空间向量测试题
空间向量练习
1．在空间直角坐标系中，点()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是
A. ()123-，，
B. ()123--，，
C. ()123--，，
D. ()123--，， 2．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v ，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v ，则
（ ）
A. l ⊥α
B. l l ?α D. A 、C 都有可能
3．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．
（1）()1,2,1a =v ， ()1,2,3b =-v ．（2）()8,4,6a =-v ， ()4,2,3b =-v ．
（3）()0,1,1a =-v ， ()0,3,3b =-v ．（4）()3,2,0a =-v ， ()4,3,3b =-v ．
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
4．若ABCD 为平行四边形，且()4,1,3A ， ()2,5,1B -， ()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为（ ）．
A. ()1,13,3--
B. ()2,3,1
C. ()3,1,5-
D. 7,4,12??- ??? 5．如上图，向量1e u v ， 2e u u v ， a v 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a v 用基底1e u v ， 2
e u u v
表示为( ) A. 1e u v ＋2e u u v B. 21e u v －2e u u v C. －21e u v ＋2e u u v D. 21e u v ＋2e u u v
6．已知A (4，6)， 33,2B ??
- ???，有下列向量：①()14,9a =v ；②97,2b ??
= ???v ；③14
,33c ??=-- ???v ；
④()7,9c =-v 其中，与直线AB 平行的向量( )
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ①②③④
7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于( )
A. B. ) C. D. 8．已知向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，使a ⊥r b r 成立的x 与使//a r b r 成立的x 分别为（ ）
A. 10,63-
B. -10,63- 6
C. -6, 10,63-
D. 6,- 10,63- 9．若a r =(2，3)， b r =()4,1y -+，且a r ∥b r ，则y =（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 10．已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=r r ，以a b r r 、为邻边的平行四边形的面积（ ） A. 65 B. 65 C. 4 D. 8 11．如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在OA 上，且2OM MA =u u u u r u u u r ， N 为BC 中点，则MN u u u u r 等于（ ） A. 121232a b c -+ B. 211322a b c -++ C. 112223a b c +- D. 221332a b c +- 12．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是 （ ） A. ()3,2,4-- B. ()3,2,4-- C. ()3,2,4-- D. ()3,2,4-
13．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r ,且ka b +r r 与a r 互相垂直，则k =（ ）
A. 13
B. 12
C. 13-
D. 12- 14．设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则( ) A. 18 B. 12 C. D.
15．已知，点在轴上，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. 或 D.
16．与向量a r ＝（0，2，－4）共线的向量是（ ）
A ．（2，0，－4）
B ．（3，6，－12）
C ．（1，1，－2）
D ．10,,12??
- ???
17．若向量()1,2,0a =r ，()2,0,1b =-r ，则
A ．cos ,120a b ?=r r
B ．a b ⊥r r
C ．a b r r ∥
D ．a b =r r
18．若向量a 、b 的坐标满足)2,1,2(--=+b a ，)2,3,4(--=-b a ，则a ·b 等于A ． 5
B ． 5-
C ．7
D ． 1-
19．已知点()2,3,6A -与点()3,5,4B ，则AB 的中点坐标为__________．
20．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．
21．如图所示的长方体中，，，，则的中点的坐标为__________，___________．
22．点()2,1,3P -在坐标平面xOz 内的投影点坐标为______________； 23．已知向量
，，且与互相垂直，则的值是_______． 24．已知(3,1,0),(,0,1),, 60,k k =-==o
的夹角为则a b a b . 25．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量(,,)a x y z =r ，则::x y z = ． 26．已知向量)2,1,2(-=a ,),2,4(m b -=,且b a ⊥，则m 的值为 27．在空间坐标系中，已知三点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的单位法向量是 ． 28．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则()()=+?-b a b a ρρρρ22_______________. 29．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为_________。 30．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为. （1）求正方体各顶点的坐标； （2）求的长度. 31．（2015秋河西区期末）已知．
（1）若，求实数k 的值
（2）若，求实数k 的值．
32．P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，),0,24(),412(，，，+--=AD AB )121(--=，，,求证PA 垂直平面ABCD .
33．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA === 1
B
1
A C
A B D
D 1
（1）求直线11AD B D 与所成角；
（2）求直线111AD B BDD 与平面所成角的正弦.
34．（本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点．
（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B 1D 1∥平面EFG ；
（3）求证：平面AA 1C ⊥面EFG ． 35．如图四棱锥ABCD S =中，AD SD ⊥，CD SD ⊥，E 是SC 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，6==SD AB 。 （Ⅰ）求证：//EO 面SAD ； （Ⅱ）求直线EO 与平面ABCD 所成的角。 F E C1 D1 B1 D B
36．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=B 1B=1，M 、N 分别是AD 、DC 的中点.
（1）求证：MN N M
B 1
D 1C
A
D A 1C 1
37．（本小题满分13分）已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，求： （Ⅰ）直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正切值； （Ⅱ）二面角11B AC B --的大小． 38．在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中，
,E F 分别为1,AB A C 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. （1）求EF 的长； （2）证明： //EF 平面11AA D D ； （3）证明: EF ⊥平面1A CD . A B
C
D O
E
S
参考答案
1．A
【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面xoz 对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是()1,2,3-，选A.
2．A 【解析】直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v ，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v
且2a b =v v ，即//a b v v .
所以l ⊥α.
故选A.
3．B
【解析】若a →与b →平行，则存在实数λ使得a b
λ→→＝ 经过验证，只有()22a b →=→， ()33b a
→=-→,两组满足条件。 故答案选B
4．A
【解析】设()000,,D x y z ，
∵()24,51,13AB =----u u u v
()2,6,2=---．
()0003,7,5DC x y z =-----u u u v ，
在平行四边形ABCD 中，
AB DC P u u u v u u u v ， ∴
000375262x y z -----==---①， 又∵()()32,75,51BC =------u u u v ()5,12,6=--，
()0004,1,3AD x y z =---u u u v ，
BC AD P u u u v u u u v ， ∴0004135126
x y z ---==--②， 联立①②，
解出： 01x =-， 013y =， 03z =-．
故选A ．
5．C
【解析】以向量1e v 的起点为原点，向量1e v 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1，则()()()121,0,1,1,3,1e e a ==-=-v v v 。
设12a xe ye =+v v v ，则()()()()3,11,01,1,x y x y y -=+-=-，
∴3{ 1x y y -=-=，解得2{ 1
x y =-=，所以122a e e =-+v v v 。选C 。 点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。
6．C 【解析】由题意可得97,2AB ??=-- ??
?u u u v 。 由向量共线的条件可以判断向量,,a b c v v v 与向量AB u u u v 平行，即向量,,a b c v v v 与直线AB 平行。选
C 。
7．D
【解析】
，故选D. 8．A 【解析】向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ,
若a ⊥r b r ,则823?1030a b x x =--+=-+=n r r ，解得103
x =. 若//a b r r ，则42213
x -==-，解得6x =-. 故选A.
9．C 【解析】由a r ∥b r ， a r =(2，3)， b r =()4,1y -+，得()2144y -+=?,解得7y =. 故选C.
10．A 【解析】由题意， ()2222224cos ,9
212221a b a b a b ???===+-+?++r r r r r r ，则65sin ,a b ??=r r ，所以平行四边形的面积为
1652sin ,33652S a b a b =????=??=r r r r ，故选A. 11．B
【解析】由题意，以,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为基底建立空间向量，则
()12212112332322MN ON OM OB BC OA OA OB OC OB a b c =-=+-=-++-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r ，故选B.
12．A
【解析】设所求点为(),,x y z ，则12,20,22x y z +=-+=-=，
解得3,y 2,z 4x =-=-=，故选A.
13．B
【解析】根据题意， ()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=-r r ，因为()ka b a +⊥r r r ，所以()
·0ka b a +=r r r ，则()111020k k ?-+?+?=，即12k =，故选B 14．C
【解析】
∵两点的坐标分别是 ， ∴，故选C.
15．C
【解析】
依题意设
，根据，解得，所以选. 16．D
【解析】
试题分析：()10,2,440,,12??-=- ???Q ，所以向量()0,2,4-与10,
,12??- ???
共线 考点：向量共线
17．D
【解析】 试题分析：因为向量()1,2,0a =r ，()2,0,1b =-r ，所以1(2)20012a b ?=?-+?+?=-r r ，
排除B ；
2222221205,|(2)015a b =++==-++=r r a b =r r ，应选D ．
1(2)20012cos ,5||||
a b a b ?-+?+?==-r r u u r r ，A 错，如果a /则存在实数λ使a b λ=r r ，显然
不成立，所以答案为D ．
考点：向量的有关运算．
18．B
【解析】
试题分析：因为)2,1,2(--=+b a ，)2,3,4(--=-b a ，所以(1,2,0),(3,1,2),a b =-=-r r 所以1(3)(2)120 5.a b ?=?-+-?+?=-r r
考点：本小题注意考查向量的坐标运算.
点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可. 19．1,4,52?? ???
【解析】AB 中点为233546,,2
22-+++??
???． 20．(a ，b ，c ) 【解析】∵在如图所示的长方体1111ABCD A B C D - 中，已知1000A a c C b （，
，），（，，）， ∴可以得知1AD a DC b DD c ===，， ，
又∵长方体1111ABCD A B C D - ，
∴可以得知1B 的坐标为a b c （，，）
故答案为a b c （，，）
． 21．
【解析】由图可知：.
为的中点，由中点坐标公式可得
. 由两点间距离公式有：
故答案为：
.. 22．()2,0,3
【解析】设所求的点为Q （x ，y ，z ），
P 、Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，
即x=2，y=0，z=3，得Q 坐标为（2,0,3）
23．
【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得
， ，两向量互相垂直，则数量积为．则有，解得．故本题填．
24
．2
【解析】
试题分析：有已知可得2,a b ==r r
602
a b k ∴==∴=o r r g 考点：向量的数量积运算
25．2：3：（-4）
【解析】 试题分析：由()()()19
5
5
0,2,,1,1,,2,1,888A B C --得()()7
7
1,3,,2,1,44AB AC =--=---u u u r u u u r
因为为平面的法向量，则有0,0AB a AC a ?=?=u u u r r u u u r r ，即()()()()71,3,,,0
47
2,1,,,04x y z
x y z ?--?=???---?=? 由向量的数量积的运算法则有7
30
47204x y z x y z ?--=???---=?解得31,42
y z x z =-=- 所以()()()()234::::2:3:4444z
z
z
x y z =--=-
故正确答案为()2:3:4-
考点：空间向量的法向量．
26．5
【解析】
试题分析：由题可知：),2,4(),2,1,2(m b a -=-=ρρ，且b a ρρ⊥，有022)1()4(2=+?-+-?m ，即m=5．
考点：空间向量垂直的充要条件
27
．,333??
± ? ???
.
【解析】
试题分析：三点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），
所以AB u u u v =（-1，1，0）, AC u u u v =（-1，0，1）, 令平面ABC 的法向量为n v
=（x ，y ，z ），
可得0
0n AB
n AC ??=???=??v u u u v
v u u u v ，即y
x
z x
=??=?，∴x=y=z
∵平面ABC 的法向量为n v
=（x ，y ，z ）为单位法向量，2221x y z ∴++=，
解得x=y=z=3± , 故平面ABC 的单位法向量是333,,333??± ? ???. 考点：平面的法向量．
28．4
【解析】 试题分析：因为)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，所以()()
22a b a b -?+r r r r =()()2(4,2,4)(6,3,2)(4,2,4)2(6,3,2)(2,7,10)(16,4,0)---?-+-=-?-=4.
考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。
点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。
29．217
【解析】∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段， 且AB=4cm ，AC=6cm ，BD=8cm ，
()
22222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=++=+++?+?+?u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 0361664268cos12068=+++???=
217CD ∴=
故答案为217
30．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式
求解出来.
试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：
.
（2）解法一：
. 解法二：∵
， 在
中，， ∴
. 31．（1）；（2）． 【解析】
试题分析：（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k 的值；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k 的值．
解：（1）∵，
∴
； 又
， ∴
， 解得
； （2）∵且
， ∴， 即7（k ﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k ）=0， 解得．
考点：空间向量的数量积运算．
32．
【解析】 证明：?=-?-+?-+-?=?0)1()4(2)1()1(2垂直于,
即AP 垂直于AB .
AP AD AP ?=?-+?+?-=?00)1(224)1(垂直于,
即AP 垂直于AD .
PA ∴垂直平面ABCD .
33．（1）直线11AD B D 与所成角为90°；（2）
105 。 【解析】
试题分析：以D 为原点建系 1分 （1）11cos ,0AD B D =u u u u r u u u u r 3分
直线11AD B D 与所成角为90° 5分
（2）11(2,1,0)B BDD n =-r 平面的法向量为 7分
110sin |cos ,|5
n AD θ==r u u u u r 9分 10 10分 考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、
体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。
34．（1
）11
1sin 3A A ACA AC == ； （2）见解析；（3）见解析。 【解析】
试题分析：(1)因为⊥A A 1 平面ABCD,所以CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角, 然后解三角形求出此角即可.
（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B 1D 1内两条相交直线1AB 和11B D 分别平行于平面EFG 即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.
(3)易证：BD ⊥平面AA 1C ，再证明EF （1）∵C A 1?平面ABCD=C ，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 ⊥A A 1 平面ABCD
∴AC 为C A 1在平面ABCD 的射影
∴CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角……….2分
正方体的棱长为a
∴AC=a 2，C A 1=a 3
111
sin A A ACA AC == ………..4分 （2）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
连接BD ，1DD ∥B B 1，1DD =B B 1
1DD 1BB 为平行四边形
∴11B D ∥DB ∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点
∴EF ∥BD ∴EF ∥11B D …………3分
∵EF ?平面GEF ，11B D ?平面GEF
∴11B D ∥平面GEF …………7分
同理1AB ∥平面GEF ∵11B D ?1AB =1B
∴平面A B 1D 1∥平面EFG ……………9分
（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1∴⊥1AA 平面ABCD
∵EF ?平面ABCD
∴⊥1AA EF …………10分
∵ABCD 为正方形
∴AC ⊥BD
∵EF ∥BD
∴AC ⊥ EF ………..11分
A AC AA =?1
∴EF ⊥平面AA 1C
∵EF ?平面EFG
∴平面AA 1C ⊥面EFG …………….12分.
考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.
点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.
35．（Ⅰ）证明：
SAD EO SAD AS AS EO 面面////??
???； 3分 （Ⅱ）解：
ABCD SD D CD AD CD SD AD SD 面⊥???
???=?⊥⊥
所以SAD ∠是SA 与面ABCD 所成角。 3分
在SAD ?中SD AD =，所以4π
=∠SAD ，
又AS EO //，所以EO 与平面ABCD 所成的角为4
π。 【解析】略2．（1）连结AC ，ΘM 、N 分别为AD 、DC 中点
∴MN ∴∠Θ52∴∠252525??-+10
10
2
=过B 1作B 1E ⊥BC 1于E ，过E 作EF ⊥AC 1于F ，连接B 1F ；
∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，AB ⊥B 1EB 1E 平面ABC 1B 1EAC 1
∴∠B 1FE 是二面角B ﹣AC 1﹣B 1的平面角
在RT △BB 1C 1中，B 1E=C 1E=12
BC 1
=2， 在RT △ABC 1中，sin ∠BC 1
A=1AB AC =
∴EF=C 1Esin ∠BC 1A=66， ∴tan ∠B 1FE=13B E EF
= ∴∠B 1FE=60°，即二面角B ﹣AC 1﹣B 1的大小为60°．
考点：线面角以及二面角的平面角及其求法.
38．（1）2
（2）根据题意，关键是能根据向量法来得到1AD EF P 即可。
（3）对于题目中
，则可以根据线面垂直的判定定理来的得到。
【解析】试题分析：(1)如图建立空间直角坐标系，分别求得11A A B C D E F 、、、、、、的坐标，计算EF 的长度； (2)由(1)
，， 1AD EF ∴P ，由线面平行的判定定理可证；(3)
，， EF CD ∴⊥， 1EF A D ⊥，
由线面平行的判定定理可证.
试题解析：(1)如图建立空间直角坐标系
()()()()()112,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2A A B C D ===== ()()2,1,0,1,1,1E F ==
（2）
而11ADD A EF ?面 //EF ∴平面11AA D D
（3）
又1CD A D=D ? EF ∴⊥平面1A CD .
考点：空间向量法. 视频
空间向量和立体几何练习题及答案.
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
高二数学-空间向量与立体几何测试题
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
高中空间向量试题
高中空间向量试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3 1 21++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平 面EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．
高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，
的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，
空间向量其运算测试题
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
空间向量与空间角练习题
课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且 异面直线所成角的围为? ????0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266 . 【答案】 A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ????0，12，12， ∴AE → ＝? ????0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴ cos AD →，AE →＝22 ， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )
高中数学典型例题解析平面向量与空间向量
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ
高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量
实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?
空间向量及其运算测试题
一、选择题 1 抛物线2 8 1x y - =的准线方程是 ( ) A ． 32 1 =x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹 方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） ＝2OA →－OB →－OC → ＝15OA →＋13OB →＋12OC → ＋MB →＋MC → ＝0 ＋OA →＋OB →＋OC →＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→ . 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－209 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
空间向量和立体几何典型例题
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B ． 3 C ．3 D ．2 3 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
最新空间向量运算的坐标表示练习题
课时作业(十七) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A 2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132 【解析】 ∵AB 的中点M ? ? ???2，32，3，∴CM →＝? ????2，12，3，故|CM | ＝|CM → |＝ 22＋? ?? ??122＋32＝532. 【答案】 C 3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C.2 3 D ．14 【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2 3.
【答案】 C 4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( ) 图3-1-32 A ．1 B.52 C.62 D.32 【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E (1,1，2)， F ? ???? 2，1，22，所以|EF |＝ (1－2)2 ＋(1－1)2 ＋? ??? ?2－222 ＝6 2，故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA → ＝
空间向量与空间角试题
空间向量与空间角试题
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课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为? ? ? ??0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.522 66 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD → ＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD → |AB →||CD →|＝53×22＝522 66， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522 66. 【答案】 A 3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝
AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ? ???0，12，12， ∴AE →＝? ?? ??0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的法向量，AE → 是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝22， ∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
空间向量及立体几何练习试题和答案解析
. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．
高中空间向量试题
高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3121++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4， E 、 F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面 EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．
最新空间向量练习题
空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】1、已知直线12,l l 的方向向量分别为12,v v u r u u r ，平面,αβ的法向量分别为12,n n u r u u r ，则 （1）12//l l ? ；（2）12l l ⊥? ；（3）若直线12,l l 的夹角为θ，则cos θ= ； （4）1//l α? ；（5）1l α⊥? ；（6）若直线1l 与面α的成角为θ，则sin θ= ； （7）//αβ?面面 ；（8）αβ⊥?面面 ；（9）若αβ面与面成二面角的平面角为θ，则 。 2、（1）三余弦定理： ； （2）三垂线定理（及逆定理）： ； （3）二面角的平面角定义（范围）： ； 【小试牛刀】1、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1 a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 4.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 5 1 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于