高考数学空间向量例题
高考数学空间向量与立体几何选择题
高考数学空间向量与立体几何选择题1. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)2. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)3. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)4. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)5. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)6. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)7. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)8. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)9. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)10. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)11. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)12. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)13. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)14. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)D. \(-1\)15. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)16. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)17. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)18. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)19. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)20. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)21. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)22. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)23. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)24. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)25. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)26. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)27. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)28. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)29. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)30. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)31. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)32. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)33. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)34. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)35. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)36. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)C. \(2\)D. \(-2\)37. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)38. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)39. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)40. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)41. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)42. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)43. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)44. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)45. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)46. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)47. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？A. \(3\)B. \(-3\)D. \(-1\)48. 题目：已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\)，且向量\(\vec{c}\)与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角分别为30°和60°，则\(\vec{c}\cdot\vec{a}\)的值是多少？A. \(1\)B. \(-1\)C. \(2\)D. \(-2\)49. 题目：若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)满足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则下列哪个向量不可能与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共线？A. \(\vec{a}\)B. \(\vec{b}\)C. \(-\vec{a}\)D. \(-\vec{b}\)50. 题目：若两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为120°，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值是多少？B. \(-3\)C. \(1\)D. \(-1\)。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算题型一 空间向量共线的判定1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对 【答案】A【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B错误；AB BC=，则A、B、C三点共线，选项C正确；AB BC=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC+是否共线.【答案】证明见解析.【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AB、CD的中点.∴11,22GF AD EG BC ==.又∵E、F、G三点共面，∴1()2EF GF EG AD BC=+=+，即EF与AD BC+共线.5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二 由空间向量共线求参数值6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（ ）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13 【答案】 B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12,-11,22B ．-11,22,-12C ．11,22,-12D ．12,-11,22【答案】A【解析】根据题意，画出图形如下图所示：由图可知1122EF EC CD DFBC CD AD =++=+- ()1122111222AC AB AD AC AD AB AC AD =-+--=-+111222a b c =--+ 所以111,,222x y z =-=-= 所以选A8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．【答案】4或-1【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，()1232BD CD CB k e e =-=--，()232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三 空间向量共面的判定9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 【答案】B【解析】因为311488OP OA OB OC =++， 所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，86OP OA OB OC =++， 6AP PB PC=+，即1166AP PB PC =+， 故P ，A ，B ，C 四点共面， 故选：B10．已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111333OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =-++D ．以上都不对 【答案】B【解析】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =-++，1110122-++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面. 故选：B.11．,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++；③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； （2）判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内. 【解析】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--， 故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M . 所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.13．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量MN CD DE ，，共面.【答案】证明见解析【解析】因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+. 同理1133AN AD DE =+. 所以MN MB BA AN =++ =1133DA AB ++BA +1133AD DE +=21213333BA DE CD DE +=+.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN CD DE ，，共面. 题型四 由空间向量共面求参数值14．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，则x 的值是A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】因为1133OM xOA OB OC =++，且,,,M A B C 四点共面，所以必有11133x ++=，解得13x =，故选D ． 15．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 1816．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C →→→=-+，则实数x 的值为_________.【答案】13【解析】414131()363626PA PC PC P PB x DB PB x PB PD P P C B x D →→→→→→→→→→→=-+=-+-=--，又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴31126x --=，解得 x =13，故答案为：13题型五 空间共线向量定理的推论及应用17．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线 【答案】ACD【解析】解:因为1m n +=，所以1m n =-，所以OP =()1OA B n n O -⋅+⋅， 即OP OA -=n (OB OA -)， 即AP =n AB ，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB. 因为OP =m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面. 故答案为：ACD18．已知M ，N 分别是四面体OABC 的校OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =______(用{},,a b c 表示)【答案】111633OP a b c =++【解析】OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =．∴OP ON NP =+13ON NM =+1()3ON OM ON =+-2133ON OM =+2111()3232OB OC OA =⨯++⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++． 故答案为：111633OP a b c =++19．已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________.【答案】－2【解析】由四点共面的充分必要条件可得：211λ++=，解得：2λ=-.故答案为2-．20．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.【答案】13,8x y =-=【解析】∵//a b ∴()324182m n p x m n yp λ⎡⎤--=+++⎣⎦，∴()13,82,24x y λλλ+==-=-，∴13,8x y =-=.题型六 空间共面向量定理的推论及应用21．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.故选：B.22．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，BCD △的中心为O ，过点O 的平面a 与棱AB ，AC ，AD ，BD ，CD 所在的直线分别交于P ，Q ，R ，S ，T ，则111AP AQ AR ++=（）A ．52B ．3C ．133D ．4 【答案】B 【解析】因为O 为BCD △的中心，所以()13AO AB AC AD =++，设AP x =，AQ y =，AR z =，所以111333AO AP AQ AR x y z=++．因为O ，P ，Q ，R 四点共面，所以1111333x y z ++=，即1113x y z++=，1113AP AQ AR ++=. 故选：B.23．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】D【解析】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=， 只有选项D 满足.故选：D.24．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A。
2021年高考数学经典例题专题七立体几何与空间向量含解析
专题七 立体几何与空间向量一、单项选择题1．假如棱长为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的外表积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的外表积为2244336S R πππ==⨯=.应当选：C.【点睛】此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；〔3〕如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.2．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如下列图，该三棱柱的外表积为〔〕．A ．63+B ．623+C ．123+D ．1223+【答案】D【解析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其外表积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，如此其外表积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭应当选：D.3．某几何体的三视图〔单位：cm 〕如下列图，如此该几何体的体积〔单位：cm 3〕是〔〕A ．73B ．143C ．3D ．6 【答案】A【解析】根据三视图复原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半局部是三棱锥，下半局部是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应当选：A4．,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，假如⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，如此球O 的外表积为〔〕A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】由可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的外表积2464S R ππ==.应当选：A5．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，如此该端点在侧视图中对应的点为〔〕A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .应当选：A6．四面体ABCD 的顶点A ，B ，C ，D 在同个球面上，AD ⊥平面ABC ，3AD =，2AB =，3AC =，60CAB ∠=︒，如此该四面体的外接球的外表积为〔〕A ．6πB ．143πC ．12πD ．163π 【答案】C【解析】过ABC 外接圆1O ，作直线l ⊥平面ABC ，可得1123OO AD ==，在ABC 中，利用余弦定理求出BC =ABC 外接圆半径，利用勾股定理求出外接球半径，根据球的外表积公式即可求解.【详解】如下列图，作ABC 外接圆1O ，过1O 作直线l ⊥平面ABC ，又DA ⊥平面ABC ，//DA l ∴，连接1AO ，并延长交球O 于H ，连接DH ，与l 的交点为球心O ，OH OD R ==，如此112OO AD ==， 在ABC 中，由余弦定理得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒14922372=+-⨯⨯⨯=，BC ∴=，又由正弦定理得12sin 60BC O H =︒(1O H 为外接圆半径)，13O H ∴= 222211621399R OH OO O H ∴==+=+=， 2412S R ππ∴==.应当选：C.7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OAA处放置一个日晷，假如晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，如此晷针与点A处的水平面所成角为〔〕A．20°B．40°C．50°D．90°【答案】B【解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.应当选：B8．△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球OO 的外表积为16π，如此O 到平面ABC 的距离为〔〕A ．32C ．1D ．2【答案】C【解析】根据球O 的外表积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，如此2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.应当选：C.9．在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，AP AB ⊥，D 是BC 的中点．假如45APB ∠=︒，60APC ∠=︒，如此直线PD 与平面ABC 所成角的正弦值为〔〕A ．3B ．2C D 【答案】C【解析】根据线面角的定义找到直线PD 与平面ABC 所成角的平面角，法一：应用几何法，根据线面垂直的性质、勾股定理求对应边，在直角三角形中求线面角的正弦值；法二：应用向量法，构建空间直角坐标系，并确定线面角两边所在直线的方向向量坐标，进而求其余弦值，由同角三角函数关系求正弦值.【详解】在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，AP ⊂面PAB ，∴BC AP ⊥，又AP AB ⊥，AB BC B ⋂=，∴PA ⊥平面ABC ，即PDA ∠即直线PD 与平面ABC 所成角．法一：设PA a =，由45APB ∠=︒，60APC ∠=︒，得AB PA a ==，∴AC =，BC =．又D 是BC 的中点，如此2BD =，∴在Rt ABD △中，2AD a ==．又易知PA AD ⊥，在Rt PAD 中，PD ==，∴sin 5AP PDA PD ∠==.法二：过点A 在平面ABC 内作//Ax BC ．易知直线AP ，AB ，Ax 两两垂直，可建立如下列图的空间直角坐标系A xyz -．不妨设1PA =，如此1AB =，ACBC =2BD =，有()0,0,0A ，()0,0,1P，2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,0DA ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，1,1DP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，如此3cos ,3DA DP DA DP DA DP ⋅===，∴10sin ,5DA DP =.应当选：C．，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为，如10．设A B C D体积的最大值为〔〕此三棱锥D ABCA．．．D．【答案】B【解析】如下列图，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 3BE ∴==Rt OMB ∴中，有OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=应当选B.二、多项选择题11．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将ABD △沿BD 折起，使A 到A '的位置，A '在平面BCD 的射影E 恰落在CD 上，如此〔〕A ．三棱锥A BCD '-的外接球直径为5B ．平面A BD '⊥平面A BC 'C ．平面A BD '⊥平面ACD 'D ．A D '与BC 所成角为60【答案】AB【解析】根据面面垂直的判定定理以与面面垂直的性质定理结合对选项BCD 逐一进展分析，对A 选项注意确定球心位置，然后利用勾股定理求解外接球的直径.【详解】由题意，A E '⊥平面BCD BC A E '⇒⊥，又BC CD ⊥，A E CD E '=，∴BC ⊥平面A CD BC A D ''⇒⊥．故D 错误；又A B A D ''⊥，A BBC B '=，可得A D '⊥平面A BC '，又A D '⊂平面A BD '⇒平面A BD '⊥平面A BC '．故B 正确； 对C ，假如平面A BD '⊥平面ACD '，如此由A B A D A B '''⊥⇒⊥平面90A CD BA C ''⇒∠=︒与90A CB '∠=︒矛盾，故C 错误；取BD 中点为O ．如此OA OB OC OD '===，故O 为三棱锥A BCD '-的外接球球心，所以直径5d BD ===，故A 正确．应当选：AB三、填空题12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，如此三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【解析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可.【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 故答案为：1313．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.假如用一小桶油漆刚好可以涂该二十四等边体的外表一遍，如此用该小桶油漆去涂与该二十四等边体棱长相等的正四面体魔方外表(也是涂一遍)，那么至少可以涂___________个这样的正四面体魔方.(结果取整数)【答案】5【解析】设二十四等边体的棱长为1，计算其外表积，再计算正四面体魔方的外表积，即可解得.【详解】设该二十四等边体的棱长为1，如此正四面体魔方的棱长也为1，如此该二十四等边体的外表积为2218161622⨯⨯⨯+⨯=，正四面体的外表积为214122⨯⨯⨯=2 5.46=+≈，所以至少可以涂5个这样正四面体魔方. 故答案为：5.14．三棱锥P ABC -中，AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为P 为球心，4为半径作一个球，如此该球面被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为______．【答案】3π【解析】采用数形结合，然后利用弧长公式计算即可.【详解】由题可知：AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为如图：所以PC PB BC ====2AM AF ===，所以tan tanAPF APM ∠=∠==6APF APM π∠=∠= 所以12EPF CPM π∠=∠=，如此4123EF MN ππ==⨯=44,2332NE MF ππππ=⨯==⨯= 所以球面被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为42333ππππ⨯++= 故答案为：3π 15．直四棱柱ABCD –A1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．. 【解析】根据条件易得1D E =1D E ⊥侧面11BC CB ，可得侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E 可得侧面11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，如此1DE EP ⊥，1D E =||EP === 所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG =11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.. 16．圆锥的底面半径为1，母线长为3，如此该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下列图，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯△ABC设内切圆半径为r ，如此：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯=解得：22r ，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.17．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞〔图1〕.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体表现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1．如此该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面.1.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，如此AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+==，1x ∴==1．18．四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在同个球面上，AD ⊥平面ABC ，3AD =，2AB =，3AC =，60CAB ∠=，如此该四面体的外接球的外表积为___________.【答案】12π【解析】利用余弦定理计算出AB ，利用正弦定理计算出ABC 的外接圆半径r ，利用公式R =可计算出四面体ABCD 的外接球半径R ，利用球体面积可求得结果. 【详解】如如下图所示：圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，如此12O O 的中点 O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，如此O 为圆柱12O O 的外接球球心.可将三棱锥D ABC -放在圆柱12O O 内 ，使得圆2O 为ABC 的外接圆，点D 在圆1O 上，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，如此BC =所以，ABC 的外接圆直径为2sin 3BC r BAC ==∠，r ∴=,AD ∴⊥平面ABC ，所以，四面体ABCD 的外接球半径为R ==因此，四面体ABCD 的外接球的外表积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以复原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，如此球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.四、解答题19．如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．〔1〕证明：l⊥平面PDC；〔2〕PD AD1，Q为l上的点，QB2PB与平面QCD所成角的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔26【解析】AD l，利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，〔1〕利用线面平行的判定定理以与性质定理，证得//从而得到l⊥平面PDC；Q m，之后求得平面QCD 〔2〕根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)<>，即可得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值.的法向量以与向量PB的坐标，求得cos,n PB【详解】〔1〕证明：AD BC，在正方形ABCD中，//因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，AD平面PBC，所以//又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD平面PBC l =，所以//AD l ， 因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；〔2〕如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，如此有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，如此有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，因为QB 1m ==设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，如此00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，如此1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，如此2cos ,1n PBn PB n PB ⋅<>==== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|3n PB <>=所以直线PB 与平面QCD 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．〔1〕求证：//MN 平面ABCD ；〔2〕假如2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】〔1〕详见解析；〔2【解析】〔1〕要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//MN BD ；〔2〕首先建立空间直角坐标系，求平面PBD 的法向量，利用线面角的向量公式求解.【详解】〔1〕连结BD ，,M N 分别是,PB PD 的中点，//MN BD ∴，MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；〔2〕如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ()002P ,,，()2,0,0B ，()0,2,0D ()2,2,0C ，()0,1,1N ，()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--，设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，如此00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，如此1,1y z ==， ∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，如此21sin cos ,3CN nCN n CN n θ⋅-⨯-=<>===， 所以CN 与平面PBD 21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11AB 的中点．〔Ⅰ〕求证：11C M B D ⊥；〔Ⅱ〕求二面角1B B E D --的正弦值； 〔Ⅲ〕求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；【解析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.〔Ⅰ〕计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥； 〔Ⅱ〕可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的根本关系可求解结果； 〔Ⅲ〕利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系〔如图〕，可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、 ()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M . 〔Ⅰ〕依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥； 〔Ⅱ〕依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，如此100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩， 不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．2cos ,2C CA nA C n A n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>=． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6 〔Ⅲ〕依题意，()2,2,0AB =-． 由〔Ⅱ〕知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,322AB nAB n ABn ⋅<>===-⋅． 所以，直线AB 与平面1DB E 22．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点．〔Ⅰ〕求证：1//BC 平面1AD E ；〔Ⅱ〕求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕23. 【解析】〔Ⅰ〕证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； 〔Ⅱ〕以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.【详解】〔Ⅰ〕如如下图所示：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AB A B 且11AB AB =，1111//A BCD 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，如此11//BC AD ，1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；〔Ⅱ〕以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，如此()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，如此2x =，1y =，如此()2,1,2n =-. 11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 23．如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．〔I 〕证明：EF ⊥DB ；〔II 〕求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】〔I 〕证明见解析；〔II 【解析】〔I 〕作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；〔II 〕由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【详解】〔Ⅰ〕作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒， ∴2CD BC CH =⇒=．在CBH 中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥． 由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．〔Ⅱ〕因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由〔1〕可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，如此CH =，BH DH HG a BD ⋅===，∴sin3HG HCG CH ∠===．．故DF与平面DBC所成角的正弦值为324．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．〔1〕证明：l⊥平面PDC；〔2〕PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2【解析】AD l，〔1〕利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，利用线面平行的判定定理以与性质定理，证得//从而得到l⊥平面PDC；Q m，之后求得平面QCD 〔2〕根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)<>的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的的法向量以与向量PB的坐标，求得cos,n PB最大值.【详解】〔1〕证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD平面PBC l =， 所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；〔2〕如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，如此有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，如此有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，如此00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩， 令1x =，如此z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，如此1cos ,3n PBn PB n PB ⋅+<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>===≤≤=1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD25．在三棱锥A —BCD 中，CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．〔1〕求直线AB 与DE 所成角的余弦值；〔2〕假如点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】〔12 【解析】〔1〕建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；〔2〕先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】〔1〕连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如此(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,AB DE AB DE ∴=-=∴<>==从而直线AB 与DE〔2〕设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=- 12cos ,n n ∴<>==因此sin 13θ== 26．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．〔1〕证明：点1C 在平面AEF 内； 〔2〕假如2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A--的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕7. 【解析】〔1〕连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内； 〔2〕以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】〔1〕在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A BC D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =， 所以，四边形BCGF 为平行四边形，如此//AF DG 且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，如此四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；〔2〕以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，如此()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，如此()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，如此()1,4,2n =，3cos ,3m nm n m n ⋅<>===⨯⋅设二面角1A EF A --的平面角为θ，如此cos θ=，sin 7θ∴==.因此，二面角1A EF A --. 27．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：〔1〕当AB BC =时，EF AC ⊥；〔2〕点1C 在平面AEF 内．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果； 〔2〕只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进展证明即可.【详解】〔1〕因为长方体1111ABCD A BC D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；〔2〕在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内28．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．〔1〕证明：平面PAB ⊥平面PAC ；〔2〕设DO，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】〔1〕证明见解析；〔2【解析】〔1〕根据可得PA PB PC ==，进而有PAC △≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；〔2〕将条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】〔1〕连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ， P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==， ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；〔2〕设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，2AP AC ==在Rt PAO 中，2PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△.29．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =．〔1〕证明：PA ⊥平面PBC ；〔2〕求二面角B PC E --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】〔1〕要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；〔2〕以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如下列图的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||n m m n n m ⋅<>=计算即可得到答案. 【详解】〔1〕由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，如此2DO =，1122CO BO AE ===，所以64PO DO ==，PC PB ====又ABC 为等边三角形，如此2sin 60BA OA =，所以2BA =， 22234PA PB AB +==，如此90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；〔2〕过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如下列图的空间直角坐标系，如此111(,0,0),(,(,244444E P B C ----，1(,4PC =-，1(4PB =-，1(,0,2PE =-， 设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11111100x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =111,0z y =-=， 所以(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得223z y ==，所以3(1,3m =故2cos ,||||3n m mn n m ⋅<>===⋅⨯ 设二面角B PC E --的大小为θ，如此cos θ=30．四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90PDA BAD ∠=∠=︒，12PD DA AB CD ===，S 为PC 中点，BS CD ⊥．〔1〕证明：PD ⊥平面ABCD ；〔2〕平面SAD 交PB 于Q ，求CQ 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】〔1〕取CD 中点为M ，得到BM CD ⊥，由BS CD ⊥，证得CD ⊥平面BSM ，得到CD SM ⊥,再根据CD PD ⊥，结合线面垂直的判定定理，证得PD ⊥平面ABCD ；〔2〕以,,DA DC DP 方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设1AB =，根据2PQ QB =，求得CQ 坐标，再求得平面PCD 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】〔1〕取CD 中点为M ，如此DM AB =且//DM AB ，所以四边形ABMD 为平行四边形，可得//BM AD ，所以BM CD ⊥，又由BS CD ⊥，BM BS B ⋂=，所以CD ⊥平面BSM ，又因为SM ⊂平面BSM ，所以CD SM ⊥,又由//SM PD ，所以CD PD ⊥，AD PD ⊥，CD AD D =，所以PD ⊥平面ABCD ．〔2〕延长CB ，DA 交于N ，连SN 与PB 交点即为Q ，因为B 为CN 中点，S 为PC 中点，故Q 为PNC △的重心，故2PQ QB =，以D 为原点，,,DA DC DP 方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1AB =，如此()1,1,0B ，()0,0.1P ，。
高二数学空间向量的应用试题
高二数学空间向量的应用试题1.如图，底面是直角梯形的四棱锥，，底面，，，求面与面所成的二面角的余弦值．【答案】面与面所成的二面角的余弦值为．【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系，则，，，．设平面与平面的法向量分别为，则由得即又由得即不妨令，，则，，，，，．故面与面所成的二面角的余弦值为．【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积，向量的坐标运算。
点评：典型综合题。
通过建立空间直角坐标系，将求二面角余弦问题，转化成向量的坐标运算。
2.已知是边长为1的正三角形所在平面外一点，且，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，这是一个正四面体，由平面几何知识，||=||=。
如图，因为分别是的中点，所以=,==,=·===－所以C==，故选B。
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的数量积。
点评：典型综合题。
通过综合应用几何图形的特征，将问题转化成向量的数量积运算，达到解题目的。
3.长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，则长方体的高等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，E(2,2,h)，F(2,4,)。
所以=（－2，4，），=(－2,－2,h),而，所以=（－2，4，）·(－2,－2,h)=4－8+=0，解得h=。
故选C。
【考点】本题主要考查空间向量的应用，向量的垂直，向量的数量积。
点评：典型题。
通过综合应用几何图形的特征，将问题转化成向量的坐标运算，达到解题目的。
4.如图，直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图以C为原点建立坐标系．B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（,,），M（，1，0），=（,,），=（，-1，-1），=（0，,），设BD中点为G，连接B1G，则G(，,)，=（-,,），=(-，-，)，∴·=0，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角，利用向量的夹角公式得cosθ=，故选D。
平面向量与空间向量高考题(带详细解析)
平面向量与空间向量一、选择题 1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2）2=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=03.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ）A.（3，－4）B.（－3，4）C.（3，4）D.（－3，－4）4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（ ）A.43B.－43 C.3 D.－35.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（ ）A.－21a +23b B.21a －23b C.23a －21bD.－23a +21b 7.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直图5—1④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④8.（1997全国，5）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（ ）A.－31 B.－3 C.31 D.3二、填空题 9.（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____. 10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.11.（2000上海，1）已知向量OA =（－1，2），OB =（3，m ），若OA ⊥AB ，则m = . 12.（1999上海理，8）若将向量a =（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为_____.13.（1997上海，14）设a =（m +1）i －3j ，b =i +（m －1）j ，（a +b ）⊥（a －b ），则m =_____. 14.（1996上海，15）已知a +b =2i －8j ，a －b =－8i +16j ，那么a ·b =_____.15.（1996上海，15）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是_____. 三、解答题16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在某个空间直角坐标系中，1},0,0,{},0,23,2{AA m AC m AB =-=={0，0，n }.（其中m 、n >0）.如图5—2.（1）证明：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱；（2）若m =2n ，求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.17.（2002上海春，19）如图5—3，三棱柱OAB —O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB =60°，∠AOB =90°，且OB =OO 1=2，OA =3.求：（1）二面角O 1—AB —O 的大小；（2）异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示）18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′=4，OA =4，OB =3，∠AOB =90°，D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点，若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图5—2图5—3 图5—4 图5—519.（2002天津文9，理18）如图5—5，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a .（1）建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知两点M （－1，0），N （1，0），且点P 使,MN MP ⋅,PN PM ⋅NP NM ⋅成公差小于零的等差数列.（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为（x 0，y 0），θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ.21.（2001江西、山西、天津理）如图5—6，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h .（1）求cos<DE BE , >；（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求∠BED .图5—6 图5—7 图5—822.（2001上海春）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D.（1）求证：A 1C ⊥平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小.（用反三角函数值表示）23.（2001上海）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE =BF .如图5—8.（1）求证：A ′F ⊥C ′E .（2）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000上海春，21）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义. 25.（2000上海，18）如图5—9所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB =BC =2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为arccos 1010，求四面体ABCD 的体积.图5—9 图5—10 图5—1126.（2000天津、江西、山西）如图5—10所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .27.（2000全国理，18）如图5—11，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.28.（1999上海，20）如图5—12，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD图5—12是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角.（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小.29.（1995上海，21）如图5—13在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°。
2024年高考数学复习大题全题型专练：空间向量与立体几何(解析版)
专题9立体几何中的探索性问题1．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB ，平面1A BC 平面11ABB A ，求二面角A BD C 的正弦值．【答案】(2)2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则1111111111433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A ，解得h所以点A 到平面1A BC ；(2)取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB ，所以1AE A B ,又平面1A BC 平面11ABB A ，平面1A BC ∩平面111ABB A A B ，且AE 平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB 平面ABC ，由BC 平面1A BC ，BC 平面ABC 可得AE BC ，1BB BC ，又1,AE BB 平面11ABB A 且相交，所以BC 平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB，1A B 2BC ，则 10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点 1,1,1D ，则 1,1,1BD ， 0,2,0,2,0,0BA BC ,设平面ABD 的一个法向量 ,,m x y z ，则020m BD x y z m BA y ，可取 1,0,1m ，设平面BDC 的一个法向量 ,,n a b c ，则020m BD a b c m BC a，可取 0,1,1n r ，则1cos ,2m n m n m n ，所以二面角A BD C2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB ，3DC ，1EF ，60BAD CDE ，二面角F DC B 的平面角为60 ．设M ，N 分别为,AE BC的中点．(1)证明：FN AD ；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ，由平面知识易得FC BC ，再根据二面角的定义可知，60BCF ，由此可知，FN BC ，FN CD ，从而可证得FN 平面ABCD ，即得FN AD ；（2）由（1）可知FN 平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以可以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz ，求出平面ADE 的一个法向量，以及BM ，即可利用线面角的向量公式解出．(1)过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点交于点G 、H ．∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ，60BAD CDE ，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD 和Rt DHA，EG DH ∵,DC CF DC CB ，且CF CB C ，∴DC 平面,BCF BCF 是二面角F DC B 的平面角，则60BCF ，∴BCF △是正三角形，由DC 平面ABCD ，得平面ABCD 平面BCF ，∵N 是BC 的中点， FN BC ，又DC 平面BCF ，FN 平面BCF ，可得FN CD ，而BC CD C ，∴FN 平面ABCD ，而AD 平面ABCD FN AD ．(2)因为FN 平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz ，设(3,(1,0,3)A B D E，则32M，33,,(2,(2BM AD DE设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z 由00n AD n DE，得20230x x z，取n ，设直线BM 与平面ADE 所成角为 ，3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C 中，11222A C AA AB AC BC ，160BAA．(1)证明：平面ABC 平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）设2AB，由余弦定理求出1A B 1A B AB ，1A B BC ，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.(1)设2AB ．在四边形11AA B B 中，∵12AA AB ，160BAA ，连接1A B ，∴由余弦定理得2221112cos6012A B AA AB AA AB，即1A B ∵22211A B AB AA ，∴1A B AB ．又∵22211A B BC A C ，∴1A B BC ，AB BC B ，∴1A B 平面ABC ，∵1A B 平面11AA B B ，∴平面ABC 平面11AA B B ．(2)取AB 中点D ，连接CD ，∵AC BC ，∴CD AB ，由（1）易知CD 平面11AA B B，且CD 如图，以B 为原点，分别以射线BA ，1BA 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz，则(2,0,0)A，1A，C，1(B，1(C，P ．11(2,0,0)A B，1(0,A P ，设平面11PA B 的法向量为(,,)n x y z ，则11100n A B n A P，得200x，令1y ，则取(0,1,1)n，(AC u u u r，||cos ,4||||AC n AC n AC n ，AC 与平面11PA B4．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD 底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD ，N 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面MND 平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD 底面ABCD ，可得PD BC ，而CD BC ，可证得BC 平面PCD ，从而得BC DM ，而DM PC ，所以DM 平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可(1)证明：因为PD 底面ABCD ，BC 底面ABCD ，所以PD BC ，因为CD BC ，CD PD D ∩，所以BC 平面PCD ，因为DM 平面PCD ，所以BC DM ，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD ，所以PD CD ，因为在PDC △中，PD CD ，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ，因为PC BC C ，所以DM 平面PBC ，因为DM 平面DMN ，所以平面MND 平面PBC ，(2)当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD 底面ABCD ，, DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ，因为DA DC ，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M，设(,1,0)(01)N ，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM，设(,,)m x y z 为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y，令1x ，则=(1,0,1)m u r ，设(,,)n a b c 为平面MND 的法向量，则011022n DN a b n DM b c，令1a ，则(1,,)n ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,2m n m n m n ，化简得24410 ，得12 ，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°5．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ，AC MN G ．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND ．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD 平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB 体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P 点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明见解析(3)Q 存在且Q 为线段PA 的中点【解析】【分析】（1）证明出BD 平面PAG ，进而证明面面垂直；（2）找到当PG 平面MNDB 时，四棱锥P MNDB 体积最大，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，求出PG ，BG PB ，从而求出PBG 的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点Q 的位置(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ，∴MN AC ，∵AC PG G ，AC 平面PAG ，PG 平面PAG ，∴MN 平面PAG ，∴BD 平面PAG ，∵BD 平面PBD ，∴平面PBD 平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB ，2MN ，1O G所以等腰梯形MNDB 的面积 242S 要使得四棱锥P MNDB 体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可，∴当PG 平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB 体积的最大值为133V ，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，连接BG ，在直角三角形PBG 中，PG BG ，由勾股定理得：PB .30sin10PG PBG PB．(3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A ， 0,1,0M ， 0,1,0N ， P ，由（2）知，AG PG ，又AG MN ，且MN PG G ，MN 平面PMN ，PG 平面PMN ，AG 平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为�1=1,0,0，设AQ AP （01 ≤≤），∵AP ，AQ ，故1 ，∴ 0,2,0NM，1,1,QM ，平面QMN 的一个法向量为 2222,,n x y z ，则20n NM ，20n QM ，即222220,10,y x y z 令21z ，所以 220,31y x211,0,1,0,313131n，则平面QMN 的一个法向量 ,0,31n ，设二面角Q MN P 的平面角为 ，则11cos 10n n n n ，解得：12 ，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．6．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C 中，AB AC ，4AB AC ，1112A A A B ，侧棱1AA 平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C 平面1AB C ；(2)求二面角C BD A的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)15【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明1AC BB ，再根据勾股定理证明11AB BB ，进而根据线面垂直得到1BB 平面1AB C ，从而根据面面垂直的判定证明即可（2）A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面,ABD CBD 的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可(1)证明：因为1A A 平面ABC ，AC 平面ABC ，所以1AA AC ，又AB AC ，1AA AB A ∩，1AA ，AB Ì平面11ABB A ，所以AC 平面11ABB A ．又1BB 平面11ABB A ，所以1AC BB ．又因为1AB1BB ，所以22211AB AB BB ，所以11AB BB ．又1AB AC A ∩，1AB ，AC 平面1AB C ，所以1BB 平面1AB C ，因为1BB 平面1BB C ，所以平面1BB C 平面1AB C ．(2)以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为4AB AC ，111112A A A B A C ，所以 0,0,0A ， 4,0,0B ， 0,4,0C ， 10,2,2C ， 0,3,1D ．设平面ABD 的一个法向量为 1111,,x n y z ，设平面CBD 的一个法向量为 2222,,n x y z ，且 4,0,0AB ， 0,3,1AD ，4,4,0CB ， 0,1,1CD ，因为110,0,AB n AD n 所以1110,30,x y z 令11y ，则10x ，13z ，所以 10,1,3n ．又因为220,0.CB n CD n所以22220,0,x y y z 令21x ，则21y ，21z ，所以 21,1,1 n ．所以12121230cos ,15n n n n n n ．设二面角C BD A 的大小为，则sin 所以二面角C BD A 的正弦值为19515．7．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC ⊥BCDE ，平面ACD ⊥平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ,因为G 为△ABE 的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN ,因为//CM BE ,故CMF EBF ∽,所以2EF BE CF CM,故EF EG CF GN ，故//GF NC ,而NC 平面ABC ，GF 平面ABC,故//GF 平面ABC ；(2)由题意知，平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE=BC ，DC BC ,DC 平面BCDE ，故DC 平面ABC,AC 平面ABC,则DC AC ,同理BC AC ，又,,BC DC C BC DC ∩平面BCDE,所以AC 平面BCDE ，以C 为原点，以CB,CD,CA 所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t ，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ,设平面GCE 的法向量为111(,,)m x y z ，则00m CG m CE，即11111220360x y tz x y ，取11y ，则112,,2,z x t 即2(2,1,m t，设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z ，则00n AD n DE，即22263030y tz x ，取22z ，则2y t ，则(0,,2)n t ，所以4||||1cos 602||||t m n t m n，解得212,t t ，又(2,4,DG ，故点G 到平面ADE的距离为||||DG n d n 8．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)32；(3)7.【解析】【分析】（1）连接BD AC N ∩，连MN ，证明//PB MN ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）（3）取AB 中点O ，连PO ，证明PO 平面ABCD ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦，二面角的余弦作答.(1)连接BD AC N ∩，连MN ，如图，正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD 的中点，则//PB MN ，而MN 平面ACM ，PB 平面ACM ，所以//PB 平面ACM .(2)取AB 中点O ，连PO ，如图，正PAB △中，PO AB，因侧面PAB 底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB ，PO 侧面PAB ，则PO 平面ABCD ，在平面ABCD 内过O 作Oy AB ，则射线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OB Oy OP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(),(1,2,0)2B A D P M C，3(0,2,0),()2AD AP BM ，设平面PAD 的法向量111(,,)m x y z，则111200m AD y m AP x，令11z，得(m ，设直线BM 与平面PAD 所成角为，则||sin |cos ,|222||||m BM m BM m BM ，所以直线BM 与平面PAD所成角的正弦值是2.(3)由（2）知，(2,2,0)AC u u u r ，设平面CPA 的法向量222(,,)n x y z，则22222200n AC x y n AP x ，令21z，得(n ，于是得cos ,7||||m n m n m n ，显然二面角C PA D 大小为锐角，所以二面角C PA D 的余弦值为277.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ，.SD AB (1)求证：ABD △是等边三角形；(2)22SA SD AD ，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)4214【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，证明出AB 平面SDO ，可得出AB DO ，可得出AD BD ，再利用菱形的性质可证得结论成立；（2）证明出SO DO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得SC 与平面SAD 所成角的正弦值.(1)证明：取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，因为SAB SBA ，O 为AB 的中点，则SO AB ，因为SD AB ，SO SD S ∩，AB 平面SDO ，OD ∵平面SDO ，则 OD AB ，故AD BD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AB AD ，所以，AD AB BD ，因此，ABD △为等边三角形.(2)解：由已知2SA SB ，2AB ，则222SA SB AB ，SA SB ，O ∵为AB 的中点，所以，112SO AB ，因为ABD △是边长为2的等边三角形，则2sin33DO ，因为2SD ，则222SO DO SD ，SO DO ，因为AB 平面SDO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 1,0,0A、 D、C 、 0,0,1S ，设平面SAD 的法向量为 ,,n x y z，AD ， 1,0,1AS ，则00n AD x n AS x z，取xn，1SC，42cos ,14SC n SC n SC n .因此，SC 与平面SAD 所成角的正弦值为4214.10．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B 的大小为120 ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ，再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得平面ADFE 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.(1)证明：四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ．由题意A 、D 、E 、F 四点共面，平面ADFE ∩平面PBC =EF ，∴AD ∥EF ，而AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∵E 是棱PB 的中点，∴F 为PC 中点．(2)如图，以BC 为x 轴，连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =CD ，BC =2AD ，60ABC设AD =a ，则BC =2a ，AB CD a ，所以,(,,0),((,,0),(,0,0)22222a a OG A a B a D a C a ，3(,0),(,0,0)2BD a AD a ，因为△PAD 为等边三角形，所以PG ⊥AD ，由题意知OG AD ,所以∠PGO 为二面角P AD B 的平面角，又二面角P AD B 的大小为120 ，所以120PGO ，因为PG ⊥AD ，GO ⊥AD ，,,PG GO G PG GO ∩平面PGO ，所以AD ⊥平面PGO ，过P 作PH 垂直于y 轴于点H ，因为PH ⊂平面PGO ，所以AD ⊥PH ，又PH ⊥GH ，,GH AD 平面ABCD ，GH AD G ∩，所以PH 垂直于平面ABCD ，且60PGH ,3,,4PG a PH a a GH a ，244OH OG GH a a a ，∴3,4P a，因为E ，F 分别为PB ，PC 的中点，所以33(,),(,),(0,,)282838a a E a a F a a AE a a ，设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z ，则00n AE n AD，所以30880ay az ax，取z =1，n ，设BD 与平面ADFE 所成角为θ，则32sin |cos ,|4a BD n ，即直线BD 与平面ADFE11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD 中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD，DM 퐴 =14퐴.(1)求证：平面ODM 平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)13.【解析】【分析】（1）E 为AB 中点，连接,,OM PE DE ，易得BCDE 为平行四边形，即知△ADE 为等腰三角形，进而有 OD AB ，由等边三角形性质有PE AB ，根据中位线、平行线的推论知OM AB ，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，求出直线AP 方向向量和平面PBC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.(1)若E 为AB 中点，连接,,OM PE DE ，由//CD BE 且2CD BE ，故BCDE 为平行四边形，所以2BC DE ，又2AD 且퐴=14퐴 ，即O 为AE 中点，等腰△ADE 中OD AE ，即 OD AB ，又PAB 为正三角形，故PE AB ，因为,O M 分别为AE ，AP 中点，故//OM PE ，则OM AB ，由OM OD O ∩，,OM OD 面OMD ，故AB 面OMD ，而AB Ì面ABCD ，则平面ODM 平面ABCD ；(2)过O 作Oz 面ABCD ，由（1）可构建以O 为原点，,,OB OD Oz为,,x y z轴的空间直角坐标系，所以(1,0,0),(3,0,0),A B C，而OM OD DM，则3)2M ，所以P，故((1,0,3)AP BP CP ，若(,,)m x y z 是面PBC的一个法向量，则23030m BP x z m CP x z，令1z，则m，所以|cos ,|||||||m AP m AP m AP ，故直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值31313.12．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D 中，2AB ，111A B ，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC 的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA 平面ABCD ，12A A AB ，求二面角1A DE C 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【解析】【分析】（1）连1A B ，利用给定条件证明四边形11A D EB 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)在四棱台1111ABCD A B C D 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112AB A B ，点E 为棱BC 的中点，连1A B ，如图，则有1112A D AD BE ，11////A D AD BE ，即四边形11A D EB 为平行四边形，则11//D E A B ，又1D E 平面11ABB A ，1A B 平面11ABB A ，所以1//D E 平面11ABB A ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 10,0,2A ， 0,2,0D ， 2,1,0E ， 10,2,2DA ， 2,1,0ED ，设平面1A DE 的一个法向量为 ,,n x y z ，则122020DA n y z ED n x y，令1x ，得 1,2,2n ，平面DEC 的一个法向量为 0,0,1m ，则22cos ,133||||m n m n m n ，显然二面角1A DE C 的平面角为钝角，所以二面角1A DE C 的余弦值为23.13．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥A BCDE 中，AC 平面BCDE ，AD DE ，BCE 为等边三角形，60ECD．(1)求证：DE 平面ACD ，且//BE 平面ACD ．(2)已知3AC ，2BC ，求平面ADE 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1020【解析】【分析】（1）由线面垂直性质可得AC DE ，结合AD DE 可证得DE 平面ACD ；根据//BE CD ，由线面平行的判定可证得结论；（2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.(1)AC ∵平面BCDE ，DE 平面BCDE ，AC DE ，又AD DE ，AC AD A ∩，,AC AD 平面ACD ，DE 平面ACD ；BCE QV 为等边三角形，60BEC ，又60ECD ，//BE CD ，CD ∵平面ACD ，BE 平面ACD ，//BE 平面ACD .(2)DE ∵平面ACD ，CD 平面ACD ，DE CD ；以D 为坐标原点，,DC DE 为,x y 轴正方向，作z 轴//AC ，可建立如图所示空间直角坐标系，则 0,0,0D ， 1,0,3A， B， E ，1,0,3DA， DE，3AB ， 2,0,0BE ，设平面ADE 的法向量 111,,n x y z ，则111300DA n x z DE n，令11z ，则13x ，10y ， 3,0,1n ；设平面ABE 的法向量 222,,m x y z ，则22223020AB m x z BE m x，令21z ，则20x，2ym；cos ,20m n m n m n ， 平面ADE 与平面ABE 1020.14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台111ABC A B C 中，90ABC，111A A A B A C 2AB BC．(1)证明：111A C A B ；(2)求直线11A C 与平面1A CB 所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)π6【解析】【分析】（1）由题，取AC 中点D ，连接1A D BD 、，11AC A C ∥，先由线线垂直证AC 面1A BD ，即可由线面垂直证1AC A B ，即可证111A C A B ；（2）分别以1DB DC DA 、、为x y 、、z 轴建立如图空间直角坐标系，即可由向量法求所求线面角.(1)由题，取AC 中点D ，连接1A D BD 、，由11A A A C ，AB BC ，则1AC A D AC BD 、，又1A D BD 、面1A BD ，故AC 面1A BD ，因为1A B 面1A BD ，故1AC A B ，又11AC A C ∥，则111A C A B ，得证；(2)由题，90ABC ，则AD BD CD ，又11A A A B ，11A D A D ，故11AA D BA D ，故1190A DB A DA .分别以1DB DC DA 、、为x y 、、z 轴建立如图空间直角坐标系，易得2,0,0B ， 0,2,0C ， 10,0,1,0,2,0A A ， 10,2,1A C ， 12,0,1A B ，0,22,0AC ，设平面1A CB 法向量 ,,n x y z ，则112020n A B x z n A C y z ，令1x ，则1,1,2n ，故221cos ,2222n AC ，故直线AC 与平面1A CB 所成的角为π6.即直线11A C 与平面1A CB 所成的角为π6.15．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥,2,7P ABCD AB PA(1)求证：PA BD(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD 旋转至1,P AD PCD 旋转至2P CD 如图所示，其中二面角1P AD B与二面角2P CD B 相同，当12DP DP 时，求平面1P AD 与2P CD 所成的锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）连接,BD AC ，交于点O ，连接PO ，PO 面ABCD ，得PO BD ，从而证得BD 平面PAC ，得线线垂直；（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设是二面角1P AD B 大小为 ，表示出12,P P 的坐标，由向量垂直求出 ，得12,P P 的坐标，再求出平面1P AD 与平面2P CD 的一个法向量，则法向量夹角得二面角．(1)证明：连接,BD AC ，交于点O ，连接PO ，PO 面ABCD ，BD 平面ABCD ，PO BD ，又BD AC ∵，PO AC O ∩，,PO AC 平面PAC ，所以BD 平面PAC ，又PA ∵平面PAC ，BD PA ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设点E 为DA中点，则1PE ，设F 是BC 中点，则EF AD ，又1P E AD ，所以1PEF 是二面角1P AD B 的平面角，即1P EF ，1)P ，同理2)P 21248sin 0DP DP u u u r u u u r 解得：3cos 2，1sin 2 ，12(1,(P P��1=(1,−6,23),�퐴=(2,0,0)设1(,,)n x y z 为平面1P AD 的法向量，则10n DA ，20x ，0x ，�1⋅��1=0，60x y ，取1y，则z ∴�1=(0,1,3)��2=(−6,1,23)，(0,2,0)DC ，设�2=(�,�,�)为平面2P CD 的法向量，则20n DC ，20s ，0s ，�2⋅��2=0，60m ，取1m，则t ∴�2=(1,0,3)，푐��<�1,�2>==34，平面1P AD 与平面2PCD 所成的锐二面角的余弦值为34．16．（2022·福建·三明一中模拟预测）如图，四边形ABCD 为菱形，2,60AB ABC ，将ACD △沿AC 折起，得到三棱锥D ABC ，点M ，N分别为ABD △和ABC 的重心．(1)证明：CD ∥平面BMN ；(2)当三棱锥D ABC 的体积最大时，求二面角N BM D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）延长BM 交AD 于点P ，延长BN 交AC 于O 点，连接PO ,证明PO CD ∥即可.（2）证明,,OC OD OB 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OB OC OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.(1)延长BM 交AD 于点P ，延长BN 交AC 于O 点，连接PO ．因为点M ，N 分别为ABD △和ABC 的重心，所以点P，O 分别为AD 和AC 的中点，所以PO CD ∥，又CD 平面BMN ，PO 平面BMN ，所以//CD 平面BMN ．(2)当三棱锥D ABC 的体积最大时，点D 到底面ABC 的距离最大，即平面DAC 平面ABC ，连接DO ，因为ADC 和ABC 均为正三角形，于是,DO AC BO AC ，又平面DAC 平面ABC AC ，所以DO 平面ABC ，所以,,OC OD OB 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OB OC OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则1(0,0,0),(0,1,0),0,2O A B D P，所以11,(0,22BP BD OB OP，又二面角N BM D 即二面角O BP D ，设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z ，则0,0n BP n BD可得1020y，取1z，则(1,n ，同理设平面OBP 的一个法向量为(,,)m a b c ，则00m OB m OP ,即013022b，取b，则m ，所以cos ,5||||m n m n m n ，由图可知二面角N BM D 为钝角，所以二面角N BM D的余弦值为17．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24AB CD，AD BC ，PAB △是斜边为AP的等腰直角三角形．(1)若PC PBC 平面ABCD ；(2)若PC PD 与平面ABCD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明PB BC ，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）作出二面角C AB P 的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)因PC，BC 4PB ，则有222PB BC PC ，即有PB BC ，又PB AB ，且AB BC B ，,AB BC 平面ABCD ，于是得PB 平面ABCD ，而PB 平面PBC ，所以平面PBC 平面ABCD .(2)在平面ABCD 内，过B 作直线垂直于AB ，交直线CD 于E ，有1CE ，1BE，如图，则EBP 为二面角C AB P 的平面角，AB 平面EBP ，AB PE ，于是得CE PE ，Rt PEC中，1PC CE，则PE PBE △中，PE 1BE ，4PB ，由余弦定理得2221cos 22PB BE PE PBE PB BE ，则有2π3PBE ，显然平面ABP 平面EBP ，在平面EBP 内过B 作Bz BP ，则Bz 平面ABP ，以B 为原点，分别以射线,BA BP Bz ,为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则11(4,0,0),(1,),(3,(0,),(0,4,0)222,0,0),2A C D P B ，(4,0,0)BA ，1(1,,)22BC ，设平面ABCD 的法向量(,,)n x y z，则10240n BC x y n BA x ，令1z，得n 而93(3,,)22PD ，设PD 与平面ABCD 所成的角为，||sin |cos ,||5|||n PD n PD n PD 所以PD 与平面ABCD 所成的角的正弦值为105.18．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点且满足//DE BC ，记DE BC.将△ADE 沿DE 翻折到△MDE 的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC 的中点．(1)当EN ∥平面MBD 时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B -MD -E 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B MD E 的正弦值大小．【答案】(1)12(2)【解析】【分析】（1）首先取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，再结合线面平行的性质即可得到12（2）利用空间向量法求解即可.(1)取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，因为MN CN ，MP BP ，所以NP ∥BC ，又DE ∥BC ，所以NP ∥DE ，即N ，E ，D ，P 四点共面，又EN ∥平面BMD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD ＝DP ，所以EN ∥PD ，即NEDP 为平行四边形，所以NP ＝DE ，则DE ＝12BC ，即λ＝12.(2)取DE 的中点O ，连接MO ，则MO ⊥DE ，因为平面MDE ⊥平面DECB ，平面MDE ∩平面DECB ＝DE ，且MO ⊥DE ，所以MO ⊥平面DECB ，如图建立空间直角坐标系，不妨设2BC，则 M ， ,0,0D， 1,0B ，所以 ,0,MD，11,0DB ，设平面BMD 的法向量为 ,,m x y z，则0(1))0MD m x z DB m x y，即,x x ，令x1,1m .又平面EMD 的法向量 0,1,0n ，所以cos ,m n m n m n即随着 值的变化，二面角B MD E 的大小不变．且sin ,5m n .所以二面角B MD E.19．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD 中，1AB BC ，2DC ，PD PC ，90DPC ，90DCB CBA ，平面PDC 平面ABCD .(1)证明：PD 平面PBC ；(2)求二面角A PC B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)63.【解析】【分析】（1）由面面、线面垂直的性质可得BC PD ⊥，且BC CD ，根据线面垂直的判定即可证结论；（2）构建空间直角坐标系，求面APC 、面BPC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.(1)由题设，BC CD ，又面PDC 面ABCD ，面PDC ∩面ABCD CD ，BC 面ABCD ，所以BC 面PDC ，而PD 面PDC ，则BC PD ⊥，由90DPC 得：PC PD ，又BC PC C ，则PD 平面PBC .(2)若O 是CD 的中点，连接,OP OA ，由PD PC ，1AB BC ，2DC ，90DCB CBA ，所以,OP CD OA CD ，面PDC 面ABCD ，面PDC ∩面ABCD CD ，OA 面ABCD ，所以OA 面PDC ，OP 面PDC ，则OA OP .综上，可构建如下空间直角坐标系，90DPC ，所以(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C P ，则(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)AP CP BP ，若(,,)m x y z 是面APC 的法向量，则00AP m x z CP m y z ，令1z ，则(1,1,1)m ，若(,,)n a b c 是面BPC 的法向量，则00BP m a b c CP m b c，令1c ，则(0,1,1)n ，所以|cos ,|||||||m n m n m n A PC B.20．（2022·上海市光明中学模拟预测）如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为15 ，D 为PA 中点，3AOC．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线CD 与AB 所成角．【答案】(1)12 (2)2【解析】【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；（2）解法一：取OA 边上中点E ，由线面垂直的判定可证得AB 平面CDE ，由线面垂直性质得AB CD ，由此可得结果；解法二：取圆弧AB 中点E ，连结OE ，以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得0AB CD ，知AB CD ，由此可得结果.(1)设圆锥母线长为l ，315S rl l ∵侧，5l ，即5PA PB ，圆锥的高4h OP ，2 1119412333V S h OA OP 底.(2)解法一：取OA 边上中点E ，连结DE ，CE ，AC ，DE ∵是AOP 的中位线，//DE OP ；OP ∵垂直于底面，DE 垂直于底面，DE AB ∴；CA CO ∵，E 为OA 中点，CE OA ，即AB CE ^；CE DE E ∵，,CE DE 平面CDE ，AB 平面CDE ，又CD 平面CDE ，AB CD ，即异面直线AB 与CD 所成角为2.解法二：取圆弧AB 中点E ，连结OE ，则OE AB ；以O 为坐标原点，,,OE OB OP 的正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 0,3,0A ， 0,3,0B，3,02C ，30,,22D ， 0,6,0AB，2CD，0AB CD ，即AB CD ， 异面直线AB 与CD 所成角为2.。
2024届新高考数学复习：专项(空间向量及其运算)历年好题练习(附答案)
→
又AB ＝(6，－2，－3)，AC ＝(x－4，3，－6)
6（x－4）－6＋18＝0，
得 x＝2.
∴
2
（x－4） ＝4，
1
12.2 (b＋c－a)
→
→
→
答案解析：MN ＝ON －OM
1 →
1 →
→
＝2 (OB ＋OC )－2 OA
1
＝2 (b＋c－a)
13．D
1
1 →
→
→
14．B ∵OE ＝2 C ⃗＝2 (AB ＋AD ＋A ⃗)，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得 C、D 不正确．
8．C a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得 y＝12.
9．C 依题意，
1 → →
1 →
→ 1 →
→ →
点 E，F 为 BC，AD 的中点，如图所示，AE ꞏAF ＝2 (AB ＋AC )ꞏ2 AD ＝4 (AB ꞏAD
→
→
＝2 (－PB ＋BD )
1
→
→
→
→
→
＝2 (－PB ＋PA －PB ＋PC －PB )
1 →
1 →
3 →
＝－2 PB ＋2 PA ＋2 PC
3
1
1
＝2 a－2 b＋2 c
7．B ∵|a|＝ 12＋02＋（－1）2 ＝ 2 ，设 b＝(－1，1，0)，|b|＝ 2 ，aꞏb＝－1<0，
aꞏc
1
故 A 不正确；对于 B，设 c＝(1，－1，0)，aꞏc＝1，|c|＝ 2 .∴cos 〈a，c〉＝|a||c| ＝2 ，
D． 4 a2
A．a2
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解一、选择题1．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形[答案] D[解析] ∵AB →·BC →>0，∴∠ABC >π2，同理∠BCD >π2，∠CDA >π2，∠DAB >π2，由内角和定理知，四边形ABCD 一定不是平面四边形，故选D.2．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB →的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．任意实数 [答案] C[解析] AP →可为下列7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1，最后AC 1→·AB →＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13＝1，故选C.3．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则MN →等于( )A ．－12a ＋12b ＋13cB.12a ＋12b －13cC.12a －12b －13c D ．－12a －12b ＋23c[答案] C[解析] MN →＝MB →＋BN →＝12D 1B 1→＋13BB 1→＝12(A 1B 1→－A 1D 1→)－13A 1A →＝12a －12b －13c . 4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AC →与AB →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[答案] C[解析] AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)．设〈AB →，AC →〉＝θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝332·2＝12，∴θ＝60°. 5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.647D.657[答案] D[解析] ∵a ，b ，c 三向量共面， ∴存在实数m ，n 使c ＝m a ＋n b ， 即(7,5，λ)＝(2m －n ，－m ＋4n,3m －2n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7－m ＋4n ＝5λ＝3m －2n，∴λ＝657.6．(2010·山东青岛)在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( )A ．0 B.32C ．1D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD等于( )A ．5 B.41 C ．4D ．2 5[答案] A[解析] 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5. 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，AM →＝12MC →，点N 为B 1B 的中点，则线段MN 的长度为( )A.216B.66C.156D.153[答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC →＝AB →＋BN →－13()AB →＋AD →＋AA 1→ ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴MN ＝|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216. 9．设空间四点O 、A 、B 、P 满足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t <1，则有( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段BA 的延长线上 D ．点P 不一定在直线AB 上 [答案] A[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →，∴AP →＝tAB →，∵0<t <1，∴点P 在线段AB 上．10．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( )A.32B.1010C.35D.25[答案] D[解析] AM →＝AA 1→＋A 1M →＝AA 1→＋12AB →，CN →＝CB →＋BN →＝－AD →＋12AA 1→，AM →·CN →＝－AA 1→·AD →－12AB →·AD →＋12|AA 1→|2＋14AA 1→·AB →＝12，|AM →|2＝|AA 1→|2＋14|AB →|2＋AA 1→·AB →＝54，|CN →|2＝|AD →|2＋14|AA 1|2－12AD →·AA 1→＝54，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝25，故选D.二、填空题11．已知a ＝(1,2x －1，－x )，b ＝(x ＋2,3，－3)，若a ∥b ，则x ＝________. [答案] 1[解析] ∵a ∥b ，∴1x ＋2＝2x －13＝－x －3，由1x ＋2＝2x －13得，2x 2＋3x －5＝0，∴x ＝1或－52， 由2x －13＝－x－3得x ＝1，∴x ＝1. 12．设向量a ＝(－1,3,2)，b ＝(4，－6,2)，c ＝(－3,12，t )，若c ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. [答案]112[解析] m a ＋n b ＝(－m ＋4n,3m －6n,2m ＋2n )， ∴(－m ＋4n,3m －6n,2m ＋2n )＝(－3,12，t )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝－33m －6n ＝122m ＋2n ＝t，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝12，t ＝11.∴m ＋n ＝112.13．若|a |＝17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________. [答案] (－185，2，15)或(185，－2，－15)[解析] 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z . 代入③得425z 2＝17，∴z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角为________．[答案] π2[解析] 由条件知AC 、BC 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(1,0，6)，M (0,0，62)，A 1(0，3，6)，∴AB 1→＝(1，－3，6)，A 1M →＝(0，－3，－62)，cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝AB 1→·A 1M →|AB 1→|·|A 1M →|＝0，∴〈AB 1→，A 1M →〉＝π2，即直线AB 1与A 1M 所成角为π2.三、解答题15．已知向量b 与向量a ＝(2，－1,2)共线，且满足a ·b ＝18，(k a ＋b )⊥(k a －b )，求向量b 及k 的值．[解析] ∵b ≠0，a ，b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，∵a ＝(2，－1,2)，∴|a |＝3， ∴a ·b ＝λa 2＝λ|a |2＝9λ＝18， ∴λ＝2.∴b ＝(4，－2,4)．∵(k a ＋b )⊥(k a －b )，∴(k a ＋b )·(k a －b )＝0. ∴(k a ＋2a )·(k a －2a )＝0. ∴(k 2－4)|a |2＝0.∴k ＝±2.16．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的大小(用反三角函数值表示)； (2)求点B 1到平面AEF 的距离．[解析] 以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，B 1(2,0,2)，E (0,2,1)，F (1,1,0)，(1)A 1B →＝(2,0，－2)，EF →＝(1，－1，－1)， cos θ＝A 1B →·EF →|A 1B →|·|EF →|＝422×3＝63，∴θ＝arccos63. (2)设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， ∵AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·AF →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)，∵AB 1→＝(2,0,2)，∴d ＝|AB 1→·n ||n |＝66＝ 6.∴点B 1到平面AEF 的距离为 6.17．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE .[解析] 由题设知，F A 、AB 、AD 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)， 于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →， 又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a ) 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形， 故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ， 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影，∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .。
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1(2010辽宁理19））已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ； 审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） 111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--u u u u r u u u r ,因为110022CM SN •=-++=u u u u r u u u r ， 所以CM ⊥SN .【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA =1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭已知(1,2,1)AF =u u u r ,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 于是AF u u u r ·1EA u u u r =0，AF u u u r ·ED u u u r =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例 3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A 为原点，向量DA u u u v ,AB u u u v ,AM u u u u v分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG u u u v=(-1,0,12),GF u u uv =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG •u u u v m =12x z -+=0且GF •u u u v m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）,易证面PDC 的法向量为DA u u u v=(2,0,0), ∵DA •u u u v m =200100⨯+⨯+⨯=0,∴m ⊥DA u u u v, ∴平面EFG ⊥平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直. 考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2010 湖南理18）在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。
在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ?证明你的结论。
审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE u u u v =(－2,2,1),1BA u u u v=（－2，0，2）， 设面1BEA 的法向量为m =（x ，y ，z ），则BE •u u u v m =22x y z -++=0且1BA •u u u vm =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32，∴m =（1，32，－1）, 假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ，设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BF u u u v =（02x -，2，2）， 则BF •u u u v m =031(2)2(1)22x ⨯-+⨯+-⨯=0，解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD ∥面1AC D .审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，则A （a ,0,0），1C (0，2b ，c )，1B (0,0, c )，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，0)（0≤0y ≤2b ），∴AD u u u v =(－a ，0y ，0)，1AC u u u u v =(－a ，2b ，c )，1BA u u u v=(a ，0，c )，1BD u u u u v=（0，b ，c ），设面1AC D 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则AD •u u u vm =101ax y y -+=0且1AC •u u u u v m =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，则1x =0y ，1z =02ay abc-， 则m =（0y ，a ，02ay abc-）， 又∵1A B ∥面1AC D ，∴1BA •u u u v m =002ay ab ay c c -+⨯=0，解得0y =b ， ∴m =（b ，a ，abc-）， 设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),则1BA •u u u v n =22ax cz +=0且1BD •u u u u vn =22by cz +=0，取2z =1，则2x =c a -，2y =c b -，则n =(c a -，cb-，1)， ∴n =cab-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度. 例6(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。
审题要津：本题坐标系易建立，可以向量法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)证明：易得10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ,1(0,2,4)A D =-u u u u r,于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D==-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r , 所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为35(2)解：设平面EFD 的法向量n =(,,)x y z ，则EF •u u u v n =12y z +=0且ED •u u u v n =12x y -+=0，不妨令x =1,可得n =(1,2,－1),设平面1A ED 的法向量m =（m ，n ，p ）则ED •u u u vm =12m n -+=0且1DA •u u u u v m =24n p -+=0，取p =1,则n =2，m =1，则m =（1,2,1） 于是2cos ,==|3•n m n m n ||m |，从而sin ,nm =3，所以二面角1A -ED-F【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m 、n ，在求出m 、n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cos θ=|cos |m,n 求出异面直线的夹角，注意：（1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l αβ--的大小问题，先求出平面α、β的法向量m 、n ，再求出m 、n 的夹角，在α内取一点A ，在β内取一点B ，设二面角l αβ--大小为θ，若AB •u u u v n 与AB •u u u v m 同号，则θ=m,n ，若AB •u u u v n 与AB•u u u v m 异号，则θ=π-m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.例7（ 2010全国卷I 理7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 3 C 23D 6审题要津：本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，1BB 与面1ACD 的夹角为θ，则D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),1D (0,0,1),1B (1,1,1), ∴AC u u u v =（－1，1,0），1AD u u u u v =(－1,0,1),1BB u u u v=(0,0,1),设面1ACD 的法向量n =（x ，y ，z ），则0=AC •u u u vn =x y -+且0=1AD •u u u u v n =x z -+，取x =1，则y =1，z =1， ∴n =（1,1,1），∴sin θ=11||||BB BB ••u u u u vu u u u v n |n |=3，∴cos θ=6，故选D.【点评】对于线面夹角问题，若容易建立坐标系，则常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量m 和平面法向量n ，设线面角为θ，则直线方向向量m 在平面法向量n 方向上的投影的长度|•|m n |n |与直线方向向量m 的模之|m |比||•|m n |m |n |就是线面夹角的正弦值，即sin θ=||•|m n |m |n |.历届高考中的空间向量与立体几何试题选讲1.(2008海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。