2020-2021年数学必修5第2章课时分层作业13等比数列前n项和的性质及应用(苏教版)
高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用练习新人教A版必修5
第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.已知数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列{a n}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列S n=a n-1符合S n=-Aq n+A的形式,且a≠0,a≠1,所以数列{a n}一定是等比数列.3已知{a n}是等比数列,a1=1,a4=,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1等于()A.2(1-4-n)B.2(1-2-n)C. (1-4-n)D. (1-2-n)q,∵=q3=,∴q=.∵a1=1,∴a n a n+1=1××1×=21-2n.故a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1=2-1+2-3+2-5+…+21-2n== (1-4-n).4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87已知S2m=15,S3m-S m=60,又(S2m-S m)2=S m(S3m-S2m)=S m(S m+60-S2m),解得S m=3,所以603=63.3m6.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,则S10-S4=.题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4==2 016.7.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 018=.a n+1·a n=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又a n+2·a n+1=2n+1,∴=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2 018=(a1+a3+…+a2 017)+(a2+a4+…+a2 018)==3·21 009-3.1 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)x元,第n期付款后欠款A n元,则A1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x,A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,……A12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,因为A12=0,所以2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=≈175,即每期应付款175元.9.在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求{b n}的前n项和S n.设等差数列{a n}的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列{a n+b n}是首项为1,公比为4的等比数列.所以a n+b n=4n-1,即-3n+2+b n=4n-1,所以b n=3n-2+4n-1,于是S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=.10.导学号04994050已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n,n∈N*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列{a n}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.由a1=1,a n+1=S n,n=1,2,3,…,得21=a1=,a3=S2= (a1+a2)=,a4=S3= (a1+a2+a3)=.由a n+1-a n=(S n-S n-1)= a n(n≥2),得a n+1=a n(n≥2),∵a2=,∴a n=(n≥2).∴数列{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为,公比为,项数为n的等比数列,∴a2+a4+a6+…+a2n=.B组1.在等比数列{a n}中,a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是A.3B.C.-D.5题意可知等比数列{a n}的公比q≠1,则a1+a2+…+a5==3,+…+=15,∴=5,∴a1-a2+a3-a4+a5==5.2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要()(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)A.4年B.7年C.12年D.50年据题意知每年的利润构成一个等比数列{a n},其中首项a1=5 000,公比110%=1.1,S n=30 000.于是得到=30 000,整理得1.1n=1.6,两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6,解得n=≈5,故还需要4年.3.已知等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项之积为T n,且满足a1>1,a2 016a2017>1,<0,则下列结论正确的是()A.q<0B.a2 016a2 018-1>0C.T2 016是数列{T n}中的最大数D.S2 016>S2 017,得a2 016>1,a2 017<1,所以前2 016项均大于1,0<q<1,S2 016<S2 017,T2 016是数列{T n}中的最大数,a2 016a2 018与1的大小关系无法确定.故选C.4已知等比数列{a n},其前n项和为S n,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于.q≠1 (否则S30=3S10),由所以q20+q10-12=0,所以q10=3(负值舍去),故S20==S10×(1+q10)=10×(1+3)=40.5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S n=b n+1-2(b>0,b≠1),则a4=.n≥2时,a n=S n-S n-1=(b-1)·b n.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此S n=2-2,于是a4=S4-S3=16.6.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,则前n个内切圆的面积和为.×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n个内切圆的面积之和为π.π7.已知正项等差数列{a n}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{b n}的前三项,a2=3.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记数列{b n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围.设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,a n=2n-1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴b n=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.∵T n=,∴k≥3n-6对n∈N*恒成立.∴k≥对n∈N*恒成立.令c n=,c n-c n-1=,当n≤3时,c n>c n-1,当n≥4时,c n<c n-1,∴(c n)max=c3=,故k≥.8.导学号04994052已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列{b n}的前n项和为T n,且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1.由题意知,解得∴a n=4n.∵T n-2b n+3=0,∴当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),故数列{b n}为等比数列,且b n=3·2n-1.(2)由(1)知c n=∴P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)==22n+1+4n2+8n+2.。
2020-2021学年人教A版数学必修5配套学案：2.5第2课时 等比数列的前n项和公式的性质及应用
第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用内容标准学科素养1.理解等比数列前n项和公式的函数特征．2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第43页[基础认识]知识点有关等比数列前n项和的性质思考并完成以下问题类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和有哪些性质？(1)若数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，那么数列{a n}是不是等比数列？提示：n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1.n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，适合n＝1，a1＝1，∴{a n}为首项是1，公比是2的等比数列．(2)若a n＝2n－1，S6，S12－S6，S18－S12能成等比数列吗？提示：由a n＝2n－1可得S n＝2n－1.∴S6＝26－1，S12－S6＝212－26＝26(26－1)，S18－S12＝218－212＝212(26－1)，∴S12－S6S6＝26，S18－S12S12－S6＝26.故S6，S12－S6，S18－S12是公比为26的等比数列．知识梳理(1)当公比q≠1时，设A＝a1q－1，等比数列的前n项和公式是S n＝A(q n－1)．即S n是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以S n＝na1，S n是n的正比例函数．(2)数列{a n}为公比不为－1的等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍构成等比数列．(3)若{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N*)．(4)若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1)．[自我检测]1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13C.12 D ．－12答案：C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝2827，则公比q ＝________.答案：13授课提示：对应学生用书第44页探究一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用[例1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列．[证明] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －a n －1＝a n －1(a －1) ∴a n ＋1＝a n (a －1)≠0，∴a n ＋1a n＝a .∴{a n }是以a －1为首项，公比为a 的等比数列．方法技巧 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，利用它可判定为等比数列．跟踪探究 1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A.法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8， 因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3， 所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A. 答案：A探究二 等比数列前n 项和的性质[阅读教材P 62第2题]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S 7，S 14－S 7，S 21－S 14也成等比数列．证明：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .当q ＝1时，S 7＝7a 1，S 14－S 7＝7a 1，S 21－S 14＝7a 1，显然S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列．当q ≠1时，由S 7＝a 1(1－q 7)1－q ，S 14＝a 1(1－q 14)1－q ，S 21＝a 1(1－q 21)1－q，可得S 7(S 21－S 14)＝a 21q 14(1－q 7)2(1－q )2＝(S 14－S 7)2，因此S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列．综上，等比数列{a n }中，S 7，S 14－S 7，S 21－S 14也成等比数列．[例2] (1)已知在等比数列{a n }中，S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. [解析] 由已知条件S 10＝10，S 20＝30，易得q ≠±1，运用性质 得S 101－q 10＝S 201－q 20，即101－q 10＝301－q 20，∴q 10＝2. 又S 301－q 30＝S 101－q 10，∴S 30＝70. [答案] 70(2)等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列．S n 为{a n }的前n 项和，则S 6S 3＝________.[解析] 因为等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，所以a 1q 2－a 1q 3＝2a 1q 4,2q 2＋q －1＝0，q ＝12或q ＝－1(舍去)，S 6S 3＝S 3＋q 3S 3S 3＝1＋⎝⎛⎭⎫123＝98. [答案] 98方法技巧 恰当地使用等比数列的前n 项和的性质，不仅简化了运算，而且避免了对公比q 的讨论．(3)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64，求该数列的通项公式．[解析] 设该数列的首项为a 1，公比为q ，奇数项之和、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．∵该数列的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·(13)n －1.方法技巧 本题在求公比时直接应用了等比数列前n 项和的性质：若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q .跟踪探究 2.等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴公比q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2探究三 等差、等比数列的综合问题[阅读教材P 61第6题]已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列．求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．证明：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ，S 9＝a 1(1－q 9)1－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q.由S 3，S 9，S 6成等差数列，得2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，整理得2q 9＝q 3＋q 6，即2q 7＝q ＋q 4，∴2a 1q 7＝a 1q ＋a 1q 4， ∴2a 8＝a 2＋a 5，∴a 2，a 8，a 5成等差数列．[例3] 已知公差不为0的等差数列{a n }，满足S 7＝77，a 1，a 3，a 11成等比数列． (1)求a n ；(2)若b n ＝2a n ，求{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 7＝7(a 1＋a 7)2＝77可得7a 4＝77，则a 1＋3d ＝11.①因为a 1，a 3，a 11成等比数列，所以a 23＝a 1a 11，整理得2d 2＝3a 1d .又d ≠0，所以2d ＝3a 1.②联立①②，解得a 1＝2，d ＝3，所以a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝2a n ＝23n －1＝4·8n －1，所以{b n }是首项为4，公比为8的等比数列，所以T n ＝4(1－8n )1－8＝23n ＋2－47.方法技巧 解等差、等比数列综合题的注意点等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强类比记忆．(1)设出首项和公差(比)，利用待定系数法可以解决两个数列的所有问题，用好性质会降低解题的运算量，从而减少差错．(2)等差数列的单调性只与公差有关，但等比数列的单调性不但与公比有关，也与首项有关．(3)既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列． (4)若{a n }是等比数列且a n ＞0，则{lg a n }是等差数列．(5)若一个数列的通项公式可以看作是一个等差数列与一个等比数列的通项公式的积，则该数列可以用错位相减法求和．跟踪探究 3.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.1－52B ．5＋12C.5－12D.5＋12或5－12解析：因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 3＝a 2＋a 1，因为{a n }是公比为q 的等比数列，所以a 1q 2＝a 1q ＋a 1，所以q 2－q －1＝0，因为q ＞0， 所以q ＝5＋12， 所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4a 3q ＋a 4q ＝1q ＝5－12.答案：C授课提示：对应学生用书第45页[课后小结](1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和为S n ＝A ·q n ＋B (A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和为S n ＝A ·q n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，特别地，如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．[素养培优]1．忽略对公比q 的讨论在数列{a n }中，a n ＝a 2n －a n (a ≠0)，求{a n }的前n 项和S n .易错分析 不讨论a 的取值，直接按等比数列求和公式代入求解． 自我纠正 当a ＝1时，a n ＝0，∴S n ＝0； 当a ＝－1时，a 2＝1，∴Sn ＝n ＋1－(－1)n2； 当a ≠±1时，S n ＝(a 2＋a 4＋…＋a 2n)－(a ＋a 2＋…＋a n)＝a2(1－a 2n )1－a 2－a (1－a n )1－a.综上，S n＝⎩⎨⎧0 (a ＝1)，n ＋1－(－1)n2 (a ＝－1)，a 2(1－a 2n)1－a 2－a (1－a n)1－a (a ≠±1).2．忽略题目中的隐含条件在等比数列{a n }中，前n 项和为2，紧接着后面的2n 项和为12，再紧接着后面的3n 项和S 是多少？易错分析 产生错误的原因是求出“q n ＝2或q n ＝－3”后没有考虑它成立的合理性，直接得出：当⎩⎪⎨⎪⎧q n＝2，a 11－q ＝－2时，S ＝112；当⎩⎪⎨⎪⎧q n＝－3，a 11－q ＝12时，S ＝－378. 事实上，当n 为偶数时，q n 不可能等于－3. 自我纠正 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝2，a 1(1－q 3n )1－q＝12＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q n＝2，a 11－q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧q n＝－3，a 11－q ＝12.当n 为偶数时，只有q n ＝2，a 11－q＝－2符合题意， 故S ＝a 1(1－q 6n )1－q－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112.当n 为奇数时，q n ＝2，a 11－q ＝－2和q n ＝－3，a 11－q ＝12都符合题意，故S ＝112，或S ＝12[1－(－3)6]－14＝－378.3．对等比数列求和的项数用错致误在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝________. 易错分析 此题中，易把项数弄错．本题的求解利用定义显然比较麻烦．从题干以及待求式子的特征观察，得b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之间的内在关系，即可求解，相对比较简单．自我纠正法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 2·1－(q 3)291－q 3＝q 21＋q ＋q 2·a 1(1－q 87)1－q＝47×140＝80.法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87， 因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80. 答案：80。
2020年年数学人教A版必修五优化课件第二章等比数列的前n项和公式的性质及应用
对等比数列求和的项数用错致误 [典例] 在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 87 项和 S87＝140，则 a3 ＋a6＋a9＋…＋a87＝________.
[ 解 析 ] 法 一 ： a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a87 ＝ a3(1＋ q3 ＋ q6 ＋ … ＋ q84) ＝ a1q2·1－1－qq3329＝1＋qq2＋q2·a111－－qq87＝47×140＝80.
在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算， 本题的法四运用了当 q≠－1 时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍 成等比数列，公比为 qm；法二运用了等比数列的性质：Sm＋n＝Sn＋ qnSm；法三运用了等比数列的性质：当 q≠±1 时，1－Smqm＝1－Snqn.
列的性质的由来． 并能应用．
2．理解等比数列的性质并能应用． 难点：掌握等比数列的性质
3．掌握等比数列的性质并能综合应 并能综合应用.
用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为 q. (1)两项关系：an＝ am·qn－m (m，n∈N*)． (2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝ apaq . (3)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap 成等比数列．
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
高中数学必修五学案 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？ 答案 当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2n ∈N *是等比数列； 当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2n ∈N *不是等比数列. 梳理 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？答案 设{a n }的公比为q ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 都不为0， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ， S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n . 梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列.(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *).(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋… －a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1).1.对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数.(√)2.当{a n }为等差数列，{b n }为公比不是1的等比数列时，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和，适用错位相减法.(√)类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式， ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ， ∴数列{a n }是等比数列.反思与感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列. 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.类型二 等比数列前n 项和的性质 命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n ).考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ). ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q 2n)1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A.－3B.－13C.3D.13考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 A解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ++++…＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 126 解析 11111112,n n n n n na a a a a ab b q q b b q+++---⋅===⋅Q∴{n a b }是首项为b 2，公比为2的等比数列.12662(12)126.12a a ab b b b -∴+++==-…类型三 错位相减法求和例4 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.考点 错位相减法求和 题点 错位相减法求和解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 考点 错位相减求和 题点 错位相减求和解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x，x ≠1且x ≠0.1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35D.37考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13B.－13C.12D.－12考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 C解析 方法一 ∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2，∵{a n}是等比数列，∴n＝1时也应适合a n＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－16，解得x＝12.3.已知等差数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c，等比数列{b n}的前n项和T n＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为()A.1B. 2C. 3D.无法确定考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案 A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于()A.24B.12C.18D.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 B解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想人教版高中数学必修五11 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列.(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1).设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系. (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解.。
高中数学必修5 第2章 数列 教师版 第13课时 等比数列的前n项和(2)
听课随笔第13课时 等比数列的前n 项和(2)【学习导航】 知识网络学习要求1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。
【自学评价】1．常见的数列的前n 项的和： （１）=++++n 321=2)1(+n n 即∑=ni i 1=2)1(+n n（2）6)12)(1(12++=∑=n n n i ni（3）213]2)1([+=∑=n n i ni 2． 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法． 3．错位相减法：适用于{n a n b }的前n 项和，其中{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列； 4．裂项法：求{}n a 的前n 项和时，若能将n a 拆分为n a =n b －1+n b ，则111+=-=∑n nk k b b a5．倒序相加法6.在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶【精典范例】【例1】求数列211+，412+，813+，．．．的前n 项和. 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法． 【解】=n S （211+）+（412+）+．．．+（n n 21+） ＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）＋（n 21814121+++ ）=.2112)1(n n n -++【例2】设数列{}n a 为231,2,3,4x x x ,,1n nx -()0≠x 求此数列前n 项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法． 【解】2311234n n S x x x nx -=+++++①()231231n n n xS x x x n x nx -=++++-+ ②由①-②得()1n x S -211n n x x x nx -=++++-，当1≠x 时，()n nn nx xx S x ---=-111xnx nx x n n n -+--=+111()xnx x n n n -++-=+1111()()21111x nx x n S n n n -++-=+ 当1=x 时，()214321n n n S n +=++++=追踪训练一1． 求和∑=+101)23(k k【答案】20192．求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S【答案】听课随笔21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 3．若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和为( B )A.n n S 211-=B.n n n nS 22121--=-C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 211 D.n n n n S 22121+-=-4．数列1，211+，3211++，…，n+++ 211的前n 项和为( B )A.122+n nB. 12+n nC.12++n nD. 1+n n 5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n +1n . 【解】 设n =2k ,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －1)－(2k )］=－k =－2n设n =2k －1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －3)－(2k －2)］+2k －1=－(k －1)+2k －1=k =21+n ∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)n n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-为奇数为偶数n n n n21 2【选修延伸】【例3】已知数列｛a n ｝中， a n ＋1＝a n ＋2n ， a 1＝3，求a n .【解】 由a n ＋1＝a n ＋2n得a n ＝a n －1＋2n －1即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-=---------22221233222111a a a a a a a a n n n n n n n n n∴a n －a 1＝21)21(21---n ＝2n －2因此a n ＝2n －2＋a 1＝2n ＋1点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列的通项公式.【例4】已知{n a }为等比数列，且nS =a ，n S 2=b ，（ab ≠0），求n S 3.【解】设等比数列{}n a 的公比为q.若q=1（此时数列为常数列），则nS =n 1a =a ，122na S n ==b ，从而有2a=b ∴a na S n 3313==（或233313ba na S n ===） 若q ≠1（即2a ≠b ），由已知qq a S n n --=1)1(1＝a ①qq a S n n--=1)1(212＝b ②又ab ≠0, ②/①得a b q n =+1 , 1-=abq n ③ 将③代入①，得 b a a q a -=-2121 ∴n S 3＝q q a n --1)1(31＝qa-11)1(3n q -＝b a a -22])1(1[3--a b ＝ab ab a 22+-追踪训练二1．等比数列｛a n ｝的首项为1，公比为q ,前n 项和为S ，则数列｛na 1｝的前n 项之和为（ C ） A.S1B.SC.1-n q S D.S q n 11-2．在等比数列｛a n ｝中，已知a 1=25,前三项的和S 3=215,则公比q 的值为___ 1或－2___.3．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6=___140___. 4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
高中数学必修5 第2章 数列 配套练习 第13课时 等比数列的前n项和(2)
第13课时 等比数列的前n 项和(2)【分层训练】 1．设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41B ．21C ．81 D ．12．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ） A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n3．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．1214．已知实数c b a 、、满足122,62,32===c b a ，那么实数c b a 、、是（）A ．等差非等比数列B ．等比非等差数列C ．既是等比又是等差数列D ．既非等差又非等比数列5．若c b a 、、成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx ax （ ） A ．必有两个不等实根 B ．必有两个相等实根 C ．必无实根 D ．以上三种情况均有可能 6. 数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a7. .在等比数列{}n a 中，14a =,5q =,前n 项和为n S ，则满足510n S >的最小自然数n 的值是 . 【拓展延伸】8. 在数列{an}中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{bn}的前n 项的和.9．求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…10．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n的前n 项和.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《等比数列的前n项和公式的性质及应用》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等比数列的前n 项和公式的性质及应用》一、选择题1.设首项为1，公比为的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )23A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2-a 5=0，则=( )S4S2A ．5B ．8C ．-8D ．153.已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．5104.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1，S 3=7，则S 5=( )A. B. C. D.1523143341725.在等比数列{a n }中，公比q=2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10=35，则S 10=( )A. B. C ．235 D.1 0232 1 0242 1 02226.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d>0，dS 4>0B ．a 1d<0，dS 4<0C ．a 1d>0，dS 4<0D ．a 1d<0，dS 4>0二、填空题7.在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n=________.8.等比数列{a n }的公比q>0，已知a 2=1，a n ＋2＋a n ＋1=6a n ，则{a n }的前4项和S 4=________.9.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n =________.10.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．11.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3=10，a 2＋a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．三、解答题12.设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证明：log0.5S n＋log0.5S n＋2>2log0.5S n＋.113.设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3=2，S4=5S2，求{a n}的通项公式．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n.15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2(n∈N*)，数列{b n}中，b1=1，点P(b n，b n＋1)在直线x-y＋2=0上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记T n=a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，求T n.答案解析1.答案为：D ；解析：S n ===3-2a n .a1 1－qn 1－q a1－anq 1－q2.答案为：A ；解析：∵8a 2-a 5=0，∴8a 1q=a 1q 4，∴q 3=8，∴q=2，∴==1＋q 2=5.S4S21－q41－q23.答案为：D ；解析：由已知得Error!解得q=2或q=.12∵q 为整数，∴q=2.∴a 1=2，∴S 8==29-2=510.2 1－28 1－24.答案为：B ；解析：由a 2a 4=1⇒a 1=，又S 3=a 1(1＋q ＋q 2)=7，1q2联立得：=0，∴q=，a 1=4，S 5==.(1q ＋3)(1q －2)124(1－125)1－123145.答案为：A ；解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)=35，∴a 1·a 2·a 3·…·a 10=235.∴a 1·(a 1q)·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)=235.∴a q 1＋2＋3＋…＋9=235.101∴a ·245=235，即a =，∴a 1=.∴a 1＋a 2＋…＋a 10==.101101121012a1 1－q10 1－q 1 02326.答案为：B ；解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列，所以(a 1＋3d)2=(a 1＋2d)(a 1＋7d)⇒a 1=-d ，53所以S 4=2(a 1＋a 4)=2(a 1＋a 1＋3d)=-d ，所以a 1d=-d 2<0，dS 4=-d 2<0.2353237.答案为：6；解析：∵a 1=2，a n ＋1=2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n ==126，∴2n =64，∴n=6.2 1－2n 1－28.答案为：；152解析：由a n ＋2＋a n ＋1=6a n ，得q n ＋1＋q n =6q n-1，即q 2＋q-6=0，q>0，解得q=2，又∵a 2=1，∴a 1=，∴S 4==.1212· 1－24 1－21529.答案为：3n-1解析：设等比数列{a n }的公比为q(q≠0)，依题意得a 2=a 1·q=q ，a 3=a 1q 2=q 2，S 1=a 1=1，S 2=1＋q ，S 3=1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2=3S 1＋S 3，即4(1＋q)=3＋1＋q ＋q 2，所以q=3(q=0舍去)．所以a n =a 1q n-1=3n-1.10.答案为：8；解析：由题意可知q=2，设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ，则a n ＋a n ＋1=24，又a 1=1，∴q n-1＋q n =24，即2n-1＋2n =24，解得n=4，∴项数为8项．11.答案为：64；解析：设{a n }的公比为q ，于是a 1(1＋q 2)=10，① a 1(q ＋q 3)=5，②联立①②得a 1=8，q=，∴a n =24-n ，∴a 1a 2…a n =23＋2＋1＋…＋(4-n)=2-n 2＋n=2-(n-)2＋1212721272498≤26=64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.12.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q>0.∵S n ＋1=a 1＋qS n ，S n ＋2=a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2-S =S n (a 1＋qS n ＋1)-(a 1＋qS n )S n ＋1=S n a 1＋qS n S n ＋1-a 1S n ＋1-qS n S n ＋1=a 1(S n -S n ＋1)=-2n ＋1a 1a n ＋1<0，∴S n ·S n ＋2<S .2n ＋1根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S ，2n ＋1即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.13.解：由题设知a 1≠0，S n =，a1· 1－qn 1－q则Error!由②得1-q 4=5(1-q 2)，(q 2-4)(q 2-1)=0.(q-2)(q ＋2)(q-1)(q ＋1)=0，因为q<1，解得q=-1或q=-2.当q=-1时，代入①得a 1=2，通项公式a n =2×(-1)n-1；当q=-2时，代入①得a 1=；通项公式a n =×(-2)n-1.1212综上，当q=-1时，a n =2×(-1)n-1；当q=-2时，a n =×(-2)n-1.1214.解：(1)设{a n }的公差为d ，则Error!即Error!∴a 1=1，d=2.∴a n =1＋2(n-1)=2n-1，(n ∈N *)．(2)∵b n =2a n =22n-1，∴T n =21＋23＋25＋…＋22n-1==.2 1－4n 1－42 4n －1 315.解：(1)由S n =2a n -2得S n-1=2a n-1-2(n≥2)，两式相减得a n =2a n -2a n-1，即=2(n≥2)，an an －1又a 1=S 1=2a 1-2，∴a 1=2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n .∵点P(b n ，b n ＋1)在直线x-y ＋2=0上，∴b n -b n ＋1＋2=0，即b n ＋1-b n =2，∴{b n }是等差数列．又b 1=1，∴b n =2n-1.(2)∵T n =1×2＋3×22＋…＋(2n-3)2n-1＋(2n-1)·2n ，①∴2T n =1×22＋3×23＋…＋(2n-3)2n ＋(2n-1)2n ＋1.②①-②，得-T n =1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )-(2n-1)·2n ＋1=2＋2·-(2n-1)2n ＋122－2n·21－2=2＋4·2n -8-(2n-1)2n ＋1=(3-2n)·2n ＋1-6.∴T n =(2n-3)·2n ＋1＋6.。
高中数学第二章数列课时作业等比数列前n项和的性质与数列求和新人教B版必修01386
课时作业(十四) 等比数列前n 项和的性质与数列求和 A 组(限时：10分钟)1．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1·q ＋10a 1， ∴1－q 31－q＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 答案：C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝11＋2＋3＋…＋n ，则其前n 项和S n ＝( ) A.2n n ＋1 B.n ＋12n C.n ＋1n2 D.n 2＋n ＋2n ＋1解析：∵a n ＝11＋2＋3＋…＋n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：A4．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所得偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3.答案：C 5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n 1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 ＝n1－2n .B 组(限时：30分钟)1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73C.83 D ．3 解析：∵S 6S 3＝S 31＋q 3S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2， ∴S 9S 6＝S 31＋q 3＋q 6S 31＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析：f (n )＝2[1－23n ＋1]1－23＝27(8n ＋1－1)． 答案：B3．已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．100B ．90C ．120D ．30解析：∵S 奇＝60，q ＝12，∴S 偶＝S 奇·q ＝30， ∴S 100＝S 奇＋S 偶＝90.答案：B4．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，那么a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1) 解析：由S n ＝2n －1，可得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)． 答案：D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n n －12＋2n －1－1 B.n n －12＋2n －1 C.n n ＋12＋2n ＋1－1 D.n n －12＋2n ＋1－1解析：解法一：当n ＝1时，a 1＝1，可以排除A 、C 、D ，∴选B.解法二：∵a n ＋1－a n ＝n ＋2n ，∴a n ＝(a n －a n ＋1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n －1)＋2n －1＋(n －2)＋2n －2＋…＋1＋21＋1＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋22＋…＋2n －1)＝n n －12＋2n－1.答案：B6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：∵a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln1＋2＝2＋ln n .答案：A7．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝________. 解析：∵a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝8.答案：88．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________.(用数字作答)解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知a n ＝2n －1，故a 5＝24＝16，S 8＝1－281－2＝255. 答案：16 2559．已知数列{a n }的前n 项和满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析：由S n ＋1＝2n ＋1得S n ＝2n ＋1－1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＝12nn ≥2)答案：⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12n n ≥2) 10．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和． 解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d . 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2a n ＝2n， ∴S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.11．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值；(2)设A n ＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ，求A n .解：(1)由已知2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1·q 4＝4a 1－2a 1·q 2，∵a 1≠0，整理得，q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，即q ＝1或q ＝－1，又∵q ≠1，∴q ＝－1.(2)S n ＝4[1－－1n ]1－－1＝2－2(－1)n ，∴A n ＝S 1＋S 2＋…＋S n＝2n －2·－1[1－－1n ]1－－1＝2n ＋1－(－1)n .12．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数．a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.。
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『高中数学』
教学课件‖课时训练‖讲义测试‖
课时分层作业(十三) 等比数列前
n 项和的性质及应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
C [由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，
∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2
＝15.] 2．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．4
C [S 3＝1，S 6＝9，
∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.]
3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
B [显然q ≠1，由S n ＝a 1－a n q 1－q ，得93＝3－48q 1－q
，解得q ＝2. 由a n ＝a 1q n －1，得48＝3×2n －1，解得n ＝5.
故选B.]
4．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( )
A ．1 025
B ．1 024
C ．10 250
D ．20 240
C [∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，
∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，
故选C.]
5．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )
A ．S 1
B ．S 2
C ．S 3
D ．S 4
C [由题知S 1正确．
若S 4错误，则S 2，S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.
若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12，得q ＝32，a 3＝18，a 4＝27，
S 4＝65，满足题设，故选C.]
二、填空题
6．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.
－1 [由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．
又∵S n ＝3n ＋k ，由等比数列前n 项和的特点知k ＝－1.]
7．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.
2 [设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，
S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q
， S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2
. 由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2
. ∴1＋q ＝3，∴q ＝2.]
8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 109
(10n －1)＋n 2 [数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)． 所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋
3＋…＋(2n －1)]＝10(1－10n )1－10
＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2.]。