2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合P ={x ∈R|x >0}，Q ={x ∈Z|(x +1)(x −4)<0}，则P ∩Q =( )A. (0,4)B. (4,+∞)C. {1,2，3}D. {1,2，3，4} 2. 已知等差数列{a n }，a 4=9，a 8=−a 9，则a 1=( )A. 21B. 19C. 17D. 153. 设a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的两个平面向量，已知PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +k b ⃗ ，QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ .若P ，Q ，R 三点共线，则实数k 的值为( )A. 2B. −2C. 12D. −124. 已知曲线y =sinx x在点M(π,0)处的切线为l ，若θ为l 的倾斜角，则点P(sinθ,cosθ)在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 5. 在△ABC 中，A <B <C ，则下列结论中不正确的是( )A. sinA <sinCB. cosA >cosCC. tanA <tanBD. cosB <cosC6. 9 −32=( )A. 9B. −19C. 27D. 1277. 已知函数f(x)=ae x −x 2−(2a +1)x ，若函数f(x)在区间(0,ln2)上有最值，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1.0)C. (−2,−1)D. (−∞,0)∪(0,1)8. “a >1“是“1a <1“的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件9. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32 B. 1+√32C. 2D. 1+√310. 函数f(x)=√x −x (x ≥0)的最大值为( )A. 14B. 12C. 0D. −2二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 设i 为虚数单位，则复数2+3i i的虚部为________ ，模为_________．12. 若函数f(x) 为奇函数，当x ≥0 时，f(x)=x 2+x ，则f(−3)的值为__________．13.在△ABC中，已知sinAsinBsin(C−θ)=λsin2C，其中tanθ=12(0<θ<π2)，若1tanA+1tanB+2tanC为定值，则实数λ=______．14.若方程x+m=√4−x2有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为________．15.已知函数f(x)=(x2+x−1)e x，则f(x)的极大值为________．16.已知{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点p(3,a3)，Q(4,a4)的直线的斜率是______ ．17.设正实数x，y，z满足x2+√2xy+2y2−2z=0，则当zxy 取得最小值时，√2x+3y−3z的最大值为_________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知a⃗=(√3,cosx)，b⃗ =(12,2sin(x−π3))，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若x∈[−π6,π3]，求函数f(x)的最值及对应的x的值．19.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，cos B=√33．(Ⅰ)若D是BC上的点，AD平分∠BAC，求DCBD的值；(Ⅱ)若ccosB+bcosC=2，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2ax，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)<x−ax2在x>1时恒成立，求a的取值范围．21.已知函数f(x)是定义R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x．(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间；(3)当x∈[−1,1]时，求关于m的不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的解集．22.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合P ={x ∈R|x >0}，Q ={x ∈Z|(x +1)(x −4)<0}={0,1，2，3}， ∴P ∩Q ={1,2，3}． 故选：C ．先分别求出集合P 和A ，由此利用交集定义能求出P ∩Q ．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：D解析： 【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．设等差数列{a n }的公差为d ，根据已知条件，得到a 1和d 的方程组，解得a 1的值即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4=9，a 8=−a 9， 所以{a 1+3d =9,a 1+7d =−(a 1+8d),解得{a 1=15,d =−2, 所以a 1=15． 故选D ．3.答案：D解析：【分析】本题考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．属于基础题．由P ，Q ，R 三点共线，得到PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在λ，使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a ⃗ +k b ⃗ =2λa ⃗ −λb ⃗ ，根据平面向量基本定理得{2λ=1,k =−λ,解得k 的值即可．【解答】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的两个平面向量， ∴2a ⃗ −b ⃗ ≠0，即QR⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0． ∵P ，Q ，R 三点共线，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在λ，使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴a ⃗ +k b ⃗ =2λa ⃗ −λb ⃗ ，∴根据平面向量基本定理得{2λ=1,k =−λ,，解得k =−12．故选D ．4.答案：A解析：解：函数的f(x)的导数f′(x)=xcosx−sinxx 2，则切线斜率k =f′(π)=π×(−1)−0π2=−1π，则tanθ=−1π<0，则θ∈(π2,π)，则sinθ>0，cosθ<0， 故P(sinθ,cosθ)在第四象限． 故选：A ．求的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可． 本题主要考查导数的几何意义，以及三角函数值符号的判断．5.答案：D解析：解：∵△ABC 中，A <B <C ，利用大角对大边，可得a <c ． 不妨C 为钝角，则B 是锐角，cosB >0，cosC <0， 所以cosB <cosC 不成立． 故选：D ．利用三角形中大角对大边可得a <c ，再利用特殊值判断可得结论． 本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：9 −32=(32)−32=32×(−32)=3−3=133=127，故选：D根据分数指数幂的运算法则进行化简． 本题主要考查有理数指数幂的化简，比较基础．7.答案：A解析： 【分析】本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．f′(x)=ae x−2x−(2a+1)=g(x)，由函数f(x)在区间(0,ln2)上有最值⇔g(x)在区间(0,ln2)上存在零点.利用函数零点存在定理即可得出．【解答】解：f′(x)=ae x−2x−(2a+1)=g(x)，由函数f(x)在区间(0,ln2)上有最值⇔g(x)在区间(0,ln2)上单调且存在零点，∴g(0)g(ln2)=(a−2a−1)(2a−2ln2−2a−1)<0，可得a+1<0，解得a<−1，此时g′(x)=ae x−2在区间(0,ln2)上单调递减，∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，判断不等式的关系是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a>1时，1a<1成立，即充分性成立，当a=−1时，满足1a<1，但a>1不成立，即必要性不成立，则“a>1“是“1a<1“的充分不必要条件，故选A.9.答案：C解析：【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C10.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数的最值，属于基础题．利用换元法将函数转化为二次函数形式求最值即可． 【解答】解：∵f(x)=√x −x (x ≥0) ，令t =√x ，t ≥0， 则g (t )=t −t 2(t ≥0)，g (t )的对称轴为t =12，开口向下，∴g (t )max =g (12)=12−(12)2=14，即f(x)的最大值为14， 故选A ．11.答案：−2;√13解析： 【分析】本题主要考查复数运算法则的应用，是高考中常见的题型，属于中档题． 【解答】 解：由题意得，∴2+3i i=(2+3i )i −1=3−2i ，则复数2+3i i的虚部为−2，模为√32+(−2)2=√13，故答案为−2;√13．12.答案：−12解析：函数f(x) 为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．13.答案：√105解析： 【分析】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了等式的恒成立问题，考查了同角三角函数的问题，属于较难题．由题意先求出，然后对sinAsinBsin(C−θ)=λsin2C进行化简，表示出1tanA+1 tanB +2tanC，进行求解即可．【解答】解：已知tanθ=12(0<θ<π2)，得，由sinAsinBsin(C−θ)=λsin2C，得：，即，为定值)，即即恒成立，所以，k=4，10λ=√5，λ=√510．故答案为√105．14.答案：[−2,2)∪{2√2}解析：【分析】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．问题转化为函数y=2与函数y=x+m的图象有且只有一个交点，作图求解即可．【解答】解：∵关于x的方程x+m=√4−x2有且只有一个实根，∴函数y=√4−x2与函数y=x+m的图象有且只有一个交点，作函数y=√4−x2与函数y=x+m的图象，结合图象可知，−2≤m<2或m=2√2，即[−2,2)∪{2√2}．故答案为[−2,2)∪{2√2}．15.答案：5e3解析：【分析】本题考查函数的极值，属于中档题．利用函数的极值与导数的关系进行解答.对函数求导，求出极值点，计算极值．【解答】解：函数f(x)=(x2+x−1)e x，所以f′(x)=e x(x2+3x)，f′(x)>0，解得x<−3或x>0;f′(x)<0，解得−3<x<0，所以函数f(x)在(−∞,−3)和(0,+∞)为增函数，在(−3,0)为减函数，;所以函数f(x)的极大值点为−3，所以极大值为f(−3)=5e3．故答案为5e316.答案：4解析：解：{a n}是等差数列，S5=55，∴5a3=S5=55∴a3=11，∵a4=15，p(3,a3)=(3,11)，Q(4,a4)=(4,15)=4∴过点p(3,a3)，Q(4,a4)的直线的斜率是15−114−3故答案为：4根据等差数列的性质，得到前5项的和等于5倍的第三项，做出第三项的值，写出P ，Q 两个点的坐标，代入直线的斜率公式，做出直线的斜率，得到结果．本题考查等差数列的性质，考查数列与解析几何的综合，是一个比较简单的综合题，这种题目可以作为选择或填空出现在高考卷中．17.答案：4解析： 【分析】本题考查基本不等式，属于中档题．将z =12(x 2+√2xy +2y 2)代入zxy ，求得zxy 取得最小值时，x =√2y ，即可求出结果． 【解答】解：∵x 2+√2xy +2y 2−2z =0， ∴z =12(x 2+√2xy +2y 2)，又x ，y ，z 为正实数， ∴zxy =x 2+√2xy+2y 22xy=x 2y +yx +√22≥2√x 2y ·yx +√22=3√22，当且仅当x =√2y 时，等号成立，所以z xy 取得最小值3√22时，x =√2y(y >0)， z =12(x 2+√2xy +2y 2)=3y 2，∴√2x+3y−3z =−1y 2+4y=−(1y−2)2+4，∴y =12时，√2x +3y −3z 的最大值为4，故答案为4.18.答案：解：(1)∵a ⃗ =(√3,cosx)，b ⃗ =(12,2sin(x −π3))， ∴f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =√32+2cosx ⋅sin(x −π3)=√32+2cosx(sinx ⋅12−cosx ⋅√32) =√32+12sin2x −√3(cos2x +12) =sin(2x −π3)，∴f(x)的最小正周期T =2π2=π，令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，(k ∈Z)．(2)∵x ∈[−π6,π3]，∴2x −π3∈[−2π3,π3]，∴sin(2x −π3)∈[−1,√32]， 当2x −π3=π3，即x =π3时，函数f(x)取最大值√32，当2x −π3=−π2，即x =−π12时，函数f(x)取最小值−1．解析：(1)求出f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =√32+2cosx ⋅sin(x −π3)=sin(2x −π3)，由此能求出f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)由x ∈[−π6,π3]，得2x −π3∈[−2π3,π3]，从而sin(2x −π3)∈[−1,√32]，由此能求出函数f(x)的最值及对应的x 的值．本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间及最值的求法，考查向量和数量积公式、三角函数的图象、性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)∵cosB =√33，∴sinB =√63，=√32×√33+12×√63=3+√66，由正弦定理得，，∵AD 平分∠BAC ，．(Ⅱ)由，即=c ·a 2+c 2−b 22ac +b ·a 2+b 2−c 22ab=a =2，，，故=12×2×4√23×3+√66=6√2+4√39．解析：本题考查了解三角形两角和与差的三角函数公式，正弦定理以及三角形面积公式，考查了学生的分析与计算能力，属中档题．(Ⅰ)由题意得，知A求出，再由正弦定理得关系式，从而求出DCBD的值．(Ⅱ)由题意得a，b，根据三角形面积公式得．20.答案：解：(1)f′(x)=1x −2a=1−2axx(x>0)，若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，若a>0，令f′(x)=0，解得：x=12a，故f(x)在(0,12a )递增，在(12a,+∞)递减，综上，若a≤0，f(x)在(0,+∞)递增，若a>0，f(x)在(0,12a )递增，在(12a,+∞)递减；(2)由已知不等式lnx+ax2−(2a+1)x<0在x>1恒成立，令g(x)=lnx+ax2−(2a+1)x，x>1，g′(x)=(2ax−1)(x−1)x，若a≤0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减，故g(x)<g(1)=−a−1，故不等式恒成立等价于−a−1≤0，故a≥−1，故−1≤a≤0，若0<a<12，则12a>1，当1<x<12a时，g′(x)<0，当x>12a时，g′(x)>0，故g(x)在(1,12a )递减，在(12a,+∞)递增，故g(x)∈[g(12a),+∞)，不合题意，若a≥12，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1,+∞)递增，故g(x)∈(g(1),+∞)，不合题意，综上，a∈[−1,0]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；(2)不等式等价于lnx +ax 2−(2a +1)x <0在x >1恒成立，令g(x)=lnx +ax 2−(2a +1)x ，x >1，求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可．21.答案：解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0；②当x <0时，−x >0，因为f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−2(−x)]=−x 2−2x ， 综上：f(x)={x 2−2x,x ≥0−x 2−2x,x <0；(2)图象如图所示：单调递增区间：(−∞,−1]和[1,+∞)；(3)由f(x) 是定义在[−1,1]上的奇函数且由图象易知[−1,1]上单调递减， 因为f(1−m)+f(1−m 2)<0，∴f(1−m)<f(m 2−1)， 所以，得0⩽m <1，即，原不等式的解集为[0,1)．解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了二次函数的简单性质的应用，函数的图象的画法，考查计算能力，属于中档题．(1)利用函数的奇偶性的性质，转化求解函数在R 上的解析式；(2)利用二次函数的性质直接画出函数f(x)的图象，根据图象写出f(x)的单调区间； (3)利用函数的图象性质，列出不等式组求解m 的范围即可．22.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0，得[S n −(n 2+2n)](S n +1)=0， 由a n >0，可知S n >0，故S n =n 2+2n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+2n)−[(n −1)2+2(n −1)]=2n +1； 当n =1时，a 1=S 1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n=19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n=n2+2n，得到数列首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n=a n−52n，得到b2n，再由错位相减法求得b2+b4+⋯+b2n．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．。