空间向量及其运算测试(人教A版)(含答案)
2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。
错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。
如图，在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。
空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示3.若向量，，则向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示4.已知向量，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。
高中数学人教A版(2019)选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习
高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）A ．(−1,−2,4)B ．(−2,0,1)C ．(2,0,−2)D ．(2,0,−1)2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-23．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.A ．(5,−1,4)B ．(5,1,−4)C ．(−5,1,4)D ．(−5,−1,4)4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22,0)B ．(0, 1， 0)C ．(√22,√22,0)D ．(1, 1， 1)5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)D ．(−4,−12,25)6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35D ．97．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13B ．12C ．−13D ．−128．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13B ．-3C ．13D ．6二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）以下命题正确的是（ ）A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，B ，则 b//α 的充要条件是 p →⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0B ．已知 A ， B ，C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C ．已知 a →=(−1,1,2) ， b →=(0,2,3) ，若 ka →+b →与 2a →−b →垂直，则 k =−34D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √1310．（3分）下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量 a ⃗ ， b →，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→或 b →=0→或 〈a →,b →〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线C ．空间中任意向量 a →,b →,c →都满足 (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1 的坐标为 (5,4,3)B ．点C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)C ．点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)12．（3分）已知向量 a⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)B ．(0,1,0)C ．(√22,√22,0) D ．(−1,−1,0)三、填空题(共4题；共5分)13．（1分）已知向量 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b⃗ ，则λ+μ＝ ．16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．四、解答题(共4题；共45分)17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出向量 OE⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE⃗⃗⃗⃗⃗ | ．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算2空间向量的数乘运算3作业含解析新人教A版选修2_
空间向量的数乘运算时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 解析：∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面． 答案：A2．已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( )A.EF →＝MN →B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →|解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|.答案：B3．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →＝( ) A.b －c2 B.c －b2 C.b －c 3D.c －b3解析：设D 是BC 边中点，∵M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．答案：D4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：a 与e 1共线，则设a ＝ke 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误，故选C.答案：C5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＋y ＋z ＝1，则原式可变形为 OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →， OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴P 、A 、B 、C 四点共面．反之，若P 、A 、B 、C 四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP →＝OM →＋sMA →＋tMB →(其中s 、t 是唯一的一对有序实数)．∵MA →＝OA →－OM →，MB →＝OB →－OM →，则OP →＝(1－s－t )OM →＋sOA →＋tOB →.令x ＝1－s －t ，y ＝s ，z ＝t ，则有x ＋y ＋z ＝1.答案：C6．下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：C 选项中MA →＝－MB →－MC →， ∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)图17．如图1，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 边上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：MN →＝MO →＋ON →＝23AO →＋12(OB →＋OC →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：－23a ＋12b ＋12c8．已知两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，则点A 、B 、C 、D 四点________(共面、不共面)．解析：显然AB →、AD →不共线，否则，存在λ∈R ，使AB →＝λAD →(λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(3e 1－3e 2)＝3λe 1－3λe 2.∵e 1，e 2是不共线的非零向量，∴3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故AB →、AD →不共线． 设AC →＝xAB →＋yAD →⇔2e 1＋8e 2＝x (e 1＋e 2)＋y (3e 1－3e 2)⇔2e 1＋8e 2＝(x ＋3y )e 1＋(x －3y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝2，x －3y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，∴AC →＝5AB →＋(－1)·AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． 答案：共面9．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.解析：OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，则有－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－1三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，试证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，① EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →. ∴EF →＝12(AB →＋DC →)．11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点． 求证：B 1C ∥平面ODC 1.图3证明：设C 1B 1→＝a ，C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ， ∵四边形B 1BCC 1为平行四边形， ∴B 1C →＝c －a . 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )，OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )，∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→(x 、y ∈R)成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a＋b )]＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋xc .∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝1，12x －y ＝0，x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC 1→，∴B 1C →、OD →、OC 1→是共面向量． 又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.B 创新探索图412．(15分)如图4，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明：(1)∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E 、F 、G 、H 四点共面． (2)EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m(OF →－OE →) ＝k(OD →－OA →)＋km(OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k(AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k(OA →＋AC →)＝kOC →.。
1.1.1空间向量及其线性运算(分层作业)(解析版)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）【夯实基础】题型题型3.如图，在三棱锥O ABC-中，设,,==，则MN=AN NB BM MC===，若,2OA a OB b OC c（）A ．112263a b c+-C ．111263a b c--【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解【详解】解：MN BN BM =-112263OA OB OC =+-112263a b c =+-，故选：AA ．CAB ．AC 【答案】C【详解】如图所示，连接)()12BD BA BD BC BM +-+=故选：C.题型A ．2bEF =C ．2c a EH -=【答案】D【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.【详解】因为E ，F 分别是因为F ，G 分别是AB ，BC 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以因为2b FH FE EH =+=-+故选：D题型4空间向量共线的判定向量(),0,1a x =，()4,,2b y =A ．0B ．1【答案】C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出【详解】由题意得：a b λ=即40x y λλ=⎧⎪=⎨，解得：20x y ⎧⎪=⎪=⎨故选：C题型【答案】131222a b c-+【解析】根据底面ABCD 是正方形，)1(2BE BP BD =+，而BD BA =【详解】解：1(2BE BP BD =++12(2)a c b +-=131222a b c -+【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型题型7判定空间向量共面9.下列命题中正确的是（）A ．空间任意两个向量共面B ．向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面题型即4422λμλμ⎧⎪+=⎨⎪+=,解得1,0,2x λμ===题型A．1144a b c-+B．1122a b-+【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可【详解】BE BD DE DB=+=-+故选：AA ．111222a b c--C ．111332a b c--+【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可【详解】13EF DF DE =-=故选：B.【能力提升】一、单选题1．下列命题中是假命题的是（A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a =，则0a =D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断【详解】对于A ，零向量0的相反向量是它本身，对于B ，空间向量是有向线段，不能比较大小，对于C ，如果0a =，则a =对于D ，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故选：A.2．已知向量()1,,2a m =-，向量()3,1,b n =，满足//a b r r，则m n +=（）4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC 的重心，则GF =（）A．2-B．0【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出可得出答案.【详解】E为OC的中点，9．(多选)下列说法中正确的是（）对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选：AB.11．下列说法正确的是（）A ．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；B ．已知空间任意两向量a ，b ，则向量a ，b 共面；C ．已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++；D ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=.【答案】BD【分析】由共线向量的定义可知，向量a ，b 所在的直线可以重合，可判断A ；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B ；若空间中的三个向量a ，b ，c 共面，并不存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++，所以C 并不成立；根据向量运算法则可判断D.【详解】对于A ，若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A 错误；对于B ，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B 正确；对于C ，只有当空间的三个向量a ，b ，c 不共面时，对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C 错误；对于D ，根据向量的加法法则即可判断D 正确.三、填空题四、解答题14.已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间9个点(如图)，并且,OE kOA OF kOB ==，OH kOD =，AC AD m AB =+．EG EH mEF =+，求证：(1),,,A B C D 四点共面；(2)//AC EG ；(3)OG kOC =．(1)1AE xAD y AB z AA =++；(2)1AF xAD y AB z AA =++(3)1EF xAD y AB z AA =++【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得由此即可求出结果；所以11,0,22x y z ===-.。
1.1空间向量及其运算-高二数学上学期习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCDA′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。
人教版数学高二A版选修2-1学业测评 2 空间向量及其加减运算 空间向量
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA→＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA→＋PC →＝2PO →， ∴PA→＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA→－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB→－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得： 2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
人教A版高二数学选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算同步精练(含答案)
人教A 版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(原卷版)【题组一空间向量的坐标运算】1．（2020·全国高二）已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--2．（2019·浙江高二学业考试）设点(5,1,2),(4,2,1),(0,0,0)M A O --．若OM AB =，则点B 的坐标为（）A ．(1,3,3)--B ．(1,3,3)-C ．(9,1,1)D ．(9,1,1)---3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,2,2c =，则()a b c ⋅+的值为（）A ．()4,6,5-B ．5C ．7D ．364．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（）A ．()1,0,0m =，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m =，()1,0,1n =C ．()0,2,1m =，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =-，()0,3,1n =5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有()A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b r r ，则111222x y z x y z ==C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量6（2020·江苏连云港高二期末）已知点P 是△ABC 所在的平面外一点，若AB ＝(﹣2，1，4)，AP ＝(1，﹣2，1)，AC ＝(4，2，0)，则（）A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥BPC ．BCD ．AP //BC7（2020·全国高二课时练习）已知向量(2,1,2),(1,1,4)a b =--=-.（1）计算23a b -和23a b -.（2）求,a b .8．（2020·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,a AB b AC ==.（1）,a b 的夹角θ的余弦值；（2）若向量,2ka b ka b +-互相垂直，求实数k 的值；（3）若向量,a b a b λλ--共线，求实数λ的值.【题组二坐标运算在几何中的运用】1．（2020·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点.（1）求证：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.2．（2019·全国高二）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点．（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE的长．∠=____，3．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos EAFEF=____.4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}1AB AD AA为基底，则向量AE的坐标为___，向量AF的坐标为___，向量,,AC的坐标为___.1【题组三最值问题】1．（2019·全国高一课时练习）在xoy 平面内的直线1x y +=上求一点M ，使点M 到点()6,5,1N 的距离最小，并求出此最小值．2．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为______________.人教A 版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(解析版)【题组一空间向量的坐标运算】1．（2020·全国高二）已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--【答案】D【解析】设点(),,A x y z ，则向量()()2,3y,1z 3,5,2AB x =----=-，所以233512x y z -=-⎧⎪--=⎨⎪-=⎩⇒581x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以点()5,8,1A --.故选：D 2．（2019·浙江高二学业考试）设点(5,1,2),(4,2,1),(0,0,0)M A O --．若OM AB =，则点B 的坐标为（）A ．(1,3,3)--B ．(1,3,3)-C ．(9,1,1)D ．(9,1,1)---【答案】C【解析】设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(5,1,2),(4,2,1)OM AB x y z =-=--+，∵OM AB =，∴452112x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，解得911x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：C ．3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,2,2c =，则()a b c ⋅+的值为（）A ．()4,6,5-B ．5C ．7D ．36【答案】B【解析】()()()2,0,30,2,22,2,5b c +=+=，()2223(1)55a b c ⋅+=⨯+⨯+-⨯=.故选：B4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（）A ．()1,0,0m =，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m =，()1,0,1n =C ．()0,2,1m =，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =-，()0,3,1n =【答案】D【解析】A 中20m n =-≠，所以排除A ；B 中1560mn =+=≠，所以排除B ；C 中1mn =-，所以排除C ；D 中0mn =，所以m n ⊥，能使//l α.故选D5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有()A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b r r ，则111222x y z x y z ==C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b r r ，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则a ==，此时，a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.6（2020·江苏连云港高二期末）已知点P 是△ABC 所在的平面外一点，若AB ＝(﹣2，1，4)，AP ＝(1，﹣2，1)，AC ＝(4，2，0)，则（）A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥BPC ．BCD ．AP //BC 【答案】AC【解析】因为0AP AB ⋅=，故A 正确；(3,3,3)BP =--，36360AP BP ⋅=+-=≠，故B 不正确；(6,1,4)BC =-，BC ==，故C 正确；(1,2,1)AP =-，(6,1,4)BC =-，各个对应分量的比例不同，故D 不正确。
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空间向量及其运算测试（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)
1.在四面体中，，，．若为△的重心，则可以表示为（用表示）( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数乘运算
2.若，，且∥，则为( )
A.0
B.1
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量语言表述线线的垂直、平行关系
3.已知向量同时垂直于不共线向量和，若向量，则( )
A.∥
B.
C.与既不平行也不垂直
D.以上三种情况均有可能
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量语言表述线线的垂直、平行关系
4.若直线的方向向量分别为，，则( )
A.∥
B.
C.与相交但不垂直
D.以上均不正确
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量语言表述线线的垂直、平行关系
5.若，，则下列选项中不是平面的法向量的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面的法向量
6.平面中，已知，，．若向量
，且为平面的法向量，则=( )
A.2
B.0
C.1
D.-1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面的法向量
7.已知，，若，
，且平面，则实数等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平面的法向量
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC．
（1）若为中点，则与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线间的夹角
9.（上接第8题）（2）若M，N分别为PB，PD的中点，则AM与CN所成的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线间的夹角
10.如图，已知△ABS是等边三角形，四边形ABCD是正方形，平面ABS⊥平面ABCD．若为
的中点，则直线SC与BE所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线间的夹角。