课时跟踪检测17 空间向量的正交分解及其坐标表示
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
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2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!高考数学知识点之空间向量的.正交分解及坐标空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
空间向量的正交分解及其坐标表示
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(十七)空间向量的正交分解及其坐标表示
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不可以组成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不可以组成空间的一个基底，则A，
B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
此中正确命题的个数是()
A．1B．2
是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，务实数x，y，z的值．
解：(1)如图，DB1＋AB－AD＝a－b
1＝D1D＋DB＝－AA
－c，
EF＝EA＋AF＝
1
2DA
1＋
1
2AC＝－
1
2(AA1＋AD)＋
1
2(AB
＋AD)＝1
(a－c)．
2
1
(2)DF2(D1D＋DB
1＝1)
＝
1
2
(－AA1＋D1B)
＝
1
2(－c＋a－b－c)
＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
分析：因为{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，
所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则
课时追踪检测（十七）空间向量的正交分解及其坐标表示
层级一学业水平达标
1．已知A(3,2，－3)，则点A对于y轴的对称点的坐标是()
A．(－3，－2,3)B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)D．(－3，－2，－3)
2020_2021学年高中数学课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示(含解析)人教A版选修2_1
课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固]一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线 C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与A 1C →相等的向量是( )A ．－a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b ＋cD ．a ＋b －c4．已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边行OABC 的对角线的交点，则( )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c5．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 二、填空题6．若向量a ，b ，c 为空间向量的正交基底，则向量a ，b ，c 的位置关系是________． 7．若向量i ，j ，k 为空间直角坐标系上对应x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量，且设a ＝2i －j ＋3k ，则向量a 的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上的一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________________.三、解答题9．若{a ，b ，c }是空间一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，给出OB ′→关于i ，j ，k 的分解式；(2)求OC ′→的坐标．[能力提升]11．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，则( )A.OG →＝38OA →＋18OB →＋38OC →B.OG →＝78OA →＋38OB →＋38OC →C.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC →D.OG →＝18OA →＋38OB →＋38OC →12．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________. 13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中：(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底；当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量．故命题p 是命题q 的必要不充分条件．答案：B2．解析：由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．答案：D3．解析：A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→－AA 1→＝a ＋b －c .故选D. 答案：D4．解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－OO ′→＋12(OA →＋OC →)＝12OA →－OO ′→＋12OC →＝12a －b ＋12c .故选D.答案：D5．解析：如图，由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋13AB →＋AC → ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.故选A.答案：A6．解析：由正交基底的定义知，只有当向量a ，b ，c 两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a ，b ，c 的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a 的坐标为(2，－1,3)． 答案：(2，－1,3)8．解析：设AC 的中点为F ，则GE →＝GB →＋BE →＝23FB →＋34BD →＝－23×12(BC →＋BA →)＋34BD →＝－13(AC→(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→. BD 1→在图中所示如下：14．解析：设与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量分别为e 1，e 2，e 3.因为DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1→＋12OA →＋OB →＝－OO 1→－12OA →－12OB →＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，所以DO →＝(－2，－1，－4)．因为A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝－OA →＋OB →－AA 1→＝－4e 1＋2e 2－4e 3，所以A 1B →＝(－4,2，－4)．。
课时作业17：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析 由于零向量与任一向量都共线，当b 为零向量时，a 与c 不一定共线，所以A 不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，此时构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；C 正确．2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c答案 D解析 能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q . ∴A 、B 、C 都不合题意．∵{a ，b ，c }为基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底．3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →与点B 的坐标相同B ．向量AB →与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →，∴AB →与OB →－OA →的坐标相同．4.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN →|等于( )A.216a B.66a C.156a D.153a 答案 A解析 ∵MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→ ＝AB →＋BN →－13(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →， ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a . 5．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③错误，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．6．设向量a 、b 、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是( )A ．{a ＋b ，b －a ，a }B ．{a ＋b ，b －a ，b }C ．{a ＋b ，b －a ，c }D ．{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }答案 C解析 A 中，a ＝12(a ＋b )－12(b －a )，故三向量共面，不能作基底；B 中，b ＝12(a ＋b )＋12(b －a )，故三向量共面，不能作基底；D 中，c ＝(a ＋b ＋c )－(a ＋b )，故三向量共面，不能作基底．7．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.35c －23bC.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 二、填空题8．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案 0解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在惟一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.9．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为点E ，F ，则EF →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析 取BC 中点为P ，连接EP ，FP ，如图所示，∵E ，F 分别是AC ，BD 的中点，∴EF →＝EP →＋PF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c .10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.答案 76解析 ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝76. 三、解答题11．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．证明 ∵E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边的中点，∴FG →＝EH →＝12BD →.∴EG →＝EF →＋FG →＝EF →＋EH →，∴E ，F ，G ，H 四点共面．12．平行六面体OABCO ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a .(2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．13.如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2， 消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b . 又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37， ∴OM →＝17a ＋37b .。
课时作业8：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同解析 在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量AB →的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以AB →＝OB →－OA →.答案 D2．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底C. △ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案 B3．下列说法不正确的是( )A ．只要空间的三个基本向量的模为1，那么它们就是空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直答案 A4．从空间一点出发的三个不共线的向量a ，b ，c 确定的平面个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析 当三个向量共面时，可确定一个平面，当三个向量不共面时，可以确定三个平面． 答案 D5．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′，的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}的基底，AC ′→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2解析 AC ′→＝AB →＋BC ′→＝AB →＋BB ′→＋B ′C ′→＝AB →＋AA ′→＋AD →＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′→)＋12(AA ′→＋AD →)＝12AC →＋12AB ′→＋12AD ′→＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→. 对比AC ′→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，知x ＝y ＝z ＝1.答案 A6．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23b B .23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b解析 如上图，∵CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得BD DA ＝CB CA ＝12.∴BD ＝13BA . ∴CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋13BA →＝CB →＋13(CA →－CB →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 答案 B7．如下图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0.答案 A8．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝－2e 1＋4e 2＋2e 3，则向量a ，b 的坐标分别是________．答案 a ＝(3,2，－1)，b ＝(－2,4,2)9．若{a ，b ，c }构成空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是__________．解析 ∵{a ，b ，c }构成空间的一个基底，∴a ，b ，c 都是非零向量．由0＝x a ＋y b ＋z c 知，x ＝y ＝z ＝0.答案 x ＝y ＝z ＝010．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝__________(用a ，b ，c 表示)．解析 OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12·12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →)＋14(OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14c 11．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD上的点，PM ＝2MC ，N 为PD 的中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解 如下图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →.由题意易知EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →，EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →， 连接AC ，则PC →＝P A →＋AC →＝AB →＋AD →－AP →∴MN →＝－12AB →－16PC →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16. 12．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O ，O 1分别为底面ABCD 、底面A 1B 1C 1D 1的中心，AB ＝6，AA 1＝4，M 为B 1B 的中点，N 在C 1C 上，且C 1N NC ＝1:3.(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．解(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝62，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3 2.∴各点坐标分别为A(32，0,0)，B(0,32，0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(32，0,4)，B1(0,32，4)，G1(－32，0,4)，D1(0，－32，4)，M(0,32，2)，N(－32，0,3)．(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．。
空间向量的正交分解及其坐标表示 专题训练
空间向量的正交分解及其坐标表示 专题训练[A 基础达标]1．已知O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA→，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA→，OB →，OC →共线 B.OA→，OB →共线 C.OB→，OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选 D.由OA→，OB →，OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以一定有O 、A 、B 、C 四点共面．2．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)解析：选B.由于b ＝12x －2a ，则x ＝2b ＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2，3，－4)＝(0，6，－20)．3．已知A (1，2，－1)关于平面xOy 的对称点为B ，而B 关于x轴的对称点为C ，则BC→＝( ) A ．(0，4，2)B ．(0，4，0)C ．(0，－4，－2)D ．(2，0，－2)解析：选C.易知B (1，2，1)，C (1，－2，－1)，所以BC→＝(0，－4，－2)．4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15 C ．(3，2，5) D ．(3，2，－5)解析：选C.AC1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ， 所以向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3，2，5)，故选C.5．空间四边形OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN→为( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c解析：选B.MN→＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .6．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.答案：1 －17．已知空间三点A (2，－1，2)，B (4，5，－1)，C (－2，2，3)，O 为坐标原点，若OP →＝12(AB →－AC →)，则P 点的坐标为________． 解析：因为AB→＝(4－2，5－(－1)，－1－2) ＝(2，6，－3)，AC→＝(－2－2，2－(－1)，3－2) ＝(－4，3，1)，所以OP →＝12(6，3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 即P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－28．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，所以EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0， 所以λ＝－12.答案：－129．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC→＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？解：假设OA→，OB →，OC →共面，则有OA →＝xOB →＋yOC →， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.因为{e 1，e 2，e 3}是基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．所以OA→，OB →，OC →不共面． 所以{OA→，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底． 10. 如图所示，在三棱锥O -ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA→，OB→，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz ，求EF 中点P 的坐标．解：令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k ，因为OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF →＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →) ＝14OA →＋14OB →＋12OC → ＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k ，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32.[B 能力提升]1. 如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．－1B ．0 C.13D ．1解析：选C.因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→， 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13. 2. 如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点，若记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则DE →＝__________(用a ，b ，c 表示)．解析：连接A 1E ，A 1C (图略)． 则DE →＝DA 1→＋A 1E →＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1C →) ＝12AA 1→＋12(AB →＋AC →－AA 1→) ＝12c ＋12(a ＋b －c )＝12a ＋12b .答案：12a ＋12b 3. 已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，E ，F 分别是BB 1和DC 的中点，试找一空间的基底，并写出向量EF →，B 1F →，A 1E →在此基底下的坐标．解：连接BF ，由题知{DA →，DC →，DD 1→}为空间的一个基底． EF→＝BF →－BE →＝BC →＋CF →－BE → ＝－DA →－12DC →－12DD 1→， 所以EF →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，－12.B 1F →＝B 1B →＋BF →＝－DA →－12DC →－DD 1→， 所以B 1F →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，－1.A 1E →＝A 1B 1→＋B 1E →＝DC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12DD 1→， 所以A 1E →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－12.4．(选做题)已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC′→； (2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH→.解：(1)AC ′→＝AC →＋CC ′→ ＝OC→－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH→＝GO →＋OH → ＝－OG→＋OH → ＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．。
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课时跟踪检测(十七) 空间向量的正交分解及其坐标表示
班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________
一、选择题
1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( )
A ．(－3，－2,3)
B ．(－3,2，－3)
C ．(－3,2,3)
D ．(－3，－2，－3)
2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底．则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )
A ．向量A
B 的坐标与点B 的坐标相同
B ．向量AB 的坐标与点A 的坐标相同
C ．向量AB 与向量OB 的坐标相同
D ．向量AB 与向量OB －OA 的坐标相同
4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G
是MN 的中点，则OG 等于( )
A.16OA ＋13OB ＋13
OC B.14
(OA ＋OB ＋OC ) C.13
(OA ＋OB ＋OC ) D.16OB ＋13OA ＋13
OC 5．若向量MA ，MB ，MC 的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O
是空间任一点)，则能使向量MA ，MB ，MC 成为空间一个基底的关系是( )
A ．OM ＝13OA ＋13O
B ＋13
OC B ．MA ≠MB ＋MC
C ．OM ＝OA ＋OB ＋OC
D ．MA ＝2MB －MC
二、填空题
6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2
＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．
7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝______，y ＝______.
8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面1AC 1和侧面CD 1的中心，
若EF ＋λ1A D ＝0(λ∈R )，则λ＝________.
三、解答题
9．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标．
10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1
的中点，求证：EF ⊥AB 1.
答 案
1．选C 由对称定义知．
2．选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p q ，q ⇒p .
3．选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；B ，C 都不正确；因为AB ＝OB
－OA ，所以D 正确．
4.选B 如图，OG ＝12
(OM ＋ON )
＝12OM ＋12×12
(OB ＋OC ) ＝14OA ＋14OB ＋14
OC
＝14
(OA ＋OB ＋OC )． 5．选C 若MA ，MB ，MC 为空间一组基底向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选
项A 中M ，A ，B ，C 共面，因为OM －OA ＝13OB ＋13OC －23OA ＝13(OB －OA )＋13
(OC －OA )⇒AM ＝13AB ＋13
AC ；选项B 中可能共面，MA ≠MB ＋MC ，但可能MA ＝λMB ＋μMC ；选项D 中的四点显然共面．
6．解析：因为{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，
所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．
答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)
7．解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，
1＝λ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1. 答案：1 －1 8.解析：如图，连接1AC 1，C 1D ，
则E 在
1AC 1上，F 在C 1D 上，
易知EF 綊12
A 1D ， ∴EF ＝121A D
， 即EF －121A D
＝0， ∴λ＝－12
. 答案：－12
9．解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，
则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c
＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c .
又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，
即p ＝a ＋2b ＋3c ，
∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ＝a ＋2b ＋3c ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝2，
z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝－12，z ＝3.
∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫32
，－12，3. 10．证明：设AB ＝a ，1AA ＝b ，AD ＝c ，
则EF ＝1EB ＋1B F ＝12
(1BB ＋11B D ) ＝12
(1AA ＋BD )＝12(1AA ＋AD －AB ) ＝12
(－a ＋b ＋c )， 1AB ＝AB ＋1BB ＝AB ＋1AA ＝a ＋b . ∴EF ·1AB ＝12
(－a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝12
(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF ⊥1AB ，即EF ⊥AB 1.。