强化数学思想方法应用 提高数学解题能力
浅谈高中数学思想方法在解题中的重要性
观察2：看作关于y的二次方程(x视作参数)，变形为：2y2-(2x)y+(x2-2)=O，于是△=(2x)2-4×2(x2-2)≥0；
观察3：将原式变形为：(x-y)2+y2=2，于是y2≤2且(x-y)2≤2。
教学中，教师要引导学生全面地考查观察对象，并从不同的角度进行思考和分析，让学生通过观察，能在较复杂的图形和关系中全面反映事物的某种属性，也能指出在某种特定的条件下事物的特殊性质，从而培养学生观察的全面性。
二、多层次地观察，培养学生观察的深刻性
数学问题是抽象的、复杂的。观察者必须透过表面现象，抓住事物的本质进行观察。在数学解题教学中，教师要引导学生不仅审题时要观察，整个过程也要观察，甚至解答后还得观察，让学生学会多层次地观察问题。
四、以直觉思维方法为指导，培养学生观察的敏捷性
例如：观察幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x1/3，在同一坐标系内的图象，得出y=xn，(n>0)的性质。
观察1：从图中分布观察，第I象限都有图象、第II、III象限可能有图象，而第IV象限没有图象(为什么?引导学生思考)；若第I、II象限有图象时，图象关于y轴对称；若第I、III象限有图象时，图象关于原点对称。
能力伴随知识的丰富而不断提高、能力提高是加速知识积累的过程。没有一定量的、扎实的基础知识，便不会总结出行之有效的学习方法，从而失去“加速”的前提条件。“从基本概念作起——从数学语言的训练入手——从数学学科的基本特点出发——挖掘、展现知识的发生发现的过程——恰当地选择习题、课题并适当地让学生动手实践”，不失为一条培养学生数学能力的有效途径。
强化数学思想,提高解题能力
强化数学思想，提高解题能力黄冈中学卞清胜一、《2006年高考数学考试大纲》的修订情况理科：1．将“了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质”改为“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质”，要求提高了一个层次.2．将“理解椭圆的参数方程”改为“了解椭圆的参数方程”，要求降低了一个层次.3．将“理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质”改为“了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质”，要求降低了一个层次.文科：1．将考试要求中的“掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα, tanαcotα=1”中的“sin2α+cos2α=1, sinα/cosα=tanα, tanαcotα=1”移到考试内容中的“同角三角函数的基本关系式”之后，表述更合理，要求层次仍为“掌握”.2．同理科1.3．增加“了解参数方程的概念”.4．同理科2.事实上，文、理科对三角函数的图象和性质的要求从了解提升为理解，只是对近年来高考现状的一种认可，并无再度提高之意. 考生应能比较熟练地画出三角函数图像，理解诸性质如对称中心、对称轴、周期、单调区间、最大、最小值（极值）等问题；要注意先化简三角函数式，再研究它的图像和性质.如2005年湖北卷理科第6题、文科第7题（见本文例1）、理科第9题（见本文例4）、文科第15题（见本文例7）考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质.文、理科对椭圆的参数方程的要求从理解降低为了解也在近几年高考中既成事实，2004年与2005年湖北卷中文、理科均未涉及椭圆的参数方程.文科在“理解圆的参数方程”前，增加“了解参数方程的概念”，是一种必然的逻辑关系，并未对参数方程提出新要求.理科将“闭区间上连续函数有最大值和最小值”由“理解”降低为“了解”，考生会用就行，不必追问“为什么”，它的证明不可能在中学完成，而是属于高等数学范畴，考生不必浪费时间.总的说来，今年高考数学考试大纲保持了考试内容与考试要求的连续性和稳定性，个别地方稍有调整，应在预料之中.二、对下段数学总复习的建议1．继续加强基础知识的巩固和提高课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料.有相当多的高考试题是课本中基本题目稍作变形得来的，其用意就是引导学生重视基础，切实抓好“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）.最基础的知识是有最有用的知识，最基本的方法是最有用的方法.在二轮复习过程中，要注意回归课本，浓缩所学的知识，进一步夯实基础，熟练掌握解题的通性通法，提高解题速度，缩短遗忘周期，达到复习巩固提高的效果.【例1】（2005年湖北卷理科第6题，文科第7题）在y=2x、y=log2x、y=x2、y=cos2x这四个函数中，当0<x 1<x 2<1时，使1212()()()22x x f x f x f ++>恒成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3这道题是源于教材第一册（上）第二章的复习参考题B 组第3题，主要考查凸函数的性质，只需画出（甚至只需想出）草图，一目了然. 答案为B ，仅y =log 2x 符合.【例2】 （2005年湖北卷理科第19题）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止. 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6, 0.7, 0.8, 0.9. 求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明一年内领到驾照的概率.此题与选修Ⅱ教材第一章的《离散型随机变量的期望与方差》中的例3的模型完全相似，且没有超过课本上的这一道题的难度. 有的考生将分布列的最后一列错写成P (ξ=4)=0.4×0.3×0.2×0.1，或者P (ξ=4)=0.4×0.3×0.2×0.9,正确的写法为P (ξ=4)=0.4×0.3×0.2×1，因为如果前三次没有通过，那么第四次是不能免考的（是必然事件，概率为1，而不是0.1，也不是0.9）. 出现上述错误以致将期望求错，显然是由于没有吃透课本.2．突出主干知识，加强薄弱环节在二轮复习中，对高中数学的重点内容：函数、不等式、数列、几何体中的线面关系、直线与圆锥曲线及新增加内容中的向量、概率统计、导数进行强化复习. 其中，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，贯穿高中数学的始终，运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线与方程等问题. 注意打破知识之间的界限，加强各章节知识之间的横向联系.俗话说，低产田易增产.在第二轮复习时，要认真分析自己一轮复习的感受及作业. 试卷情况，针对第一轮的薄弱环节，加强研究，也可请老师帮助分析未学好的原因，再有针对性地选择一些课本的典型习题、近年的高考、模拟题，甚至是第一轮中做过的题（难度不宜过大），集中强化训练，提高一个档次. 不要盲目攀比，别人做了多少题，我也要做多少题，另人买了一本新资料，我也去买一本. 要根据自己的实际，作出合理的安排，重要的是每节课、每天都要有收获.3．提高理解思维能力解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中构建知识的横向联系，养成多角度思考问题的习惯.当处理的题目达到一定的量后，决定复习效果的关键因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平.与其匆匆忙忙地抢做三道题，不如认认真真地搞清一道题，注意一题多变和多题一解，以达到以例及类，触类旁通. 要重视审题与解题后的总结、反思，不断积累正、反两个方面的经验，这是提高解题能力的有效途径.4．提高运算能力数学高考历来重视运算能力，80%以上的考分都要通过运算得到. 部分运算能力差的考生至今仍然没有足够重视，将运算能力差完全归结于粗心，认为平时运算是浪费时间，寄希望于高考会有奇迹出现，这是十分有害的. 我们必须清楚地认识到运算是一种能力和技能，必须从每一道题做起，坚持长期训练. 要能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法则、定理，提高运算的准确性. 要注意算理，寻求与设计合理、简捷的运算途径，提高运算的合理性与简捷性，适当注意近似计算、估算、心算，提高运算速度.5．强化数学思想方法高考复习的主要任务不是学知识（当然要查漏补缺），而是增强数学素质，优化思维结构，突出数学思想方法，提高能力.数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种思想.注重对数学思想方法的考查是高考数学命题的显著特点之一.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中，能够迁移且广泛应用于相关科学和社会生活.数学思想方法是数学的精髓，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识考查结合进行.只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力.因此，要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，实现“知识型”向“能力型”的转化.常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、裂项相消法、错位相减法特值法、待定系数法、同一法等；二是逻辑推理法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等； 三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等.【例3】 （2004年全国卷Ⅱ第12题）已知a 2+b 2=1, b 2+c 2=2, c 2+a 2=2，则ab+bc+ca 的最小值为（ ）A. 12B. 12C. 12D. 12有的考生利用重要不等式变来变去不得要领，有的考生想消元将目标函数化简而无处下手.事实上，只要注意到题设是三个三元方程，利用方程的思想可求出a 、b 、c 的值，再直接代入原式计算，即可得所求最小值，本题考查了方程与函数的思想方法. 答案为B.【例4】 （2005年湖北卷理科第9题）若02x π<<，则2x 与3sin x 的大小关系是（ ）A. 2x >3sin xB. 2x <3sin xC. 2x =3sin xD. 与x 的取值有关本题新颖别致，不少考生无从下手. 事实上，只要考虑数形结合，画出y 1=2x 和y 2=3sin x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象，如图所示，可知2x 与3sin x 的大小关系与x 的取值有关，故选D. 本题考查了数形结合的思想方法.【例5】 （2005年湖北卷理科第21题，文科第22题）设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. 本题（1）小题可以从数的角度考虑，由直线方程与椭圆方程有两个不同的实数解，利用判别式求λ的范围. 但不如从形的角度考虑，只需点N 在椭圆内即可，由3×12+32<λ，立得λ>12即为所求. （求AB 的方程与中点、斜率有关，用点差法易求）（2）小题利用相交弦定理的逆定理，只需证|NA|2=|CN|·|DN|，设A 、B 、C 、D 的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、x 4，只需证明(x 1－x 2)2=―4(1―x 3)(1―x 4)，利用方程组及韦达定理易算得等式两边值均为λ－12.自觉地适时地利用图形及图形的性质，可使得解答直观、简捷.【例6】 （2005年湖北卷第4题）函数|ln ||1|x y ex =--的图象大致是（ ）本题考查分类讨论的数学思想方法. 正确答案为D.【例7】 （2005年湖北卷文科第15题）函数y =|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值的和为___________.本题既考查了分类讨论的数学思想方法，又考查了数形结合的数学思想方法. 求我们不熟悉的函数的最小正周期是依赖图形（不要求证明）. 答案为122π-.【例8】 （2005年湖北卷理科第22题）已知不等式21111[log ]232n n +++> ，其中n 为大于2的整数，[log 2 n ]表示不超过log 2 n 的最大整数，设数列{a n }的各项为正，且满足a 1=b (b >0), 11,2,3,4,n n n na a n n a --≤=+ . （1）证明22,3,4,5,;2[log ]n b a n b n <=+ （2）猜测数列{a n }是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（3）试确定一个正整数N ，使得当n >N 时，对任意b >0，都有1.5n a <本题第（1）小题关键是将已知条件11n n n na a n a --≤+重新整合，转化为1111n n a a n --≥，使已知关系明朗化，问题得以顺利解决.本题由（2）小题知，lim 0,n n a →∞=故（3）小题中的N 不唯一，故考虑到从222[log ]b b n +中消去b ，使其与b 无关，故关键是构造不含b 的f (n )，满足221()2[log ]5b f n b n <<+，再解1()5f n <即可，由22222222[log ][log ][log ]b b n n n b=<++，到此问题基本解决. 这是2005年湖北省理科压轴题的最后一问，关键在于消元转化，它不是一般意义下的消元，而是通过放缩消元，可见高考对数学思想方法和思维能力的要求之高.化归与转化的思想无处不存在.化生疏为熟悉，化困难为容易，化未知为已知，化综合为单一.【例9】（2005年湖北卷理科12题）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）A. 367385B.376385C.192385D.18385本题可以分解成以下几个基本问题：（1）从平行六面体的8个顶点中任取三个顶点，共可构成多少个三角形？（答：3 856C=）（2）在这些三角形中任取两个共有多少种不同的取法？（答：256C）（3）在这些三角形中任取两个共面的三角形共有多少种不同的取法？（答：2412C）（4）p=? （答：24256123671385CC-=）【例10】（2004年湖北卷理科第11题）已知平面α和β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过P的一直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条利用法向量求二面角的方法，本题可转化为：过点P分别作α、β的垂线a、b，则a、b成80°角，求过点P与a、b均成60°角的直线有且仅有多少条？这就类似于1993年全国高考题（且难度减小了）：已知异面直线a和b所成的角为50°，过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条答案为D.6．养成良好的学习习惯好的习惯终生受益，不好的习惯终生后悔，吃亏.解题要“一慢一快”，审题，制定解题方略要慢，没路走要找路走，也不要急于有路就走，要适当的选择好的方案，多想一点，少算一点，甚至少算很多.一旦方案选定，除必要时调整外，解题动作要快，不要一步三回头.解题要立足于一次成功，不要养成唯恐做不完，匆匆忙忙抢着做，寄希望于检查的坏习惯.这样做的后果一则容易先入为主，致使有时错误难以发现；二则一旦发现错误，尤其是起步就错，又要重复做一遍，既浪费时间，又造成心理负担.解题中，对小的环节，特别是易错点（如对数的真数要大于0，幂指式的指数和复杂的运算等）注意随时检查，步步为营，避免全题解完后再做第二遍.注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤=丢分.7．做好改错反思工作复习不同于上新课，也不仅仅是旧知识的重现，而是一个再学习的过程.复习除了回顾、整理旧知识、技巧、方法以及提高解基础题的准确度、速度外，还要进行横向沟通，纵向发展，构筑知识网络，提高综合解题能力.在复习过程中，难免会出现一些大大小小的失误，也会遇到一些拦路虎. 这时候，可能要么束手无策，要么费了九牛二虎之力才能解决，要么是问题虽然解决了，但自我感觉不好——或是思想不清，东拼西凑才找到答案；或者解法繁琐，不尽人意.碰到这种情况不要紧张，这正是拓展思维、提高能力的契机，不要轻易放过.“错误是最好的老师”，我们要认真的纠正错误，当然，更重要的是寻找错因，及时进行总结，三、五个字，一、两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次；轻描淡写，文过饰非的查错因是没有实质性的意义的.只有认真的追根溯源的查找错因，教训才会深刻.有时还要必要将多套试卷集中在一起分析，查找自己错误的规律，才能清醒的查漏补缺，把问题解决在高考前.在复习过程中，要注意多学习，多更新，不要固守自己熟悉但落后的方法习惯，要向老师学，向其它同学学，取人之长，补己之短.要做好解题后的反思，清理解题思路，寻求最佳解答方法，以达到举一反三、融会贯通的目的.8．重视新增内容2004年和2005年的湖北卷理科新增内容均有3道选择题，2道填空题，2道解答题，总分47分（不含立体几何和三角题的向量解法，若向量解法也算在内，2005年新增内容总分达71分），可见改革之度之大.新增内容重点在向量、概率、统计和导数，以低中档题为主，不要盲目拔高. 对新增内容的考查体现出基础性、工具性和应用性，考查时使新、老内容相结合，主要表现在向量在几何问题中的应用，导数在函数问题中的应用，线性规划与概率统计在实际问题中的应用.向量作为工具，与三角、立几、解几联系很广，特别是在立体几何中，用向量证明垂直、平行、求角度、求距离，均是程序化的操作，不需作辅助线、辅助面，大大降低了对考生空间想象能力、逻辑推理能力的要求，主要靠计算解决问题.2005年湖北卷文理科的立体几何解答题用向量知识解答都十分方便. 解析几何与向量的交汇、融合主要是用向量表示图形之间的关系.如0AB CD =，表示AB ⊥CD ；用方向向量a 表直线的斜率；用AB CD λ= 表示AB ∥CD 或AB 与CD 共线及||||AB CD λ= ；1()2AM AB AC =+ ，即AM 是△ABC 的中线等.【例11】 （2005年湖北卷理科18题）在△ABC中，已知AB B ==AC边上的中线BD =，求sin A 的值.本题是解答题的第2题，属中档题，由于题型新颖，与平面几何结合较紧，用三角知识去解，需作辅助线，故难倒了一大批中等生甚至优等生，如果用向量知识去解，思路明了，一气哈成. 我们有必要强化向量的应用.9．重视和加强选择题的训练和研究要重视和加强选择题的训练和研究.不能仅仅满足于答案正确，还要学会优化解题过程，追求解题质量，少费时，多办事，以赢得足够的时间思考解答高档题.要不断积累解选择题的经验，尽可能小题小做，除直接法外，还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法来解题.解法的差异，速度的差异，正体现了学生不同层次的思维水平. 【例12】 （1997年全国卷）不等式组0,3232x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩的解集是（ ） A. （0，2） B.（0，2.5） C.（ D.（0，3）依据不等式解集的端点值是对应的方程的根或使式子有意义的x 取值范围的端点值，只需依次将x=2, 2.5, 3分别代入方程3232x xx x--=++中检验，均不成立，故排除答案A、B、D，选C.而没有必要去解不等式.【例13】（2003年全国卷理科第10题）已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0），若1<x4<2，则tanθ的取值范围是（）A.1(,1)3B.12(,)33C.21(,)52D.22(,)53如图，当P1为中点时，P4与P0重合，此时x4=1,1tan2θ=为一个临界值，故可排除A、B、D，选C.【例14】（2003年全国卷）一个四面体的所，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3πB. 4πC. D. 6π注意到4π的特殊性，此时球的半径R=1，而当R≥1时，∠AOB（A、B为四面体的顶点，O为球心）为钝角，则AB>≥R<1.从而排除B、C、D，选A.或者构造一个棱长为1的立方体，其6条面对角线构成已知的四面体，外接球半径为2，球的表面积为3π.这样就可以避免繁杂的计算，甚至不动笔，只动脑，就可三下五除二，迅速得到答案.【例15】（2005年湖北卷理科第11题，文科第12题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，……，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，……，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，196，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A. ②③都不能为系统抽样B. ②④都不能为分层抽样C. ①④都可能为系统抽样D. ①③都可能为分层抽样本题若逐一分别判断四种情况可能是系统抽样还是分层抽样，则费时费力.因为分层抽样只需分三段考虑（1~108中选4人，109~189，190~270中各选3人），较简单；而系统抽样要分10段考虑，较复杂.故先易后难，从而易知①②③均可能为分层抽样（其中分层后①③是随机数表法，②是抽签法）.这样，困难的工作就免了，这也许正是命题者的刻意安排吧.【例16】 （2005年湖北卷文科第9题）把同一排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A. 168B. 96C. 72D. 144解答本题一般同学是先选后排，先考虑从6张票中选两个两张票具有连续编号的情况有多少种，再将4个元素（视一法）作全排列，而先选有点麻烦. 若逆向考虑，先将4人作全排列，再从4人中选2人各得两张具有连续编号的票，立得6244144A C =种，选D.省时省力.【例17】 （2005年湖北卷理科第7题，文科第10题）若 sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α∈（ ） A. (0,)6πB. (,)64ππC.(,)43ππD.(,)32ππ 本题不是解三角方程，只需估计α的范围，故可先估计tan α的取值范围，即求sin α+cos α的值域，问题就一目了然了.估算是我们应具备的能力.再如前面的例1、例4用数形结合的方法，例9正难则反，利用对立事件的概率公式()1()P A P A =-求解，避繁就简，既提高了解题的准确度，又提高了解题的速度.10．满怀信心，轻松迎考高考不仅是考生实力的大拼比，更是考生心态的大拼比.我们要多想一点成功，少想一点失败，满怀信心，笑迎高考.考试要放下包袱，轻装上阵，解题要专心，不要分心，不要过多的考虑得分或成败，关键在于认真做好每一道题，特别是自己会做的题，考分是自然的结果.要正确对待成败，破定局论，“屡胜屡战，屡败屡战”，谁笑到最后，谁笑得最好.成功是好事，失败也未必是坏事，重要的是从失误中得到了什么？从失败中吸取教训，弥补知识、方法、技能的漏洞和不足，纠正不良的习惯，有针对性的提高，正所谓“失败是成功之母”.正确对待考题的难易，“我难人难不畏难，我易人易不大意”，从容面对.突破“会而不对，对而不全”的局面，会做的题要争满分，不会做的题也可争取尽可能多得分.先易后难，一般是按题目顺序作答，遇到“卡壳”题时，不要打“持久战”，先放一下，等后面能做的题做好后再回头考虑，有时放弃可能是最佳选择.总之，从实际出发，一步一个脚印，夯实基础，拓展能力，才能以不变应万变，夺取高考的胜利.。
渗透数学思想,提高解题能力
渗透数学思想，提高解题能力[摘要]数学思想是解决数学问题的灵魂，是提高学生解题能力的最佳途径；教师在教学过程中要不断地渗透数学思想，提高学生解决问题的能力。
[关键词] 数学思想；提高能力；渗透【中图分类号】g633.3义务教育阶段数学课程的总体目标明确指出：通过数学学习，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和基本的数学思想。
《数学课程标准》要求“对于重要的数学思想应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。
这就要求我们教师在教学中要不断地渗透数学思想。
一、渗透转化思想，提高学生解决问题的能力转化思想也称化归思想，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利得到解决的一种数学思想。
例如：在《二元一次方程组解法》这一内容中，是将二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程，是由消元法与一元一次方程解法组成，其中一元一次方程就是旧知，消元法是新知，是由新知向旧知转化，学生主要掌握了消元的方法，解二元一次方程组就变得简单了。
转化思想贯穿于整个数学学科，有减法转化为加法、除法转化为乘法、高次转化为一次、多元转化为一元、未知转化为已知、抽象转化为具体、空间转化为平面等等，所以转化思想是最普遍、最实用的数学思想。
教师在实际教学中要不断渗透转化思想，加强应用指导，提高学生解决问题的能力。
二、渗透数形结合，提高学生数形转化的能力数形结合即是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系相互结合起来的一种数学思想。
它可以使复杂问题简单化，抽象问题直观化、具体化，从而起到优化解题途径的目的。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”道出了数形结合的重要性。
数轴是学生数形结合思想形成的基础，在教学时老师应把数轴与有理数充分结合起来，做到数中有形、形中有数、不断渗透数形结合思想，让学生在学习中去领会这一数学思想的无穷魅力，提高学生数形转化的能力，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具。
领悟数学思想 提高解题能力
所 谓数形 结 合 ， 就是 在研 究数 学 问题 时 ， 由数思 形 、 形 思数 、 见 数形 结 合考 虑 问题 的一 种 思维 方式 ． 解 题 中如 能 恰 当地 运 用 数 形 在
线与 Ｙ轴交点在 轴上方 ， 以， ＞ ． 所 ｃ ０ 因此 ，
（ ａ＋２ ＋２ ３ ） ａ一１
１
从而有 Ｂ＝ ＣＤ＝ ５ ， Ａ ２。故
ＢＣ ＝９ Ａ ０。一 （ ＝９ ￣一２ ￣＝６ 。 ０ ５ ５．
（） Ｂ Ａ为钝角 时， ２当 Ｃ 如图 ４ 所示 ． 同
与
轴 交 点 在
１ ． ＼
Ｏ
／
ｊ
理可 求 得 △ Ａ Ｄ Ｃ） Ｃ Ｄ， 知 Ｂ ＝ Ｂ ／△ Ａ 可
一
／。
／
（） ４ 由图像知 一 口 ： ， 以， ｌ所 口：一 ．
当 ＝一１ ， 时 Ｙ＝口一６＋ｃ ． ＜０
＼
将 口 代人 口一ｂ ＜ 得 ＝一 ＋ｃ ０
一 一
３ ； 口＋６＞ｍ（ ＋６ （ ｂ⑤ ） ｍ≠１的实 数 ）其 ． 中正确 的结 论有
（ ） Ａ２
— —
ｂ ＋ｃ＜０ 整理 得 ２ ＜３ ． ． ｃ ６
个． （ ） Ｃ４ （ ） ０５
（ ） Ｂ３
所 以， ④结论是正确的． （） ５ 当 ＝１ ， 时 Ｙ＝口＋６＋ｃ ．
当 ＝ｍ 时 ， Ｙ＝
所 以 ｍ≠１ ， 时 有
口＋ ６＋ ｃ＞ 口 ｍ ＋ ｂ ＋ ｃ． ｍ
“ 同舟共济” 济” 中“ 的含义 ，渡” “ 的意思 自然 就 出来 了 。
维普资讯
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中学 教与学
初中数学学科特点和学习要求
初中数学学科特点和学习要求一、特点：1.抽象性：初中数学学科的内容较为抽象，其中包括代数、几何、函数等概念和理论，学生需要具备一定的抽象思维能力，将抽象概念转换为具体的问题进行分析和解决。
2.逻辑性：初中数学学科的内容和思维方式具有很强的逻辑性，学生需要善于运用逻辑推理和数学证明的方法，理解和掌握各种数学定理和公式的推导过程。
3.实用性：初中数学学科的知识和方法具有很强的实用性，可以应用于日常生活中的实际问题的解决。
学生需要通过学习数学知识和方法，培养解决实际问题的能力。
二、学习要求：1.完善基础知识：初中数学学科的学习是一个渐进深入的过程，学生需要先打好基础，理解掌握基本概念和基本定理。
只有基础知识掌握扎实，才能够顺利进行后续的学习。
2.注重实际应用：初中数学学科的学习需要关注实际问题的解决，学生需要通过学习数学知识和方法，培养解决实际问题的能力。
同时，学生还应注重数学在科学研究和技术发展中的应用。
3.培养逻辑推理能力：初中数学学科的学习需要培养学生的逻辑思维能力，学生需要善于运用抽象思维、逻辑推理和数学证明的方法，理解和掌握各种数学定理和公式的推导过程。
4.强化数学思想方法：初中数学学科的学习重要的是培养学生的数学思想方法，学生需要养成思维严密、严谨、缜密的数学思维习惯，善于观察和发现问题的本质，善于建立数学模型和运用数学方法解决问题。
5.培养合作学习能力：初中数学学科的学习可以通过合作学习的方式进行，学生可以互相讨论、交流和合作解决问题，培养学生的合作学习能力和团队合作精神。
6.提高解题能力：初中数学学科的学习需要学生能够熟练掌握解题方法和技巧，学生需要通过大量习题的练习，提高解题的能力。
同时，学生还需要注重解题的思路和方法，善于灵活应用不同的解题思路。
总结起来，初中数学学科的特点是抽象性、逻辑性、实用性和系统性，学习初中数学需要完善基础知识、注重实际应用、培养逻辑推理能力、强化数学思想方法、培养合作学习能力和提高解题能力。
如何提高学生数学解题能力途径初探
如何提高学生数学解题能力途径初探提高学生数学解题能力，不但对发展学生的各方面能力有重要作用，而且更能有效地提高数学教学质量。
因此，我通过自己的二十多年的教学实践经验，从教育学和心理学的角度，利用一些案例和教材中的实例，从以下几方面来阐述对提高学生数学解题能力的途径。
一、数学知识结构的完善1、教师对整个阶段知识体系十分的熟悉。
在教学中要将前后知识进行联系，对比，强调。
而数学解题所应用到的知识具有连续性和逻辑上的顺序性，在教学中要将前后知识进行联系，对比，强调；在后继学习中对学过的已有知识再认识，并在新的知识范围内重新探索。
2、精练所学知识，完善知识体系。
精练当然不是题海战术，要求教师为所学知识匹配一定量具有代表性的习题，让学生来巩固当天所学的知识，并且要及时反馈学生的完成的情况。
3、综合性的复习，温故而知新。
从心理学研究了解到，我们的记忆并不是永久性，要随时间遗忘。
对所学的数学知识要抽出来进行阶段性和系统性复习，强化学生掌握知识的系统性和完善性，使学生的知识得到深化，从而达到熟练生巧、融会贯通。
二、高效的解题教学1、挖掘教材，在例题中觅解题方法。
无论是提高教学质量，还是提高学生数学解题能力，我们都不可以抛开课本、教材，纸上谈兵。
数学教材中蕴涵了许多数学思想方法和解题方法，值得深究和挖掘，提高自身数学修养，同时以启示学生。
比如：在讲绝对值的概念是用的分类数学思想。
在二元一次方程组的应用部分，有一道题的解法与旧教材的解法不同，用了“整体代入”的解题方法，在以后的学习中将广为使用。
同时，这也是对字母代替数更深刻的理解。
2、反例的应用。
解决数学问题时，多数是从条件出发，借助于一些方法，进行正面的，顺向思考。
如果正向思维受阻时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明，教师要尤为重视。
在教学中通过学生易错的题目，反例让学生逆向思考，拓展学生的解题思路，提高学生的数学解题能力。
例1：一对对角及一对对边相等的四边形是平行四边形。
长沙中考数学命题分析
长沙中考数学命题分析长沙中考数学命题一直以注重基础、强调应用、选拔性强等特点备受。
近年来，随着教育改革的不断深化，长沙中考数学的命题趋势也在发生着变化。
本文将从命题原则、题型设计、知识点分布、难度分析等几个方面对长沙中考数学命题进行分析。
一、命题原则长沙中考数学命题严格遵循《义务教育数学课程标准》和《长沙市中考数学考试说明》的要求。
在命题过程中，注重考查学生的基础知识、基本技能和基本思想方法，同时强调数学的应用和实践能力。
命题者会充分考虑学生的认知特点和心理发展规律，让学生在考试中充分发挥自己的水平和潜力。
二、题型设计长沙中考数学题型一般包括选择题、填空题、解答题等。
其中，选择题注重考查基础知识和基本技能，填空题则更注重考查学生的计算能力和空间想象能力，解答题则主要考查学生的综合运用能力和数学思想方法。
题型设计的多样性保证了试题的覆盖面和难度层次，有利于全面考查学生的数学素养。
三、知识点分布长沙中考数学的命题内容涵盖了初中数学的所有知识点。
其中，代数、几何、概率与统计等部分占据较大的比例，而函数、方程、不等式等知识点也是重点考查内容。
知识点分布的均衡性使得考试内容既全面又突出重点，有利于引导学生全面掌握数学知识，同时提高对重点知识的理解和应用能力。
四、难度分析长沙中考数学的命题难度一般分为容易题、中等难度题和较难题三个层次。
其中，容易题占比约为70%，中等难度题占比约为20%，较难题占比约为10%。
这样的难度分布既保证了试卷的区分度，又有利于选拔出优秀的学生。
同时，命题者还会根据学生的实际情况和学科特点，适当调整各难度层次的题目比例，以更好地发挥考试的评价功能和指导作用。
五、命题趋势随着教育改革的不断深化，长沙中考数学的命题趋势也在发生着变化。
未来几年，长沙中考数学命题将更加注重以下几点：1、强化数学思想方法的考查。
命题者将更加注重考查学生的数学思维能力和问题解决能力，加强对数学思想方法的考查力度。
如何提高高中学生的数学解题能力
１要善于把握概念 的本质
数 学 概 念 是 现 实 世 界 中 空 间形 式 和 数 量 关 系 及 其
它也 是探 寻解 题 思路 ，进行 合情 推理 的依据 。 数 学 高考 ，还 需要 规 范地 作答 ，历年 来 因作 答 不 规
特 有 属性 在 思维 中的 反 映 ，正 确理 解 概 念 是掌 握 数 学基 范 失分 的 比 比皆是 。那 么 ， 由谁 来 示 范 呢 ？哪些 定 理 不 础 知 识 的前提 ，是 学 好 数学 定 理 、 公式 、 法则 和 掌握 数 能 直接 套 用 ，哪 些 过程 不 能 省 略 ，哪 些表 述 不 能 随意 ， 学 方法 、提 高解 题 能 力 的基 础 。正确 理 解 数学 概 念要 从 哪 些符 号 不 被承 认 ，这些 都 可 以而 且 只 能依 据课 本 。特 文 字 上仔 细 领会 ，从 正 反面 反 复 比较 ，从特 例 中认真 验 别 是 ，大 量 的 复 习资料 难 免 出现 一 些 不够 规 范 的 东西 ， 证 ，从条件 的 限制 加深 理解 。 需要 通过 课本 来正本 清源 。
２要 善于把握问题的实质
一
高 考 数 学 复 习 回 归 课 本 ， 不 是 拘 泥 于 课 本 ，应 该
个 数 学 问题 的 陈述 往 往 给 出它 存 在 的广 阔背 景 ，
站在 系 统 的 高度 重 新 审视 课本 。回 归课 本 ，最终 目标 是
往往 是 课 本 的基 本 点 。 比如数 列 ，等 差数 列 和等 比数 列
＼ 学交流 ＼ 教
１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｓ ． ６ １ ４ ９ ． ０ ０ １ ． ２ ０ ３ ６ ／ ． ｓ ｎ １ ７ — ８ Ｘ ２ １ ． ９ １８
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强化数学思想方法应用提高数学解题能力
数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分，是数学学科赖以建立和发展的重要因素《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。
”这里把数学思想方法列为基础知识的重要组成部分体现了义务教育的性质任务，有利于揭示知识的精神实质，有利于提高学生的数学素养。
因此，在整个初中数学教学与考查工作中，必然要把数学思想方法和知识，技能融为一体，放到突出的位置上。
所以，在复习阶段，我们要通过基础知识的学习，通过例题、习题的训练，领会其中数学思想方法的精神实质，并在应用过程中形成习惯和观念，系统地掌握它们，以便今后在解题中自觉地加以运用。
以下几种基本的数学思想方法，它们是初中数学中应用较广且对将来数学学习影响较大的思想方法。
1、方程思想
所谓方程思想是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。
使用方程思想分析、处理问题，思路清晰、灵活简便，在探索解题思路时，经常使用，尤其解决和等量有关的数学问题，非常有效。
在考试卷中考查方程思想的试题，随处可见，一般主要有两类：一是列方程（组）解应用问题；二是列方程（组）解其它代数题或几何题。
例1：已知x1，x2是方程x2―2x―2=0的两个根，不解这个方程，求的值。
解令
∵x1+x2=2，x1x2=－2
∴A+B=
=2·
=2·
AB=
∴A是方程x2－64x－59=0的根，解此方程得A=32
此题的解法新颖、漂亮，充分体现了利用方程思想求解的优越性。
例2：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AF上的点，又AB=12，EF=10。
△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的1/5。
求AE、AF的长。
解设AE=x，AF=y。
∵∠A=90°，∴AE2+AF2=EF2
即x2+y2=100 (1)
又△AEF的面积=1/5五边形EBCDF的面积，
∴△AEF的面积=1/6ABCD的面积。
∴（2）
(1)+(2)，得(x+y)2=196，
∴x+y=14或－14
(1)－(2)，得(x－y)2=4，
∴x－y=2或－2
解得x=8，y=6或x=6，y=8
即AE=8，AF=6或AE=6，AF=8
此题是由勾股定理及面积关系，建立起方程组，由于题目中未说明AE、AF哪条大，因此应有两解。
2、函数思想
函数是中学数学的重要内容之一，函数的思想和方法已渗透到数学的各个方面，解题时，若能注意用函数的观点考虑问题，借助函数的性质来处理，常可使问题化难为易。
例3：已知方程x2+bx+c=0的两根均大于1，则b+c+1的值( )
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.不能确定
分析：b+c+1恰为代数式x2+bx+c当x=1时的值，若令y=x2+bx+c，则b+c+1为当x=1时的函数值，由点(1,b+c+1)在图象上的位置，使可判别b+c+1的大小。
解令：y=x2+bx+c，则当x=1时，y=b+c+1
∵方程x2+bx+c=0的两根均大于1
∴函数y=x2+bx+c与x轴的交点均在点(1，0)的右侧。
又抛物线的开口向上，这样可得抛物线的大致图象（如上图所示）。
由图象观察，知b+c+1>0。
故选（B）
3、数形结合思想
数和形是数学的两大柱石，一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示出来，这就是以数助形，另一方面可使抽象的数量关系，通过图形形象直观地表现出来，这就是以形助数。
例4：如图，线段AB在x轴上，
以AB为直径的圆交y轴于点C，
已知AC=，BC=。
(1)求A、B、
C三点的坐标；(2)设二次函数
y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求
这个二次函数的解析式；(3)求这个二次
函数图象的顶点坐标和对称轴，并画出略图；(4)求当x为何值时，y>0;y=0;y<0。
分析：这是一道典型的数形结合的试题，解此题的关键是由形到数，再从数到形，反复运用。
解(略)，答案是：
(1)A(-4,0)、B（1，0）、C（0，2）
(2)所求二次函数为y=；
(3)顶点坐标为（－），对称轴是x=－，图象略。
(4)当－4<x<1时，y>0；当x=－4或1时，y=0；当x<－4或x>1时，y<0
例5：若方程4x2－2x+k=0的
一个根大于－3且小于1，另一根
大于1且小于3，求k的取值范围。
解令f(x)=4x2－2x+k，依题意f(x)的图象如右图所示。
∴
∴－30<k<－2为所求的取值范围。
4、分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。
分类原则是同一标准下，不重复也不遗漏。
在初中数学中，分类的思想到处可见。
既有数的分类，也有式和形的分类，既有公式和概念上的分类，也有解题方法上的分类。
例6：解关于x的方程：
a2x+a=x+1(a为实数)
解原方程可化为(a2－1)x=1－a
即(a－1)(a+1)x=－(a－1)
当a－1=0，即a=1时，方程的解为一切实数；
当a+1=0，即a=－1时，方程无解；
当a2－1≠０，即a≠±1时，方程有唯一解
x=－
例７：相交两圆的半径分别为８和５,公共弦长为8，这两个圆的圆心距等于( )
解：如下图，设⊙O1与O2的公共弦为AB，O1O2交AB于C，则AB=8，从而AC=4。
∴O1C=
若O1、O2在AB的异侧，有O1O2=4；
若O1、O2在AB的同侧，有O1O2=4；
5、整体思想
整体思想是一个重要的数学观念，对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则困惑棘手，步伐艰难，如果从整体着眼，则大刀阔斧，长驱直入。
例8：计算(a1+a2+…a n－1)(a2+a2＋…a n－1+a n)－(a2+a3…＋a n－1+a n)
分析：如果按多项式乘法法则逐一展开，该有多么艰难，若用整体思想，求大同存小异，整体设元，则十分简便。
解设a2+a3+…a n－1=x，则
原式=（a1+x）(x+a n)－x(a1+x+a n)=x2+a1x+a n x+a1a n－a1x－x2－a n x=a1a n
例9：甲乙丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元。
若买甲5件、乙6件、丙1件，共用84元。
问买甲2件、乙3件、丙4件，共用多少元。
解设：买甲、乙、丙各1件分别用x、y、z元，则依题意，得：
如果按常规方法分别求出x、y、z要用到求不定方程的方法，过程较繁，若从整体着想，题目是求由x、y、z拼成的整体(2x+3y+4z)，进而转化成解关于“整体”的二元一次方程组，而不必先求出x、y、z的每一个值。
将原方程组变形为
解关于（2x+3y+4z）与（x+y－z）的方程组，得2x+3y+4z=39
6、转化思想
转化思想是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法。
通常有“未知”向“已知”转化，复杂简单转化，一般与特殊的转化和由此及彼的不同数学问题之间的转化。
体现上述转化思想的有待定系数法、消元法、降次法、换元法、配方法、几何问题的代数法或三角法等等。
例10：已知求32a+35b+27c的值。
解：设
则
(1) 20+(2)15+(3)12得
32a+35b+27c=60k(a－b+b－c+c－a)=0
此题利用参数可以将已知与未知沟通起来，从而使问题获解。
例11：如图，在四边形ABCD中，
AB=2，BC=∠B=60°，
∠C=75°，求AC的长及四边形ABCD
的面积。
解作AE⊥BC于E,由∠B=60°,AB=2,得
AE=2sin60°=，BE=2cos60°=1
而BC=+1，那么CE=
∴AE=CE，易得AC=，AE=，∠ACE=45°，
而∠DCB=75°，从而知∠DCA=30°
作DF⊥AC于F，易得
DF=CD·sin30°－sin30°=
∴
本题将斜三角形通过作辅助线转化为直角三角形，再解直角三角形即可求得结论。
中学数学教材中所蕴含的数学思想还很多，学生数学思想的形成是一个潜移默化的过程，是在多次理解和应用的基础上形成的。
这就要求我们认真钻研教材，渗透数学思想的教学，并创设情景，加强应用数学思想的解题训练。
此外，数学思想之间也并不是彼此孤立，而是互相渗透、互相促进的，一个问题的解决，常常不只是靠一种数学思想的作用，有时必须借助于几种数学思想的共同指导。
上面的例题也已经说明了这一点。
因此，我们在教学中还必须有意识地抛出一些较为结合的问题，让学生灵活地应用其所学的数学思想来解决，以培养其分析问题和解决问题的能力。