x2=2(3x1−3x2 )<0，∴函数f(3x)=2×3x(x∈N)是N上的严格增函数．（II）证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)，故f(3k)=3f(k)；（III）先证明：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3，得{f(1)≠1 f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③f（f(1)）=f(a)=3，得f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)= 3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．∵f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)，且f(x)是严格单调增函数，∴存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)= 2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．而2×37−1<2012<37，即f(37−1)<2012<f(2×37−1)，∴必存在k，满足37−1<k<2×37−1，使得f(k)=2012．。

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，则集合M∩N=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 3}D.{1, 3}2. 已知i为虚数单位，则复数i(1−i)所对应点的坐标为（）A.(−1, 1)B.(1, 1)C.(1, −1)D.(−1, −1)3. “p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也木必要条件4. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A.i<20B.i>20C.i<10D.i>105. 已知直线l:x−y−1=0和圆C:{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系为（）A.直线与圆相交B.直线与圆相切C.直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心6. 甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.12种B.16种C.24种D.48种7. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.60B.80C.100D.1208. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（）A.4B.8C.12D.16二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则n=________；展开式中间一项的系数为________．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N∗都有S n=2a n−1，则a1的值为________，数列{a n}的通项公式a n=________．如图所示：圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，∠BAC=30∘，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线，垂足为D，则CD的长为________．已知O 是坐标原点，点A(−2, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，上的一个动点，则OA →⋅OM →的最大值为________．已知A 、B 、P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ⋅k PB =12，则该双曲线的离心率e =________．已知全集为U ，P ⊈U ，定义集合P 的特征函数为f P (x)={1,x ∈P0,x ∈C U P ，对于A ⊊U ，B ⊊U ，给出下列四个结论：①对∀x ∈U ，有f CU A (x)+f A (x)=1； ②对∀x ∈U ，若A ⊊B ，则f A (x)≤f B (x)； ③对∀x ∈U ，有f A∩B (x)=f A (x)⋅f B (x)； ④对∀x ∈U ，有f A∪B (x)=f A (x)+f B (x)．其中，正确结论的序号是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.已知向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)，设函数f(x)=m →⋅n →．（1）求函数f(x)的值域；（2）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若f(A)=13，BC =2√3，AC =3，求边长AB 的值．如图：四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB =90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA =BC =1，AB =√2，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ，使CG // 平面PAF ；（3）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；（3）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．已知函数f(x)=x −ln x ，g(x)=x +a 2x，（其中a >0）．（1）求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）若x =1是函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a 的值；（3）若对任意的x 1，x 2∈[1, e]，(e 为自然对数的底数，e ≈2.718)都有f(x 1)≤g(x 2)，求实数a 的取值范围．已知动圆过点M(2, 0)，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点，若在x 轴上存在定点P(a, 0)，使PM 平分∠APB ，求P 点的坐标．对于定义域为A 的函数f(x)，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N ∗上，函数值也在N ∗中的严格增函数，并且满足条件f （f(k)）=3k ．（I ）证明：f(3k)=3f(k)；（II ）求f(3k−1)(k ∈N ∗)的值；（III ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】将集合M中的元素0，1，3分别代入x=3a中计算，确定出集合N中的元素，得到集合N，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，∴集合N中的元素为：0，3，9，即N={0, 3, 9}，则M∩N={0, 3}．故选C2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先将z化为代数形式，确定好实部虚部，复数与复平面内点的对应关系得出对应的点的坐标．【解答】解：z=i(1−i)=i−i2=1+i，根据复数与复平面内点的对应关系，z对应的点为(1, 1)故选B．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断．【解答】解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件．故选A 4.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用1n+s的值代替s得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值．由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=12，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=12+14，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=12+14+16，n=8，i=4；…看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2(i−1)∴20=2(i−1)解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i>10．故选D．5.【答案】C【考点】圆的参数方程直线与圆的位置关系【解析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，和半径比较后即可得到结论．【解答】解：由{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，得x2+(y−1)2=1．所以给出的圆C的圆心是(0, 1)，半径为1．又直线l:x−y−1=0，由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离d=√12+(−1)2=√2>1．所以直线l与圆C的位置关系为相离．故选C．6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36−6−6=24种．故选C7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．据此即可得出体积‘【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．∴V=(2+8)×42×4=80．故选B．8.【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】以椭圆G的一个顶点和一个焦点构成的线段的垂直平分线与椭圆的交点坐标都是满足条件的点M．【解答】解：设椭圆G:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，下顶点为B1，上顶点为B2，∵椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，∴A1F1、A1F2、A2F1、A2F2、B1F1、B2F1的垂直平分线与椭圆G的坐标都是满足条件的点M，∴满足条件的点M的个数是12个．故选C．二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）【答案】4,6【考点】二项式定理的应用【解析】由题意可得C n1=C n3，故有1+3=n，求得n的值，从而求得展开式中间一项的系数【解答】解：若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则得C n1=C n3，∴1+3=n，则n=4．展开式中间一项的系数为C42=6，故答案为4；6．【答案】1,2n−1【考点】数列递推式【解析】把n=1代入S n=2a n−1就可以求出a1的值；首先表示出s n−1，然后利用a n=s n−s n−1，即可求出通项公式．【解答】解：当n=1时，s1=2a1−1∴a1=1∵S n=2a n−1①∴s n−1=2a n−1−1②①-②得，a n=2a n−2a n−1∴a na n−1=2∴数列{a n}是以1为首项公比为2的等比数列∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1故答案为1，2n−1．【答案】3√32【考点】与圆有关的比例线段【解析】连结BC，可得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，结合∠BAC=30∘且AB=6算出AC=3√3．由弦切角定理，得Rt△ADC中，∠DCA=∠B=60∘，从而算出CD=AC cos60∘=3√32，得到本题答案．【解答】解：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90∘∵∠BAC=30∘，AB=6，∴BC=12AB=3，AC=√32AB=3√3，∠B=60∘又∵直线CD切圆O于C，∴∠DCA=∠B=60∘因此，Rt △ADC 中，CD =12AC =3√32故答案为：3√32【答案】3【考点】简单线性规划数量积的坐标表达式【解析】首先画出可行域，z =OA →⋅OM →代入坐标变为z =x +2y ，即y =−2x +z ，z 表示斜率为−2的直线在y 轴上的截距，故求z 的最大值，即平移直线y =−2x 与可行域有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值即可．【解答】解：如图所示：z =OA →⋅OM →=−2x +y ，即y =2x +z ，首先做出直线l 0:y =2x ，将l 0平行移动，当经过B(−2, −1)点时在y 轴上的截距最大，从而z 最大．因为B(−2, −1)，故z 的最大值为z =2×2−1=3．故答案为：3．【答案】 √62【考点】双曲线的特性【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA ⋅k PB =12，即可求得结论．【解答】解：由题意，设A(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)∴ k PA ⋅k PB =y 2−y 1x 2−x 1×y 2+y1x 2+x 1=y 22−y 12x 22−x 12∵ x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，∴ 两式相减可得y 22−y 12x 22−x 12=b 2a 2∵ k PA ⋅k PB =12，∴ b 2a 2=12∴c 2−a 2a 2=12，∴c 2a 2−1=12∴ c 2a 2=32，∴ e =ca =√62故答案为：√62【答案】 ①、②、③ 【考点】全称命题与特称命题【解析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．【解答】解：利用特殊值法进行求解．设U ={1, 2, 3}，A ={1}，B ={1, 2}．那么：对于①有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f C U A (1)=0，f C U A (2)=1，f C U A (3)=1．可知①正确；对于②有f A (1)=1=f B (1)，f A (2)=0<f B (2)=1，f A (3)=f B (3)=0可知②正确；对于③有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∩B (1)=1，f A∩B (2)=0，f A∩B (3)=0．可知③正确；对于④有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∪B (1)=1，f A∪B (2)=1，f A∪B (3)=0可知．④不正确. 故答案为：①、②、③．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 【答案】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ， ∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]．（2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3．【考点】余弦定理数量积的坐标表达式【解析】(I 利用向量的数量积公式，结合二倍角公式化简函数，即可求函数f(x)的值域；（2）利用余弦定理，建立方程，即可求c 的值．【解答】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R) ∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ，∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]．（2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3．【答案】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1) 设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ．（3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1)∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD ⊥AC ，再利用线面垂直的性质可得PA ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 法向量m →，要CG // 平面PAF ，可得m →⋅GC →=0，即可求得结论；（3）确定平面PCD 法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1)设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ．（3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1) ∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155．【答案】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．，可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960，P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【考点】离散型随机变量的期望与方差相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）记“甲、乙、丙获得合格证书”分别为事件A 、B 、C ，由独立事件的概率分别可得P(C)，P(B)，P(A)，比较大小可得结论；（2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ，可得P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C)，由独立事件和互斥事件的概率公式可得；（3）由题意可得X =0，1，2，3，分别可得可得其对应的概率，进而可得X 的分布列为和数学期望EX ．【解答】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．，可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960， P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【答案】解：（1）f(1)=1−ln 1=1，f′(x)=1−1x ，则f′(1)=0，即切线斜率为0，故曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y −1=0⋅(x −1)，即y =1；（2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −ln x +x +a 2x=2x +a 2x−ln x ，定义域为(0, +∞)，∴ ℎ′(x)=2−a 2x 2−1x =2x 2−x−a 2x 2，令ℎ′(1)=0，解得a 2=1，又a >0，∴ a =1，经验证a =1符合条件．（3）对任意的x 1，x 2∈[1, e]都有f(x 1)≤g(x 2)成立，等价于对任意的x ∈[1, e]都有f max (x)≤g min (x)成立，当x ∈[1, e]时，f ′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴ f(x)在[1, e]上单调递增，f max (x)=f(e)=e −1．∵ g ′(x)=1−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2，x ∈[1, e]，a >0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【考点】导数求函数的最值函数在某点取得极值的条件利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出切点坐标，切线斜率f′(1)，由点斜式即可求得切线方程；（2）写出ℎ(x)及其定义域，求出ℎ′(x)，由题意得ℎ′(1)=0，解出a值再进行验证即可；（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，利用导数易判断f(x)在[1, e]上单调，从而可求得其最大值；求出导数g′(x)=(x−a)(x+a)x2，分0<a≤1，1<a<e，a≥e三种情况进行讨论可得g min(x)，然后解不等式f max(x)≤g min(x)可求得a的取值范围；【解答】解：（1）f(1)=1−ln1=1，f′(x)=1−1x，则f′(1)=0，即切线斜率为0，故曲线y=f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y−1=0⋅(x−1)，即y=1；（2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x−ln x+x+a 2x =2x+a2x−ln x，定义域为(0, +∞)，∴ℎ′(x)=2−a2x2−1x=2x2−x−a2x2，令ℎ′(1)=0，解得a2=1，又a>0，∴a=1，经验证a=1符合条件．（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，当x∈[1, e]时，f′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴f(x)在[1, e]上单调递增，f max(x)=f(e)=e−1．∵g′(x)=1−a2x2=(x−a)(x+a)x2，x∈[1, e]，a>0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x 在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【答案】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题圆锥曲线的轨迹问题【解析】（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)，利用垂径定理和两点间的距离公式即可得到22+|x|2=(x−2)2+y2，化简即可．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．得到根与系数的关系y1+y2=4m，y1y2=−8．由PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．利用斜率计算公式可得y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，即2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．把y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，即可得到a的值；解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．②当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，与抛物线方程联立，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，得到根与系数的关系x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4；由已知PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．以下类比解法1．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【答案】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)=3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【考点】函数恒成立问题【解析】（I）证明：由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=f(3k)①，再由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=3f(k)②，联立①②可得结论．（II）由已知易判断f(1)=1不成立，设f(1)=a>1，则f（f(1)）=f(a)=3③，由f(k)严格递增，可判断f(1)=2，且f(2)=3，由此可推得f(3)=6，f(9)=3f(3)=18，f(27)=54，…，依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．再用数学归纳法证明即可；（III）由已知及(I)(II)知：当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【解答】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1 f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)= 3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．。

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2012年北京各区县初三数学二模(共六套)

海淀区九年级第二学期期末练习数学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. -5的倒数是A ．15B ．15- C ．5- D ．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为 A. 18.9⨯106 B. 0.189⨯108 C. 1.89⨯107 D. 18.8⨯1063. 把2x 2 − 4x + 2分解因式，结果正确的是A ．2(x − 1)2B ．2x (x − 2)C ．2(x 2 − 2x + 1)D ．(2x −2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是A BCD 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A ．0B ．13C ．23D ．16. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A. 21B. 3C. 2D. 1A'ED ABCC. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为颗; 当挪动n 颗珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为（用含n 的代数式表示）.FE R P B C D A班级三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan604---+︒．14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．GF E D CA P EDCA四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下：甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式；（2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有名，D 类男生有名，将上面条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.类别50%25%15%D C B A22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点. （1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.E 3 E 1 E 2P 1 P 2 N 1N 22 1 B A图3 GFH24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.备用图25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3A N DA C E D NM B F E C B F N M E C B海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分整理，得 324x =-．解得 8x =-． ………………………………………………………………4分经检验，8x =-是原方程的解．所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分 GFEDC AP17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分（2）ABC ∠的度数为15︒或105︒．（每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD =. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分 ∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单，依题意得 {1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3）乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分（2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .D EC BA∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分（3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹，由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=．解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >， ∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴131m =-. ∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分（3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 2003330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ， ∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F . 由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P 1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ．由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分丰台区2012年初三统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12C ．2D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 A ．14B ．12C ．34D ．1 5．若20x +=则 y x 的值为A ．－8B ．－6C ．6D ．8 6．下列运算正确的是 A ．222()a b a b +=+B ．235a b ab +=C ．632a a a ÷=D ．325a a a ⋅=EDCBA7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x xC ．30528002800=-x xD ．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是 A ．北 B ．京C ．精D ．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）9有意义，则x 的取值范围是． 10．分解因式：=+-b ab b a 25102．11．如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果1OD =，那么BAC ∠=________︒． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…，利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()︒⎪⎭⎫⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．DOCBA15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点．（1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ．（1）求证：OC ⊥OB ；B21DOCBAMFEBCDA（2）如果OD=1，tan∠OCA=2，求AC的长．22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．B A DCEFHGHFEDAB图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点PP 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图2AEFPB D CCE AD F P25．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为．北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --= ， ∴223a a -=． (3)分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明： ∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中， OA=OB ，∠AOC =∠BOD ， CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分 ∴∠C =∠D ． …………….5分17．解：（1）反比例函数ky x= 的图象经过点A (-1，1) ，∴-11-1k =⨯=．…………1分（2）P 1(0、 P 2(0，、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ． ∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于23．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意；当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°．过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21． ∵PQNQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分 ∴二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’，设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3．∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’，在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1．7654321NMCD BPFEA∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分2012年门头沟区初三年级第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 1. 4-的倒数是 A.4-B.4C. D. 2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．将 0.000 0963用科学记数法表示为A. 51063.9⨯ B. 51063.9-⨯ C. 41063.9-⨯ D. 31063.9-⨯ 3. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是4. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900° 5. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.46. 某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公41-41Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．EDCB A顷产量的两组数据，两组数据的平均数相同，其方差分别为s 甲2＝0.002、s 乙2＝0.03，则下列说法正确的是 A ．甲比乙的产量稳定B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定7.关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 A. B. C. D.8. 如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上，过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展开图是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：22344xy y x x +-= . 10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若32=BD AD ，AE =3，则AC = . 11.一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元. 该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本. 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x （10≥x ）本，则付款金额y （元）与练习本个数x （本）之间的函数关系式是 .12. 一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654b a -，…，其中第6个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：4)3(45sin 80-+-+︒-π14.解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234xx x x15.已知：3=x ，求2212-÷-x x x x 的值.PNM P /N /PN M P /N /P N M P /N /P N M M /P /N/PNM 121>m 121<m 121->m 121-<m16. 已知：如图，点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点，且∠1=∠2. 求证：AE =FC .17. 如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.18. 列方程或方程组解应用题某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）19.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.21.甲学校到丙学校要经过乙学校. 从甲学校到乙学校有A 1、A 2、A 3三条线路，从乙学校到丙学校有B 1、B 2二条线路．（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B 1线路的概率是多21F EDCBA DC BA少？23. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x 2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值；(3)若a 是负数时，当a ＝a 1时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M (m ，0)；当a ＝a 2时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N (n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a 1与a 2的大小.24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°．（1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 从A 点出发，在AB 边上匀速运动. 动点Q 从点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）. （1）求出点C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.C D MB FE图1D M B图3N 2P 2M 2 D MBFD 1图2B 1K31634+-=x y2012年门头沟数学二模评标一、选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.A7.C8.A 二、填空题9.2)2(y x x - 10.215 11. 2005+=x y 12. 6476b a -，n n n n b a 2)1(11++- 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式=412222++-……………………………………4分 =5223+ ………………………………………….5分 14. ()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+)2(321)1(234 xx x x解：由（1）得，1-≥x …………………………………….2分由（2）得，x<3 ………………………………………4分不等式组的解集是31<≤-x ………………………5分 15.解：2212-÷-x xx x =xx x x x )1(2)1)(1(-⋅-+ ………………………..3分 =12+x ……………………………………..4分当x=3时，原式=12+x =132+=21…………………………5分16.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D. ………………………….2分 ∵∠1=∠2，……………………………………….3分△ABE ≌△CDF. ………………………………4分 AE=CF. ………………………………………5分17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分21FEDC B A（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分 18.解：设甲组每天修桌凳x 套，则乙组每天修桌凳为1.5x 套. …………………………..1分由题意得，205.1960960+=xx …………………………………………….3分解得，x=16 ………………………………………………………………………4分经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.1.5x=1.5⨯16=24 …………………………………………………………..5分答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套. 19.解：过C 作CE ⊥BD 于E. ∵∠ADB =90°，sin ∠ABD =54， ∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ∴DB=3x∵BC =CD =DB ，∴DE=x 23，∠CDB=60°. ………………………2分 ∴tan ∠CDB=DECE∴CE=x 233. ……………………………3分 ∵S △BCD =39, ∴3921=⋅⋅CE BD ∴ x=2. ………………………………………….4分 ∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.∴四边形ABCD 的周长=AD+AB+CD+CB=30. ……………………………..5分 20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∵CD ⊥PA ， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分EDCBA∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分 ∴AD=2, AF=5-2=3. ∵OF ⊥AB ，AB=2AF=6. ………………………..5分 21.(1)………………………………..2分结果：（A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，B 1）,（A 3，B 2） ………….4分（2）小张恰好经过了B 1线路的概率是21………………………………………….6分22.（1）正确 ……………………………….2分（一个1分）（2）正确 ………………………………..4分 23. 当a=-1时，y=-x 2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分 (2)∵代数式-x 2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x 2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2. 当y=1时，-x 2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x …………3分当y=2时，-x 2+x+2＝2，解得x 3=0,x 4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1. （3）当a ＜0时，即a 1＜0，a 2＜0.B 2B 2B 1B 1B 2B 1A 3A 2A 1经过点M 的抛物线y=a 1x 2+x+2的对称轴为121a x -=, 经过点N 的抛物线y=a 2x 2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分∴121a -＜221a -. ∴a 1＜a 2.…………………………………………………………7分24. 解：（1）垂直. …………………………1分证明：延长FM 交BD 于N.如图1，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴∠ADB ＝∠AFM ．又∵∠DMN ＝∠AMF ， ∴∠ADB ＋∠DMN ＝∠AFM ＋∠AMF ＝90°．∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ． ······································································· 2分（2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） ····················································· 4分（3）如图2，由题意知四边形PNA 2A 为矩形，设A 2A ＝x ，则PN ＝x ．在Rt △A 2M 2F 2中，∵M 2F 2＝MF ＝BD ＝8，∠A 2F 2M 2＝∠AFM ＝∠ADB ＝30°． ∴M 2A 2＝4，A 2F 2＝34. …………………………..5分 ∴AF 2＝34－x ．在Rt △P AF 2中，∵∠PF 2A ＝30°． ∴AP ＝AF 2tan ·30°＝(34－x )·33＝4－33x ． ∴PD ＝AD －AP ＝34－4＋33x ． ……………..6分D M A BF图2NF 2P A 2M 2 C DMB FE图1N∵NP ∥AB ，∴ABPN ＝DA DP ．∴4x＝3433434x ＋－，解得x ＝6－32．即平移的距离是(6－32)cm ． (7)分25. 解：（1）把y ＝4代入y ＝－43x ＋163，得x ＝1. ∴C 点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2）当y ＝0时，－43x ＋163＝0，∴x ＝4.∴点B 坐标为（4，0）.过点C 作CM ⊥AB 于M ，则CM ＝4，BM ＝3. ∴BC5.∴sin ∠ABC ＝CMBC＝45.① 0＜t ＜4时，过Q 作QN ⊥OB 于N ，则QN ＝BQ ·sin ∠ABC ＝45t.∴S ＝12OP ·QN ＝12（4－t ）×45t ＝－25t 2＋85t （0＜t ＜4）. ……………2分②当4＜t ≤5时，连接QO ，QP ，过点Q 作QN ⊥OB 于N .同理可得QN ＝45t .∴S ＝12OP ·QN ＝12×（t －4）×45t .＝25t 2－85t （4＜t ≤5）. …………………………….3分③当5＜t ≤6时，连接QO ，QP . S ＝12×OP ×OD ＝12（t －4）×4.＝2t －8（5＜t ≤6）. ……………………………….4分S 随t 变化的函数关系式是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<<+-)65(82)54(5852)40(585222t t t t t t t t .（3）①当0＜t ＜4时，∵－25<0当t ＝8522()5⨯-＝2时，S 最大＝28()54()5-⨯-＝85. ……………………………5分 ②当4＜t ≤5时， S ＝25t 2－85t ，对称轴为t ＝－85225-⨯＝2，∵25>0 ∴在4＜t ≤5时，S 随t 的增大而增大.∴当t ＝5时，S 最大＝25×52－85×5＝2. …………………………..6分③当5＜t ≤6时，在S ＝2t －8中，∵2＞0，∴S 随t 的增大而增大.∴当t ＝6时，S 最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分∴综合三种情况，当t ＝6时，S 取得最大值，最大值是4. ………………………8分顺义区2012届初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯ B ．49.110⨯ C ．49110⨯ D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（）A B C D4．把2416a bb -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-。

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FE BA O2012顺义二模数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯ B ．49.110⨯ C ．49110⨯ D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（）A B C D4．把2416a b b -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-C ．24(2)b a -D ．4(2)(2)b a a +-5．北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是 A .众数是6 B .极差是8 C .平均数是6 D .方差是46．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位， OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7．从1,-2, 3，-4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是A ．14B ．13 C ．12D ．238．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是DC BA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式261x x --的值为0，则x 的值等于． 10．如图，□ABCD 中，E 是边BC 上一点，AE 交BD 于F ，若2BE =，3EC =，则BF DF的值为． 11．将方程2410x x --=化为2()x m n -=的形式，其中m ，n 是常数，则m n += ．12．如图，△ABC 中，AB =AC=2 ，若P 为BC的中点,则2AP BP PC + 的值为；若BC 边上有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记i i i im AP BP PC =+ (1i =，2，…，100)，则12m m ++…100m +的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：101()322sin 45(32)4---+︒--．14．解不等式2(2)x +≤4(1)6x -+，并把它的解集在数轴上表示出来．15．已知：如图，E ，F 在BC 上，且AE ∥DF ，AB ∥CD ，AB =CD ．求证：BF = CE ．16．解分式方程：32322x x x -=+-．17．已知2x －3=0，求代数式5(2)(2)(4)1x x x x ---++的值．F EDCBAP iPCBAFEDC BA18．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y （万吨）随着时间x （年）逐年成直线上升，y 与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的关系式； (2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．20．已知：如图，P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，BC ∥OP 交⊙O 于点C ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11sin 23APC ∠=，求PC 的长及点C 到P A的距离．21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：图书种类频数频率科普常识 840 b 名人传记 8160.34 中外名著 a 0.25 其他1440.06（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a ，b 的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？F E D C B AO CBA P22．阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且P A ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设P A=1， PB=2，PC=3，设法把P A 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，直线AB 经过第一象限，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D ．设OC=x ，四边形OCPD 的面积为S ．（1）若已知A （4，0），B （0，6），求S 与x 之间的函数关系式；（2）若已知A （a ，0），B （0，b ），且当x=34时，S 有最大值98，求直线AB 的解析式；（3）在（2）的条件下，在直线AB 上有一点M ，且点M 到x 轴、y 轴的距离相等，点N 在过M 点的反比例函数图象上，且△OAN 是直角三角形，求点N 的坐标．PyxBA DCO24．已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系；（2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为P ．（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线212y x bx c =++上，点N 在y 轴上，要使以M 、N 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M 、N 是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．FEDCBAFE DCB A顺义区2012届初三第二次统一练习数学学科参考答案及评分细则一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号1234 5 6 7 8 答案 C B A DDCBA二、填空题（本题共16分，每小题4分，） 9．3； 10．25； 11．7； 12．4，400．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：101()322sin 45(32)4---+︒--2432212=-+⨯- …………………………………………………… 4分 322=- …………………………………………………………………… 5分 14．解：去括号，得 24x +≤446x -+．…………………………………………… 1分移项，得 24x x -≤464-+-．…………………………………………… 2分合并，得 2x -≤-2 ． ………………………………………… 3分系数化为1，得 x ≥1 ． ……………………………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：……………………………………… 5分15．证明：∵ AE ∥DF ，∴∠1=∠2． ………………………… 1分 ∵ AB ∥CD ， ∴ ∠B =∠C ．………………………… 2分在△ABE 和 △DCF 中， 12,,,B C AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△DCF ．…………………………………………………… 4分 ∴ BE =CF ． ∴BE -EF =CF -EF ．即BF =CE ．……………………………………………………………… 5分16．解：去分母，得 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x --+=+-．…………………… 1分去括号，得 223624312x x x x ---=-． ………………………… 2分整理，得 88x -=-．…………………………………………………… 3分解得 1x =． ……………………………………………………………… 4分经检验，1x =是原方程的解．……………………………………………… 5分 ∴ 原方程的解是1x =．17．解：5(2)(2)(4)1x x x x ---++21F EDC B A22510(28)1x x x x =--+-+ ……………………………………………… 2分 22510281x x x x =---++24129x x =-+ ………………………………………………………………… 3分 (23)(23)x x =+- …………………………………………………………… 4分当2x －3=0时，原式(23)(23)0x x =+-=．………………………………… 5分18．解：（1）设y 与x 之间的关系式为y=kx+b ．……………………………………… 1分由题意，得20084,2010 6.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2004.k b =⎧⎨=-⎩ …………………… 3分∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －2004（2008≤x ≤2012）． …………… 4分（2）当x ＝2012时，y ＝2012－2004＝8．∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．……… 5分19．解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB ∥DC ．∴EB=AB=1． ………………………………………………………………… 1分在Rt △ABE 中，222AE AB BE =+=．………………………………… 2分在Rt △DCE 中，22221310DE DC CE =+=+=．………………… 3分∵AB ∥DC ，∴12EF EB DF BC ==． …………………………………………………………… 4分设EF x =，则2DF x =．∵EF DF DE +=， ∴210x x +=． ∴103x =． ∴22103DF x ==．………………………………………………………… 5分 20．解：（1）直线PC 与⊙O 相切．证明：连结OC ，∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC ， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA ，OP=OP ，∴△POC ≌△POA ． ……………………………………………… 1分 ∴∠PCO =∠P AO ． ∵P A 切⊙O 于点A ， ∴∠P AO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切． ……………………………………………… 2分（2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=12APC ∠． 4321O C B APMAD85674321O CBAP∴11sin 5sin23APC ∠=∠=． ∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°． ∴1cos 2sin 53∠=∠=． ∵∠3=∠1 =∠2， ∴1cos 33∠=．连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．………………………………………… 3分∴OA=OB=OC=3，2242AC AB BC =-=．∴在Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠． ∴2262PC OP OC =-=．…………………………………… 4分过点C 作CD ⊥P A 于D ， ∵∠ACB =∠P AO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=．在Rt △CAD 中，14cos 842233AD AC =∠=⨯=． ∴22163CD AC AD =-=．……………………………………… 5分 21．解：（1）∵1-28%-38%=34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．……… 1分（2）∵1440.062400÷=，∴24000.25600a =⨯=， ……………………………………………… 2分84024000.35b =÷=． ……………………………………………… 3分（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为20434%600÷=． ……………………………… 4分 ∴该校学生平均每人读课外书：24006004÷=．答：该校学生平均每人读4本课外书． ………………………………… 5分22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分（1）如图3，以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分（2）以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分23．解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，由A （4，0），B （0，6），得40,6.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,26.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为362y x =-+．……………………………… 1分 ∵OC=x ，∴3(,6)2P x x -+． ∴3(6)2S x x =-+．即2362S x x =-+（0< x <4）． …………………………………… 2分（2）设直线AB 的解析式为y mx n =+，∵OC=x ，∴(,)P x mx n +．∴2S mx nx =+．∵当x=34时，S 有最大值98，∴3,24939.1648n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为23y x =-+．………………………………… 3分∴A （32，0），B （0，3）．即32a =，3b =．……………………………………………………… 5分（3）设点M 的坐标为（M x ，M y ），由点M 在（2）中的直线AB 上， ∴23M M y x =-+．∵点M 到x 轴、y 轴的距离相等， ∴M M x y =或M M x y =-．当M M x y =时，M 点的坐标为（1，1）．过M 点的反比例函数的解析式为1y x=． ∵点N 在1y x=的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………………… 6分BD C FEA 当M M x y =-时，M 点的坐标为（3，-3），过M 点的反比例函数的解析式为9y x=-． ∵点N 在9y x=-的图象上，OA 在x 轴上，且△OAN 是直角三角形， ∴点N 的坐标为3,62⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………… 7分综上，点N 的坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭或3,62⎛⎫- ⎪⎝⎭． 24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF ．证明：∵D 是AB 中点，∴AD=BD ，又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ． ∵CD ⊥AB ，AD=BD ， ∴CA=CB ．∴∠1 =∠2． ∵AE ⊥AB ，BF ⊥AB ， ∴∠3 =∠4=90°．∴∠1+∠3 =∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF ． ∴△CAE ≌△CBF ．∴∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 2分（2）∠ACE=∠BCF 仍然成立．证明：连结BE 、AF ．∵CD ⊥AB ，AE ⊥AB ， ∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD = AE ，CD = AB ，△CDB ≌△BAE ．……………… 3分∴CB=BE ，∠BCD=∠EBA ．在Rt △CDB 中，∵∠CDB =90°，∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°．即∠CBE =90°．∴△BCE 是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°． ……………………………………………… 4分同理可证：△ACF 是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°． ……………………………………………… 5分 ∴∠ACF=∠BCE ．∴∠ACF -∠ECF =∠BCE -∠ECF ．即∠ACE=∠BCF ．……………………………………………… 6分（3）∠ECF 的度数为90°-α．……………………………………………… 7分4321F E DCB A11 25．解：（1）将点A （-3，6），B （-1，0）代入212y x bx c =++中，得936,210.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得 1,3.2b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴二次函数的解析式为21322y x x =--．…………………………… 2分（2）令0y =，得213022x x --=，解得 11x =-，23x =．∴点C 的坐标为（3，0）． ∵22131(1)2222y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分过点A 作AE ⊥x 轴，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．易得 45ACB PCD ∠=∠=︒．2262AC AE CE =+=，2222PC PF CF =+=．又DPC BAC ∠=∠，∴△ACB ∽△PCD ．…………………… 4分 ∴BCACCD PC =．∵3(1)4BC =--=， ∴43BC PCCD AC == ． ∴45333OD OC CD =-=-=．∴点D 的坐标为5(,0)3．……………………………………………… 5分（3）当BD 为一边时，由于83BD =，∴点M 的坐标为885(,)318-或811(,)318-． ………………………… 7分当BD 为对角线时，点M 的坐标为235(,)318-． …………………… 8分。