24.1.4-圆周角

新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一个 圆上，那么，这个多边形叫做圆内 接多边形，这个圆叫做这个多边形 的外接圆。
D B E C B O A F A O E D C
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
D A
O B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ BAD+BCD=360°
回 忆
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角
A
O B
.
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关 系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、 弦有一组量相等，那么它们所对应的其余 两个量都分别相等。
24.1.4 圆周角
圆周角的概念
D
圆周角：
顶点在圆上，并且两
O
A
边都与圆相交的角叫做圆 周角.
B
P
练习:
3、求圆中角X的度数
P O A
（1）
.
B
600 350
120°
70° x
A
120
O X0
（2）
.
B
练习:
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。 O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。 A
D
A
O·
B
E C2 C1
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 直径．
C3
· O
B
足球中的数学
• 足球场上，当球员在 A C B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形 E 成三个张角∠ABC, D B ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?. A ⌒ AC所对角∠AEC ∠ABC E ∠ADC的大小有什么关系？
A O B C
1 即∠A= ∠BOC 2
2.第二种情况（圆心在圆周角内）：
A 证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
O B
D
C
1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
3.第三种情况（圆心在圆周角外）： 证明：作射线AO交⊙O于D。
BC AB AC 10 6 8 A
2 2 2 2
O
B
∵CD平分∠ACB， ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
课本练习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那 么这个三角形是直角三角形． 1 且CO= AB 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
方法三
方法一 A C O 方法二OBiblioteka B方法四D
· B
A
O
24.1.4 圆周角
• 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（√ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（× ） 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） √ 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆心角相等。在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角有什么关系呢？在同圆或 等圆中，同弧或等弧所对的圆周角与圆心 角之间又有什么关系？
A
C
●
O
B
探究
类比圆心角探知圆周角
结论1： 在同圆中，一条弧所对的圆心角只有一 个，而所对的圆周角有无数个。 结论2： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。
A O C D B
2 1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
归纳总结
圆周角定理
C
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半． 推 论 A
接于⊙O，P是AB上的 ⌒ 一点，则∠APB= 。
A P B C
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF
D A 1
C
E
O1 B
O 2
F
连结AB ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E ∠E＋∠F＝180°
等的圆周角所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A
⌒
⌒
C
D
∴AB∥CD
练习三、
1.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
C
A 1 D
CE∥DF
O 1
E B
O 2
F
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形，已知∠BOD＝100°，求 ∠BAD及∠BCD的度数。 A
O
B
C
D
2已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD 是矩形。 A B
O
D
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
C
B
如图：∠ACB,∠ADB是（同一条弧AB）圆周角，
⌒
∠AOB呢？
⌒ 是AB所对的圆心角
练习
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P
不是 顶点不 在圆上。 是 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
两个条件缺一不可：①顶点在圆上②两边都 与圆相交的角
100
D
C
E B
C
O
B
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 50° 130° 则∠B=______∠D=______ (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,
2.若ABCD为圆内接四边形，则下列 哪个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
足球中的数学
A E B D C
• 足球场上，当球员在 B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形 成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A
E
●
O
B D
C
⌒ AC所对角∠AEC ∠ABC ∠ADC的大小有什么关系？
剧院中的数学
剧院中的数学
探究
类比圆心角探知圆周角
证明圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系. 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与 圆周角的位置关系有几种情况？ A O C B C O C B
A
O B
A
证明圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况（圆心在圆周角上）：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
2
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO CO= AB, A 2 ∴AO=BO=CO.
C
· O B
∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= 2 ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎 样的关系？为什么？
●
O
B D
C
剧院中的数学
练习:
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100° A B
O
C C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在 圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合， 则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； A C、90°； D、45°
∴∠A＋∠ C＝ 180° A
D
同理∠B＋∠D＝180°
定理 B
O
C
圆的内接四边形的对角互补。
1.(1)四边形ABCD内接于⊙O，则 180° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______; 180° 若∠B=80°，则∠ADC=____ 100° A 80° ∠CDE=______
A 80 D
A p Q O B
C
B
5：已知⊙O中弦AB的长度等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度 O 圆周角为 30 度 或 150 度 。
A
B
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相
交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径 3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相