2019年中考数学总复习专题10解直角三角形或相似的计算与实践精讲试题
2019中考试题分类——解直角三角形
2019中考试题分类——解直角三角形注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕.⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？30°30°HM GDE F CB A【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，.在矩形DPGM 中，，.在Rt △DMH 中，.∴.答：建筑物GH 高为45.6米.2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。
问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角互余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。
能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。
分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，Rt △BCD ，再解这两个Rt △。
解：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，∵南北方 向⊥AB ，∴∠CAD=30º，∠CBD=45º在等腰Rt △BCD 中，BC=12×1.5=18，∴CD=18sin45º=29， 在Rt △ACD 中，CD=AC ×sin30º，∴AC=218〔海里〕 答：我渔政船的航行路程是218海里。
河北省2019年中考数学专题10解直角三角形或相似的计算与实践精练试题
专题十解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1．(2019重庆中考A卷)若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A )A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶92．(2019兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为( A )A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m3．(2019滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD ＝BA，则tan∠DAC的值为( A )A．2＋ 3 B．2 3C．3＋ 3 D．3 3(第3题图)(第4题图)4．(2019眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为( B )A．1.25尺 B．57.5尺C．6.25尺 D．56.5尺5．(2019通辽中考)志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( C )A．540元 B．1 080元C．1 620元 D．1 800元6．(2019绥化中考)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( A )A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶9(第6题图)(第7题图)7．(2019湖州中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( A )A ．1 B. 2 C.32D ．28．(2019四市中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里(第8题图)(第9题图)9．(2019长沙中考)如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则nm的值为( B )A.22B.12C.5－12D ．随H 点位置的变化而变化 二、填空题10．(2019宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500 m 则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m ．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)(第10题图)(第11题图)11．(2019北京中考)如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则S 四边形ABNM＝__3__．12．(2019广州中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，则AB ＝__17__．(第12题图)(第13题图)13．(2019无锡中考)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．14．(2019贵港中考)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin ∠PAP ′的值为__35__．三、解答题15．(2019宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C 测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC 长为100 m ．求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝DC.设AD ＝DC ＝x m ，则tan30°＝x x ＋100＝33，解得x ＝50(3＋1)． 答：河的宽度为50(3＋1)m.16．(2019眉山中考)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交DC 于G.(1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°. ∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF， ∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)， ∴BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点， ∴GD ＝CG ＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)， ∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝ 5. ∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF ＝55. ∵AB ∥CG ， ∴△ABH∽△CGH， ∴AB CG ＝BH HG ＝21， ∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53.17．(2019盐城中考)【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为________．(用含a ，h 的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50 cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且tanB ＝tanC ＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．解：【探索发现】12；【拓展应用】ah4；【灵活应用】如答图①，延长BA ，DE 交于点F ，延长BC ，ED 交于点G ，延长AE ，CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K.答图①由题意知四边形ABCH 是矩形， ∵AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16， ∴EH ＝20，DH ＝16， ∴AE ＝EH ，CD ＝DH. 在△AEF 和△HED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE＝∠DHE，AE ＝EH ，∠AEF ＝∠H ED ， ∴△AEF ≌△HED(ASA)， ∴AF ＝DH ＝16. 同理△CDG≌△HDE，∴CG ＝HE ＝20， ∴BI ＝AB ＋AF 2＝24.∵BI ＝24＜32，∴中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上． 过点K 作KL⊥BC 于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为12S △FBG ＝12×12×BG·BF＝14×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720. 【实际应用】如答图②，延长BA ，CD 交于点E ，过点E 作EH⊥BC 于点H.答图②∵tanB ＝tanC ＝43，∴∠B ＝∠C， ∴EB ＝EC.∵BC ＝108 cm ，且EH⊥BC， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝54 cm.∵tanB ＝EH BH ＝43， ∴EH ＝43BH ＝43×54＝72 cm ，在Rt △BHE 中，BE ＝EH 2＋BH 2＝90 cm ， ∵AB ＝50 cm ， ∴AE ＝40 cm ， ∴BE 2＝40＋502＝45 cm ， ∴BE 的中点Q 在线段AB 上． ∵CD ＝60 cm ， ∴ED ＝30 cm ，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB ，CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为14BC ·EH ＝14×108×72＝1 944 cm 2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知直线a∥b，将一块含45o角的直角三角板(∠C=90o)按如图所示的位置摆放，若∠1=55o，则∠2 的度数为( )A．85o B．70o C．80o D．75o2．下列说法正确的是（）A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．B.甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S甲2＝5，S乙2＝0.5，则甲麦种产量比较稳．C.某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．D.一组数据：3，2，5，5，4，6的众数是5．3．下列图形中，可以看作中心对称图形的是( )A. B. C. D.4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b＝0；②9a+3b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等实数根；④8a+c＜0．其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.55．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )A．304015x x=+B．304015x x=-C．304015x x=-D．304015x x=+6．下列图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是( )A. B. C. D.7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ；③连接AP ，交BC 于点E ．若CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．下列各式的计算中正确的是（ ） A ．325a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．632a a a ÷=D ．326()a a -=9．关于x 的一元二次方程2(23)210a x x ---=有实数根，则a 满足( ) A ．a≥1B ．a>1且a≠32C ．a≥1且a≠32D ．a≠3210．“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（ ）A ．当n 很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B ．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C ．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D ．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”11．某市从不同学校随机抽取100名初中生，对“学校统一使用数学教辅书的册数”进行调查，统计结果如下：关于这组数据，下列说法正确的是（）A.众数是2册B.中位数是2册C.极差是2册D.平均数是2册12．抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（）A．（2，8）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣8，﹣2）二、填空题13．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为__．14．对于任意实数、，定义：◆=.若方程的两根记为、，则m2+mn+n2=___. 15．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60 ，则这个扇形的面积是_____.16．投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是__.17．如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为_____．18．如图，在平面直角坐标系中，弧ABC所在圆的圆心P的坐标为(3，4)，弧ABC与x轴交于点(1，0)，则⊙P与x轴的另一交点坐标是_____．三、解答题19．解不等式组：{30240x x-≤+>20．核电站第3号反应堆发生了爆炸．为了抑制核辐射进一步扩散，东电公司决定向6号反应堆注水冷却，铀棒被放在底面积为100m2、高为20m的长方体水槽中的一个圆柱体桶内，如图1所示，向桶内注入流量一定的水，注满后，继续注水，直至注满水槽为止(假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不改变)．水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图2所示(铀棒的体积忽略不计)．(1)若圆柱体的体积为Vm3，则将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量是多少？(用含V的式子表示)；(2)求圆柱体的底面积；(3)若圆柱体的高为9m，求注水的速度及注满水槽所用的时间．21．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）22．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？（2）如何选择更省钱？23．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？24．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC=2CD时，求证：CF平分∠BCD．25．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100m，求乙楼的高CD（结果保留根号）．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．2 714．15．2 316．5 3617．1或.18．(5，0)三、解答题19．-2＜x≤3．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式x-3≤0，得：x≤3，解不等式2x+4＞0，得：x＞-2，则不等式组的解集为-2＜x≤3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．(1)5V；(2)圆柱体的底面积为20m2；(3) 注水速度为10m3/s，注满水的时间为200s．【解析】【分析】（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．（2）当注水18s时，圆柱体刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是hm，这时水的体积为100h，据100h＝90×118Sh，求出S；（3）由已知其速度为Sh18，再由10t＝100×20，求出时间t．【详解】(1)90V÷18＝5V．(2)设圆柱体的底面积为Sm2，高为hm．100h＝90×118Sh，S＝20，即圆柱体的底面积为20m2(3)若h＝9，则注水速度为Sh18＝118×20×9＝10m3/s所以，10t＝100×20，得t＝200(s)即注满水的时间为200s．【点睛】此题考查的是一次函数的应用，关键是由已知和函数图象，列算式求解．21．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22．（1）复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同；（2）当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【解析】【分析】（1）复印张数超过20页时，某眷印社收费为：20+0.4（x-20），某图书馆收费为：0.8x'，两者相等列方程求解．（2）求某眷印社收费大于某图书馆的x值，再比较说明．【详解】解：（1）设复印张数为x页，（x＞20），列方程得：20+0.4（x﹣20）＝0.8x解得：x＝30答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．（2）20+0.4（x﹣20）＞0.8x解得：x＜30答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，是一次方程和不等式综合运用的常考题型，找出其中的数量关系列出方程与不等式是解答本题的关键．23．(1)200，（2）补图见解析；（3）54°；（4）680000人.【解析】【分析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．【详解】解：（1）50÷25%＝200（名）；（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．24．（1）四边形ACDF是平行四边形；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定ACDF是平行四边形，可得FB=BC，再根据∠BCF=∠DCF=45°，即可得到答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC=2CD，ACDF是平行四边形，∴FB=BC，∴∠BCF=45°，∴∠DCF=45°，∴CF平分∠BCD．【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键在于利用全等三角形的性质进行求证.25．乙楼的高CD 为3． 【解析】 【分析】在Rt △ADC 中,根据三角函数的定义计算即可. 【详解】由题意可得：∠BDA ＝45°， 则AB ＝AD ＝100m ， 又∵∠CAD ＝30°， ∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA ＝tan30°＝CD AD ＝3，解得：CD ＝3（m ），答：乙楼的高CD 为3． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据正切函数的定义求解未知数.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是（ ）A.﹣1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜﹣1且x ＞5D.x ＜﹣1或x ＞52．在数﹣3，﹣（﹣2），01和2之间的数是（ ）A.﹣3B.﹣（﹣2）C.03．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（ ）A. B. C. D.4．△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6．以点C 为圆心、5为半径作圆C ，则圆C 与直线AB 的位置关系是（ ） A.相交B.相切C.相离D.不确定5．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若F 是CD 的中点，65AG GF =，则AEDE 的值是( )A ．3B ．52C ．2D ．326．如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在边BC 上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）A．15B．10-C．5D．20-7．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”9．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：则这15名同学一周在校参加体育锻炼的时间的中位数和众数分别为( ) A.6，7B.7，7C.7，6D.6，610．已知抛物线2y ax bx c =++开口向下，与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n ，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论： ①20a b +=；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，126a a -总成立； ④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个11．已知,四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形,，连接BE 与DG ，则BEDG＝（ ）A ．3B ．1C ．3D ．212．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝4，点F 是AB 的中点，过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ，将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A'E'F'，设点P 、P'分别是EF 、E'F'的中点，当点A'与点B 重合时，四边形PP'CD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 4二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____． 14．将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠ACE 的度数为_____．15．如图，直线a ∥b ，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB 的度数是______．16．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是_____． 17．若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为__________. 18．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，高度CD 为____m ．三、解答题19．如图，一次函数21y =x -与反比例函数ky x=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，且3AB BC =.（1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式；（2）现以点A 为中心，把线段AC 逆时针旋转90o 得到'AC ； ①请在图中作出线段'AC ；②请直接写出'C 的坐标，并判断'C 是否在已知得双曲线上.20．计算或化简：（1（12）﹣1π）0． （2）（x ﹣2）2﹣x （x ﹣3）．21．为了庆祝中国人民海军成立70周年，某市举行了“海军知识”竞赛，为了了解竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示。
2019年中考试题汇编：解直角三角形
20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A 处开始，沿A ﹣B ﹣C 路线对索道进行检修维护．如图：已知AB ＝500米，BC ＝800米，AB 与水平线AA 1的夹角是30°，BC 与水平线BB 1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA 1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）22．（本小题满分8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为450，然后沿坡面CF 上行了205米到达点D处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为300，求楼AB 的高度.20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度i ＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度i ＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）A B CE DF 34岷第2219．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）2.（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE ,小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （D C B A O ,,,,在同一条直线上）.测得m 2=AC ,m 1.2=BD ,如果小明眼睛距地面高度DG BF ,为m 6.1，试确定楼的高度OE .1. (本题满分8分)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB ，他站在距离教学楼底部E 处6米远的地面C 处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D 处的仰角为30°（A 、B 、D 、E 在同一直线上）.然后,小明沿坡度i =1:1.5的斜坡从C 走到F 处，此时DF 正好与地面CE 平行.（1）求点F 到直线CE 的距离(结果保留根号);（2）若小明在F 处又测得宣传牌顶部A 的仰角为45°,求宣传牌的高度AB （结果精确到0.1米，≈1.41， ≈1.73）..21．（10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1：2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．求：（1）观众区的水平宽度AB ；（2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．（sin18°30′≈0.32，tan l 8°30′≈0.33，结果精确到0.1m ）24．（10分）如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）3.（8分）某区域平面示意图如图所示，点D 在河的右侧，红军路AB 与某桥BC 互相垂直，某校“教学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C 处测得点D 位于西北方向，又在A 处测得点D 位于南偏东65°方向，另测得BC=414m ，AB=300m ，求出点D 到AB 的距离。
2019年中考数学专题解直角三角形
中考解直角三角形专题【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA=，∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA=，它们统称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA<，cosA<，tanA>】二、特殊角的三角函数值：αsinαcosαtanα300450600【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A=,tanA=sin A（ ）⑵若∠A+∠B=900，则sinA=，tanA.tanB=】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直线水平线视线视线⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA 表示OB 表示OC 表示OD 表示（也可称东南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1（2018•孝感）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43考点二：特殊角的三角函数值例2（2018•大庆）2cos60°=（）A ．1BC D ．12考点三：解直角三角形考点四：解直角三角形的应用例4（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花--兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．【备考真题过关】一、选择题1．（2018•云南）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A 的正切值为（）A ．3B ．13C ．10D ．102.（2018•贵阳）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．2DA．2B ．2C ．1D 5.（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（）A ．100sin35°米B ．100sin55°米C ．100tan35°米D ．100tan55°米6.（2018•金华）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βαA ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3mB ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1：28.（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．9.（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米二、填空题三、解答题16．（2018•莱芜）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F 处至少多远？24.（2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形参考答案【备考真题过关】一、选择题∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，24AMtanEM︒=，∴80.4566AB+=，∴AB=21.7（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°，∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．三、解答题16.【思路分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，43.331.2ACCEtan AEC=≈∠＝，∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC-BC=480-452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．【解答】解：如图作那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF 的水平宽度FH 为9m ；（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式13 1.2533.6CF +≥，解不等式即可．【解答】解：（1）在Rt △EFH 中，∵∠H=90°，∴tan ∠EFH=i=1：0.75=4 3EH FH=，设EH=4x ，则FH=3x ，∴225EF EH FH x =+=，∵EF=15，∴5x=15，x=3，∴FH=3x=9．即山坡EF 的水平宽度FH 为9m ；（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H 1=0.9，∴日照间距系数=1131334.50.933.6CF CF L H H ++-==-：（），∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴13 1.2533.6CF +≥，∴CF≥29．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处29m 远．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．。
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - —— 解直角三角形及其应用
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解解直角三角形及其应用一、选择题8．（2019·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为m的地面上，若测角仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（）A．55.5 m B．54 m C．19. 5 m D．18 m（第8题）【答案】C【解析】过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选C．8．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．95sinα米B．95cosα米C．59sinα米D．59cosα米【答案】B【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=BDAB，所以AB=cosBDα=1.8cosα=95cosα．故选B.10．（2019·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是 【 】A．．60 n mile C ．120 n mile D．(30+ n mile【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos∠ACD=CD AC，∴CD=AC •cos ∠ACD=60在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴B 处与灯塔P 的距离是（nmile ．故本题选：D ．8．（2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（）A. asin α+asin βB. acos α +a cos βC. atan α+atan βD.βαtan tan aa + D BA第8题图【答案】C【解析】在Rt △ABD 中，∵tan β=ABBD，∴BD=atan β. 在Rt △ABD 中，∵tan α=ABBC，∴BC=atan α. ∴CD=BD+BC=atan α+atan β.1.(2019·泰安)如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.D【答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A ＝45°,∠ABC ＝75°,∠C ＝60°,过点B 作BD ⊥AC 于点D,在Rt △ABD 中,∠A ＝45°,AB ＝∴AD ＝ABcosA ＝30,BD ＝ABsinA ＝30,在Rt △BCD 中,∠C ＝60°,∴CD ＝tan BDC＝,∴AC ＝AD+CD ＝故选B.2.（2019·重庆B 卷）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC.在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ,B ,C ,D 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB 的高度约为（）【答案】B【解析】作EN ⊥AB 于N,EM ⊥BC 交BC 的延长线于M . ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,DC=BC =52米，设DM =x 米，则CM =2.4x 米，在Rt △ECM 中，∵2DM + 2CM =2DC ，∴2x +()22.4x =252解得x =20 ∴CM =48米，EM =20+0.8=20.8米，BM =ED +DM =52+48=100米∵EN ⊥AB,EM ⊥BC ，AB ⊥BC ∴四边形ENBM 是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM =20.8米. 在Rt △AEN 中，∵∠AEF =27°∴AN=EN ﹒tan 27°≈100×0.51=51米 ∴AB=AN +BN =51+20.8=71.8米.故选B ．3.（2019·重庆A 卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（）（参考数据：sin 48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A ．17.0米B ．21.9米C ．23.3米D ．33.3米【答案】C．【解析】如答图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA．∵山坡AC上坡度i＝1:2.4，AC＝26米，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tan E＝DFEF，故DF＝EF•tan E＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C．二、填空题20.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:5,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）解：如图，分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，则AN=EM,∵从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，∴AN=9米=EM，∵斜坡AB的坡度i=1:1，∴BN=AN=9米，∵斜坡EF的坡度i=1:5，∴FM=95，∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7,S梯=EMBFAE⨯+)21（=24552819)759221-=⨯-+（,∴体积为200S梯=81005-4500（m3)答:共需土石81005-4500立方米.21．(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.第21题图解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△BEC中,设BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝12BC＝12x,CEx,在Rt△ACE中,AE＝CEx,∴AB＝AE－BEx－12x,已知AB＝60×1.5＝90,∴x－12x＝90,解之得,x＝答:B,C两处之间的距离海里;(2)过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CEx＝135+45∴BD＝2BF＝270+90,∴时间为(270+90)÷90＝答:海监船追到可疑船只所用的时间为小时.16．（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾FE衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE为分米．【答案】【解析】（1）过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分别为点L、N，则∠LON=90°，四边形NMLO是矩形，∴MN=LO. ∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=12CD=5，OL=∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=12AO=5，∴；（2）过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分别为点Q、N. 在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，Rt△EFQ中，∠EQF=90°，，EF=6，∴，BE=10-2-2=8-2；同理可得PE′=2，∴B′E′=2+10-2=12-2，∴B′E′)=4. 故填：15．（2019·盐城）如图，在△ABC中，BC，∠C＝45°，AB，则AC的长为________.【答案】2【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，又∠C＝45°，故s i n2ADCAC==,tan1ADCCD==，设AD x=，则AC==，CD=x，2AB x==，在Rt△ACD中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD2+BD2=AB2，得B D=，所以BC BD CD x=+==1）AB C解得x ,故AC =2.1.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB 的高度,将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置,在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)【答案】9.5【解析】由题可知BC ＝6m,CD ＝1.5m,过D 作DE ∥BC 交AB 于点E,易知四边形BCDE 是矩形,∴DE ＝BC ＝6m,在Rt △ADE 中,AE ＝DE ·tan53°＝7.98m,EB ＝CD ＝1.5m,∴AB ＝AE+EB ＝9.48m ≈9.5m.第15题答图2.（2019·湖州）有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB 和CD 分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为________cm ．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）ABC【答案】120．【解析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，则∠AEB ＝90°．∵AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm α＝74°， ∴∠ODB ＝∠B ＝53°，AB ＝150cm ． 在Rt △ABE 中，sin B ＝h AB， 故h ＝AB •sin B ＝150×sin53°≈150×0.8＝120．3.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB 中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．4.（2019·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME 、EF 、FN 是门轴的滑动轨道，∠E =∠F =90°，两门AB 、CD 的门轴A 、B 、C 、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A 、D 分别在E 、F 处，门缝忽略不计（即B 、C 重合）；两门同时开启，A 、D 分别沿E→M ，F →N 的方向匀速滑动，带动B 、C 滑动；B 到达E 时，C 恰好到达F ，此时两门完全开启，已知AB =50cm ，CD =40cm.（1）如图3，当∠ABE =30°时，BC =_______cm. （2）在（1）的基础上，当A 向M 方向继续滑动15cm 时，四边形ABCD 的面积为_______cm 2.【答案】（1）（90－；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB ，CF ，然后进行线段加减即可； （2）根据题意，得S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF ，计算可得.图3图2图1B (C )E (A )EF (D )B解：(1)∵ AB =50，CD =40，∴AB ＋CD = EB ＋CF ＝EF =90.在Rt △ABE 中，∵∠E =90°，∠ABE =30°，∴EB ＝同理可得CF ＝∴BC =90－cm ）.（2）根据题意，得AE ＝40, DF =32, EB 30，CF 24, ∴S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF＝12(AE ＋DF )·EF －12AE ·EB －12CF ·DF ＝12(40＋32)×90－12×40×30－12×24×32 ＝2256.5. (2019·宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米.【答案】566【解析】在Rt △AOH 中,OH ＝AOcos45°＝,在Rt △BOH 中,BO ＝566cos60OH=.6.（2019·衢州）如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是米_________（结果精确到0.1m 参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.【答案】1.5【解析】由三角函数的定义得:sinα= sin50°=ADAC=2AD≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米.三、解答题20．（2019年浙江省绍兴市，第20题，8分如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：73.13,41.12≈≈）【解题过程】22．（2019·嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD 的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73）【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//DE//CG ∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD -∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N. 在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=0.51（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°≈1.04（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈2.35（米）如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°≈1.16（米）∴DH=DK+KH≈3.16（米）∴DH-DE≈0.8（米）.所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.23.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，①求证：OD=12 OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=12OB=12OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD 过点O 时，AD 最大，即：AD=AO+OD=32，△ABC 面积的最大值=12×BC ×AD=12×2OBsin60°×32；（2）如图2，连接OC ，设∠OED=x ，则∠ABC=mx ，∠ACB=nx ， 则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=12∠BOC=∠DOC ， ∵∠AOC=2∠ABC=2mx ，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx ， ∵OE=OD ，∴∠AOD=180°-2x ，即：180°+mx-nx=180°-2x ，化简得：m-n+2=0． 23．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA ，OB 可绕点O 开合，在OB 边上有一固定点P ，支柱PQ 可绕点P 转动，边OA 上有六个卡孔，其中离点O 最近的卡孔为M ，离点O 最远的卡孔为N ．当支柱端点Q 放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP 的长为12 cm ，OM 为10cm ，支柱PQ 为8cm ． (1)当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，求AOB ∠的度数．(2)当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，20.5AOB ∠=︒，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，作出该支架的截面图如图（1），过点P 作，垂足为E ，此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒，设OE x =，所以10EQ OQ OE x =-=-， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222PE OP PE =-2212x =-，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，222P E P Q E Q =-228(10)x =--， 所以2222128(10)x x -=--，解得9x =，所以9OE =,OA在Rt △OPE 中，9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=︒．（2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，此时，12OP =，ON OQ =，8PQ =，20.5AOB ∠=︒， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒， 在Rt △OPE 中，sin PEAOB OP∠=， 所以sin sin 20.5120.45 4.2PE OP AOB OP =⨯∠=⨯︒=⨯=， 在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，236 6.8F Q ==， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，11.24OF ====2212x =-，所以11.24 6.818O N O F F Q =+=+=，所以18.04101.655ON OM d --==≈, 所以相邻两孔的距离为1.6cm ．22（2019山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG ＝2米，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH ＝α，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．OA35【解题过程】∵BH ＝0.6，sinα＝， ∴AB ＝＝1， ∴AH ＝0.8，∵AF ＝FC ＝2，∴BF ＝1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵EF ＝FB ＝AB ＝1，∠EPF ＝∠FQB ＝∠AHB ＝90°，∠EFP ＝∠FBQ ＝∠ABH ， ∴△EFP ≌△FBQ ≌△ABH ， ∴EP ＝FQ ＝AH ，BQ ＝BH ，∴BQ ＋EP ＝0.6＋0.8＝1.4（米）＜2米，∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部．20．（2019江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B —A —O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8cm ，CD ＝8cm ，AB ＝30cm ，BC ＝35cm.(结果精确到01)(1)如图2，∠ABC ＝70°，BC ∥OE. ①填空：∠BAO ＝ °； ②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离.(2)如图3，将(1)中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时，求∠ABC 的大小.(参考数：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)350.63sin 5BH α=【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA 交BC 于点F ，∵BC ∥OE ，OA ⊥OE ， ∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°. 答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB ＝30cm ，sin70°≈0.94， ∴AF=AB ·sin70°≈30×0.94=28.2（cm ）. ∵OA=6.8cm ，∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35（cm ）.又∵CD 始终垂直于水平桌面OE ，且CD ＝8cm ， ∴点D 到桌面OE 的距离为：OF-CD=35-8=27（cm ）. （2）如图所示，作BH ⊥CD 于点H ，∵D 到桌面OE 的距离为6cm ，H 到桌面OE 的距离为35cm ，CD ＝8cm ， ∴CH=35-8-6=21（cm ）， 又∵BC ＝35cm ，∠H=90°， ∴sin ∠CBH=6.0533521===BC CH ， ∵sin36.8°≈0.60， ∴∠CBH=36.8°. 又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°. 20．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).示意图说明点点GH 测量项目第一次任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH 的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) 【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH 都是矩形,∴EH ＝AC ＝1.5,CD ＝AB ＝5.5,设EG ＝xm,在Rt △DEG 中,∠DEG ＝90°,∠GDE ＝31°,∵tan31°＝EG DE ,∴DE ＝tan 31x,在Rt △CEG 中,∠CEG ＝90°,∠GCE ＝25.7°,∵tan25.7°＝EG CE ,∴CE ＝tan 25.7x,∵CD ＝CE －DE,∴tan 25.7x －tan 31x＝5.5,∴x ＝13.2,∴GH ＝GE+EH ＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH 的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. 22．（2019·娄底）如图（11），某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为i ＝1:1．为了测量山 顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α，β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE （C 、B 、E 在同一水平面上）．解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．∵96tan tan2DCOOC OCα∠====，∴48OC=同理，∵96tan tan4DCDBCBC BCβ∠====∴24BC=．∴482424OB OC BC=-=-=．设AE x=米,则则由i＝1:1得BE x=,12OE x=；∴1242x x+=，∴16x=∴山顶A的高度AE为16米．22．（2019·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考）解：设楼房AB的高为x米，则EBx，∵坡度i＝1: ，∴坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，∴105)3x x+=-，解得x＝15＋（米）.所以楼房AB的高度约为237米.21．(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)第21题图【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以12CBAB=,因为BC＝10m,所以AB＝20m; (2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝EGGD,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝7.59m,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EEF为21.6m.第21题答图22．（2019·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.≈1.414，）【解题过程】22．（2019·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD 可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．21．（2019·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【解题过程】 (1) 如图，∵l 1∥l 2∴∠ABC=α∴tan ∠ABC=AC BC =tan α＝13，∴BC=3AC==⨯3 1.6 4.8(米）∴BC 的长度为4.8米。
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形-中考数学专题复习试题
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。
（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。
（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。
难点是综合应用这些知识解决问题的能力。
三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形
2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴=， ∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2 【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝245x,∴AC＝395x＝3,∴x＝513,AP＝3x＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。
河北省2019年中考数学专题10解直角三角形或相似的计算与实践精讲试题
专题十 解直角三角形或相似的计算与实践 年份 题型 考点 题号 分值 难易度 2019 选择题、解答题 方位角、三角函数10、25(2)(3)3＋7＝10容易题、中等题、较难题2019 选择题相似三角形判定15 2 中等题2019 选择题 方位角 9 3 容易题 命题规律纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题角度很广，2019年已经体现了，复习时要重视．预测2019年会延续2019年，分值和题量不变.解题策略首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．,重难点突破)锐角三角函数的实际应用【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE 的高度．如图，已知塔基AB 的高为4 m ，他在C 处测得塔基顶端B 的仰角为30°，然后沿AC 方向走5 m 到达D 点，又测得塔顶E 的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求A ，C 的距离；(结果保留根号) (2)求塔高AE.(结果保留整数)【解析】(1)在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数关系可得AC ＝ABtan ∠ACB，结合已知求出AC 的距离；(2)在Rt △ADE 中，易得AE ＝AD·tan ∠A DE ，结合已知求解，根据题目要求取近似值．【答案】解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝4 m.∵tan ∠ACB ＝ABAC ，∴AC ＝AB tan ∠ACB ＝4tan30°＝43(m)．答：A ，C 的距离为4 3 m.(2)在Rt △ADE 中，∠ADE ＝50°， AD ＝(5＋43)m.∵tan ∠A DE ＝AEAD，∴AE ＝AD·tan ∠ADE ＝(5＋43)×tan50°≈14(m)． 答：塔高AE 约为14 m.1．(张家界中考)如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一条直线上，小明在地面D 处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m 到达地面的E 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC ＝12 m ，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1 m ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE， ∴BE ＝DE ＝20.在Rt △BEC 中，BC ＝BE·sin60°＝20×32＝103(m)，∴AB ＝BC －AC ＝103－12≈5.3(m)． 答：旗杆AB 的高度是5.3 m. 【方法指导】解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．相似的综合【例2】(2019株洲中考)如图所示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF； (2)求证：△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．【答案】证明：(1)∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ， ∴∠ADC ＝∠EDF＝90°， AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴∠ADE ＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF， ∴∠ADE ＝∠CDF，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF DA ＝DC ，，∴△ADE ≌△CDF ；(2)延长BA ，交ED 于点M.∵△ADE ≌△CDF ，∴∠EAD ＝∠FCD， 即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD ＝∠BCD＝90°，∴∠EAM ＝∠BCF. ∵∠EAM ＝∠BAG，∴∠BAG ＝∠BCF. ∵∠AGB ＝∠CGF，∴△ABG ∽△CFG.2．(2019常德中考)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF⊥AD 分别交AD 于E ，交AC 于F.(1)如图①，若BD ＝BA ，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD ＝4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM＝2MC ；②AG 2＝AF·AC.解：(1)在Rt △ABE 和Rt △DBE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BD ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE(HL)； (2)①过G 作GH∥AD 交BC 于H.∵G 是AB 中点且GH∥AD，∴H 是BD 中点，∴BH ＝DH. ∵BD ＝4DC ，设DC ＝1，BD ＝4，∴BH ＝DH ＝2；∵GH ∥AD ，∴GM MC ＝HD DC ＝21，∴GM ＝2MC ；②过C 作CN⊥AC 交AD 的延长线于N ，则CN∥AG.∴△AGM∽△NCM，∴AGNC ＝GM MC.由①知GM＝2MC，∴2NC＝AG.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠C AN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴AFCN ＝AB AC.∵AB＝2AG，∴AFCN＝2AGAC，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.【方法指导】首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”．教后反思__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩2．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接MM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）C.233．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（ ） A ．249×108元 B ．24.9×109元 C ．2.49×1010元 D ．0.249×1011元4．若点A （a ，b ），B （1a，c ）都在反比例函数y ＝1x 的图象上，且﹣1＜c ＜0，则一次函数y ＝（b ﹣c ）x+ac 的大致图象是（ ）A．B．C．D．5．如图是某手机店去年5～9月份某品牌手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月该品牌手机销售额变化最大的是（）A．5月至6月B．6月至7月C．7月至8月D．8月至9月6．（2008•衢州）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2="256" B．256（1﹣x）2=289C．289（1﹣2x）2="256" D．256（1﹣2x）2=2897．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15º，再前进10m，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（）A．120米B．240米C．360米D．480米∠︒，E为BC中点，P为对角线BD上一点，则8．如图，已知菱形ABCD，AB=4，BAD=120PE+PC的最小值等于( )A.B. C. D.9．如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若2AB =，5BC =，则tan AFE ∠的值（ ）A ．等于25B ．等于27C ．等于57D ．不确定，随点E 位置的变化而变化10．如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53︒，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）（ ）A ．8.5米B ．9米C ．9.5米D ．10米11．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=-1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b 2-4ac ＞0；③ab ＜0；④a 2-ab+ac ＜0，其中正确的结论有（ ）个．A.3B.4C.2D.112．下列说法正确的是（ ）A．一组数据2，5，5，3，4的众数和中位数都是5 B．“掷一次骰子，向上一面的点数是1”是必然事件C．掷一枚硬币正面朝上的概率是12表示每抛硬币2次就有1次正面朝上D．计算甲组和乙组数据，得知x甲=x乙=10，2S甲=0.1，2S乙=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是AB的中点，点P是直线AC上一点，将△ADP沿DP所在的直线翻折后，点A落在A1处，若A1D⊥AC，则点P与点A之间的距离为______．14．如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为_____．15．已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，…将这列数排成下列形式：第1行 1第2行－2 3第3行－4 5 －6第4行 7 －8 9 －10第5行 11 －12 13 －14 15… …按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于______．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____；方程的根为_____．17．计算：02019 __________．18．已知关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0（t为实数）两非负实数根a，b，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是_____．三、解答题19．如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ＝BQ•OQ；（3）设∠P＝α，若tanɑ＝34，AQ＝3，求AB的长．20．已知反比例函数3ymx=-和一次函数y＝kx﹣1的图象都经过点P（m，﹣3m）．（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；（2）若点M（a，y1）和点N（a+1，y2）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2．21．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠PAC＝30°，AC＝3，求劣弧AC的长．22．如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2cm，AC＝3cm．（1）求BE的长；（2）求图中阴影部分的面积．23．已知抛物线y1＝ax2+bx经过C（﹣2，4），D（﹣4，4）两点．（1）求抛物线y 1的函数表达式；（2）将抛物线y 1沿x 轴翻折，再向右平移，得到抛物线y 2，与y 2轴交于点F ，点E 为抛物线2上一点，要使以CD 为边，C 、D 、E 、F 四点为顶点的四边形为平行四边形，求所有满足条件的抛物线y 2的函表达式．24．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为12x x 的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点，则CE= ；（3）F 是边AD 上一动点，则CF+EF 的最小值是 ．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x+214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．52或10 14．503cm 215．－5016．x 1＝x 2＝2． 17．1 18．﹣15．三、解答题19．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【解析】【分析】（1）易证△PAO≌△PBO（SSS），根据全等三角形的性质结合切线的性质，即可得出∠PBO＝90°，进而即可证出PB是⊙O的切线；（2）根据同角的补角相等可得出∠AOQ＝∠APB，根据等腰三角形及全等三角形的性质可得出∠ABQ＝∠OPQ，结合∠AQB＝∠OQP即可证出△QAB∽△QOP，根据相似三角形的性质可得出AQ BQOQ PQ=，即AQ•PQ＝BQ•OQ；（3）设AB与PO交于点E，则AE⊥PO，通过解直角三角形可求出OA的长度，结合（2）的结论可得出PQ的长度，利用勾股定理可得出PO的长度，利用面积法即可得出AE的长度，进而即可求出AB的长度．【详解】（1）证明：在△PAO和△PBO中，PA PB AO BO PO PO=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO．∵PA是⊙的切线，A是切点，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：∵∠APB+∠PAO+∠AOB+PBO＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°．又∵∠AOQ+∠AOB＝180°，∴∠AOQ＝∠APB．∵OA＝OB，∴∠ABQ＝∠BAO＝12∠AOQ．∵△PAO≌△PBO，∴∠OPQ＝∠OPB＝12∠APB，∴∠ABQ＝∠OPQ．又∵∠AQB ＝∠OQP ，∴△QAB ∽△QOP ， ∴AQ BQ OQ PQ=，即AQ•PQ＝BQ•OQ． （3）解：设AB 与PO 交于点E ，则AE ⊥PO ，如图所示．∵∠AOQ ＝∠APB ，∴tan ∠AOQ ＝34． 在Rt △OAQ 中，∠OAQ ＝90°，tan ∠AOQ ＝34，AQ ＝3，∴AO ＝4，OQ ＝5= ，∴BQ ＝BO+OQ ＝9．∵AQ•PQ＝BQ•OQ，∴PQ ＝15，∴PA ＝PQ ﹣AQ ＝12，∴PO = ．由面积法可知：AE ＝PA AD PQ ⋅=，∴AB ＝2AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、三角形的面积以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质找出∠PBO ＝∠PAO ＝90°；（2）根据相似三角形的判定定理找出△QAB ∽△QOP ；（3）利用面积法求出AE 的长度．20．（1）P 的坐标（1，﹣3），y ＝﹣2x ﹣1；（2）见解析.【解析】【分析】解：（1）将点P （m ，−3m ）代入反比例函数解析式可得m ＝1；故P 的坐标（1，−3）；再将点P （1，−3）代入一次函数解析式可得：−3＝k−1；故k＝−2；故一次函数的解析式为y＝−2x−1；（2）将M、N的值代入一次函数解析式可得y1＝−2a−1，y2＝−2（a＋1）−1＝−2a−3，做差可得y1−y2＝−2a−1−（−2a−3），由a的值判断可得y1大于y2．【详解】解：（1）将点P（m，﹣3m）代入反比例函数解析式可得：﹣3m＝﹣3；即m＝1，故P的坐标（1，﹣3），将点P（1，﹣3）代入一次函数解析式可得：﹣3＝k﹣1，故k＝﹣2，故一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣1；（2）∵M、N都在y＝﹣2x﹣1上，∴y1＝﹣2a﹣1，y2＝﹣2（a+1）﹣1＝﹣2a﹣3，∴y1﹣y2＝﹣2a﹣1﹣（﹣2a﹣3）＝﹣1+3＝2＞0，∴y1＞y2．【点睛】此题综合考查了反比例函数，一次函数等多个知识点．难度一般，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．21．（1）详见解析；（2）π.【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，由此即可求得答案；(2)连接OC，证明△AOC是等边三角形，继而根据弧长公式进行求解即可.【详解】(1)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵PA是⊙O切线，∴OA⊥PA，∴∠BAP＝90°，∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，∴∠PAC＝∠B．(2)连接OC，∵∠PAC＝30°，∴∠B＝∠PAC＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝3，∴AC 的长＝603180π＝π.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.22．（1）BE ＝2；（243π 【解析】【分析】（1）证△BOD ∽△BAC ，得比例线段即可求出BE 的长；（2）连OF ，求出BC 的长及∠BOF 的度数，则阴影部分的面积可用S △ABC -S △AOF -S 扇形OFE 求出．【详解】（1）连结OD ，∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，又∵∠C ＝90°，∴AC ∥OD ，∴△BOD ∽△BAC ， OD OB AC AB ∴=，即2234BE BE+=+， ∴BE ＝2；（2）连结OF,在Rt △ODB 中，OD ＝2，OB ＝4，∴∠B ＝30°，∠BOD ＝∠BAC ＝60°，∴BC ＝AOF ＝60°，∠BOF ＝120°，221132223ABC AOF OFE S S S π∆∴--=⨯⨯-⨯扇形，43π=． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识．23．（1）y ＝﹣12x 2﹣3x ；（2）y 2＝12（x+1）2﹣92或y 2＝12（x ﹣1）2﹣92． 【解析】【分析】（1）将点C 、D 坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）变换后抛物线的表达式为：y 2＝12（x+3﹣m ）2﹣92，C 、D 、E 、F 四点为顶点的四边形为平行四边形，则点F （0，﹣4），将点F 坐标代入y 2表达式，即可求解．【详解】解：（1）将点C 、D 坐标代入抛物线表达式得：4241644a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 故抛物线y 1的函数表达式为：y ＝﹣12x 2﹣3x ； （2）将抛物线y 1沿x 轴翻折的表达式为：y ＝12（x+3）2﹣92， 设再向右平移m 个单位得：y 2＝12（x+3﹣m ）2﹣92， C 、D 、E 、F 四点为顶点的四边形为平行四边形，C （﹣2，4），D （﹣4，4），则CD ∥x 轴，则点F （0，﹣4），将点F坐标代入y2表达式得：﹣4＝12（0+3﹣m）2﹣92，解得：m＝2或4，故：y2＝12（x+1）2﹣92或y2＝12（x﹣1）2﹣92．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、一次函数等知识，其中（2），利用四边形为平行四边形，确定点F的坐标，是本题解题的关键．24．（1）作图见解析；（2）4；（3）.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质结合网格特点作图即可；（2）首先作图符合题意的△ABE，根据图形易得CE；（3）作C点关于AD对称的点C’，连接EC’交AD于点F，则EC’的长即为CF+EF的最小值，用勾股定理求出EC’即可.【详解】解：（1）如图所示：矩形ABCD即为所求；（2）如图所示：等腰三角形ABE即为所求，易得CE=4；（3）作C点关于AD对称的点C’，连接EC’交AD于点F，则EC’的长即为CF+EF的最小值，=CF+EF的最小值是.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用，能够根据要求结合网格特点做出图形是解题关键.25．(1)k＞﹣12；(2)x1＝0，x2＝﹣1．【解析】【分析】(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x+214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k+1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是（ ）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸2．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)k k x≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②四边形BEFG 是平行四边形；③△EFG ≌△GBE ；④EG ＝EF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示， 其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC 的面积是 10 ,则 a 的值为( )A.5 C.7 5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，BC ∥OD ，若∠C ＝130°，则∠B 的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°6．某地今年计划栽插这种超级杂交水稻3000亩，预计该地今年收获这种超级杂交水稻的总产量是2460000千克．用科学记数法表示是（ ）A.62.510⨯千克B.52.510⨯千克C.62.4610⨯千克D.52.4610⨯千克7．在2015-2016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）A ．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B ．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C ．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D ．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小8．某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的中位数是（ ）A ．20C ︒B ．20.5C ︒ C ．21C ︒D ．21.5C ︒9．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ）A.14B.12C.34D.110．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C,分别以点A 、C 为圆心，以BC 、AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD 、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形11．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为( )A．9 B．3πC．9πD．18二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），直线l与x轴，y轴分别交于点B（﹣3，0），C（0，3），当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之和最小时，则点E的坐标是_____．14．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．15．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依次规律，则点A8的坐标是_____．16．如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=6，点E，F分别是AB，BC边上沿某一方向运动的点，且DE=DF，当点E从A运动到B时，线段EF的中点O运动的路程为_____.17．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y人，可列方程组为______．18．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得AD的中点落在点C处，若正方形边长为2，则折痕EF的长为___．三、解答题19．计算：0cos 60π︒-20．某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当销售单价x 为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？21．某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x 天）的关系如下表：时间（第x 天）1≤x＜50 50≤x≤90 x+50 90任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p （件）与时间（第x 天）满足一次函数关系p ＝﹣2x+200．设小王第x 天销售利润为W 元．（1）直接写出W 与x 之间的函数关系式，井注明自变量x 的取值范围；（2）求小生第几天的销售量最大？最大利润是多少？（3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金．请计算小王一共可获得多少元奖金？22．一游客步行从宾馆C 出发，沿北偏东60°的方向行走到1000米的人民公园A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东45°方向的净业寺B 处，如图所示．（1）求这名游客从人民公园到净业寺的途中到宾馆的最短距离；（2）若这名游客以80米/分的速度从净业寺返回宾馆，那么他能在10分钟内到达宾馆吗？请通过计算说明理由．（假设游客行走的路线均是沿直线行走的）23．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22+4(0)y ax ax a a =-+<经过点B.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上一动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM 的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，,以MA、MB为邻边作平行四边形MBNA①当平行四边形MBNA面积最大时,点N的坐标为____②当平行四边形MBNA面积为整数时,点M的个数为___24．在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE＝OF．25．重庆小面是一款发源于山城重庆的地方特色传统小吃，是重庆最受欢迎的美食之一．重庆小面佐料丰富且用料考究，不同店面还根据自身菜谱加入豌豆、牛肉、肥肠、杂酱等，口感独特，麻辣鲜香，近年来闻名全国，某天，小明家花了48元购买牛肉面作为早饭，小华家花了28元购买豌豆面作为早饭，且小明家购买牛肉面的碗数与小华家购买豌豆面的碗数相同．已知面馆一碗豌豆面的价格比一碗牛肉面的价格少5元．（1）求购买一碗豌豆面和一碗牛肉面各需要多少元？（2）面馆一碗豌豆面的成本为4元，一碗牛肉面的成本为7元，某天面馆卖出豌豆面和牛肉面共400碗，且卖出的豌豆面和牛肉面的总利润不低于1800元，则面馆当天至少卖出牛肉面多少碗？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．15,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 14．1815．（0，16）16．3或17．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩18三、解答题19．12【解析】【分析】按顺序先分别进行0次幂的运算、立方根的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】0cos 60π+︒=1﹣2+12 =﹣12． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.20．（1）y=﹣10x+700；（2）当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）利用利润w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10700kb=-⎧⎨=⎩．故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，（2）设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x=50时，w大=﹣10（50﹣50）2+4000=4000答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．21．（1）221802000(150)W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）小王一共可获得6200元奖金.【解析】【分析】（1）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式；（2）依据（1）中函数的增减性求得最大利润；（3）根据销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额.【详解】（1）依题意：(50)(150) W=90(5090)p x xp x+≤<⎧⎨≤≤⎩，整理得221802000(150) W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）①当1≤x＜50时，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，∵﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＝45时，W有最大值为6050；②当50≤x≤90时，W＝﹣100x+10000，∵﹣100＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝50时，W有最大值为5000，∵6050＞5000，∴当x ＝45时，W 的值最大，最大值为6050，即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）①当1≤x＜50时，令W ＝4800，得W ＝﹣2（x ﹣45）2+6050＝4800，解得x 1＝20，x 2＝70，∴当W ＞4800时，20＜x ＜70，∵1≤x＜50，∴20＜x ＜50；②当50≤x≤90时，令W ＞4800，W ＝﹣100x+10000＞4800，解得x ＜52，∵50≤x≤90，∴50≤x＜52，综上所述：当20＜x ＜50时，W ＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的销售利润超过4800元，∴可获得奖金200×31＝6200元，即小王一共可获得6200元奖金.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22．（1）到宾馆的最短距离为（2）不能到达宾馆．【解析】【分析】（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到cos 45BC CH ︒=÷==，求得10t ==>，于是得到结论． 【详解】（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，在Rt △ACH 中，∵∠ACH ＝30°，∴CH =，答：到宾馆的最短距离为（2）在Rt △CHB 中，∠BCH ＝45°，CH ＝，∴BC =，∴t ＝1080=>， ∴不能到达宾馆．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．23．（1）223y x x =-++；（2）21522s m m =-+ ，254；（3）①（35-,24 ）②12 【解析】【分析】(1)求出A 、B 两点坐标,把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解決问题.(2)如图1中,连接OM,设M(m,-m 2+2m+3)，根据S=S △BOM+ S △AOM-S △AOB 计算即可.再利用次函数的性质求出最大值(3)①如图2中,设N(x,y),根据中点坐标公式列出方程组即可解决问题.②如图3中,平行四边形AMBN 的面积为S=2 S △ABM=-m 2+5m,求出S 的范围,画出图象即可解决问题【详解】(1):直线:y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A,B 两点,∴A(1,0),B(0,3),把点B(0,3)代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3（2)如图1中,连接OM,设M(m,-m 2+2m+3)・∴S=S △BOM+S △AOM- S △AOB=221131531(23).(022222m m m m m +-++-=-+＜m ＜3) ∵S=22151525()22224m m m -+=--+∵-12＜0 ∴m=52 时,S 有最大值为254 （3）①如图2中,设N(x,y)∵当△MAB 面积最大时,平行四边形MBNA 面积最 大,由(2)可知,M （5724， ）,A(1,0),B(0,3)∵四边形AMBN 是平行四边形,∴AB 与MN 互相平分 510222703422x y ⎧+⎪+=⎪⎪⎨⎪++⎪=⎪⎩ ，解得3254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，∴点N 坐标（-3524，）故答案为（-3524，）②如图3中∵平行四边形AMBN 的面积为S=2· S△ABM=-m 2+5m∵a=-1<0∴S 有最大值=254 ∴0<S<254∵S 是整数,∴S=1或2或3或4或5或6由图象可知对应的m 的值有12个故答案为12【点睛】此题为二次函数综合题，考查了三角形面积，平行四边形面积，解题关键在于把已知点代入到方程求参数24．证明见解析【解析】【分析】根据菱形ABCD ，可得AC ⊥BD ，所以可得△AOB 、△BOC 为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE ＝OF ．【详解】解：∵AC ⊥BD ，∴△AOB 、△BOC 为直角三角形，∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ， ∵AB ＝BC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，应当熟练掌握，这是重点知识.25．（1）购买一碗豌豆面的需要7元，则购买一碗牛肉面需要12元；（2）面馆当天至少卖出牛肉面300碗．【解析】【分析】（1）设购买一碗豌豆面的需要x 元，则购买一碗牛肉面需要（x+5）元，根据题意得到分式方程48285x x=+，计算并检验即可得到答案； （2）设面馆当天卖出牛肉面a 碗，由题意得到不等式（12﹣7）a+（7﹣4）（400﹣a ）≥1800，解不等式即可得到答案.【详解】解：（1）设购买一碗豌豆面的需要x 元，则购买一碗牛肉面需要（x+5）元，。
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专题十解直角三角形或相似的计算与实践
年份题型考点题
号分值
难易度2018
选择题、解答题方位角、三角函数10、25(2)(3)3＋7＝10容易题、中等题、较难题2018
选择题相似三角形判定152中等题2015
选择题方位角93容易题命题规律纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题
角度很广，2018年已经体现了，复习时要重视．预测2018年会延续2018
年，分值和题量不变.
解题策略
首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．
,重难点突破)
锐角三角函数的实际应用
【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE 的高度．如图，已知塔基AB 的高为4m ，他在C 处测得塔基顶端B 的仰角为30°，然后沿AC 方向走5m 到达D 点，又测得塔顶E 的仰角为50°.(人的身高忽略不计)
(1)求A，C 的距离；(结果保留根号)
(2)求塔高AE.(结果保留整数)
【解析】(1)在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数关系可得AC＝AB tan ∠ACB
，结合已知求出AC 的距离；(2)在Rt △ADE 中，易得AE＝AD·tan ∠A DE，结合已知求解，根据题目要求取近似值．
【答案】解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB＝30°，AB＝4m .
∵tan ∠ACB＝AB AC
，∴AC＝AB tan ∠ACB ＝4tan 30°
＝4
3(m )．答：A，C 的距离为43m .
(2)在Rt △ADE 中，∠ADE＝50°，
AD＝(5＋43)m .
∵tan ∠A DE＝AE AD
，∴AE＝AD·tan ∠ADE＝(5＋43)×tan 50°≈14(m )．
答：塔高AE 约为14m .
1．(张家界中考)如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB，且点A，B，C 在同一条直线上，小明在地面D 处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20m 到达地面的E 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m ，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1m ，参考数据：3≈
1.73，2≈1.41)
解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，
∴BE＝DE＝20.
在Rt △BEC 中，
BC＝BE·sin 60°＝20×32
＝103(m )，∴AB＝BC－AC＝103－12≈5.3(m )．答：旗杆AB 的高度是5.3m .
【方法指导】
解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．
相似的综合
【例2】(2018株洲中考)如图所示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G，连接CF.
(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)求证：△ABG∽△CFG.
【解析】(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．
【答案】证明：(1)∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE 和△CDF 中，DE＝DF，
∠ADE＝∠CDF DA＝DC，
，
∴△ADE≌△CDF；
(2)延长BA，交ED 于点M.∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，
即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.
∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.
∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.
2．(2018常德中考)如图，Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，D 在BC 上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD 于E，交AC于F.
(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；
(2)如图②，若BD＝4DC，取AB 的中点G，连接CG 交AD 于M，求证：①GM＝2MC；②AG 2＝AF·AC.。