红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的概念和通项公式
红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的综合问题
课时作业6 等差数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13等于( )A ．152B ．154C ．156D ．158【答案】 C 【解析】∵⎩⎨⎧a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝4，∴⎩⎨⎧a 1－d ＝87d ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝607d ＝47，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝156.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 5＝19，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14【答案】 A【解析】 设过P 、Q 的直线斜率为k ， 则k ＝a 4－a 34－3＝d ，又∵a 5＝19，S 5＝55∴(a 1＋19)×52＝55， ∴a 1＝3，d ＝4， ∴k ＝4.3．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )A ．64B ．100C ．110D ．120【答案】 B【解析】 由a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，得d ＝2.所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 1＋a 2＋8d )2＝10×(4＋8×2)2＝100，故选B.4．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么S 11的值为( )A ．44B ．－44C ．66D ．－66【答案】 D【解析】 ∵a 2＋a 10＝－12，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 2＋a 10)2＝11×(－12)2＝－66. 5．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4＝( )A.12B.13C.14D.16【答案】 A【解析】 ∵a 2＝2，a 6＝0， ∴1a 2＋1＝13，1a 6＋1＝1， ∴{1a n ＋1}的公差为16， ∴1a n ＋1＝13＋(n －2)×16＝n 6， ∴1a 4＋1＝23， ∴a 4＝12.6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18【答案】 B【解析】 ∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝－2，∴a 1＝39. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋41，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.故当n ＝20时，S n 取最大值400.7．已知等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1＝( )A ．30B ．29C ．28D ．27【答案】 B【解析】 a n ＋1＝S 奇－S 偶＝290－261＝29. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝20，则S 9的值为________． 【答案】 90【解析】 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×202＝90. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【答案】 2n【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n .10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.【答案】 9【解析】 ∵{a n }为等差数列，∴S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝9(a 5＋a 5)5(a 3＋a 3)＝9a 55a 3＝9.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)下表给出一个“等差数阵”ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式．【解析】(1)∵每行都成等差数列，∴a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，又∵每列都成等差数列，∴a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.(2)解法一：该等差数列的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，故a1j＝4＋3(j－1)．第2行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)，…，第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.解法二：第一列是首项a11＝4，公差d＝a21－a11＝7－4＝3的等差数列．∴通项a i1＝4＋3(i－1)＝3i＋1.第二列是首项a12＝7，公差d′＝a22－a12＝12－7＝5的等差数列．∴a i2＝7＋5(i－1)＝5i＋2.∵a i1，a i2，a i3，…，a ij，…，构成首项a i1＝3i＋1，公差d1＝a i2－a i1＝(5i＋2)－(3i＋1)＝2i＋1的等差数列，∴a ij＝a i1＋(j－1)d1＝i＋j＋2ij.12．(15分)已知数列{a n}为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式．【解析】解法一：由等差数列的性质可知，奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12仍然成等差数列，设{a n}的首项为a1，公差为d，则S偶＝a2×6＋6×52×2d＝6a1＋36d，S奇＝a1×6＋6×52×2d＝6a1＋30d，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d＝3227，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.解法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶，∴⎩⎨⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S奇＝3227.∴⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162.∴d ＝192－1626＝5. 又∵S 奇＝(a 1＋a 11)×62＝3(2a 1＋10d )＝162， ∴a 1＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.13．(20分)甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【解析】 (1)设甲、乙运动开始n 分钟后第一次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70.整理，得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，或n ＝－20(舍去)． ∴甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇．(2)设m 分钟后第二次相遇，依题意有 2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70， 整理得m 2＋13m －6×70＝0， 解得m ＝15，或m ＝－28(舍去)． ∴开始运动15分钟后第二次相遇．。
北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式
§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。
北师大版高中数学必修5同步练习 第1课时 等差数列的概念及通项公式
[A 基础达标]1．下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a,a －1,a －2,a －3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k,b 为常数)；④数列{2n ＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．③④解析：选C.②③④正确,①中公差为－2.2．已知{a n }是等差数列,a 1与a 2的等差中项为1,a 2与a 3的等差中项为2,则公差d ＝( ) A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选C.因为{a n }是等差数列,a 1与a 2的等差中项为1,a 2与a 3的等差中项为2,所以a 1＋a 2＝2,a 2＋a 3＝4,两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2,解得d ＝1.3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{da n }是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为d 2的等差数列D ．公差为4d 的等差数列解析：选C.由于da n －da n －1＝d(a n －a n －1)＝d 2(n≥2,n ∈N ＋),故选C.4．若一个等差数列的首项a 1＝1,末项a n ＝41(n≥3),且公差为整数,则项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选 B.由a n ＝a 1＋(n －1)d,得41＝1＋(n －1)d,解得d ＝40n －1.又d 为整数,n ≥3,则n ＝3,5,6,9,11,21,41,共7个．故选B.5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125,第10项是第一个比1大的项,则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞825 B ．d ＜825C.875＜d ＜325 D ．875＜d≤325解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125＋(n －1)d, 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d ＞1，125＋8d≤1，解得875＜d≤325. 6．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝15,2a 6＝a 3＋7,且a k ＝13,则k ＝____________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.所以a 4＋a 7＋a 10＝15,即a 1＋6d ＝5,①2a 6＝a 3＋7,即a 1＋8d ＝7,②联立解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a n ＝n －2,又因为a k ＝13,令k －2＝13.所以k ＝15.答案：157．已知数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝1,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列,则a 5＝________． 解析：由题意1a 3＋1,1a 5＋1,1a 7＋1成等差数列, 所以2×1a 5＋1＝12＋1＋11＋1,解得a 5＝75. 答案：758．已知a,b,c 成等差数列,那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图像与x 轴的交点有________个． 解析：因为a,b,c 成等差数列,所以2b ＝a ＋c,又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2≥0,所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．答案：1或29．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1,a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根,求数列{a n }的通项公式．解：由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n.10．已知函数f(x)＝3x x ＋3,数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且n∈N ＋)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时,求x 2 017. 解：(1)证明：因为x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n∈N ＋),所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1, 所以1x n －1x n －1＝13(n≥2且n∈N ＋), 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由第一问知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. 所以1x 2 017＝2 017＋53＝2 0223. 所以x 2 017＝32 022. [B 能力提升]11．古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载：“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之．上三人先入,得金四斤持出；下四人后入,得金三斤持出；中央三人未到者,亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )A.3726斤 B ．4924斤 C ．2斤D ．8326斤 解析：选D.由题意可知等差数列{a n }中⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3, 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋30d ＝3, 解得d ＝－778,所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋9d ＝8326.故选D. 12．首项为－24的等差数列{a n },从第10项开始为正数,则公差d 的取值范围是________．解析：设等差数列的公差为d,则通项公式a n ＝－24＋(n －1)d,由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d≤0，a 10＝－24＋9d>0， 解得83<d≤3,即公差的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 13．在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋2n ＋1.(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n),求{b n }的通项公式．解：(1)证明：(a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关),故数列{a n －2n}为等差数列,且公差d ＝1.(2)由第一问可知,a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1,故a n ＝2n ＋n －1,所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n)＝2n.14．(选做题)若数列{b n }对于n∈N ＋,都有b n ＋2－b n ＝d(d 为常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．例如c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数4n ＋9，n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足：a 1＝a,对于n∈N ＋,都有a n ＋a n ＋1＝2n.(1)求证：数列{a n }为准等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋a n ＋1＝2n(n∈N ＋),①所以a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1),②②－①得a n ＋2－a n ＝2(n∈N ＋),所以数列{a n }是公差为2的准等差数列．(2)因为a 1＝a,a n ＋a n ＋1＝2n(n∈N ＋),所以a 1＋a 2＝2×1,即a 2＝2－a.因为a 1,a 3,a 5,…是以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是以2－a 为首项,2为公差的等差数列,所以当n 为偶数时,a n ＝2－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×2＝n －a, 当n 为奇数时,a n ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数n －a ，n 为偶数.。
红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等比数列的性质及应用
课时作业8 等比数列的性质及应用时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比为( ) A.2，22 B ．±2 C ．±22 D ．±2，±22【答案】 D 【解析】⎩⎨⎧a 3·a 7＝a 2·a 8＝36a 3＋a 7＝15，所以⎩⎨⎧a 7＝12a 3＝3，或⎩⎨⎧a 7＝3a 3＝12，所以q 4＝4或q 4＝14，所以q ＝±2，或q ＝±22.2．已知等比数列{a n }的公比为q ，且a 5a 9＝4a 26，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B ．－12 C ．±12 D ．±2【答案】 C 【解析】∵a 5a 9＝a 27，∴a 27＝4a 26，∴a 27a 26＝4，∴q ＝a 7a 6＝±2，∴a 1＝±12.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C．11 D．12【答案】 C【解析】a m＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.4．已知项数相同的等比数列{a n}和{b n}，公比为q1，q2(q1，q2≠1)，则下列数列①{3a n}；②{2a n}；③{3a n}；④{2a n－3b n}；⑤{2a n·3b n}中为等比数列的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】 C【解析】利用等比数列的定义或性质来处理．对于①，公比为q1；对于②，公比为1q1；对于③，令a n＝2n－1，则数列{3a n}为：3,32,34,38，…，因为323≠3432，故不是等比数列；对于④，数列的项可能为零；对于⑤，公比为q1q2.故选C.5．已知等比数列{a n}中，a n>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则a3＋a5的值为()A．3 B．6C．4 D．5【答案】 B【解析】∵{a n}是等比数列，a n>0，∴(2a4＋a2＋a6)a4＝36⇒2a24＋a2a4＋a4a6＝36⇒2a3a5＋a23＋a25＝36⇒(a3＋a5)2＝36⇒a3＋a5＝6.6．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2 B．4C．6 D．8【答案】 B【解析】由{a n}是等差数列且a1＝9d，得a k＝a1＋(k－1)d＝(k ＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又因为a k是a1与a2k的等比中项，则有a2k＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)()A．15次B．14次C．9次D．8次【答案】 D【解析】容器内的空气剩余量为{a n}，则a n＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器内剩余空气少于原来的0.1%，则有a n<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，两边取对数有n lg 0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.二、填空题(每小题5分，共15分)8．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －c ，若数列{a n }为等比数列，则c 的值为________．【答案】 1【解析】 ∵S n ＝3n －c ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1，若{a n }为等比数列，则a n a n －1＝3＝a 2a 1＝2×33－c，得c ＝1.9．等差数列{a n }中，a 1＝2，公差不为零，a 1，a 3，a 11恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于________．【答案】 4【解析】 解法一：设a 1，a 3，a 11组成的等比数列公比为q ， ∴a 3＝a 1q ＝2q ，a 11＝a 1q 2＝2q 2，又∵数列{a n }是等差数列， ∴a 11＝a 1＋5(a 3－a 1)，∴2q 2＝a 1＋5(2q －a 1)， ∴2q 2＝2＋5(2q －2)，解得q ＝4或q ＝1(舍)，∴q ＝4. 解法二：∵a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ，a 11＝2＋10d ， ∴(2＋2d )2＝2(2＋10d )，∴d ＝3或0(舍)，∴a 3＝8，∴q ＝a 3a 1＝4.10．b 既是a 和c 的等差中项，又是a 和c 的等比中项，则数列a ，b ，c 的公比为________．【答案】 1【解析】 ∵2b ＝a ＋c ，ac ＝b 2，∴ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝(a ＋c )24，∴4ac ＝a 2＋c 2＋2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，∴a ，b ，c 的公比为1.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等比数列{a n }．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝168，a 2－a 5＝42，求a 5与a 7的等比中项； (2)若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .【解析】 (1)设等比数列的公比为q ，首项为a 1，由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42，所以⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168 ①a 1q (1－q 3)＝42 ②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)， ②①得q (1－q )＝14，故q ＝12， 所以a 1＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96.设G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，G ＝±3.故a 5，a 7的等比中项是±3.(2)解法一：因为a 1a 3＝a 22，所以a 1a 2a 3＝a 32＝8，所以a 2＝2，所以⎩⎨⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1a 3＝4或⎩⎨⎧a 1＝4a 3＝1.所以a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 解法二：设公比为q ，则⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7 ③a 1q ＝2 ④由④得a 1＝2q ，代入③得2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12.由④得⎩⎨⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，所以a n ＝2n －1或a n ＝23－n .12．(15分)已知数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3.(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 【解析】 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)因为a 4＝a 3＋14＝12a ＋38， 所以a 5＝12a 4＝14a ＋316.所以b 1＝a 1－14＝a －14≠0，b 2＝a 3－14＝12(a －14)， b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列． 证明如下：因为b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14 ＝12(a 2n －1＋14)－14 ＝12(a 2n －1－14) ＝12b n (n ∈N ＋)，又a ≠14，所以b n ≠0，所以b n ＋1b n＝12(常数)．所以{b n }是首项为a －14，公比为 12的等比数列．13．(20分)已知数列{a n }前n 项和S n ＝2n 2－3n ，数列{b n }是各项为正的等比数列，满足a 1＝－b 1，b 3(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求c n 的最大值． 【解析】(1)∵a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2，∴a n ＝⎩⎨⎧－1 n ＝14n －5 n ≥2，即a n ＝4n －5(n ∈N ＋)，由已知b 1＝1，b 1q 2(a 2－a 1)＝b 1，∴q 2＝14，∵b n >0，∴q ＝12，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)c n ＝(4n －5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由⎩⎨⎧c n ≥c n －1c n ≥c n ＋1得n ＝3，即c 3最大，最大值为74.。
2021版《红对勾·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业1 数列的概念
课时作业1 数列的概念时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题5分，共35分) 1．下列说法错误的是( ) A ．数列4,7,3,4的第一项是4B ．在数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同D ．－1,1,2,0，－3是有穷数列 【答案】 B2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n＋12 C ．a n ＝2－|sin n π2| D ．a n ＝(－1)n －1＋32【答案】 C【解析】 由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝12n (n ＋2)，则220是这个数列的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 【答案】 B【解析】 由a n ＝12n (n ＋2)＝220，解得n ＝20(n ＝－22舍去)． 4．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】 B【解析】 数列通项公式为a n ＝3n －1，令3n －1＝25，解得n ＝7.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．55【答案】 C【解析】 由{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)得a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝－4，a 4＝5，a 5＝－6，a 6＝7，a 7＝－8，a 8＝9，a 9＝－10，a 10＝11，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( ) A ．20不是这个数列中的项 B ．只有第5项是20 C ．只有第9项是20D ．这个数列第5项、第9项都是20 【答案】 D【解析】 令a n ＝20，得n 2－14n ＋45＝0，解得n ＝5或n ＝9，故选D. 7．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，由图中结构可知第n 个图中有化学键( )。
【红对勾 讲与练】2014版高中数学北师大版必修五课件：1-2-2-1
第一章·§2 · 2.2·第1课时
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等差数列的前n项和公式
na1＋an
(1)等差数列前n项和公式为Sn＝ 2
和Sn＝
na1＋nn－ 2 1d . (2)若数列{an}的前n项和公式Sn＝An2＋Bn(A，B为
常数)，则数列{an}为等差数列 ，其公差d为2A .
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
北师大版 2.2·第1课时
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设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 【分析】 本题考查了等差数列的通项公式和等差数 列的前n项和公式以及前n 项和的最大值等知识，在解决问 题时，要抓住等差数列的特征，认真运算．题目难度不 大，属于容易题，重在考查学生对基础知识的掌握．
，所以d＝
3 2
>0. 因此{an}为单调递增数列，
因此当aann≤＋1≥0，0 时，Sn取得最小值．
由3232nn－＋2211≤－022，1≥0，
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
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解得6≤n≤7， 所以当n＝6或7时，Sn取得最小值． 解法二：因为an＝32n－221， 所以d＝32>0，a1＝－9. 所以Sn＝na1＋nn－2 1d＝34(n2－13n) ＝34[(n－123)2－1649]．
值．
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
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1．注意等差数列前n项和公式的推导的方法，及利用 该法计算数列求和题型的特点．
2．求等差数列的前n项和Sn的最值有2种方法： (1)由二次函数的最值特征求解： Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n ＝d2n＋a1－d d22－a12－d d22
数学北师大版高中必修5等差数列(第1课时：等差数列的概念、通项公式)
高中数学教学设计及教学反思
课题
北师大版高中数学必修 5:第一章 数列 §2 等差数列（第 1
课时：等差数列的概念、通项公式）
作者
邓军保
工作单位
江西省新余市渝水一中
教材分析
本节是在学生刚学习完数列概念及数列的函数特性前提下，深一步学习探
究具体的数列：等差数列的概念、通项公式、具有的函数特性等知识，是高中
①对（1）变通的理解？
以这个数列不是等差数列。
3、呈现
如教材的处理： 例 2、（1）求等差数列 9，5，
a1 9, d 5 9 4,
问题多 种形
1，…第 10 项；
an 9 (n 1)(4) 13 4n.
（2）已知等差数列 an 中，
当n 10时, a10 13 4 10 27.
项起，每一项与前一项的差都 流 、 合
等于 -2 ； 数列 3），从第 作 到 一
2 项起，每一项与前一项的差都 般 类 等于- 1 ；数列 4），从第 2 项 比 、 抽
2
起，每一项与前一项的差都等 象 概 括
于 2。
的学习
④由学生归纳和概括出这些数 过 程 ；
列的共同特点：以上四个数列 并 在 过
思想的运用
常量、变量的转化，注意交流、 发 思
例 3、已知在等差数列an 中， 交换，各组选派代表讲解。
考、引
a5 20,
a20 35. 试 求 出 数 列 的 通 项 公 11、例 3 设问
式。
①能快速求公差 d 吗？
导发现 创造；
解：设公差为 d ，则可建立一 ②尝试 d a nam ，正确吗？
（1）提出问题:对于以上四个 等差数列定义，可写出这四个
【红对勾 讲与练】2014版高中数学北师大版必修五课件：1-3-1-2
a1 q
)离散地分布在函数y＝k·qx(x∈R)的图像
上，所以可以借助指数函数y＝qx(q>0，且q≠1)的性质来研
究等比数列的性质．
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第一章·§3 · 3.1·第2课时
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(2)等比数列具有的单调性
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aa110＝9 －512＝－2.
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等比数列的实际应用题
【例4】 从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然 后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样 继续进行．
(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发 现各次剩余纯酒精数构成什么数列吗？
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即a2(1＋q2)(q－d)4＝0. ∵(q2＋1)a2≠0，∴(q－d)4＝0，即d＝q≠0.
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规律方法 在证明数列为等比数列运用定义证明较麻烦时，可采 用等比中项法证明该数列为等比数列.
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【思路探究】 根据已知方程有实根，由Δ≥0得出a， b，c的关系，然后运用等差中项法进行证明即可．
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【尝试解答】 证明：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－ 2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，
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课时作业3等差数列的概念和通项公式
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 011－2 012n，则此数列() A．是首项为2 011的等差数列
B．是首项为－1且公差为2 012的等差数列
C．是公差为2 011的递增等差数列
D．是首项为－1且公差为－2 012的递减等差数列
【答案】 D
【解析】a1＝－1，a n＋1－a n＝[2 011－2 012(n＋1)]－(2 011－2 012n)＝－2 012<0.故选D.
2．已知在数列{a n}中，a n＋1－a n＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为()
A．18B．19
C．20 D．21
【答案】 C
【解析】由条件知{a n}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d ＝2＋9×2＝20.
3．在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】∵a1＋a5＝10＝2a3，
∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.
4．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为() A．3 B．6
C．8 D．10
【答案】 A
【解析】由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，
∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，
∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.
5．已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝() A．2n B．2n－1
C．n－1 D．2n＋1
【答案】 B
【解析】设等差数列{a n}的公差为d(d>0)．
由a3＝a22－4得a1＋2d＝(a1＋d)2－4，即1＋2d＝(1＋d)2－4，d2＝4.又{a n}是递增数列，所以d＝2，
故a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
6．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}()
A．是常数列B．是等差数列
C．是摆动数列D．非以上三种数列
【答案】 B
【解析】
a n ＝⎩⎨
⎧
S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)
⇒⎩⎨
⎧
1， (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).
∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 又a n ＋1－a n ＝2为常数， ∴{a n }是等差数列．
7．设数列{a n }是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】 B
【解析】 设等差数列{a n }前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得
⎩⎨
⎧
a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )×a ×(a ＋d )＝48，
解得⎩⎨
⎧
a ＝4，d ＝±2(由题意舍去－2).
所以首项为a －d ＝2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 【答案】 13
【解析】 等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得
⎩⎨
⎧
a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，
∴⎩⎨
⎧
a 1＝3，d ＝2，
∴a 6＝a 1＋5d ＝13.
9．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为________． 【答案】 log 25
【解析】 lg(2x －1)－lg2＝lg(2x ＋3)－lg(2x －1)， ∴2(2x ＋3)＝(2x －1)2， ∴(2x )2－4×2x －5＝0， ∴2x ＝5，∴x ＝log 25.
10．在数列{a n }中，a 1＝3且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.
【答案】 3n 2 【解析】 ∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，
∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差
数列．
∴数列的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ， ∴a n ＝3n 2.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)数列{a n }是等差数列，b n ＝ka n ＋b (k ，b 是常数，n ∈N ＋)，求证：数列{b n }也是等差数列．
【解析】 证明：因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n 为常数，不妨设为d .所以b n ＋1－b n ＝(ka n ＋1＋b )－(ka n ＋b )＝k (a n ＋1－a n )＝kd (常数)，所以数列{b n }为等差数列．
12．(15分)已知等差数列{a n }中，(1)a n ＝2n ＋3，求a 1和d ；(2)a 7
＝131，a 14＝61，求a 100，并判断0是不是该数列的项？
【解析】 (1)∵a n ＝2n ＋3，∴a 1＝2×1＋3＝5. ∴d ＝a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋3－(2n ＋3)＝2. (2)设数列{a n }的公差为d ，由题意知
⎩⎨
⎧
a 1＋6d ＝131，a 1＋13d ＝61.
解得⎩⎨
⎧
a 1＝191，d ＝－10.
故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－10n ＋201. ∴a 100＝－10×100＋201＝－799. 令－10n ＋201＝0， 解得n ＝20.1∉N ＋， ∴0不是该数列的项．
13．(20分)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
【解析】(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为a n＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设a n＝2 008，由2 008＝1 892＋4n，得n＝29.
假设a n＝2 050,2 050＝1 892＋4n无正整数解．
所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会．。