高中数学 第四章 用二分法求方程的近似解教案 北师大版必修1
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解》优质课教案_32
用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》北师大版第四章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼近”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
四、教学目标知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；过程与方法：体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法，让学生能够了解近似逼近思想。
情感态度与价值观：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点教学重点：能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握二分法求解方程的基本方法和步骤，理解近似解的概念和计算方法。
2. 能力目标：学生能够独立运用二分法解决实际问题，提高数学问题的解决能力。
3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生对数学的热爱和好奇心。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二分法求解方程的基本方法和步骤。
2. 教学难点：学生对于二分法的理解和运用能力。
三、教学过程1. 导入与引入为了让学生更好地理解二分法求解方程，可以通过一个简单的例子引入，比如求解方程sin(x) = 0的近似解。
引导学生思考如何用二分法来解决这个问题。
2. 理论学习1）介绍二分法的基本原理和步骤，通过图表和实际问题进行说明。
2）讲解二分法在数学问题中的应用，如求函数的零点、求解方程等。
3）举例说明二分法的具体运用，帮助学生理解二分法的实际操作过程。
3. 案例分析以一些典型的实际问题为例，让学生运用二分法进行求解。
比如通过一个实际应用问题，让学生理解并运用二分法。
如通过实例，“小明在深山中迷路，他在午夜时分按照手表上的时间发出信号弹，他需要知道现在是深夜0时还是清晨0时。
如果他发了三次信号弹，分别被回声弹在0.5分钟、2分钟、3分钟之后听到，那么他能知道现在的时间是多少吗？”4. 练习与训练1）学生按照老师指导的方式进行相应的答疑与讨论，对理论知识进行巩固。
2）组织课外实践活动，让学生通过实际操作来练习和巩固二分法的运用。
5. 总结与拓展1）总结二分法求解方程的基本方法和步骤，复习本节课的知识点。
2）让学生思考二分法在其他数学问题中的应用，指导学生拓展和深入理解。
3）布置相关作业，让学生巩固所学知识。
四、教学手段1. PowerPoint演示：用于讲解二分法的基本原理和步骤，用图表等形式进行说明。
2. 实例分析：通过一些实际问题的案例，让学生理解并运用二分法。
3. 板书：用于记录学生提出的问题和解题的关键步骤，便于学生理解。
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《用二分法求方程的近似解》教学设计一、本节课内容分析与学情分析1.本节课内容分析本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。
通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。
引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。
所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。
2.本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。
3.学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。
但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。
2.借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．3.通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解四、教学方法与教学手段教学方法：“问题驱动”和启发探究式教学方法学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点教学手段：计算机、投影仪、计算器五、教学过程（一）引出课题问题1：你会求下列方程的解吗？2、，--=1210x x+-=、x x2ln260（二）创设情景，得出二分法的定义模拟实验辨金币真假(幻灯片)16枚金币中有一枚假币，假币比真币略轻.现有一座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假币？以求方程x3+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究。
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2.25用二分法求方程的近似解1. 掌握二分法的概念;2. 会用二分法求方程的近似解.※自主学习※ 仔细研读课本第77页至第81页的内容，完成三维设计的“学之窗”部分。
1、如果二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[m,n]上满足 ，那么方程0)(=x f 在开区间（m ，n ）上有唯一解，即存在R x ∈1，使0)(=x f 的另一个解),(),(2+∞-∞∈n m x .2、方程)()(x g x f =的根与函数)(x f y =及)(x g y =的图像特征关系：（2）函数)(x f y =与)(x g y =的图像有 ，则方程)()(x g x f =就有 ，反之亦然.（3）函数)(x f y =与)(x g y =的图像没有交点，则方程)()(x g x f = ，反之亦然.3、用二分法求方程0)(=x f 的近似解的一般步骤：（1）取区间[]b a ,，使 <0，令b b a a ==00,.（2）取区间[]00,b a 的中点=0x .（3）计算)(0x f .①若)(0x f 0,则0x 就是0)(=x f 的解，计算终止;②若)()(00x f a f ⋅ 0，则解位于区间（00,x a ）中，令 0101,x b a a ==； ③若)()(00b f x f ⋅ 0，则解位于区间（00,b x ）中，令0101,b b x a ==.（4）取区间[]11,b a 的中点=1x ，重复第（2）（3）两步，直到第n 步，方程的解 总位于区间[]n n b a ,内.4、设833)(-+=x x f x，用二分法求方程833-+x x =0在)2,1(∈x 内近似解的过程中得0)25.1(,0)5.1(,0)1(<><f f f 则方程的根落在区间 .5、不解方程，如何求方程0122=--x x 的一个正的近似解？（精确到0.1）※ 合作探究※探究一: 判断函数的零点所在区间问题【例1】 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( )A.(1,2)B.(2,3)C.(1,e)和（3,4）D.(e,+∞)变式：求证:方程3310x x -+=的根一个在区间（-2，-1）内，一个在区间（0，1）内， 另一个在区间（1,2）内.探究二: 用二分法求方程的近似解【例2】 求方程0133=-+x x 的一个近似解(精确到 0.1)变式1： 求解方程ln 260x x +-=.（精确到0.001）变式2：求方程ln 30x x +-=在（2,3）内的根.（精确到 0.01）2.25用二分法求方程的近似解※巩固提高※C1、方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根，取区间中点0 2.5x =，则下一个有根区间是__________.C 2、已知函数310x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（ ）A ．（0,1） B.（1,2） C.(2,3) D.(3,4)C3① ② ③ ④ C4、二次函数c bx ax x f ++=2)()(R x ∈的部分对应值如下表：不求c b a ,,的值，可以判断方程02=++c bx ax 的两个根所在的区间是 .B5、方程023=-+x x 零点的个数是 .B6、方程2lg =+x x 有 个实数根.C7、若函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，求函数1)(2--=ax bx x g 的零点.A8、（1）若方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围.（2）关于x 的二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解，求实数m 的范围。
高中数学 4.1.2《利用二分法求方程的近似解》学案 北师大版必修1
高中数学 4.1.2《利用二分法求方程的近似解》学案北师大版必修1随着新一轮数学课程改革不断深入，“学案”学习已成为新课程理念下一种新型学习模式，通过创建“学案”，改变学生的学习方式，使学生更加主动地学，是培养学生自学能力，提高教学效益一个新的举措．笔者为结合学案的特点，设计了“北师大版必修1第三章1．2利用二分法求方程的近似解”这一课时的学案，以飨读者，求同行的批评指正．1 教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面，本章通过学习用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．而本节课是从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．2 学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4．06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作．3 学习目标3.1知识与技能通过学习，能说出二分法的概念，会运用二分法求简单方程近似解的方法，会判断连续函数在某个闭区间上是否存在零点．3.2过程与方法通过具体实例的讨论与探究，在对函数与方程的关系的认识中能遵循由浅入深、循序渐进的原则，归纳概括出所发现的结论或规律，初步接触算法思想，体会从具体到一般的认知过程．3.3情感态度与价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦．4 学习重点与难点学习重点：用二分法求相应方程的近似解的方法与具体步骤．学习难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 5 学习方法为更好地把握学习内容，在学习中应以动手操作、分组讨论、合作交流、总结反思、课后实践相结合．6 学习过程6．1 学习活动活动1 幸运52曾经现场直播，进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”．讨论：（1）任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？（2）为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中）（3）这种猜测的思想是什么？设计意图：上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字，这种思想就是二分法．通过做游戏，来提高学生的学习热情，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用，并进行有意义学习．活动2 根据课本P117例4求方程04323=-+x x 的一个实数解，精确到0.01． 探究：（1）求函数)(x f 的零点近似值第一步应做什么？（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（3）精确到0．01，算几次就可以了？若精确到0．001呢？设计意图：此活动在于通过讨论，让学生知道用二分法求方程近似解的具体过程和解题步骤，以及用二分法求近似值的过程到何时结束．活动3 课本P119页练习：用二分法求方程02129.0=-x x 的近似解，精确到0.1． 探究：（1）与活动2进行比较，过程有什么不同？（2）根据这些活动，二分法求方程近似解的具体步骤是什么？设计意图：活动1中的方程04323=-+x x 虽然没有给出初始区间，但是根据方程的形式容易知道为),(+∞-∞，而活动3中的方程02129.0=-x x 的初始区间未给定，却需要自己找，这是一个质的变化．通过自主探究，讨论，来体会、归纳确定出初始区间的一般方法：估算或利用图象（估算：由方程有意义及移项左右两边相等，可知00>x ；或作图：考察函数x y 9.0=与xy 212=图象交点的横坐标，可知00>x ），以及得出利用二分法求方程近似解的具体步骤． 活动4 利用计算器，求方程3lg =+x x 的近似解（精确到0．1）．（注：可以2人为一组，互相配合，一人按计算器，一人记录过程）不同组之间探讨交流，从中能得出什么样的结论？设计意图：（1）通过学生合作探究，进一步来体会、归纳确定出初始区间的一般方法． （估算：由方程有意义及左右两边相等，可知)3,0(0∈x ；作图：考察函数x y lg =与x y -=3图象交点的横坐标，可知)3,2(0∈x ）（2）由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助计算器来完成计算，计算器来完成．同进，通过共同学习交流探讨，感知初始区间选择的不同对结果无影响，只是计算次数多少而已．活动5 如图，一条电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何尽快找到故障接点？ 设计意图：让学生在活动中体会二分法在实际生活中的用处．6．2自我诊断例1 下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（）A. B. C. D.设计意图：使学生明确初始区间),(b a 并非任意选取，必须满足0)()(<b f a f ，加深学生对利用二分法求方程近似解原理的理解．答案：C ．例2 用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( )A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1，2）或（2，3）都可以D ．不能确定设计意图：使学生明确利用二分法求方程近似解取新区间方法，一个端点是原区间的中点，另一个是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号．答案：A ．例3 方程0ln )21(=-x x的根的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3设计意图：使学生进一步明确通过函数图象与性质来分析零点的方法．答案：B ．例4 下表是用计算器或计算机作出函数62ln -+=x x f(x)的图象和对应值，则从下表可以看出方程062ln =-+x x 的一个正的近似解是 （精确到0．01）次数左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 第1次2．00000 -1．30685 3．00000 1．09861 第2次2．50000 -0．08371 3．00000 1．09861 第3次2．50000 -0．08371 2．75000 0．51160 第4次2．50000 -0．08371 2．62500 0．21508 第5次2．50000 -0．08371 2．56250 0．06598 第6次2．53125 -0．00879 2．56250 0．06598 第7次2．53125 -0．00879 2．54688 0．02862 第8次2．53125 -0．00879 2．53906 0．00992 设计意图：使学生进一步巩固利用二分法求方程近似解的具体步骤，提高学生阅读理解能力．答案：2．53.例5 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，大约有200多根电线杆子．如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.请你帮工作人员设计一个维修方案来迅速查出故障所在.设计意图：让学生感悟二分法在实际中的应用，同时体会到学习数学成功的喜悦． 答案：如图，设闸门和指挥部的所在处为点A ，B ，（1）首先从中点C 查；（2）用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；（3）再到BC 段中点D ；（4）这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；（5）再到CD 中点E 来看；（6）这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半.6、请感兴趣的同学思考:当10<<a 时，方程x a a x log =的解只有一个吗? 设计意图：让学有余力的学生更能发挥其个性品质，提高学科素养．6．3 总结提炼（1）二分法的基本思想是 ；（2）初始区间的选定的方法有 ；（3）利用二分法求方程的近似解的具本步骤是： ．（4）把学案中有疑惑的知识点作上记号，并在空白处写出疑惑原因．设计意图：引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问，以便在教师或同学的帮助下得到解决．6．4阅读拓展在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》、北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》、南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N ． H ． Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E ．Galois ，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．设计意图：介绍中外历史上的方程求解问题，让学生感受到数学文化方面的熏陶，最大限度地调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，提高学习的积极性和主动性．同时，从高次代数方程解的探索历程使学生认识引入二分法的意义．7 案例反思7．１倡导新课程理念，进行有效设计《数学课程标准（试验稿）》明确指出：由于不同的学生所处的社会环境不尽相同，所具备的数学知识背景与数学活动经验也各异，所以，教科书的定位应当是“学生数学学习的重要线索”，它并不能满足所有学生数学学习活动的需要．本学案设计，以倡导新课程理念：自主探索、动手实践、合作交流的学习方式为出发点，根据自己学生的社会环境特征、思维活动水平和数学学习条件去创造最适合自己学生的数学学习活动，在知识的形成过程中突出数学思维活动的学习，引导学生充分经历知识的建构过程．在设计实践中，更多地关注学生的学，坚持实现数学学习的“有效”和“高效”，并使数学学习实现从“有效学习”、“高效学习”到“魅力学习”的飞越.（1）为充分调动学生的积极性与主动性，提高学习兴趣，以猜数字游戏为情景，在玩的过程中来体验二分法的这一算法思想，突出了学习的主题，进行了有效情景的设计．（2）为让学生顺利地进行有效学习，以问拓思，因问造势，学案设计了4个活动，一环扣一环，让学生身临其境，合作交流，共同探究，帮助学生发现规律，解决问题，同时让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合，整理归纳，自我诊断，通过解题巩固知识，最终形成了一个完整的科学体系，达到学习目的，突出理性思维，优化学生的认知结构，培养创新能力．（3）为符合社会的需要，让学生认识到数学与我有关，我要学数学、用数学，密切联系实际生活，在生活情景学习数学，充分挖掘课本知识的生活背景，设计实际应用问题．（4）为开阔学生视野，感悟文化，激发兴趣，使个性品质得到培养，有意义地进行学习，注重选取可读性强的阅读材料——介绍中外历史上的方程求解问题．7．2 对学案的挖掘“学案”是建立在教案基础上针对学生学习而开发的一种学习方案，其实质上是教师用以帮助学生掌握教材内容，沟通教与学的桥梁，也是培养学生自主学习和建构知识能力的一种重要媒介，具有“导读，导听，导思，导做”的作用，但它没有固定的模式，具有较大的弹性和适应性．因此，教师在思想上要从“教案”转变到“学案”，根据实际情况，把教师的教学目标转化为学生学习的目标，把学习目标设计成学习方案交给学生．根据学生现有知识，自学能力水平和教学要求，参照各方面信息，制定出一整套学生自学的“学案”，来实现个性发展与全面发展的统一．参考文献：1 严士健，王尚志主编．普通高中课程标准实验教科·数学1（必修）[M]．北京：北京师范大学出版社，2008普通高中数学课程标准（实验）2 章建跃．有效改进课堂教学——暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综述[J]．数学通报，2008，123 张劲松，郭豫．高中数学课程中的二分法——对“用二分法求方程的近似解”一堂课的思考[J]．中学数学教学参考，2008，44 王培．教学反思——新型教师成长的必由之路[J]．中学数学教学，2008，3。
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(2)
第五单元近现代中国的先进思想第20课西学东渐【课程标准】了解鸦片战争后中国人学习西方、寻求变革的思想历程，理解维新变法思想在近代中国社会发展进程中所起的作用。
一、开眼看世界1．背景(2)2．目的3．人物(1)志》，成为近代中国“开眼看世界的第一人”。
(2)魏源：编写，提出了“师夷长技以制夷”的思想。
4．影响(1)(2)逐渐成为中国近代的思想主流。
【误区警示】在民族危机之下，林则徐、魏源主张学习西方，但是林则徐、魏源是封建地主阶级的代表人物，因此其主要目的是维护清政府的封建统治，并不是要改变社会制度。
二、体用之争1．时间：19世纪60～90年代。
2．焦点：是否兼采西方文化变革救世。
3．表现(1)(2)顽固派：反对“西学为用”，维持既有的政治文化格局。
(3)4．评价(1)(2)为西学在中国的传播创造了良好的舆论环境。
【误区警示】 地主阶级抵抗派和洋务派虽都属于地主阶级派别，但两者的侧重点不同，前者主张“师夷长技以制夷”，侧重于抵抗外来侵略；而洋务派主张“师夷长技以自强”，既维护清朝统治，镇压人民的反抗斗争，也含有抵御外侮的意图。
三、维新思潮1．早期维新派的转变(1)(2)(3)17政治制度方面起到了启蒙作用。
2．维新思潮的形成(1)背景：19世纪90(2)代表(1)内容(2)影响②为中国文化的发展开辟了一条新的道路。
【误区警示】 维新派与洋务派思想的分歧根本上是由不同的阶级立场决定的。
但无论是洋务派的“中体西用”思想，还是维新派的维新变法思想都在一定时期推动了中国社会的发展和进步，都应该给予积极的评价。
[讨论交流1] 下图是我国南方某城市的一个雕塑，你能判断这个城市的名称以及涉及的历史大事吗？试答：城市：广州。
事件：虎门销烟。
[讨论交流2] 林则徐为什么被称为近代中国“开眼看世界的第一人”？试答：鸦片战争后，为了解西方，抵御外来侵略，一批满怀爱国热忱和经世之志的先进中国人开始冲破传统的“贵中华”“贱夷狄”的思想藩篱，以新的眼光审视世界。
《利用二分法求方程的近似解》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解》优质课教案_17
E D C A4.1.2利用二分法求方程的近似解教学目标第一、知识与能力目标：理解用二分法求方程近似解的原理； 能够借助计算器用二分法求方程的近似解；了解用框图表示二分法求方程近似解的过程； 第二、过程与方法目标：通过利用二分法求方程近似解的思路和过程的探究，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用；第三、情感、态度、价值观目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力：让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。
教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。
教学难点：方程近似解所在初始区间的确定和准确把握终止条件。
教学方法：教师诱导，自主探索，动手实践，合作交流，归纳总结。
教学过程：（一）创设情境，提出问题问题1:如果现在靖边中学到自来水公司的管道某处发生故障,那么怎么找到这个故障点,要不要把水泥板全部掀起?（以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．）[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：首先从中点C 查,发现有水,说明BC 段正常,断定故障在AC 段,再到AC 段中点D 查这次发现没水,可见故障在DC 段再到DC 中点E 点来看有水，可见故障在DE 段这样每查一次,就可以把待查的管道长度缩减一半师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．师：在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）在实际生活中二分法常用于查找管道线路故障．我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。
这节课我们就来学习用二分法求方程的近似解。
（引出课题）[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用，激发学习的热情和学习的兴趣．（二）师生探究,构建新知问题2：假设自来水故障点大概在如图函数的零点位置，请同学们想一个找出零点的方法。
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§4.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学目标
1．知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱
数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、学法与教学用具
1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜ε便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a － b ︳＜ε，所以
︱x0－ a ︳＜b－a＜ε,︱x0－ b ︳＜∣ a－b∣＜ε,
即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度ε。
㈢、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1）本节我们学过哪些知识内容？
（2）你认为学习“二分法”有什么意义？
（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业
A组第四题，第五题。
4.2.1 实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，
许多联系可以用函数刻画。
用函数的观点看实际
问题，是学习函数的重要内容。
问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代
谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数
据，这些数据说明了什么？
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38
代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
解在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；一个是人体的代谢率。
不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。
实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。
在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。
（如图4-5）
根据图象，可以看出下列性质：
（1）代谢率曲线在小于20oC的范围是下降的，
在大约30oC的范围内是上升的；
（2）环境温度在20oC ～30oC时，代谢率较底，
并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
（3）环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影]
响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在
20oC ～30oC之间，这样可以使环境温度影响最小。
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确由
{4，10，20，30，38}到{60，44，40.5，54}的一个函数，
通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一
个新函数，定义域扩大到区间[4，38]。
对于实际的环境温度与人体代谢关系来说，就是一个近似函数关系，它的函
数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关
系。
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新
专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的
直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量x对
总成本C，单位成本P，销售收入R及利润L之间存在什么
样的函数关系？表示了什么实际含义？
解总成本C与产量x的关系
C=200000+300x；
单位成本P与产量x的关系
P=300+200000 /x；
销售收入R与产量x的关系
R=500x ；
利润L与产的量x关系
L=R-C=200x-200000。
以上各式建立的是函数关系。
（1）从利润关系式可见，希望有
较大利润应增加产量。
若x<1000,则要
亏损；若x=1000 ，则利润为零；
若x>1000 ，则可赢利.
(2)单位成本P与产量x的关系
P=300+200000 /x可见，为了降低成本，
应增加产量，以形成规模效应。