D10_2二重积分的计算
D10_2二重积分的计算
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0 y y 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
O a y ( x)b x 1 2 ( x) b f ( x, y ) d y 则 f ( x, y ) d x d y d x 1 ( x ) D a y x 2 ( y) d 1 ( y ) x 2 ( y ) 若D为Y - 型区域 D : y c yd c ( y ) d 2 x O 则 f ( x , y ) d x d y x ( y)
10.3.7、计算二次积分
2 4 1 y 原式 2 x 2 2x
x
dx
=9.
=
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10.3.8、计算二次积分
10.3.9、计算二次积分
3 2 2y2 原式 x 1 3
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D10_2(1)直角坐标下二重积分的计算法
(
x) a
y x
2
b
(
x)
(由下到上)
1(x), 2 (x) 为[a, b]区间上的连续函数,
a, b为常数.
y y 2(x) D
x o a y 1(x)b x
特点: 穿过区域D且垂直于x轴的直线与区域D的边界
至多有两个交点.
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
计算公式 令 f (x, y) 0
课堂练习6： 交换积分次序
2
2
1.
2
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y
0
0
1
y
2.
1
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y2
0
x
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线解:由dx源自 21 1 2x2 3x4
0
dx
2
x
2 3
x3
3 5
x5
1 0
32 15
课堂练习3：
二次积分形式
课堂练习4：
计算二重积分 D xdxdy
1 x y 1
0
1
例3 计算 I D y 1 x2 y2 d , 其中D 是直线 y＝x,
x＝-1, 及y＝1 所围的闭区域.
解. D 按X型解
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
a
1( x)
c
1(y)
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。
本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二重积分的定义。
对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。
其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。
接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。
在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 矩形区域上的二重积分计算。
当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。
具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。
这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。
2. 极坐标系下的二重积分计算。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
对于极坐标系下的二元函数f(r, θ)，其二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) drdθ。
在极坐标系下，积分区域D的描述通常更加简单，而且在计算过程中也更加方便，因此在一些问题中，我们可以通过将坐标系转化为极坐标系来简化计算过程。
3. 用换元法进行二重积分计算。
在一些复杂的情况下，我们可以利用换元法来简化二重积分的计算。
通过适当的变量替换，我们可以将原来的积分区域转化为一个更加简单的积分区域，从而简化计算过程。
D10_2二重积分的计算 高等数学高数
2
说明: 计算二重积分选择积分次序是重要的。既要考
虑区域D的形状，又要注意被积函数的特点。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先穿刺,后扫描 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
上面讨论的累次积分法仍然有效 .
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
二重积分的算法
二重积分的算法1. 引言在微积分中，二重积分是一种对平面上的函数进行求和的方法。
它可以用来计算平面上某个区域内函数值的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的算法，并详细说明如何进行计算。
2. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将闭区域D分成许多小区域ΔA i，其中i=1,2,…,n。
选择一个点(x i∗,y i∗)属于第i个小区域ΔA i，则二重积分可以定义为：∬f D (x,y)dA=limmaxi∥ΔA i∥→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i其中∥ΔA i∥表示小区域ΔA i的面积。
3. 计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤如下：步骤1：确定积分区域首先需要确定要进行积分的区域D。
这个区域可以是矩形、三角形、圆形等等。
根据实际情况选择适当的坐标系，并确定区域的边界方程或者坐标范围。
步骤2：确定积分顺序根据实际情况，选择适当的积分顺序。
二重积分可以按照x先积分再积分y，也可以按照y先积分再积分x。
选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
步骤3：确定积分限根据积分区域和所选的积分顺序，确定每个变量的取值范围。
这些取值范围将成为二重积分的限制条件。
步骤4：进行二重积分计算根据所选的积分顺序和限制条件，将二重积分转换为一重积分或多个一重积分的组合。
使用数值方法或解析方法进行计算，得出最终结果。
4. 二重积分的常用算法在实际计算中，有几种常用的算法可用于求解二重积分。
矩形法矩形法是最简单直观的方法之一。
它将区域D划为若干个小矩形，并在每个小矩形的中心点处取样。
然后将每个样本值乘以对应小矩形的面积，再求和得到最终结果。
梯形法梯形法是一种改进的方法，它将区域D划分为若干个梯形，并在每个梯形的两个底边中点处取样。
然后将每个样本值乘以对应梯形的面积，再求和得到最终结果。
辛普森法则辛普森法则是一种更高级的方法，它利用了二次多项式的性质。
它将区域D划分为若干个小矩形，并在每个小矩形的四个顶点处取样。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
10-2二重积分的计算方法
a
a
2a
原式 dy y2
0
a
a a2 y 2
f ( x, y)dx
2a 2a
2a
dy
0
a
2a
2 2
a a y
f ( x, y)dx dy y 2 f ( x, y )dx
a 2a
积分的计算
根据给定的二 重积分画出积 分区域D
D
根据积分区域的形 状和被积函数确定 积分次序和积分限
积分区域如图
原式 dy
1 0 1 y
f ( x , y )dy的次序.
y 1 x
f ( x , y )dx .
0
例3 改变积分次序.
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy 1 dx 0
2
2 x
f ( x , y )dy
解
积分区域如图
原式
y 2 x
第九章 重积分
第四节 二重积分的计算
一、直角坐标系下的二重积分
1. 计算公式的推导
由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,
V f ( x, y)d 曲顶柱体的体积
D
基本思想：把柱体切成许多薄片，这些薄片的体积之和就 是柱体的体积 问题：① 如何计算薄片的体积？ ② 如何求出柱体的体积？
说明： ① 上式右端，先将x看作常数，而对变量y作定积分，得到 的结果是只含x, 不含 y 的函数式，再将所得的结果对x求积 分。
②
[
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y)dy]dx dx
a
b
y2 ( x )
D10_2二重积分的计算
被圆柱面 x y 2 a x
2
2
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. z π 解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 2 由对称性可知
V 4
D
4 a r r d r d
2 2
O y
0
2 acos
2a x 4 a2 r 2 r d r
y
r 2a cos
D
r ( )
D
O
x
2π
0
d
0
( )
f (r cos , r sin ) r d r
此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
2π 2 1 d ( ) d D 2 0
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例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
O
r rk
x
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
O
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
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lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
定积分换元法 (3) 变换 T : D D是一一对应的 , 则
D
(t ) ) f ( x )x dd xy f [ (tx )] ,v (t), )d tu,(vx f ( x , y ) d f ( u y ( )) J ( u , v ) dudv a
D
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
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9/11
c yd (2)若D为Y-型区域 D : 1 ( y) x 2 ( y)
则
c d y
d
D
2 ( y)
1 ( y)
y x 2 ( y) d y f ( x, y ) d x c x O
x 1 ( y)
例2 计算 I x y d , 其中D是直线y＝1,x＝2,及 y＝x所围的闭区域.
高等数学（下）
5/11
1.用不等式组表示平面区域的方法 ⑴X-型区域与X-型区域的表示 ①X-型区域:垂直于x轴的直线与区域边界至多有两个 交点(端点除外). a x b ②投影穿透法 y y上 出口线 D: y下 ( x ) y y上 ( x ) 先x轴投影, 入口线 y下 D={(x,y)|a≤x≤b, 后y轴穿透. O a bx y下(x)≤y≤y上(x)}
则
D
f ( x, y) d d x
a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y) d y
• 若积分区域为
y d
D
d c
则
f ( x, y) d
D
d y
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y) d x
c O x x1 ( y) x
高等数学（下）
4
y 3x
y
y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
显然, 在 D1上 , f ( x, y ) f ( x, y )
D1
在 D2上 , f ( x, y) f ( x, y)
I x ln( y 1 y 2 )d xd y
D1
O
D2
1
x
9/8
高等数学（下）
10/11
说明 若积分区域既是X-型区域,又是Y-型区域,则 y y 2 ( x)
d
d x
d y
c
b
2 ( x)
1 ( x)
a d
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
2 ( y)
1 ( y)
O a
f ( x, y )dy 与区域的
表达方式 f ( x, y )dx 相对应
先 x后 y
dy
1 ( y )
注意 求一个二重积分要“三定”: 定区域类型,定积分次序,定上下限. 例3 交换积分次序
dx
0
1
2 x
2
x
f ( x, y) d y.
高等数学（下）
12/11
例4 求
2和x=y2 ( x y ) dxdy , 其中 D 是抛物线 y=x D 33 所围平面闭区域. 140
q
x
注意 用极坐标计算二重积分的适用范围 ①积分区域为圆域或圆域的一部分(扇形、扇环);
y x ②被积函数含有 x y , 或 . x y
2 2
高等数学（下）
21/11
例1 计算 I
1
2 2 1 x y D
2 2 D : x y 1. 其中 dxdy,
ln 2
例2 计算
高等数学（下）
6/11
例1 D为下列曲线围成,试用不等式组表示:
①y=x,y=2x,x=1; ②y=1,y=2,x=1,x=3; ③y=1/x,y=x,y=2.
⑵Y-型区域 垂直于y轴的直线与区域边界至多有两个 交点(端点除外).
x=x右(y)
y d
x=x左(y) D
c y d D: x左( y ) x x右( y )
任取 截面积为
平面
截柱体的
D
O
b
故曲顶柱体体积为
a x0 b x y 1 ( x)
V f ( x, y) d A( x)d x
[
b 2 ( x)
D
a
a 1 ( x )
f ( x, y ) d y ] d x d x
a
记 作 b
2 ( x) 1 ( x )
2
例5 计算
x y d ,其中D是抛物线
D
及直线
所围成的闭区域.
sin y d xd y,其中D是直线 例6 计算 y D
所围成的闭区域.
45 8
2
高等数学（下）
13/11
例7. 计算
其中D 由
2
y 4 x 2 , y 3x , x 1 所围成.
解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y )
高等数学（下）
o
r1 (q )
r
20/11
用q -型表示法表示下列区域
y r O y
q a
r x O
y 2a 2a (a,0) x
q
(0,a) r
0 q D: 0 r 2a sin q
O
0 q 2 D: 0 r a
q D: 2 2 0 r 2a cos q
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
为计算方便,可选择合适的积分次序,必要时还可以
交换积分次序.
高等数学（下）
11/11
一般,积分区域的表达决定了积分次序.
区域类型
积分次序 先y后x
公
式
上下限
X-型 Y -型
b
a
d c
dx
2 ( x )
2 ( y )
1 ( x )
1.极坐标与直角坐标的关系
y
O——极点 q ——极角
.P(x,y)
r
(r,q ) y x
r——极径
①从(x,y)到(r,q )变换公式为:
θ O x x=rcosq y=rsinq
②从(r,q )到(x,y)变换公式为:
r2=x2+y2
y tanq x
高等数学（下）
17/11
2.平面曲线的表示 特别要熟悉三类圆的极坐标方程
(2)极点在区域边界上 (3)极点在区域内部
q q D: D: r1 (q ) r r2 (q ) 0 r r (q )
(4)极点在区域外特殊情况
0 q 2 D: 0 r r (q )
r2 (q )
0 q 2 D: r1 (q ) r r2 (q )
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(2)极坐标系情形:若积分区域为 则
f ( x, y) d f (r cosq , r sin q )rdrdq
D D
高等数学（下）
24/11
3.计算步骤及注意事项 • 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离
• 确定积分序 • 写出积分限
c O
x
D={(x,y)|c≤y≤d, x左(y)≤x≤x右(y)}
高等数学（下）
7/11
当D是由x+y=1,y=x,y=2x围成的区域时,用不等式组 将其表示出来(X-型和Y-型).
高等数学（下）
8/11
2.直角坐标系下二重积分的计算 y a xb (1)若D为X-型区域 D : 1 ( x) y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
高等数学（下）
4/11
D ( x, y ) c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ) y 则其体积可按如下两次积分计算
同样,曲顶柱体的底为
d x 2 ( y) V f ( x, y) d x 1 ( y) D y d 2 ( y) f ( x, y ) d x ] d y c [ 1 ( y ) 记 c O x 作
9 16
xy d xd y,其中
D {( x, y ) 1 x 2 y 2 2 x, y 0 }.
高等数学（下）
22/11
1.二重积分化为二次积分的方法 (1)直角坐标系情形: • 若积分区域为
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x)
O
a
b x
x x2 ( y )
2/11
第二节 二重积分的计算法
一、曲顶柱体体积的计算 二、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
高等数学（下）
3/11
设曲顶柱体的底为
a xb y 2 ( x) D ( x, y ) 1 ( x) y 2 ( x) y
z z f ( x, y )
直角坐标系下: ddxdy
r ri ri
q q i q i
i
D
r ri
极坐标系下: d= r drdq (2)极坐标系下的被积函数
o
q qi
A
(3)极坐标系下的积分次序(通常先r后q )-q 型区域
f ( x, y) f (r cos q , r sin q )
1/11
当D是( )围成的区域时,二重积分
1 1 ( A) x = ， y ; 2 3 ( B) x=0， y 0, x 4, y 3;
1 dxdy 1.
D
(C ) x y =1， x y =1.
( D) x=0， y 0,2 x y 2 0;
高等数学（下）
积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式
高等数学（下）
2+y2=2y与x=0围成的 xdxdy , 其中 D 是由 x