江苏省南通市2016届高三高考最后一练数学试题(PDF版)

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2016江苏高考临考数学模拟试卷(如东最后一卷)

2016江苏高考临考数学模拟试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 若全集{1,2,3,4}U =，{1,4}A =，则集合C A U = ▲ ．【答案】{2,3}2. i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则复数z 的虚部为 ▲ ．【答案】33.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．【答案】504. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ ．【答案】0.35. 算法流程图如图所示，则输出的k 值是 ▲ ．【答案】56. 将函数ππ()sin(2)()22f x x q q =+-<<的图像向右平移(0π)j j <<个单位长度后得到函数()g x 的图像，若(),()f x g x的图像都经过点p ，则j 的值为 ▲ ．【答案】5π6备用题：函数π2sin(2)6y x =-与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．【答案】π6x =-7. 以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为 ▲ ．【答案】2213y x -=8. 四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，点E ，F 分别为棱11BB CC1B 1A 1C 1D DCF上的点（异于端点），且EF BC ∥，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．【答案】129. 已知点P 在直线21y x =+上，点Q 在曲线ln y x x =+上，则P 、Q 两点间距离的最小值为 ▲ ．10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足2n n a a d +-= (d 为常数，且0d ¹，n *ÎN )， 121,2a a ==且122334,,a a a a a a 成等差数列，则20S 等于 ▲ ．【答案】120【解析】由题得2a 2a 3＝a 1a 2＋a 3a 4，则2×2(d ＋1)＝2＋(d ＋1)(d ＋2)．又d ≠0，得d ＝1，所以数列{a n }奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，于是S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋1092×1＋10×2＋1092×1＝120．【说明】本题考查等差数列的基本量运算，考查了简单的隔项成等差数列的求和问题.如图，已知正 11. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2b =，且c o s 2c o s c o s ()B B A C ++-=，当2a c +取得最小值时，最大边所对角的余弦值是 ▲ ．【答案】.【解析】根据题意，cos()cos()1cos2A C A C B -++-=-，化简得：2sin sin sin A C B =，即24b ac ==.因为2a c ≥+，当且仅当a =，c =. 又2b =，所以角A 最大，从而cos A ==12. 已知椭圆1F 的左焦点1F 和右焦点2F ，上顶点为A ，2AF 的中垂线交椭圆于点B ，若左焦点1F 在线段AB 上，则椭圆离心率为 ▲ ．【解析】由题意知2AB BF =，设1BF x =，则2x x a a ++=，所以2x a =，故112AF F B =，易求得()3,22B c b --，代入椭圆方程得22229441c b a b +=，解得2213c a =，所以e = 13. 如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足2BQ BP =,则PA PQ ⋅的最小值为 ▲．【答案】3532-【解析】设BP →＝λBC →，λ∈[0，1]，则BQ →＝2λAB →，则PA →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PQ →＝BQ →－BP →＝－2λBA →－λBC →．因此PA →·PQ →＝2λ2－52λ＝2(λ－58)2－2532，因此PA →·PQ →最小值为－2532．【说明】本题考查平面向量数量积的最值问题，也可通过坐标法解决14. 已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤.【解析】由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解. 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，如下图示. 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1,a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤ 解得23a <≤.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；（2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．【解析】（1）因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34．故cos 2x －sin 2x＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85．（2）223()2()222sin cos 2(cos 1)2f x x x x =+⋅=⋅+=-++a b b a b b 3sin 2cos22x x =++3)42x π++．因为3()24f α=，所以33())2424fααπ++=，即sin()48απ+=-，又(,)2απ∈π，所以3444αππ5π<+<，故cos()48απ+=-，所以sin sin[()])cos())4444ααααππππ=+-=+-+==．16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，90PCB∠=︒, 点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．证明：（1）//AP平面BED；（2）平面APC⊥平面BED．【解析】（1）设A C B D O=，ABCD是平行四边形，故O为BD中点．连结OE，因为点E是PC的中点，所以//AP OE．OE⊂平面BED,AP⊄平面BED, 所以//AP平面BED．（2）因为平面PBC⊥平面ABCD,90PCB∠=︒，故PC⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以PC BD⊥．而底面ABCD是菱形，故AC BD⊥,又AC PC C=，所以BD⊥平面APC．BD⊂平面BED，所以平面APC⊥平面BED．17. （本小题满分14分）已知圆221:(1)1C x y++=和圆222:(4)4C x y-+=．（1）过圆心1C作倾斜角为θ的直线l交圆2C于,A B两点，且A为1C B的中点，求sinθ；（2）过点(,1)P m引圆2C的两条割线1l和2l，直线1l和2l被圆2C截得的弦的中点分别为,M N.试问过点2,,,P M N C的圆是否过定点（异于点2C）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；【解析】（1）设直线l的方程为(1)y k x=+，则圆心2C到直线l的距离d=PEDCBAOEDCBA设AB 的中点为R ，则11123AR AB C R ====则2118d =，所以在12Rt C RC ∆中，212sin 5C Rd C C θ==（2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即22(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式22(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立则224040x x x y y -=⎧⎨-+-=⎩，所以40x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 即存在定点(4,1).18. （本小题满分16分）如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道ABCDE ，四边形BCDE 是矩形，其中8CD =km ,3BC =km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，5AB =km .现欲在BE 的中间点P处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道MN 接通主管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上.(1) 若点M 在边BC 上，设∠BPM θ=，用θ表示BM 和NE 的长； (2) 点M 设置在哪些地方，能使点M ,N 平分主通道ABCDE 的周长？请说明理由.【解析】（1）当点M 在边BC 上，设∠BPM θ=3(0tan )4≤≤θ，在Rt △BPM 中，tan 4tan BM BP θθ=⋅=.在△PEN 中,不妨设∠PEN α=,其中34sin ,cos 55αα==，则sin()sin PE NE πθαθ=--，即4sin 20sin 20tan sin()4sin 3cos 4tan 3NE θθθθαθθθ===+++；（2）当点M 在边BC 上，由 BM AB AN MC CD DE EN ++=+++,2BM NE -=;即10tan 2tan 14tan 3θθθ-=+；即28tan 8tan 30θθ--=,解得tan θ=3tan 0tan 4，θθ=<=>与30tan 4≤≤θ矛盾，点只能设在CD 上.当点M 在边CD 上，设CD 中点为Q ,由轴对称不妨设M 在CQ 上，此时点N 在线段AE 上；设∠ MPQ θ=4(0tan )3θ≤≤，在Rt △MPQ 中，tan 3tan MQ PQ θθ=⋅=；在△PAN 中，不妨设∠PAE β=，其中43sin ,cos ;55ββ==则sin()sin PA AN πθβθ=--，即3sin 15sin 15tan sin()3sin 4cos 3tan 4AN θθθθβθθθ===+++；由MC CB BA AN MQ QD DE EN +++=+++,得AN MQ =，即15tan 3tan 3tan 4θθθ=+；解得tan 0θ=或1tan 3θ=；故当4CM =，或者14333CM =-⨯=时，符合题意.答：当点M 位于CD 中点Q 处，或点M 到点C 的距离为3km 时，才能使点M ,N 平分地下水总通道ABCDE 的周长.19. （本小题满分16分）设k 为正整数，若数列{}n a 满足21()()k n n a a n n *+-=?N ，11a =，称数列{}n a 为“k 次方数列”. （1）设数列{}n a ()n *ÎN 为“2次方数列”，且数列{}n a n为等差数列，求4a 的值；（2）设数列{}n a ()n *ÎN 为“4次方数列”，且存在正整数m 满足16m a =，求m 的最小值；（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列” {}n a ()n *ÎN 和正整数p ，满足p a c =. 【解析】（1）因为，数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，所以(a i －a i －1)2＝i 2（n ∈N*）， a 1＝1.故a 2－a 1＝±2，所以a 2＝－1或a 2＝3. …………………………2分当a 2＝3时，若{a n n }为等差数列，则数列{a n n }以1为首项，12为公差，于是a n ＝12(n 2＋n )，经检验，满足题意；当a 2＝－1时，若{a n n }为等差数列，则数列{a n n }以1为首项，－32为公差，于是a n ＝－32n 2＋52n ，代回原题检验，不合题意，舍去；综上所述，a n ＝12(n 2＋n )，故a 4＝10. ………………………… 4分（2）因为，数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，所以a i －a i －1＝±i 2，且a 1＝1，所以a n ＝1±22±32±…±n 2.因为a m ＝16，当m ≤3时，a m 的最大值是1＋22＋32＝14，不可能成立.当m ＝4时，在算式1±22±32±42中，42项必须是正的，而算式1±22±32的值只能是－12，－4，6，14，故不可能为0，所以m ＝4不成立；当m ＝5时，在算式1±22±32±42±52中，52前必须是正的，若42项是正的不可能，故42项必须是负的，所以算式1±22±32只能是7，所以m ＝5不成立；当m ＝6时，在算式1±22±32±42±52±62中，因为62－52＝11，算式1±22±32±42等于－28，－20，－10，－4，4，12，22，30，所以m ＝6不成立；……………………… 6分当m ＝7时，在算式1±22±32±42±52±62±72中，因为1－22－32＋42＋52＋62－72＝16，所以m 的最小值为7. ……… 8分（3）因为n 2－(n ＋1)2－(n ＋2)2＋(n ＋3) 2 ＝4，故只要c 被4除余数分别1，2，3或整除存在即可. ……………………12分因为a 1＝1，故当c 被4除余1时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，使得a p ＝c .因为1－22＋32＝6，故当c 被4除余2时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，使得a p ＝c .因为1－22＋32－42＋52＝15，故当c 被4除余3时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*) 和正整数p ，使得a p ＝c . 20. （本小题满分16分）已知函数()ln ()||,0,0f x a x x c x c a c =+--<> (1) 当31,44a c =-=时，求函数()f x 的单调区间；(2) 当12a c =+时，若1()4f x ≥对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数 a 的取值范围; (3) 设函数()f x 的图像在两点P 11(,())x f x ，Q 22(,())x f x 处的切线分别为l 1,l 2，若1x =2x c =，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值.【解析】(1) 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥-+=,0,)(ln ,,)(ln )(22c x c x x a c x c x x a x f 求导得2222,,'()22,0x cx a x c xf x x cx a x c x ìï-+ïïï=íï-++ï<<ïïî≥ (1)当43-=a ，41=c 时，228231,,44'()8231,044x x x x f x x x x x æ--ç³ççç=çç-+-ç<<çè 若0<x<14 ，则04328)('2<-+-=xx x x f 恒成立，所以f(x)在(0，14 )上单调递减若x ≥14 ，则xx x x f 4)34)(12()('-+=，令f'(x)=0，解得x=34 或x=- 12 (舍去)当14 ≤x<34 时，f'(x)<0，f(x)在[14 ，34 ]上单调递减；当x>34 时，f'(x)>0，f(x)在(34，+∞)上单调递增综合，函数f(x)的单调减区间是(0，34 )，单调增区间是(34，+∞)(2) 当x>c ，c=a 2 +1时， xa x x x f )2)(1()('--=，而c=a2 +1<1所以当c<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(c ，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增所以函数f(x)在(c ，+∞)上的最小值为f(1)=a24 ，所以a 24 ≥14 恒成立，解得a ≤-1或a ≥1(舍去)又由c=a2 +1>0，得a>-2，所以实数a 的取值范围是(-2，-1] (3) 由l 1⊥l 2知， )(')2('c f a f -=-1，而f'(c)=a c ，则aca f -=-)2('，c ，则c aa ac a a f 2222)2(2)2('-=-+---=-，所以-2c=-c a ，解得a=12，不合题意故2a -<c ，则222)2(2)2('aaa c a a f -+-+--=-=--8a +2c=-c a ，整理理，128+-=a a a c ，由c>0，得a<- 12 ，令-8a =t ，则a=- t 28 ，t>2，所以821482322-=+-⋅-=t t t tt c ，设g(t)=8223-t t ，则g'(t)=2222)82()12(2--t t t 当2<t<2 3 时，g'(t)<0，g(t)在(2，2 3 )上单调递减；当t>2 3 时，g'(t)>0，g(t)在(2 3 ，+∞)上单调递增所以函数g(t)的最小值为g(2 3 )=3 3 2 ，故实数c 的最小值为3 32。

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十章推理与证明、算法与复数(含两年高考一年模拟)

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图第4题图第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调．故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118，即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2；当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3；当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4；当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5；当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题

2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题一、填空题1、已知集合}3,2,1{=A ，}6,3,{m B =，}3,2{=B A ，则实数m 的值为 .2、设复数i R b a bi a z ,,(∈+=是虚数单位），若i i z =-)2(，则b a +的值为 .3、下图是一个算法流程图，当输入的x 的值为2-时，则输出的y 的值为.4、用2种不同的颜色给右图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为.5、用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1~480，按编号顺序平均分为20个组（1~24号，25~48号，……，457~480号）.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为 .6、设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0212y y x y x ，表示的平面区域为D ，),(y x P 是区域D 内任意一点，则y x +3的最大值为 .7、已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为 60，则该棱锥的体积为 . 8、在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点),2(t P -，且55cos sin =+θθ，则实数t 的值为 . 9、已知一元二次不等式0)(>x f 的解集为),2()1,(+∞-∞ ，则不等式0)3(≤xf 的解集为 . 10、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆),(1)()(22R b a b y a x ∈=-+-截直线012=-+y x 所得的弦长为554，则ab 的最大值为 .11、设直线l 是曲线x x y ln 343+=的切线，则直线l 的斜率的最小值为 . 12、在平行四边形ABCD 中，已知2=AB ，7=AC ，1=AD .若点Q P ,满足AP AC 3=，PQ BD 4=，则AQ AP ⋅的值为 .13、在平面直角坐标系xOy 中，已知)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB 是直线23+=x y 上的两点，则)tan(βα+的值为 .14、已知函数23||)(-+--=a xa x x f 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 .二、解答题15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，B A >，135cos =C ，53)cos(=-B A . （1）求A 2cos 的值；（2）若15=c ，求a 的值.16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ACD ∆是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ， 120=∠ABC ，1==AB PA ，2=PD ，N 为PD 的中点.（1）求证：⊥AD 平面PAB ；（2）求证：//CN 平面PAB .17、（本小题满分14分）某市2015年新建住房面积为500万2m ，其中安置房面积为200万2m .计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万2m .记2015年为第1年. （1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知B A ,分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上、下顶点，点)21,0(M 为线段AO 的中点，a AB 2=.（1）求椭圆的方程；（2）设)2,(t N （0≠t ），直线NB NA ,分别交椭圆于点Q P ,，直线PQ NB NA ,,的斜率分别为321,,k k k . ①求证：Q M P ,,三点共线； ②求证：213231k k k k k k -+为定值.19、（本小题满分16分）已知数列}{n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且142111-=-+n n n S a a （*∈N n ）. （1）求2a 的值；（2）设nn nn a a a b -=+1，求数列}{n b 的通项公式；（3）若),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明.20、（本小题满分16分）已知函数ex e x f x-=)(，a ax x g +=2)(，其中e 为自然对数的底数，R a ∈. （1）求证：0)(≥x f ；（2）若存在R x ∈0，使)()(00x g x f =，求a 的取值范围；（3）若对任意的)1,(--∞∈x ，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值.21、选做题A ．【选修4—1：几何证明选讲】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BD BC =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B.【选修4—2：矩阵与变换】已知变换T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 2''，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1-A .C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 323（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==m y m x 2322（m 为参数）.若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求线段AB 的长.D.【选修4—5：不等式选讲】已知关于x 的不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(，其中R b a ∈,，求函数x b x a x f --+--=4)1(3)1()(的最大值.【必做题】22、（本小题满分10分）已知正六棱锥ABCDEF S -的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率)3(=X P 的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望)(X E .23、（本小题满分10分）已知m m my x +=+2)12(，其中m ，m x ，*∈N y m .（1）求证：m y 为奇数；（2）定义：[x ]表示不超过实数x 的最大整数.已知数列}{n a 的通项公式为]2[n a n =.求证：存在}{n a 的无穷子数列}{n b ，使得对任意的正整数n ，均有n b 除以4的余数为1.高三练习卷参考答案一、填空题： 1、2 2、51 3、7- 4、415、756、67、3328、49、]2log ,0[3 10、21 11、9 12、361913、3- 14、}83335,59{+-二、解答题：15、（1）解：在ABC ∆中，π=++C B A ，所以C B A -=+π，所以135cos )cos()cos(-=-=-=+C C B A π. 因为π<+<B A 0，1)(cos )(sin 22=+++B A B A ，所以1312)135(1)(cos 1)sin(22=--=+-=+B A B A . 因为B A >，所以π<-<B A 0，由53)cos(=-B A ，得54)53(1)(cos 1)sin(22=-=--=-B A B A .所以)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cos B A B A B A B A B A B A A -+--+=-++=656354131253)135(-=⨯-⨯-=. （2）由6563sin 212cos 2-=-=A A ，得6564sin 2=A ，因为π<<A 0，所以658sin =A ，因为15=c ，由正弦定理CcA a sin sin =得：6521265815sin sin =⨯==C A c a .16、（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BC BA =，在ABC ∆中，因为 120=∠ABC ，所以 30=∠BAC ，因为⊂AP AB ,平面PAB ，A AP AB = ，所以⊥AD 平面PAB .（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH因为N 为PD 的中点，所以PA HN //，因为⊂PA 平面PAB ，⊄HN 平面PAB ，所以//HN 平面PAB .由ACD ∆是正三角形，H 为AD 的中点，所以AD CH ⊥，由（1）知，AD BA ⊥，所以BA CH //，因为⊂BA 平面PAB ，⊄CH 平面PAB ，所以//CH 平面PAB .因为⊂HN CH ,平面CNH ，H HN CH = ，所以平面//CNH 平面PAB . 因为⊂CN 平面CNH ，所以//CN 平面PAB .（方法二）取PA 的中点S ，过C 作AD CT //交AB 的延长线于T ，连结SN ST ,. 因为N 为PD 的中点，所以AD SN //，且AD SN 21=，因为AD CT //，所以SN CT //. 由（1）知，AD AB ⊥，所以AT CT ⊥，在直角CBT ∆中，1=BC , 60=∠CBT ,得23=CT .由（1）知3=AD ，所以AD CT 21=，所以SN CT =. 所以四边形SNCT 是平行四边形，所以TS CN //.因为⊂TS 平面PAB ，⊄CN 平面PAB ，所以//CN 平面PAB .17、（1）设n （N n ∈）年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ，依题意，每年新建安置房是以200为首项，50为公差的等差数列，从而n 年内所建安置房面积之和为2]502)1(200[m n n n ⨯-+，则3000502)1(200≥⨯-+n n n ，整理得012072≥-+n n ，解得8≥n （15-≤n 舍去）. 答：8年内所建住房面积之和首次不低于3000万2m .（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，200为首项，1.1为公比的等比数列，设第m 年所建安置房面积占新建住房面积的比为)(m p ，则111.1103)1.01(500)1(50200)(--⨯+=+⋅-+=m m m m m p ，由)1()(+=m p m p 得，mm m m 1.11041.11031⨯+=⨯+-，解得7=m . 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.18、解：（1）由题意知，a b b 2)21(42=-=，解得2=a ，1=b ，所以椭圆的方程为1222=+y x .证：（2）①由)2,(t N ，)1,0(A ，)1,0(-B ，则直线NA 的方程为11+=x t y ，直线NB 的方程为13-=x ty ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=221122y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2224222t t y t t x ，故)22,24(222+-+-t t t t P 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=221322y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=18181812222t ty t t x ，故)1818,1812(222+-+t t t t Q 所以直线PM 的斜率t t t t t t k PM 862421222222-=+--+-=，直线PM 的斜率t t t t t t k QM 8618122118182222-=+-+-=，所以QM PM k k =，故Q M P ,,三点共线.②由①知，t t k t k t k 86,31,12321-===，所以21386422213231-=--⨯=-+tt t t k k k k k k ，所以213231k k k k k k -+为定值21-.19、（1）易得3142=a . （2）由142111-=-+n n n S a a ，得14211-=-++n n n n n S a a a a ，所以nn n n n a a a a S -=-++11214① 所以1212214++++-=-n n n n n a a a a S ②，由②-①，得nn nn n n n n n a a a a a a a a a ---=+++++++1112121222，因为01≠+n a ，所以n n n n n n a a a a a a ---=++++11222，所以211121=---+++++n n n n n n a a a a a a ，即11121=---++++nn nn n n a a a a a a ，即11=-+n n b b ，所以数列}{n b 是公差为1的等差数列.因为431211=-=a a ab ，所以数列}{n b 的通项公式为41-=n b n .(3)由（2）知，411-=-+n a a a n n n ，所以143414111-+=+-=+n n n a a n n ，所以141)1(41-=-++n a n a n n ，所以数列}14{-n a n是常数列. 由321141=-⨯a ，所以)14(32-=n a n . (方法一)由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，所以)14)(14()14(2--=-r m p ，所以0)(4168162=++--r m mr p p ，即0)(4242=++--r m mr p p （*）（途径一）（*）式即为mr mr r m mr p p 24)(4242-<+-=-，所以22)212()212(-<-mr p ，即212212-<-mr p ，所以mr p <，即mr p <2. （途径二）（*）式即为14242-+-=r r p p m .由014)(14)14()24(1424222222>--=---+-=-⋅-+-=-r r p r p r r r p p p r r r p p p mr ，所以mr p <2.（方法二）由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，记)1(4,4,4γβαγβα<<<===r p m ，则有1,1,1---γβα成等比数列，所以)1)(1()1(2--=-γαβ，即)(22γααγββ+-=-，若αγβ=2，即mr p =2时，则βγα2=+，所以γβα==，矛盾；若αγβ>2，则0)(22>-=+-αγβγαβ，所以1)(21>+>γαβ，所以0)(41)]([)()2()]([)(222>-=+---+-+>+---γαγααγγαγαγααγββ，矛盾.所以αγβ<2，即mr p <2.20、解：（1）令0)('=-=e e x f x，得1=x ，且当1<x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('<x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递增，所以函数)(x f 在1=x 处取得最小值.因为0)1(=f ，所以0)(≥x f .（2）设a ax ex e x F x ---=2)(，题设等价于函数)(x F 有零点时的a 的取值范围. ①当0≥a 时，由03)(≤-=a x F ，0)1(1>++=--a e e F ，所以)(x F 有零点. ②当02<≤-a e时，若0≤x ，由02≥+a e ，得0)2()(>-+-=a x a e e x F x ；若0>x ，由（1）知，0)12()(>+-=x a x F ，所以)(x F 无零点. ③当2e a -<时，01)0(>-=a F ，又存在0210<+-=ae a x ，0)2(1)(00=-+-<a x a e x F ，所以)(x F 有零点.综上，a 的取值范围是2ea -<或0≥a . （3）由题意，ex e x a x-≤+)12(，因为1-<x ，所以12+-≥x exe a x .设)1(12)(-<+-=x x exe x G x ，其值域为A ，由于0122212)2()(<++=++-=--x ee e x ex e e x G x x，所以2)(e x G -<. 又0)12(2)('2<+--=x e e xe x G x x ，所以)(x G 在)1,(--∞上为减函数，所以ee G x G 1)1()(--=->，记区间B ee e =---)2,1(，则B A ⊆.①设函数B m m x G x H ∈-=,)()(，一方面，01)1(<--=-m ee H ；另一方面，]1)2()1[(121)]12([121)(m x m e e x x m ex e x x H x x -++--+=---+=，存在125-<+e m ，0]4)1[(12101)25(>+--⋅++=+m e em e m H x所以)1,25(1-+∈∃em x ，使0)(1=x H ，即m x G =)(1，所以A B ⊆.②由①，②知，B A =，从而2e a -≥，即a 的最小值为2e -. 21、选做题A 、证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以BCD DAE ∠=∠，BDC BAC FAE ∠=∠=∠. 因为BD BC =，所以BDC BCD ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B 、解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 1021''，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A . 设dd c b a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10012210211d c d b c a d c b a AA d，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+100212d c d b c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==1021d c b a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-10211A .C 、解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 323消去参数t ，得)23(3-=x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧==m y m x 2322消去参数m ，得x y 62=. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 6)23(32，消x 得09322=--y y ，解得331=y ，32-=y ，所以)33,29(A ，)3,21(-B ，所以8)333()2129(22=++-=AB . D 、因为不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(，所以可得3=a ，2=b .又函数x x x b x a x f -+-=--+--=4324)1(3)1()(，由柯西不等式可得5])4()3)[(12()432(22222=-+-+≤-+-x x x x ，当且仅当x x -=-432，即]4,3[516∈=x 时取等号，所以，当516=x 时，函数)(x f 取得最大值5. 必做题： 22、解：（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3537=C 种取法，其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个. 因此3566)3(37===C X P . （2）由题意，X 的可能取值为33,32,6,2,3. 其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2=X 的三角形有两类，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个；其中6=X 的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个；其中32=X 的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个；其中33=X 的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个；因此356)3(==X P ，359)2(==X P ，356)6(==X P ，3512)32(==X P ，352)33(==X P .所以数学期望35186633635233351232356635923563)(++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 23、证明：（1）由)2(2)()12)(2()12(1m m m m m m m y x y x y x +++=++=++得m m m y x y +=+21，即1+m y 与m y 同奇偶，而当1=m 时，11=y 为奇数，所以m y 均为奇数.（2）由二项式定理可得：m m my x -=-2)12(，所以1222=-m m y x ，即22212mm m y y x >+=，所以2222224)1()1(2+<+=<m m m m m m y y y y x y ，从而有1222+<<m m m m y y x y ，令m m y x n =，则2]2[]2[m m m n y y x n b ===，由（1）知，m y 为奇数，所以n b 除以4的余数均为1.。

江苏省南通市2016届高三高考最后一练英语试题Word版含答案

2016届江苏省南通市高三高考最后一练模拟英语试题
第I卷(部分共85分)
第一部分听力(共两节，满分20分)
做题时，先将答案标在试卷录音内容结束，你将有两分钟的时间将试卷的答案
转涂到答题卡
第一节(共5小题每小题1分，满分5分)
听面5段对话每段对话有一个小题，从题中所给的ABC个选项中选出最
A. revenues B. guidelines C. margins D. criteria
26. The novel aroused the interest of readers and helped them to gain a real sense of the history
______ related.
34. Recent research has ______ the causes of the mysterious disease that has claimed thousands oflives.
29. I believe that their chances of survival will be great ______ they do not panic.
A. as though B. even if C. providing that D. so that
30. There is a real danger ______ some museums will attempt to entertain rather than educate.
3. Who is the man?
A. A student. B. A teacher. C. A reporter.
4. What are the speakers mainly talking about?

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题5Word版含答案

2016年数学全真模拟试卷五试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ．【答案】{}19,2．已知实数a ，b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+（其中i 是虚数单位），则a b += ▲ ．【答案】653．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ．【答案】1004．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】135．如图，是某校限时12 min 跑体能达标测试中计算每一个参加测试的学生所跑路程S （单位：m ）及时间t （单位： min ）的流程图，每跑完一圈（400 m ），计一次路程，12 min 内达标或超过12 min 则停止计程．若某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为 ▲ m ．【答案】20005．已知向量a ，b 满足1=a ，3=b，)1+=a b ，则-=a b ▲ ．（第5题）（第5题）（第3题）0.0.0.0.0.【答案】4；6．在平面直角坐标系xOy 中，“双曲线C 的标准方程为221169y x -=”是“双曲线C 的渐近线方程为34y x =±”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种) 【答案】充分非必要8．设a ，b ，c 为三条不同的直线，给出如下两个命题： ①若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；②若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面， ▲ ．【答案】若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥9．若函数()()ππ()sin 44f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】10．设奇函数()f x 在(0，+∞)上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ▲ ．【答案】(10)(01)-，，【解析】由奇函数及()()0f x f x x --< 得2()0f x x <，即(2,0),(3,1)A B 或()00f x x <⎧⎨>⎩，由函数的草图得解集为(10)(01)-，，11．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm . 【答案】3π【解析】如图，则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1）的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为24π3π=（cm 2）．12．正五边形ABCDE 的边长为AC AE ⋅uu u r uu u r的值为 ▲ ．【答案】6【解析】利用AC uuu r 在AE uu u r 上的投影得，AC AE ⋅=u u u r u u u r 2162AE =uu u r ．13．设集合{}()0A x x x a =-<，{}27180B x x x =--<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】[]29-，【解析】依题意，()2 9B =-，，当0a >时，(0 )A a =，，由A B ⊆得，09a <≤；当0a <时，( 0)A a =，，由A B ⊆得，2a -≥；当0a =时，A =∅，满足A B ⊆，综上得，[]29a ∈-，． 14．已知两个等比数列}{n a ，{}n b 满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，若数列}{n a唯一，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】13【解析】设数列}{n a 的公比为q ()0q ≠，由11b a =+，22b aq =+，233b aq =+成等比得，()()()22213aq a aq +=++，即24310a q a q a -+-=，因为0a >，所以2440a a ∆=+>，故方程24310aq aq a -+-=有两个不同的实数解，其中一解必为0q =，从而13a =，此时，另一解为2q =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）BA（第16题）CEF GD 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A－B ＝π4．（1）求a 的值；（2）求tan A 的值．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①（2分）又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3，（4分）因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以a ＝3（负值已舍）；（6分）（2），由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B ＝2，即tan B ＝2，（8分）因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4(12分)＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG //平面BCD ．求证：（1）EF ＝12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC ．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ，(4分) 又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得，F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC ．(7分)（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ，又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD ，(12分) 又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ．(14分)17．（本题满分14分）已知函数3()f x x ax b =++的图象关于坐标原点对称，且与x 轴相切．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在正实数m n , ，使函数()3()g x f x =-在区间[]m n , 上的值域仍为[]m n ,？若存在，求出m n , 的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为函数3()f x x ax b =++的图像关于坐标原点对称，所以()()f x f x -=-，即()33x ax b x ax b --+=-++，于是0b =，设函数3()f x x ax =+的图象与x 轴切于点( 0)T t ，，则()0f t =，且()0f t '=，即30t at +=，且230t a +=，解得0t a ==，所以3()f x x =；（6分）（2）333 0 ()3()3 0 x x g x f x x x ⎧+<⎪=-=⎨-⎪⎩，，，≥，，假设存在 m n ，满足题意，因为0n m >>，且3()3g x x =-在区间[]m n , 上单调递减，所以333 3 m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，ABDC（第18题）·E 两式相减得221m mn n ++=，可得0 1m n ≤≤，，这与[]332 3n m =-∈，矛盾，所以不存在正实数m n , 满足题意．（14分）18．（本题满分16分）下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉．设EB x EF y ==，（单位：m ）．（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置；（2）求y 关于x 的函数关系式；（3）请确定点E ，F 的位置，使直路EF 长度最短．【解】（1）当点F 与点C 重合时，由题设知，S △BEC 1=S □ABCD ，于是1124EB h AB h ⋅=⋅，其中h 为平行四边形AB 边上的高，得12EB AB =，即点E 是AB 的中点．（4分）（2）因为点E 在线段AB 上，所以020x ≤≤．（6分）当1020x ≤≤时，由（1）知，点F 在线段BC 上，因为AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°，所以S □ABCD sin 2010AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=由S△EBF12x BF=⋅⋅sin120°=100BF x=，所以由余弦定理得y EF === 当010x <≤时，点F 在线段CD 上，由S四边形EBCF()110x CF =+⨯⨯sin 60°=10CF x =-，当BE CF≥时，EF =当BE CF <时，EF =，化简均为y EF ==综上，101020x y x ⎧<=0≤，≤≤．（12分）（3）当010x <≤时，y == 于是当5x =时，min y =，此时1510CF x =-=；当1020x ≤≤时，y=53>故当E 距B 点2.5m ，F 距C 点7.5m 时，EF 最短，其长度为（16分）19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3280x y +-=，圆M ：22(3)(2)1x y -+-=．（1）设A ，B 分别为直线l 与圆M 上的点，求线段AB 长度的取值范围；（2）试直接写出一个圆N （异于圆M ）的方程（不必写出过程），使得过直线l 上任一点P 均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =；（3）求证：存在无穷多个圆N （异于圆M ），满足对每一个圆N ，过直线l 上任一点P均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =．解：（1）易得圆心(32)M ，到直线l ：3280x y +-=的距离1d r ==，故直线l 与圆M 相离，从而1AB -，所以线段AB 长的取值范围是)1+∞，．(5分)（2）易得圆M 关于直线l 对称的圆必满足题意，故满足题意的一个圆N 的方程为：()()229611313x y -+-=．(8分)（3）设圆N ：222()() (03)x a y b r r a -+-=>≠，，由M N PT PT =，得2221PM PN r -=-，即22222(3)(2)1()()x y x a y b r -+--=-+--，(10分) 整理得，()()2222322120a x b y r a b -+-⋅++--=，因为3280x y +-=，所以283y x =-，从而()()()22223283120a x b x r a b -+-⋅-++--=，整理得，()22223840a b x r a b b -+--+-=，(13分)因为上式对任意的x ∈R 恒成立，所以222230840a b r a b b -=⎧⎨--+-=⎩，，解得2223131640 (3)93b a r a a a ⎧=⎪⎨⎪=-+>≠⎩，，所以圆N 的方程为：()22221316()4393x a y a a a -+-=-+，即证．（16分）20．（本题满分16分）定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列．（1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；（ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2∉N *；(3分)当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14．（5分）（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1，(7分)（ii ）设{a n k}(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q |＞1时，|q |n ＞1，取n k ＞1＋log |q ||d ||a 1|(|q |－1)，从而|q |n k－1＞|d ||a 1|(|q |－1)，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1qn k ＋1－1－a 1qn k －1|＝|a 1||q |n k －1·|qn k ＋1－n k－1|≥|a 1||q |n k －1(|q |－1)＞|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；(12分)当|q |＜1时，|q |n ＜1，取n k ＞1＋log |q ||d |2|a 1|，从而|q |n k－1＜|d |2|a 1|，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1||q |n k －1|qn k ＋1－n k－1|≤|a 1||q |n k －1||q |n k ＋1－n k＋1|＜2|a 1||q |n k －1＜|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．．．．．域内作．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO上一点，C （第21—A 题）BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ．求证：2PM PA PC =⋅．证明：因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ∠=︒，从而90ONB BNP ∠+∠=︒，因为OB =ON ，所以OBN ONB ∠=∠，因为OB AC ⊥于O ，所以 90OBN BMO ∠+∠=︒，故BNP BMO PMN ∠=∠=∠， PM PN =，（6分）又2PN PA PC =⋅，所以2PM PA PC =⋅．（10分）B ．（矩阵与变换）已知a ，b ∈R ，矩阵A 13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换T A 将直线230x y --=变换为自身，求实数a ，b 的值．解：（1）设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则133x a x x ay b y y bx y '--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（4分）因为点x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦在已知直线上，所以230x y ''--=，故()()2330x ay bx y -+-+-=，整理得()1(23)30b x a y --+--=，（7分）所以22 231 b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得1 4a b =⎧⎨=-⎩，．（10分）C ．（极坐标与参数方程）设直线l ：cos60 1sin 60x l y l =︒⎧⎨=-+︒⎩，（l 为参数）与曲线C ：22 2x at y at⎧=⎨=⎩，（t 为参数，常数0a ≠）交于不同两点，求实数a 的取值范围．解：易得直线l的普通方程为：1y -，代入曲线C 的普通方程22y ax =(0)a ≠得，（6分）232(3)10x a x -+=，依题意，其判别式24(120a ∆=->，解得a <-0a >．（10分）D ．（不等式选讲）31>．31>31<-，（4分）4>2<，故3216x ->或0324x -<≤，（8分）即6x >或223x <≤，所以该不等式的解集为{}26 2x x x ><≤，或．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在唯一的一点P 满足1A P ⊥PB ，求实数λ的值．解：如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ，因为1A P ⊥PB ，（第22题）y所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ，化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ，（7分）由点()01P x , , 的唯一性知方程210x x λ-+=只有唯一解，所以，判别式240λ∆=-=，且0λ>，解得λ=2．（10分）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘；（3分）（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠，所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，（5分）设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定，又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（10分）。

(完整版)2016年高考新课标卷理科数学试题(2卷)

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）学校：___________姓名:___________班级:___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1。

已知z=(m+3）+（m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（)A。

（—3,1）B。

（-1，3）C。

（1，+∞）D。

（-∞，—3）2.已知集合A={1，2，3｝,B={x|（x+1）（x—2）＜0,x∈Z｝，则A∪B=(）A。

{1} B.｛1，2｝C。

｛0，1,2,3} D。

｛—1，0，1，2，3}3.已知向量=（1,m)，=(3，-2），且（+）⊥，则m=（）A.-8 B。

-6 C.6 D.84。

圆x2+y2—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1，则a=（）A.-B。

—C。

D.25。

如图,小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（)A.24B.18C.12 D。

96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC。

28π D.32π7。

若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A。

x=—（k∈Z） B.x=+（k∈Z） C.x=—(k∈Z） D.x=+（k∈Z）8。

中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图,若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A。

7 B。

12 C。

17 D。

349。

若cos（—α）=，则sin2α=（）A.B。

C.- D.—10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2,…，x n,y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1),（x2，y2）…(x n，y n）,其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ）A. B.C。

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题3-Word版含答案

（第4题）2016年数学全真模拟试卷三试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合A ={-1，0，2}，B ={x |x =2n -1，n ∈Z }，则A ∩B = ▲ ．【答案】{-1}2．设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，123 ()x x =-∈R a e e ，122=+b e e ．若//a b ，则x 的值为 ▲ ．【答案】-63．从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ，则a ≤b 的概率为 ▲ ．【答案】894．如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c （单位：元）与行李重量w （单位：千克）之间的流程图．假定某旅客的托运费为10元，则该旅客托运的行李重量为 ▲ 千克．【答案】205．函数0 0 ()1 0x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，，的零点个数为 ▲ ．【答案】36．在平面直角坐标系xOy 中，曲线ln y x x =在e x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ▲ ．【答案】2e 47．如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 ▲ ．【答案】628．若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><2，，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右（第7题）10 8侧的第一个极值点为x π=3，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ．【答案】43π9．关于定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个命题：①若(1)(1)f f =-，则()f x 不是奇函数；②若(1)(1)f f >-，则()f x 在R 上不是单调减函数；③若(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 是周期函数．其中所有正确的命题序号是 ▲ ．【答案】②③10．已知数列{}n a 的前n 项和 1 ()n n S k k =-∈R ，且{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，则k 的取值集合是 ▲ ．【答案】{}0．【解析】．11．如果将直线l ：20x y c ++=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l '与圆C ： 22240x y x y ++-=相切，则实数c 的值构成的集合为 ▲ ．【答案】{3-，13-}【解析】易得直线l '：(1)2(2)0x y c ++++=，即250x y c +++=，圆C ：22(1)(2)5x y ++-=的圆心(1 2)-，到直线l '：250x y c +++==解得3c =-或13c =-．12．已知正数x ，y 满足3x yxy x y-=+，则y 的最大值为 ▲ ．【答案】13【解析】由2223x y xy x y -=+，得2112322x y x y xy y x-+==-，所以113222y x y x -=+=≥，从而23210y y +-≤，解得13y ≤．13．考察下列等式： 11ππcos isin i 44a b +=+，()222ππcos isin i 44a b +=+，()333ππcos isin i 44a b +=+，……()ππcos isin i 44nnna b +=+，其中i 为虚数单位，a n ，b n (n *∈N )均为实数．由归纳可得，a 2015+b 2015的值为 ▲ ．【答案】0【解析】通过归纳可得， ()ππππcos isin cos isin 4444nn n +=+，从而a 2015+b 20152015πcos 4=2015πsin 4+=0．14．在△ABC 中，13AE AB =，23AF AC =．设BF ，CE 交于点P ，且EP EC λ=，FP FB μ=(λ,μ∈R ),则λμ+的值为 ▲ ．【答案】57【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC ，设AB 3=，3AC =，以AB ，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则A (0 0)，，(3 0)B ，，(0 3)C ，，(1 0)E ，，(0 2)F ，，直线BF 的方程为：132yx +=，①直线CE 的方程为：13yx +=，② 由①②得，37x =，127y =，所以()312 77P ，，代入EP EC λ=，FP FB μ=得，31(01)7λ-=-，30(30)7μ-=-，解得47λ=，17μ=，故λμ+=57．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan )(1tan )2A B ++=．（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，ABCP（第16题）D所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分）由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =+，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab -≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4（14分）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，锐角三角形PAB 所在的平面与底面ABCD 垂直，PBC BAD ∠=∠90=．（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：//AD 平面PBC ．证明：（1）在平面PAB 内过点P 作PH AB ⊥于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，PH ⊂平面PAB ，所以PH ⊥平面ABCD ，（4分) 而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC ，由90PBC ∠=得PB ⊥BC ，又PHPB P =， PH ，PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，（8分)（2）因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB ，由90BAD ∠=得AD AB ⊥，故在平面ABCD 中，//AD BC ，（11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（14分)17．（本题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈．．由两条平行线段（图中的AB ，DC ）和两个半圆构成，设AB = x m ，且80x ≥．A BCD（1）若内圈周长为400 m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为22500πm 2，则x 取何值时，内圈周长最小？【解】设题中半圆形半径为r （m ），矩形ABCD 的面积为S （m 2），内圈周长为c （m ）．（1）由题意知：2S rx =，且22π400x r +=，即π200x r +=，于是()22000022π2(π)ππ2πx rS rx x r +==⋅⋅=≤（m 2）当且仅当π100x r ==（m ）时，等号成立．答：当x = 100（m ）时，矩形ABCD 的面积最大．（6分) （2）由题意知：2225002ππrx r +=，于是22500π2π2x r r =-⋅，从而 ()22500π22π22π2π2c x r r r r =+=-⋅+22500ππr r =+．（8分) 因为80x ≥，所以22500π802π2r r -⋅≥，即()2π160π225000r r +⋅-≤，解得250π90r -≤≤，所以900πr <≤，（10分)故221π8100r ≥．因为2222500225001π16πππ<0ππ81009c r'=-⋅+-⋅+=-≤，（12分) 所以关于r 的函数22500ππc r r =+在(900π⎤⎥⎦，上是单调减函数．故当90πr =即22500π90802902πx =-⋅=⨯（m ）时，内圈周长c 取得最小值，且最小值为225009034090+=（m ）．（14分)18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的焦距为6且过点(2 5，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上横坐标大于2的一点，过点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别与y轴交于点A ，B ，试确定点P 的坐标，使得△PAB 的面积最大．解：（1）由题意得，2c =22251a b +=，（2分）又222c a b =-，故212a =，26b =，所以椭圆C 的方程为221126y x +=；（5分）（2）设点00( )P x y ，，其中(02x ∈，且22001126x y +=，又设(0 )A m ，，(0 )B n ，，不妨m n >，则直线PA 的方程为：000()0y m x x y x m --+=，则圆心(1 0)，到直线PA1=，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，（8分）同理，2000(2)20x n y n x -+-=，所以m ，n 为方程2000(2)20x x y y x -+-=的两根，则()()220002024(2)(2)y x x m n x +--=-，（10分）又△PAB 的面积为S 01()2m n x =-，所以222000020(2)(2)y x x S x x +-=-220020(2)82(2)x x x -+=-，（12分）令(0202t x ⎤=-∈⎦，记222(8)(2)()2t t f t t ++=，则324(2)(16)()0t t t f t t+-'=>在(02⎤⎦恒成立，所以()f t在(02⎤⎦上单调递增，故2t =，即0x =时，()f t 最大，此时△PAB 的面积最大．（16分）19．（本题满分16分）已知函数1()ln f x a x x =+，a ∈R ．（1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；（2）若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．解：（1）易得2211()(0)a ax f x x x x x -'=-=>，(2分) 若0a ≤，则()0f x '<，从而()f x 无极值；若a > 0，则当1x a <时，()0f x '<；1x a >时，()0f x '>，此时()f x 有极小值()1f a ．综上，a 的取值范围是(0)+∞，．(4分)（2）设P (x 0，y 0) 是经过原点的切线与函数()f x 图象的切点，则切线方程为()00200011ln ()a y a x x x x x x --=--，（6分）因为切线过点(0，0)，于是00011ln a x a x x --=-+，即()0021ln a x x =-，因为0a ≠，所以0002ln x x x a=-，设()ln g x x x x =-，则()1ln 10g x x '=--=，得1x =，(8分)故当21a>，即02a <<时，不存在切线；当21a =或20a <，即2a =或a <0时，有且仅有一条切线，当201a<<，即2a >时，存在两条切线，（12分）下证：对任意的(01)m ∈，，ln x x x m -=在(0，1)内一定有一解，其中2m a =．⇔证明11ln m x x +=在(0，1) 内有一解，⇔证明1ln t mt +=在(1)t ∈+∞，内有一解．令()1ln h t mt t =--，则h (1) =m – 1<0， (2)21ln 2n n h m n =⋅--⋅ 21n m n >⋅-- (11)1n m n =⋅+--(1)112n n m n n +⎡⎤>++--⎢⎥⎣⎦，这是关于n 的二次函数，所以当n 充分大时，一定取得正值，由介值定理知，()h t 在(1)+∞，内有唯一解，即证．（16分）20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n ∈N ．设1n a ，2n a ，…，t n a （其中1n <2n <…t n <， *t ∈N ）成等差数列．（1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值；（2）求t 的最大值．解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n n n a a a ++=+，从而111111112222(1)2(1)2(1)n n n n n n ++++⎡⎤--=--+--⎣⎦，当1n 为奇数时，解得124n =-，不存在这样的正整数1n ；当1n 为偶数时，解得124n =，所以12n =．(3分) ②依题意，1a ，2n a ，3n a 成等差数列，即2312n n a a a =+，从而332222(1)32(1)n n n n ⎡⎤--=+--⎣⎦，当2n 3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故矛盾；当2n 3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，故矛盾；当2n 为偶数，3n 奇数时，321225n n +-=，左边为偶数，故矛盾；当2n 为奇数，3n 偶数时，321220n n +-=，即321n n -=．(8分) （2）设s a ，r a ，t a （s r t <<）成等差数列，则2r s t a a a =+，即22(1)2(1)2(1)r r s s t t⎡⎤--=--+--⎣⎦，整理得，1222(1)(1)2(1)s t r s t r ++-=-+---，若1t r =+，则2(1)3(1)s s r =-+--，因为22s ≥，所以(1)3(1)s r -+--只能为2或4，所以s 只能为1或2；(12分) 若2t r +≥，则1214322222222210s t r s r r ++++-+-+-=≥≥，(1)(1)s t -+-2(1)r --4≤，故矛盾，综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r 为奇数，从而t 的最大值为3．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，（2分）由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，（6分）从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．（10分）B．（矩阵与变换）求矩阵M0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．解：矩阵M的特征多项式为()(1)01fλλλλλ==--，（2分）令()0fλ=，解得M的特征值10λ=，21λ=．（4分）将10λ=代入二元一次方程组000(1)0x yx yλλ-⋅=⎧⎨-⋅+-=⎩，，解得x xy∈≠⎧⎨=⎩R，且，，所以矩阵M的属于特征值0的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（7分）同理，将21λ=代入①解得0 xy x=⎧⎨∈≠⎩R，，且，所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（10分）AB CDE(第21—A题)C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知A ( 1，π3 )，B ( 9，π3 )，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l的极坐标方程及△ABC 的面积．解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π3)，（2分）设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5，（6分）令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)．（8分）所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203．（10分）D ．（不等式选讲）已知x ，0y >，求证：22x y x y++≥证明：因为x ，0y >，且2()0x y -≥，（当且仅当x y =时“=”成立）所以222x y x yx y +++≥， ① （4分）又2x y+，（当且仅当x y =时“=”成立）② （8分）由①②得22x y x y++≥x y =时“=”成立）．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA h =．（1）若2h =，求1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值；（2）若二面角1A BD C --的大小为34π，求h 的值．解：如图，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，1A1B1D1C（1）当2h =时，(1 0 0)B ，，，(0 1 0)D ，，，1(0 0 2)A ，，，1(1 1 2)C ，，，则1(1 1 2)AC =，，，1(1 0 2)A B =-，，，1(0 1 2)A D =-，，，设平面1A BD 的法向量( )a b c =，，n ，则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得，20 20 a c b c -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1c =，则2a b ==，此时(2 2 1)=，，n ，（3分）故111cos AC AC AC ⋅<===⋅，nn >n所以1AC 与平面1A BD ；（5分）（2）由1(0 0 )A h ，，得，1(1 0 )A B h =-，，，1(0 1 )A D h =-，，，设平面1A BD 的法向量( )x y z =，，m ，则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m 得，0 0 x zh y zh -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1z =，则x y h ==，此时( 1)h h =，，m ，（7分）又平面CBD 的法向量1(0 0 )AAh =，，，故111cos AA AA AA ⋅<===⋅，m m >m，解得h =．（10分）23．设n 为给定的不小于3的正整数．数集P ={}x x n x ∈*N ≤，，记数集P 的所有(1 )k k n k ∈*N ≤≤，元子集的所有元素的和为k P ．（1）求1P ，2P ；（2）求12n P P P ++⋅⋅⋅+．解：（1）易得数集P ={}1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，，，则1(1)1232n n P n +=+++⋅⋅⋅+=，（2分）（第22题）数集P 的2元子集中，每个元素均出现1n -次，故2(1)(1)(1)(123)2n n n P n n +-=-+++⋅⋅⋅+=，（4分）（2）易得数集P 的k (1 )k n k ∈*N ≤≤，元子集中，每个元素均出现11C k n --次，故1111(1)C (123)C 2k k k n n n n P n ----+=⋅+++⋅⋅⋅+=，（6分）所以12n P P P ++⋅⋅⋅+=01211111(1)(C C C C )2n n n n n n n -----++++⋅⋅⋅+ 1(1)22n n n -+=⋅ 2(1)2n n n -=+⋅．（10分）。

优质：江苏省南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = . 【答案】{}0 【解析】试题分析：{0}.U C A = 考点：集合的补集2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】试题分析：()22=34,34.z i i z i =--=+ 考点：复数的概念3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .【答案】2考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：11,3S n ==；第二次循环：8,5S n ==；第三次循环：3,5S n ==；结束循环，输出 3.S =考点：循环结构流程图5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .【答案】π考点：柱的体积6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 . 【答案】16【解析】试题分析：一颗骰子连续抛掷2次，共有36种基本事件，其中满足12m n <有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率7.函数()f x =的定义域为 .【答案】(考点：函数定义域，解简单分式不等式8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】y x =± 【解析】试题分析：由题意得219a a +=⇒=，而双曲线2221x y a -=渐近线的方程为1,y x a =±即y x =考点：双曲线渐近线9.已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【解析】试题分析：由题意得cos tan 0,.26x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为13(),()2626y x y x ππ-=---=-，与x轴交点横坐标分别为66x x ππ==-故线段BC(-=考点：导数几何意义10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC+⋅-的值为 .【答案】-16考点：向量数量积11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .【答案】100101【解析】试题分析：()()11111111101n n n n n n n na a a a a a a a ++++-+=⇒-+-=⇒-=，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，即11,n n n a a n==，因此()100100100111111111001.(1)1101101k k k k k a a k k kk +===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 考点：数列通项，裂项相消法求和12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .【答案】0a <或2a >考点：函数零点13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn的最大值为.【答案】14【解析】试题分析：设1122(,),(,)C x y D x y ，则由12y y =得121211x x x x +=+，因为12x x ≠，所以121x x =，因此22122222222211.1144()()x x x x m t n t x x x x --===≤=+++其中2210,t x x =->当且仅当2t =时取等号考点：基本不等式求最值14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣考点：直线与圆相切，圆与圆位置关系二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值；（2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 【答案】（1）6A B π-=（2）3BC =【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积得cos cos sin sin 33m n A B A B ππ⎛⎫⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角差余弦公式得cos 03A B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，最后根据范围5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6A B π-=（2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求BC 所对角的正弦值：sin sin 6A B π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，再根据正弦定理，得3BC =考点：正弦定理，两角差余弦公式16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ；（2）求证：平面BMN ⊥平面PAC .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥ 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）56AP AQ =（2）01λ<< 【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法确定椭圆方程及圆的方程22142x y +=、224x y +=，再联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，最后利用=PQy AP AQ y 求比值（2）设直线():2l y k x =+，联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，利用11Q P y AQ AP y λ=-=-得函数关系式2111k λ=-+，最后根据函数值域得实数λ的取值范围.试题解析：解（1）由条件，22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=（2）（方法一）若PQ AP λ=，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =所以21111k λ=-=-+，由题意：20k >，所以01λ<<. （方法二）由方法一知，22241111114121Q P k y AQ k k AP y k k λ+=-=-=-=-++ 由题意：20k >，所以01λ<<. 考点：直线与椭圆的交点18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【答案】（1）x <<（2）274m()()2228872224 ABCDa ba bS+--+==≤≤=矩形试题解析：解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=因为14ABCDS>四边形，所以2144x->，即x<又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>所以x<<;（方法二）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm由条件，2+26a b=，即3a b+=因为(),0,2a b∈，所以()30,2b a=-∈，从而(),1,2a b∈由于AB BD==，ABCDS==矩形()()2228872224a ba b+--+≤≤=当且仅当()31,22a b==∈时，74ABCDS=矩形答：窗口ABCD面积的最大值为274m考点：直线与圆位置关系，基本不等式求最值19.（本小题满分16分）已知数列{}n a，{}n b均为各项都不相等的数列，n S为{}n a的前n项和，()11n n na b S n N++=+∈.（1）若11,2nna b==，求4a的值；（2）若{}n a是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}nbλ+为等比数列；（3）若{}n a的各项都不为零，{}n b是公差为d的等差数列，求证：23,,,,na a a成等差数列的充要条件是12d=.【答案】（1）48a=（2）详见解析（3）详见解析从而1111n nn n n na a da a a a d-+--=---，再从充分性及必要性两方面进行论证，充分性证明实质根据1111n nn n n na aa a a a-+--=--，利用叠加法求通项，必要性证明实质是由11dd=-求值.试题解析：解（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a === （2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列；（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥考点：等差与等比数列20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）(],1-∞（3）不存在【解析】试题分析：（1）当0a =时，研究的函数不含参数，利用导数求极值：先求导函数()()1xf x e x '=+，再在定义域内求导函数零点1x =-，列表分析单调性变化趋势，得出结论函数()f x 的极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）实质是()min 0f x ≥，当0a ≤时，因为sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥恒成立；当01a <≤时，因为()()()0=1cos 201cos 010xf x e x a x e a a '+-≥+-=-≥，()()00f x f ≥=；当1a >时，存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()()00f x f <=，舍去（3）若存在，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是单调函数，必有极值点，因此1a >，()'0f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x ，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上至多有一个零点，因此不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点.③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x < 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <= 即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞;所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 考点：利用导数求极值，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式附加题21.A 【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析考点：三角形相似21.B 【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.【答案】4a b +=考点：矩阵运算21.C 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB的长.【解析】试题分析：先根据22cos +sin =1αα消去参数得曲线C 的普通方程：(224x y -+=，根据tan yxθ=将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程y x =，最后根据圆中垂径定理得弦长=试题解析：解：曲线C 的普通方程为(224x y -+=，表示以)为圆心，2为半径的圆直线l 的直角坐标方程为y x =所以线段AB 的长为=.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 21.D 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++ 【答案】详见解析考点：三元均值不等式22.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.【答案】（1）26y x =（2）菱形. 【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义化简条件“点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO ”得PO PF =，即3,344p p ==（2）先确定点A 处切线的斜率为03y ，写出切线方程2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求出点B 坐标201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形.考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N+∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.【答案】（1）()5216P =，()5316P =（2）()()1P n P n <+ 【解析】试题分析：（1）因为每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12，所以去掉平局，甲与乙胜的概率相等，即()24412(1)22C P =-，()36613(1)22C P =-.（2）同理可得()221(1)22n n n C P n =-，因此比较()P n 与()1P n +的大小，只需比较222n n n C 与1222(1)2n n n C +++大小，作商得()()()()()222112222222!4214!!2122!2121!1!n n n n n n n n n n n C n C n n n C C n n n ++++++===>++++考点：概率，组合数阶乘表示。

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．
的两点，
则 tan(α + β ) 的值为答案
− 3
14．已知函数 f ( x) = x − a − 3 + a − 2 有且仅有 x
个零点，且它们成等差数列，则实数 a 的取值集合
为答案
．
9 5 + 3 33 − 5 ， 8
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．
线，则直线 l 的斜率的最小值为
．
答案 9
12．在
行四边形 ABCD 中，已知 AB = 2 ， AC = 7 ， AD = 1 ．若点 P ， Q 满足 AC = 3 AP ，．
BD = 4 PQ ，则 AP ⋅ AQ 的值为
答案
13．在
19 36
面直角坐标系 xOy 中，已知 A(cos α ， sin α ) ， B (cos β ， sin β ) 是直线 y = 3x + 2
7．已知一个四棱锥的面边长为 2 ，侧棱
面成的角为 60°，则该棱锥的体积为
．
答案
2 3 3
8．在面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的终边经过点 P(−2 ， t ) ，且 sin θ + cos θ = 5 ，则实数 t 的 5
值为
．
答案 4
1) ∪ (2 ， + ∞) ，则等式 f (3x ) 9．已知一元二次等式 f ( x) > 0 的解集为 (−∞ ， 0 的解集为
公式
3 若 am ， a p ， ar p2
m ， p ， r ∈ N* ， m < p < r ，成等比数列，试比较
mr 的大小，并证明．
20．本小题满
16
知函数 f ( x) = e x − ex ， g ( x) = 2ax + a ，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R ．
1 求证 2 若
f ( x)
0
在 x0 ∈ R ，使 f ( x0 ) = g ( x0 ) ，求 a 的取值范围
3 若对任意的 x ∈ (−∞， − 1) ， f ( x)
g ( x) 恒成立，求 a 的最小值．
第4页
共4页
高三练习卷数学Ⅱ 附加题
21．选做题本题包括 A、B、C、D 共 4 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、．．．．．证明过程或演算步骤． A．[选修 4−1：几何证明选讲] 本小题满分 10 分如图，四边形 ABCD 是圆的内接四边形， BC = BD ， BA 的延长线交 CD 的延长线于点 E ．求证
的指定置，在其它粗，描写清楚
置作答一律无效如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请黑
参考公式锥体的体积 V = 1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为高． 3 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．知集合 A = {1，， 2 3} ， B = {m ，， 3 6} ， A ∩ B = {2， 3} ，
15．本小题满
14
在
1 2
ABC 中，角 A， B ， C 的对边
是 a ， b ， c ，A > B ， cos C = 5 ， cos( A − B ) = 3 ． 13 5
求 cos 2 A 的值若 c = 15 ，求 a 的值．
16．本小题满
14
ACD 是正
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，
行四边形 ABCD 中，知 AB = 2 ，AC = 7 ，AD = 1 ．若点 P ， Q 满足 AC = 3 AP ，．
BD = 4 PQ ，则 AP ⋅ AQ 的值为
13．在
面直角坐标系 xOy 中，知 A(cos α ， sin α ) ， B (cos β ， sin β ) 是直线 y = 3x + 2
逆矩阵 A−1 ．
C．[选修 4−4：坐标系参数方程]
本小题满分 10 分
x = 3 + t， 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 t 为参数，曲线 C 的 y = 3t x = 2 m 2， 3 参数方程为 m 为参数．若直线 l 2 = y m
角形， BD 垂直
AC ，垂足为 M ，
∠ABC = 120° ， PA = AB =1 ， PD = 2 ， N 为 PD 的中点． P 1 求证 AD ⊥ 面 PAB
N
2
求证
CN ∥
面 PAB ．
A M C
第 16 题
D
B
P
17．本小题满
14
某市 2015 新建为第 1
1 2
新建一
面积为 500 万 m2，其中安置面积为 200 万 m2.计划以增长 10% ，且安置面积比一增
则实数 m 的值为．
a ， b ∈ R ， i 是虚数单 Y
开始
输入 x
x>0 N y ← 4x + 1
2．设复数 z = a + bi
，若
z ( 2 − i ) = i ，则 a + b 的值为
y ← 4x − 1
．
3．右图是一个算法流程图，当输入的 x 的值为 −2 时，
则输出的 y 的值为
4．用 2 种
．
输出 y
结束
第3题
的颜色给右图中的 3 个圆随机涂色，每
个圆只涂 1 种颜色，则相邻的两个圆颜色均相的概率为．
第4题第1页共4页
5．用系统抽样的方法从 480
学生中抽取容量为 20 的样本，将 480
学生随机地编号
为 1~480，按编号序均为 20 个若第 1
AE 是四边形 ABCD 的外角 ∠DAF 的平分线．
B A
F
C
D
第 21 − A 题
E
B．[选修 4−2：矩阵变换]
本小题满分 10 分
x x′ x + 2 y 已知变换 T : → = ，试写出变换 T 对的矩阵 A ，并求出其 y y ′ y
点，
点 M 0，1 为线段 AO 的中点， AB = 2a . 2
( )
1 求椭圆的方程 2 设 N (t ，2) t ≠ 0 ，直线 NA ， NB
y A M P O B Q
N
交椭圆于点 P ， Q ，直线 NA ， NB ， PQ 的斜率求证求证为 k1 ， k2 ， k3 .
x
P ，M ，Q
曲线 C 相交于 A ，B 两点，求线段
AB 的长．
第 1 页共 2 页
D．[选修 4−5：等式选讲]
已知关于 x 的
本小题满分 10 分
等式 x 2 − ax + b < 0 的解集为 (1， 2) ，其中 a ， b ∈ R ，求函数
f ( x) = (a − 1) x − 3 + (b − 1) 4 − x 的最大值．
10．在面直角坐标系 xOy 中，知圆 ( x − a )2 + ( y − b) 2 = 1 a， b ∈ R 截直线 x + 2 y − 1 = 0
得的弦长为 4 5 ，则 ab 的最大值为 5
11．设直线 l 是曲线 y = 4 x3 + 3ln x 的 12．在
．．
线，则直线 l 的斜率的最小值为
1~24 号，25~48 号，……，457~480 号．
中用抽签的方法确定抽出的号码为 3，则第 4
抽取的号码为
．
6．设等式
2 x − y 1，表示的面区域为 D ， P ( x ， y ) 是区域 D 内任意一点，则 3x + y x + y 2， y 0
．
的最大值为
必做题第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．本小题满分 10 分已知正棱锥 S − ABCDEF 的面边长为 2，高为 1．现从该棱锥的 7 个顶点中随机
选取 3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得三角形的面积．
．
答案
log 3 2] [0 ，
10．在面直角坐标系 xOy 中，已知圆 ( x − a )2 + ( y − b) 2 = 1
a， b ∈ R
截直线 x + 2 y − 1 = 0
得
的弦长为 4 5 ，则 ab 的最大值为 5 答案
1 2
．
11．设直线 l 是曲线 y = 4 x3 + 3ln x 的
高
习卷数学Ⅰ
注意项
考生在答题前请认真阅读本注意项及各题答题要求
1．本试卷共 4
，包填空题共 14 题
解答题共 6 题，满为 160
，考试时
间为 120
钟考试结束，请将答题交回考试证号等用书写黑色迹的 0.5 毫米签笔填写
2．答题前，请您必将自的姓
在答题
3．作答试题必用书写黑色迹的 0.5 毫米签笔写在答题
an = 2n ．求证
均有 bn 除以 4 的余数为 1．
第 2 页