空间向量练习题

1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4） B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：42．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0） B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4） D．（2，4，4）3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂α C．AB与α相交不垂直D．AB∥α4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．10．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F 是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4） B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：4选A．2．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0） B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4） D．（2，4，4）选C．3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α选：D．4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确选；C．5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为或．解：设平面α的法向量为=（1，0，﹣1），平面β的法向量为=（0，﹣1，1），则cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成的角为或．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，∴．（2）连结B1M，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…（12分）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，﹣3，4），设平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），∴=0，∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴点A到平面A1MC的距离：d===．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，∵四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，∴MO∥PD，OD=，∴OD AB，∴AD∥BO，∵AD∩PD=D，BO∩MO=O，AD、PD⊂平面ADP，BO、MO⊂平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM⊂平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD=2，PD=3，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，∴BD==，∴BD2+AB2=AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），=（），=（），=（0，3，﹣3），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，3，3），∴点D到平面PBC的距离d===．10．图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR==，==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜，＞==，∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．【解答】（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，DD1∥BB1且DD1=BB1则：四边形DD1B1B是平行四边形．BD∥B1D1B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以：B1D1∥平面BDE．（2）连接AC和BD交于点O，连接OE，所以：AC⊥DB，又EC⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD所以：BD⊥平面COE则：OE⊥BD则：∠EOC是二面角E﹣BD﹣C的平面角．由于正方体的边长为1，EC=，解得：则：tan∠EOC=1则：∠EOC=45°即二面角E﹣BD﹣C大小为45°．（3）在正方体中，A1A⊥平面ABCD，AC⊥BD，则：BD⊥平面A1ACC1BD⊂平面BDE所以：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．解：（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴．又AA1=2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=2×2=4．∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4．（2）取AA1的中点M，连接DM，BM，∵D是AC的中点，∴DM∥A1C，∴∠BDM是异面直线BD与A1C所成的角．在△BDM中，，．即．∴异面直线BD与A1C所成的角为．14．（2014秋•西宁期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取DG的中点M，连接AM，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴BF∥AM，AM∥CG，∴BF∥CG，∴四点B、C、G、F共面．（Ⅱ）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），∴，，，，设平面DBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，﹣1），设平面FBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，1），设二面角D﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角D﹣BC﹣F的大小为arccos．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图则A（0，0，0）B（2，0，0）即AB⊥A1C．（2）由（1）知设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α，=∴17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），∵．∴．即AQ⊥DN．又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．（Ⅱ）设平面DMN的法向量为，由．得即，令x=1，得平面DMN的法向量，∴点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F 是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，．（4分）由D1E⊥平面AB1F∴∴E（2，1，）为所求．…（6分）（Ⅱ）方法一：当D1E⊥平面AB1F时，=，又是平面A1AB1的法向量，且．（8分）．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB1A1，过点G作GH⊥AB1于H点，连接FH，则FH⊥AB1，所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）在△GHF中，FG=2，FH．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵fF别是CD的中点，∴FC=CD=1．又AB=1，所以FC=AB．∵FC∥AB，∴四边形ABCF四边形．∴AF∥BC∵E是SD的中点∴EF∥SC又∵AF∩EF=F，BC∩SC=C∴平面AEF∥平面SBC解：（II）取AB的中点O，连接SO，∵SO⊥△SAB，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系O﹣xyz则有A（0，﹣，0），C（1，，0），S（0，0，），F（1，﹣，0），=（1，1，0），=（0，，），（7分）设平面SAC的法向量为=（x，y，z），由，即取x=1，，得=（1，﹣1，），平面FAC的法向量为=（0，0，1）．（10分）∴cos＜m，n＞==而二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为钝角，∴二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为π﹣arccos．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．解：（Ⅰ）证明：因为AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACD．（Ⅱ）取AC的中点为O，连接DO，OM．建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（﹣1，2，0），M（0，1，0）．，所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为（Ⅲ）平面ACD的法向量为，设平面MCD的法向量为，，由，得，取x=﹣1，得y=z=1，所以所以，二面角A﹣CD﹣M的余弦值为21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴PD⊥AC∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂面PBD∴AC⊥面PBD又∵DE⊂面PBD∴AC⊥DE（Ⅱ）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则∵AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．∴P（﹣3，0，3），A（0，﹣3，0），B（3，0，0），C（0，3，0），∴==（2，0，﹣），==（﹣1，，0），∴=+=（1，，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），由=（3，﹣3，﹣3），=（6，0，﹣3）得，，即令z=2，则=（，，2）则EF与平面PAB所成角θ满足sinθ===，即为EF与平面PAB所成角的正弦值…（8分）22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）（1）则=（0，1，2），=（﹣1，0，2）设异面直线AE和BF所成角为θ则cosθ==即异面直线AE和BF所成角的余弦值为（2）∵=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，设向量为平面BFC1的一个法向量则，即令z=1，则向量为平面BFC1的一个法向量∵cos==∴sin=∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1=V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，AE⊂侧面ABB1A1，∴AE⊥BC，在△ABE中，AB=2a，a，则有AB2=AE2+BE2，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），=（a，a，a），设平面BDE的法向量为，则由=0，得，，令x=1，得，又由（I）AE⊥平面BCE，=（a，0，a）为平面BCE的法向量，cos＜即所求二面角D﹣BE﹣C的余弦值为..。