非线性干摩擦阻尼结构叶片系统动力学研究现状

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阻尼影响下风电叶片模态问题研究

中国工程热物理学会流体机械学术会议论文编号：097032 阻尼影响下风电叶片模态问题研究石可重1毛火军1王建礼1,2刘磊1,2（1.中国科学院工程热物理研究所，北京 100190 2.中国科学院研究生院，北京 100049）(Tel*************,E-mail:*******************)摘要风力机叶片气动弹性分析中的一项重要内容是确定叶片结构在运行状态下的模态参数。

风力发电机组实际运行中，其叶片动力学特性受其结构及外界气动环境等因素导致的阻尼所影响。

准确获取叶片相关的阻尼数据，并将其引入到分析计算中，对于正确评价风电叶片动力特性，乃至整个机组的动力特性，都具有重要意义，是风电叶片基础研究与研发设计所关心的一个核心问题。

本文通过将叶片模态试验与数值计算相结合，研究叶片阻尼的试验确定方法，以及在数值计算中的应用，开展阻尼对风力叶片动力特性影响的研究。

关键词：气动弹性；阻尼；模态试验；数值计算0引言随着风力机叶片的不断加长，它的柔性特征越来越明显的表现出来，这就使得叶片气动弹性问题研究变得更为重要。

气动弹性力学研究的是结构与作用在其上的空气动力之间相互耦合而产生的各种动力学问题。

气动弹性问题的计算主要包括两个方面，一是作用在风力叶片上的气动力载荷；二是叶片在气动载荷作用下的结构响应。

气弹分析中的一项重要内容是确定叶片结构在运行状态下的模态参数。

风电机组工作运行中，叶片的振动是不可避免的。

当叶片振动频率接近其固有频率时将会发生共振现象，影响机组的安全运行。

因此在风电叶片结构设计研发中，需要准确确定叶片的固有频率。

一般来说，风力机叶片模态频率分析，主要是确定叶片第l阶、第2阶挥舞频率和第l 阶摆振频率以及第1阶扭振频率[1]，其研究方法主要分为计算模态分析和试验模态分析[2]~[4]。

由于机组运行中，叶片受结构阻尼及气动阻尼等的影响，模态数据相对无阻尼状态的分析结果会有所改变。

而设计阶段，由于阻尼值难以确定，因此目前模态计算大都采用无阻尼计算方法，其能否如实准确地反映叶片动力特性有待探讨。

伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析

伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析的报
告，600字
本报告旨在分析伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学。

本报告将首先就变阻尼作用的本质介绍一下，之后深入研究车辆系统的动力学模型以及各项变量之间的关系，然后研究系统的极限状态，最后探讨如何计算出这些变量和应用它们模拟车辆系统的行为。

变阻尼作用可以理解为施加动压或者拉力变化时，相对于基准情况下摩擦力的变化。

当施加的力越来越大时，摩擦力也会随之增大。

这种增大的摩擦力会使得车辆系统变得非线性。

分析车辆系统非线性动力学，需要考虑到以下几个变量：质量、惯性力、摩擦力、相对位移，以及变阻尼作用导致的摩擦力的变化等。

首先，质量的变化会通过惯性力影响车辆系统的运动。

然后，摩擦力的变化又会对车辆系统做出反应，这是因为摩擦力会限制车辆系统的运动。

最后，通过变阻尼作用产生的摩擦力变化，会使车辆系统表现出非线性的特性。

接下来，我们需要深入研究车辆系统的极限状态，如摩擦力的最大值，车辆系统的极限速度与加速度等，以此来准确模拟整个车辆的运动状态。

最后，可以根据模型计算出各变量的值，然后搭配实际实验观测，结合数学原理，用以检验模型的准确性。

通过上述介绍，本报告主要分析了伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学。

它涉及到摩擦力变化及影响的各种
变量，以及如何计算出各个变量的值，模拟出车辆系统的行为及运动状态，从而检验模型的准确性。

伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析

第24卷　第6期摩擦学学报V o l24,　N o6 2004年11月TRIBOLOGY N o v,2004伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析方海容,丁旺才,孙启国(兰州交通大学系统分析与集成研究所,甘肃兰州　730070)摘要:对分段线性阻尼和干摩擦共同作用下的车辆悬挂系统进行了非线性动力学分析研究,阐述了判定系统周期运动稳定性的理论方法;利用数值模拟方法分析了具有不同阻尼参数组合的系统对简谐激励的振动响应,并分析了由干摩擦引起的粘-滑振动行为.结果表明:提高摩擦力对抑制响应有利,但车辆系统在低速下运行时会出现复杂的粘-滑振动,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;而通过增加轮对与侧架的弹性悬挂可以有效减弱这种瞬时刚性冲击.关键词:车辆;干摩擦;分段线性阻尼;稳定性;粘-滑振动;非线性动力学分析中图分类号:U270.1;T H117.2文献标识码:A文章编号:1004-0595(2004)06-0545-05 随着列车运行速度的提高,对机车车辆的运动稳定性、运行平稳性及曲线性能提出了更高要求.车辆的动力学性能主要取决于悬挂参数.研究表明,若能控制车辆系统中悬挂参数随位移或速度呈非线性变化关系,则有利于改善车辆的振动性能.Pun等[1]采用增量谐波平衡法分析了两自由度分段线性吸振器的动力性能,True等[2,3]利用现代非线性理论研究了车辆动力学中的混沌现象,并进行了数值模拟.已有的分段线性非光滑系统动力学研究大部分涉及刚度和阻尼随位移而变化的情况,而针对干摩擦阻尼和粘性阻尼随速度方向产生变化的非线性模型的研究较少[4～6].为此,本文作者以简化的铁道车辆垂向减振系统作为研究对象[7],在考虑钢轨波磨导致的车辆周期性激励的基础上[8,9],探讨了干摩擦和粘性阻尼随速度发生变化的分段线性振动系统的周期运动稳定性、分叉以及由干摩擦导致的粘-滑振动(stick-slip vibration)[10,11].1　力学模型和运动方程将车辆简化为某一单轴车,假定该车以等速v运行于直线轨道,且轨道的高低不平顺Y为简谐函数.系统仅由车体、轮对和一系悬挂所组成.一系悬挂包含弹簧、液压减振器和干摩擦减振器,液压减振器的阻尼系数C随速度的方向而改变.相应的力学模型如图1所示.该模型也适用于汽车系统,相当于取汽 F ig1　T he mechanical model o f the vehicle图1　车辆非线性振动力学模型车的1/4作为研究对象.系统运动微分方程为:MX+C(X-Y)+K(X-Y)+F sign(X-Y)=0.(1)C=C1,X-Y>0,C2,X-Y<0.(2)式中:Y=h sin( T+ ),h为线路不平顺的幅值; = 2v/l,l为线路波长.令x=X-Y,则式(1)变换为: Mx+Cx+K x+F sign(x)=Mh 2sin( T+ ).(3)式中:x=d x/d T.设!= M/K,t=T K/M,∀= C/(2K M),y=K x/(Mh 2),f=F/(Mh 2),则可将式(3)转化为如下的无量纲形式:y+2∀y+y+f sig n(y)=sin(!t+ ).(4)式中:y=d y/d t,且:基金项目:国家自然科学基金资助项目(10072051);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS031-B25-009-G);铁道部专项基金资助项目(JZ0002076).收稿日期:2003-12-23;修回日期:2004-03-01/联系人孙启国,e-m ail:sunqiguo2002@.作者简介:孙启国,男,1963年生,博士,教授,目前主要从事润滑理论、转子动力学和车辆动力学研究.∀=∀1=C 1/2K M ,y >0,∀2=C 2/2K M ,y <0.(5)速度方向变化时,阻尼系数的大小和干摩擦力的作用方向发生变化,从而导致系统力学特性表现为非线性.但在速度方向发生变化的两相邻临界速度0点的一段时间间隔内,式(4)为线性方程,故该系统为分段线性系统.假定t i -1和t 对应于2个相邻速度0点,称为第i 个阶段,则在该时间段里运动方程为:y i +2∀i y i +y i +f i =sin(!t +i ).(6)式中:t =t -t i -1,t i -1≤t ≤t i ,y i (t )=y (t ),i = +!t i -1(M od2 ),∀i =∀1或∀2.在0≤t ≤t i -t i -1时间段以内式(6)的方程解已知.当振子运动为非粘着运动时,则:y i (t )=e -∀i t (a i sin #i t +b i cos #i t )+A i sin(!t + i )+　B i cos (!t +i )-f i .(7)式中:#i =1-∀2i ,f i =±f ,且:A i =(1-!2)/[(1-!2)2+(2∀i !)2],B i =-2∀i !/[(1-!2)2+(2∀i !)2].另一方面,当振子在0≤t ≤t i -t i -1时间段内处于粘着状态时(此时速度一直为0),通过式(6)可以确定相应的摩擦力:f i =-y i +sin (!t +i ),!f i !≤f .(8)我们对所研究的动力系统的稳定周期运动最感兴趣.对于通常的n -k -p周期运动(n 为激励的周期数,k 为时间段总数,包括粘着和非粘着阶段,p 为粘着段数,即停顿次数),典型的时间-速度关系曲线示于图2,t k =2n /!.F ig 2　A n ex ample of periodic mot ion o f the vibr ato r图2　振子周期运动示意图在式(7)中,未知量a i 、b i 、每个时间段的通过时刻t i 及相位i 角可以通过匹配的周期与边界条件来确定.假定系统有周期解,有任意数量的阶段,则应该关注的重点在于确定周期解的稳定性,为此首先要探求合适的分析方法,然后得到相应的分岔解,以便于研究系统参数变化时解的形式及其特性的变化.2　系统的周期运动稳定性与分叉在分析周期运动的整体稳定性之前,我们分别分析非粘着和粘着运动时的情况.假定在非粘着(non-sticking )状态时运动的初始条件如下:y i (0)=y i ,y i (0)=0.(9)将式(9)代入式(7)可得:a i =[∀i (y i +f i )+(-A i ∀i +B i !)sin i -(A i !+B i ∀i )cos i ]/#i .(10a )b i =yi +f i -A i sin i -B i cos i .(10b )设y i 、 i 分别有扰动∃y i 、∃ i ,且为微小量.扰动解为:y ~i (t )=e -∀i t (a ~i sin #i t +b ~i cos #i t )+A i sin(!t + i +∃ i )+B i cos (!t + i +∃ i )-fi .(11)满足条件:y ~i (0)=y i +∃y i ,y ~・(0)=0.(12)进行微分处理后得到以下关系式:a ~i =a i + a i y i ∃y i + a i i ∃ i .b ~i =b i + b i y i ∃y i + b i i∃ i .将式(10)分别对y i 、 i 求偏导可得:a i y i =∀i #i ≡U i ,b iy i =1, a i i =1#i[(-A i ∀i +B i !)co s i +(A i !+B i ∀i )sin i ]≡V i . b ii=-A i cos i +B i sin i ≡W i .(13)这样一来,在下一个时间段[t i ,t i +1]内,令∃%i =∃ i +1-∃ i ,则扰动解满足以下条件:y ~i +1(0)=y ~i (t ~ic )=yi +1+∃y i +1.(14a)y ~・i +1(0)=y ~・i (t ~ic )=0.(14b)对式(14a)进行泰勒展开,并略去二次项和高次项,可得:u i 1∃%i +u i 2∃t i +u i 3∃ i =∃t i +1.(15)式中:u i 1=1!e i [-(a i ∀i +b i #i )s i +(a i #i -b i ∀i )c i ]+A i cos (!t ic +i )-B i sin (!t ic + i )=!y i (t ic )=0,u i 2=e i (c i +s i U i ),u i 3=e i (s i V i +c i W i ),s i =sin #i t ic ,c i =cos #i t ic ,e i =e-∀i t ic .同样地,对式(14b)进行相似处理后可得:546摩　擦　学　学　报第24卷 u i 4∃%i +u i 5∃y i +u i 6∃ i =0.(16)式中:u i 4=1![∀i (p i b i -q i a i )-#i (p i a i +q i b i )]-A i !sin (!t ic +i )-B i !cos (!t ic + i )=y i (t )ic ≡&i ,u i 5=q i U i -p i ,u i 6=q i V i -p i W i ,p i =e i (s i #i +c i ∀i ),q i =e i (c i #i -s i ∀i ).由式(15和16)可确定在第i 阶段始末扰动的关系:∃y i +1∃ i +1=P i ∃yi ∃i .(17)P iu i 2u i 3-u i 5/u i 41-u i 6/u i 4.(18)利用类似的方法可以求得系统在某粘着阶段的始末扰动关系,在式(19)中yi =y i +1=sin (!t ic + i )-f i ..(19)引入小的时间和位移扰动后,其解满足以下关系式:∃y i +1=∃y i .(20a )y i +1+∃y i +1=sin (!t ic +i +∃ i +1)-f i .(20b )对式(20b )进行泰勒展开,取一阶项∃y i +1=cos (!t ic + i )∃i +1,再联立式(19)求解可得:∃y i =±1-(y i +f i )2∃i +1.(21)式(21)的正负号取决于相位角所在的象限,由式(20a)与式(21)可得到同式(18)形式相似的表达式:P i =10±1/1-(y i +f i )20.(22)根据以上分析,如果运动在一个周期内有k 个分段解,则在一个周期内,末段的误差与初始误差的关系为:∋k +1=∃y k +1∃ k +1=(∃y k∃ k.(23)式中:(≡P k +1……P 1采用同样的分析方法可以确定一个经过m ×n 周期激振力的n 周期解的误差关系为∋mk =(m∋0.周期解渐近稳定的条件是矩阵(的特征值小于1.只要当矩阵(有一个特征值大于1时,则周期解不稳定.从上述分析可知,矩阵(的所有元素都是系统参数的已知函数.因此,系统参数变化将导致矩阵(的特征值变化.假设)是矩阵(的特征值中模最大的一个,当)=1时,可能会出现鞍结分岔、叉式分岔、超临界分岔;当)=-1时,出现周期倍化分岔;当)是模为1的复数时,出现Hopf 分岔.!)!=1时相应的系统参数确定了系统的稳定范围,并可提供在分岔值附近出现的运动类型的信息.3　数值模拟我们首先分析最简单的周期1-2运动.取定一组参数∀1、∀2、f .边界条件为:y 1(0)=y 1(t 1c )=y 2(0)=y 2(t 2c )=0,y 1(0)=y 2(t 2c ),y 1(t 1c )=y 2(0).(24)且:!t 1c +!t 2c =2 .由式(24)可以得到6个方程,当给定!时可解出6个未知数a 1、b 1、a 2、b 2、 1和 2,同时求出时间段t 1c 和t 2c .将这些值代入式(23),通过计算(的特征值来判定周期运动的稳定性.数值分析结果表明,当干摩擦无量纲值f 较小、无量纲频率!(对应于实际的激励频率与无阻尼固有频率之比)较大时,系统总是出现稳定的1-2周期运动;当f 较大、!较小时,系统可能产生周期1-3-1运动或周期1-4-2运动,这就是所谓的粘-滑振动(stick-slip v ibration).图3示出了不同阻尼组合∀1、∀2对应的幅频响应 Fig 3　Respo nse diag ra ms fo r differ entda mping combinations图3　不同分段阻尼对应的幅频响应曲线,除一条粗线外,其它4条曲线对应的干摩擦无量纲值f =0.01.当∀1=∀2时,若忽略干摩擦则系统为线性的,系统对激励的响应较清晰.由图3可以看出,∀1=0.1、∀2=0.4这一组阻尼对系统在简谐激励下的振动响应相对较好,但对来自路面的瞬态冲击或随机激励的非线性系统响应还值得进一步研究.干摩擦对系统运动的影响比较复杂,由图3中所示的粗实曲线可知,当f 较大时,系统对简谐激励下的振动响应受到明显抑制,而选用较好的阻尼组合可大幅降低系统的振动.图4(a ～c )分别示出了取不同参数值时系统的复杂周期运动,每组图包括速度、位移时间历程和相图.图4(a)表明系统在一个周期内出547第6期方海容等:　伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析(a)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.1,!=0.18,periodic 1-4-2motion(b)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.2,!=0.45,per iodic 1-3-1mo tion(c)∀1=0.1,∀2=0.1,f =0.35,!=0.15,per io dic 1-8-4motionF ig 4　I nfluence o f dr y fr ictio n on the periodic motion图4　干摩擦对系统周期运动的影响现2次停顿;图4(b )表明随着!增大系统运动转变为每周期1次停顿,随!继续增大时,系统运动将无停顿;图4(c)表明当f 较大、!较小时,系统运动每周期出现4次停顿.4　结论a.　增大摩擦力有利于抑制我国货车转向架用干摩擦减振器的振动响应;但车辆在低速下运行时出现粘-滑振动,产生类似卡滞的现象,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;为此应增加轮对与侧架的弹性悬挂.b.　干摩擦阻尼在共振点附近对激励产生振动响应的衰减效果不佳.c.　当粘性阻尼因子∀1和∀2都为正值时,车辆系统处于稳定的周期运动状态,随着频率!的增大,振幅减小.参考文献:[1]Pun D,L iu Y B.On the des ign of the piecew ise linear vibration abs orber[J ].Nonlinear Dynamics,2000,22:393-413.[2]　T rue H.Chaos in railroad vehicle dynamics [J ].Rail Trans -portation ASM E,1994,37-48.[3]　M ejaard J P,Pater A D.Railw ay vehicle systems dynam icsan d ch aotic vib rations [J ].In t J Nonlinear M echan ics ,1989,24:1-17.[4]Natsiavas S.Stability of piecewis e lin ear os cillators with -viscous and dry friction damping [J ].J ournal of S ou nd and Vibration ,1998,217(3):507-522.[5]　Wiercigroch M.A note on th e s w itch function for the stick -slip phenomenon[J].Jour nal of Sound and Vibration,1994,175:700-704.[6]　S haw S W ,Holm es P J.A per iodically forced piecew is e linearos cillator [J].Journal of S ou nd and Vibr ation,1983,90(1):700-704.[7]Gilles pie T 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University ,L anz hou 730070,China )Abstract :The no nlinear dy namics o f a vehicle suspension system w ith piecew ise linear viscous and dry fr iction dam ping was studied .T he theo retical metho d on the stability analysis of a system in periodic m otion w as presented.And num er ical simulatio n w as perfo rmed to investig ate the r esponses o f the vehicle suspension system to harmo nically ex cited vibration w ith respect to different com binatio ns of the damping param eters .T he stick -slip vibrations induced by dr y friction w ere analyzed in detail as w ell .As the results ,it w as favo rable to decreasing the respo nses amplitude of the system to v ibration by increasing the friction fo rce.How ev er ,the com plicated stick-slip vibration took place at a small velocity ,w hich led to a severe instantaneous stiff im pact lo ad betw een the w heel and rail.It w as sug gested to decrease such an instantaneous stiff im pact load by supplem enting elastic suspensio n betw een the w heelset and side frame .Key words :vehicle;dr y friction;piecew ise linear damping ;stability ;stick-slip vibration;no n-linear dynamic analysisAuthor :SU N Qi -guo ,male ,bo rn in 1963,Ph .D .,Professor ,e -mail :sunqiguo 2002@y aho o .co m .cn549第6期方海容等:　伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析。

叶盘结构非线性振动频域分析方法研究综述

叶盘结构非线性振动频域分析方法研究综述作者：廖海涛李梦宇赵全月黄家鹏付猛来源：《航空科学技术》2018年第09期摘要：由于结构参数不确定和各种局部非线性因素的共同作用，导致叶盘及转子结构的振动失效，严重影响发动机部件的疲劳寿命及正常使用。

本文概述了叶盘系统的非线性振动及控制问题。

从失谐、周期解计算方法、非线性模态、干摩擦阻尼影响、裂纹及碰撞、流固耦合等几方面介绍了叶盘振动问题的研究进展。

针对叶盘及转子结构参数不确定振动抑制问题，分析了局部非线性结构的鲁棒优化设计方法。

最后，提出了叶盘及转子结构振动响应分析方法研究所要解决和关注的若干问题。

关键词：叶盘;转子;参数不确定;局部非线性;鲁棒优化设计中图分类号：V232.4 文献标识码：A叶盘和转子系统作为航空发动机的核心部件，主要用来完成压气机和涡轮的功能转换。

由于叶盘和转子结构工作环境苛刻，在国内外的飞行事故中，多次出现涡轮叶片断裂的状况，而这些断裂多数是因振动故障引起的。

叶盘和转子结构的振动问题严重制约着发动机的性能和使用寿命，因此，研究叶盘和转子结构振动问题具有重要意义。

1 叶盘和转子系统非线性振动及控制问题由于发动机结构复杂，在气动、温度、机械等多种复杂载荷作用下，叶盘和转子结构振动问题非常突出，导致的结构失效问题严重制约着发动机的研发和使用，所以叶盘和转子系统的非线性振动及其控制问题研究是航空领域的热点和难点问题。

由于受制造公差、材质不均匀和使用中磨损不均匀等因素，或为抑制颤振人为改变各扇区参数的一致性，往往导致叶盘各扇区间会有小量的差别，使叶盘转子成为一种失谐周期结构。

应用在叶盘结构系统上的各种新型结构形式（如叶冠、凸肩等）、复杂的高新技术日新月异，这些都大幅度增加了叶盘结构失谐的概率，甚至必然会导致叶盘结构的失谐。

理论分析与试验结果均表明，一般失谐结构系统的动态特性与相应的谐调周期结构系统的动态特性在一定条件下会有很大不同，这主要反映在两个方面：一是模态局部化，二是振动传递局部化。

《几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究》范文

《几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究》篇一一、引言非线性弹性结构是物理学、力学和工程学等多个领域的重要研究对象。

随着科技的发展，对这类结构的动态行为和稳定性分析提出了更高的要求。

本文将针对几类非线性弹性结构的无穷维动力系统进行研究，分析其特性，以期为相关领域的理论研究和实践应用提供一定的参考。

二、非线性弹性结构概述非线性弹性结构是指在外力作用下，其应力与应变之间呈现非线性关系的结构。

这类结构在工程实践中广泛应用，如桥梁、建筑、机械等。

非线性弹性结构的动力学研究主要涉及其在外界激励下的动态响应和稳定性问题。

本文将针对几类典型的非线性弹性结构进行研究，包括弦振动系统、梁弯曲系统以及板壳结构等。

三、弦振动系统的无穷维动力系统研究弦振动系统是一类典型的非线性弹性结构，其动力学行为表现为一维空间的振动问题。

在无穷维动力系统中，弦振动系统具有典型的非线性特性。

本文将研究该系统的非线性振动模式、振动频率及模态分布等特性，为进一步分析其动态响应和稳定性提供基础。

四、梁弯曲系统的无穷维动力系统研究梁弯曲系统是另一类重要的非线性弹性结构。

与弦振动系统相比，梁弯曲系统具有更复杂的几何形状和边界条件。

本文将研究梁弯曲系统的弯曲模式、振动频率及模态分布等特性，并探讨其在外界激励下的动态响应和稳定性问题。

五、板壳结构的无穷维动力系统研究板壳结构是另一类重要的非线性弹性结构，其特点是具有复杂的几何形状和较大的尺寸。

板壳结构的振动行为不仅受其自身几何特性的影响，还受到外界环境的影响。

本文将研究板壳结构的振动模式、模态分布及动态响应等问题，为进一步分析其稳定性和优化设计提供依据。

六、实验方法与数值分析针对上述几类非线性弹性结构的研究，我们将采用实验和数值分析相结合的方法。

实验部分将通过设计相关实验装置，测量并记录各类非线性弹性结构的动态响应数据。

数值分析部分将利用计算机软件进行建模和仿真，分析各类非线性弹性结构的振动特性和稳定性问题。

含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性

Journal of Mechanical Strength2023,45(5):1065-1071DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.05.008∗20211024收到初稿,20211209收到修改稿㊂甘肃省科技计划项目(20JR5RA424)资助㊂∗∗马㊀硕,男,1996年生,河南虞城人,汉族,兰州交通大学硕士研究生,研究方向为非线性动力学㊂∗∗∗朱喜锋(通信作者),男,1980年生,河南虞城人,汉族,兰州交通大学副教授,硕士研究生导师,主要研究方向为非线性动力学㊂含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性∗DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A COLLISION SYSTEM WITHDRY FRICTION AND NONLINEAR CONSTRAINTS马㊀硕∗∗1㊀朱喜锋∗∗∗1,2㊀王剑锋3(1.兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)(2.甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室,兰州730070)(3.包头铁道职业技术学院铁道机车车辆系,包头014060)MA Shuo 1㊀ZHU XiFeng 1,2㊀WANG JianFeng 3(1.School of Mechanical Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 730070,China )(2.Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province ,Lanzhou 730070,China )(3.Department of Railway Locomotive and Car ,Baotou Railway Vocational and Technical College ,Baotou 014060,China )摘要㊀研究了一类单自由度含干摩擦及非线性约束机械碰撞振动系统,通过四阶变步长Runge-Kutta 数值算法,分析了该机械振动系统在低频激励下产生的p /1周期运动的动力学特性及其转迁规律,采用多参数协同仿真的方法分析了系统参数对该振动模型动力学特性的影响,揭示了Grazing 分岔和Saddle-node 在p /1周期运动中的频率迟滞特性以及共存吸引子的范围㊂最后,结合胞映射法研究了多态共存区内不同吸引子及吸引域的分布情况及其转迁规律㊂研究结果表明,随着激振频率的减小,Grazing 分岔会使p /1周期运动的碰撞次数逐步增加直至发生颤碰运动,而且由于相邻周期运动的不可逆性,在迟滞域内改变不同的初值会得到不同的周期运动共存㊂关键词㊀颤碰㊀非线性约束㊀分岔㊀吸引子共存㊀多参数协同中图分类号㊀O322㊀㊀㊀㊀Abstract ㊀A type of single-degree-of-freedom mechanical impact vibration system with dry friction and nonlinear constraintsis studied.Through the fourth-order variable step Runge-Kutta numerical algorithm,the dynamics of the mechanical vibrationsystem generated by the low-frequency excitation of the p /1periodic motion are analyzed.The effect of system parameters on the dynamic characteristics of the vibration model is analyzed by the method of multi-parameter co-simulation,and the frequencyhysteresis characteristics of Grazing bifurcation and Saddle-node in p /1periodic motion are revealed.And the range of coexistence attractors.Finally,combined with the cell mapping method,the distribution of different attractors and attractingdomains in the polymorphic coexistence area and their transition laws are studied.The research results show that the Grazingbifurcation with the decrease of the excitation frequency,the number of collisions of the p /1periodic motion will graduallyincrease until the flutter motion occurs,and due to the irreversibility of adjacent periodic motion,changing different initial values in the hysteresis domain will result in different periodic motions coexisting.Key words ㊀Chattering-impact motion ;Non-linear constraints ;Bifurcation ;Attractors coexistence ;Multi-parameter coordinationCorresponding author :ZHU XiFeng ,E-mail :zhuxf @ ,Tel :+86-931-4938043,Fax :+86-931-4938043The project supported by the Science and Technology Plan of Gansu Province (No.20JR5RA424).Manuscript received 20211024,in revised form 20211209.0㊀引言㊀㊀在实际生产中,许多工业机械设备和精密仪器都会存在间隙㊂而由于间隙与零部件之间摩擦的存在,在机械设备的使用过程中,设备㊁零部件间会发生碰撞㊀1066㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀振动,对机械设备造成伤害,进而影响机械设备的正常使用㊂王同慧等[1]结合数值仿真及Poincar 映射方法研究了在含有干摩擦㊁间隙和刚性约束情况下的碰撞振动系统的动力学特性㊂朱喜锋等[2]在胞映射法的基础上提出了多参数协同仿真的方法,研究了两自由度在弹性约束下碰撞振动系统的动力学特性㊂侍玉青等[3]建立了带有间隙-刚性约束及弹性约束的振动系统,通过多目标㊁多参数协同仿真分析研究了迟滞域与舌形域的形成和分布特征,以及舌形域内亚谐冲击运动的模式类型和规律特征,分析了基本周期冲击振动向非完整和完整颤冲击振动的转迁过程㊂李得洋等[4]通过胞映射法并结合Lyapunov指数分析了一类单自由度含干摩擦和间隙碰撞振动系统相邻周期的非光滑分岔的转迁规律㊂丁杰等[5]通过胞映射法研究了单自由度碰撞振动系统在双侧存在不同约束情况下的周期运动和转迁规律㊂吕小红等[6]以两自由度含间隙碰撞振动系统为研究对象,揭示了奇异点的二重擦边和倍化-鞍结余维二分岔特征㊂卢绪祥等[7]建立了含对称间隙结构的碰撞振动动力学模型,基于广义Hertz接触理论,采用四㊁五阶Runge-Kutta法研究了该模型的非线性振动特性㊂吴丹等[8]建立了一类含干摩擦对称间隙的弹性碰撞振动系统的动力学模型,分析并推导了系统运动中黏着㊁滑动和碰撞运动的衔接关系及判断条件,并结合Lyapunov指数分析了该系统的稳定性㊂李国芳等[9]通过双参数域的方式研究了一类驱动系统的平均速度分布图,并得到了系统参数的最佳范围㊂徐伟等[10]介绍了与非线性随机动力学研究密切相关的几类胞映射方法的研究和进展,简述了胞映射方法在随机动力学中的应用情况,重点介绍了随机响应㊁分岔㊁离出和碰撞振动系统,并给出了胞映射方法面临的挑战,以及未来研究可能的发展方向㊂王世俊等[11]建立了含多刚性约束的两自由度碰撞振动系统的力学模型,通过多目标㊁多参数协同仿真,在多参数平面得到了系统周期运动的模式类型和分布区域,分析了舌状转迁域内亚谐碰撞振动的类型和形成机制㊂尹凤伟等[12]建立了两自由度含间隙碰撞振动系统,通过多参数协同仿真方法研究了该系统在低频区内多种周期振动模式类型的转迁特征㊂丁旺才等[13-14]建立了单自由度含间隙和干摩擦的碰撞振动系统的动力学模型,并利用半解析㊁数值模拟等方法给出了判定系统黏滑碰撞准则,并分析了其非线性动力学行为㊂目前,国内外学者对于同时含有干摩擦和非线性约束的碰撞振动系统的颤碰运动及转迁规律的研究较少㊂本文建立单自由度含非线性约束和干摩擦的动力学模型,通过Poincarè映射方法及胞映射法,分析了该碰撞振动系统各周期运动的转迁规律,以及吸引子共存现象㊂1　力学模型及微分运动方程㊀㊀本文建立了一类单自由度含非线性约束和干摩擦的碰撞振动系统的动力学模型,如图1所示,质量为M 的物块放置在速度恒为V0的传送带上,物块由刚度为K的线性弹簧和阻尼系数为C的线性阻尼连接,作用在该物块上的简谐激振力为P sin(ΩT+τ),其所受摩擦力为F u㊂当激振力振幅较小时,系统是只含有干摩擦的机械振子㊂当激振力振幅逐渐增大,使X等于B 时,物块M与固定在右侧的非线性约束发生碰撞㊂随着位移的不断增大,连杆的夹角不断变化,其恢复力也会随之变化,会使该碰撞振动系统出现丰富的力学特性㊂同时,由于摩擦力的存在,在物块运输过程中,可能出现物块黏滞于传送带上,并且随着传送带一起运动的情况,即除摩擦力以外的合力小于最大静摩擦力㊂当合力大于最大静摩擦力时,物块又会由黏滞运动变为在传送带上的纯滑动,这一现象是由于干摩擦引起的非光滑特性,也会出现丰富的力学特性㊂图1㊀单自由度动力学模型Fig.1㊀Single degree of freedom dynamic model如图2所示,该约束为一个刚度系数为K0的弹簧嵌入一个菱形的连杆机构,对于菱形的四连杆机构,由四根相同的刚性杆ab㊁bc㊁cd㊁da组成,假设本文中连杆机构的质量忽略不计㊂当物块M与约束未发生碰撞时,见图2(a);当物块M与约束发生碰撞时,见图2(b);此时,弹簧K0所受力为F s=2(L sinθ-L sinθ0)K0=2(L2-(Z0-ΔZ2)2-L sinθ0)K0(1)式中,L为杆长;θ0为连杆机构未发生碰撞时的角度; Z0为未碰撞时连杆机构的水平宽度;L s为刚度系数为K0的弹簧的初始长度㊂根据从连杆机构的几何关系和力平衡条件可得到,物块在接触时受到的恢复力F a为F a=F s cosθsinθ=2(L sinθ-L sinθ0)K0cosθsinθ(2)㊀㊀由力学分析可得该碰撞模型的动力学方程为MX㊆+CX㊃+KX+F(X)+Fu=P sin(ΩT+τ)㊀X<B(3)㊀第45卷第5期马㊀硕等:含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性1067㊀㊀图2㊀非线性约束图Fig.2㊀Non-linear constraints diagram 其中,F u=μMg X㊃>V[-μMg,μMg]X㊃=V0-μMg X㊃<V0ìîíïïïïïï(4)图3㊀三维平面系统分岔图Fig.3㊀Three-dimensional planar system bifurcation diagram㊀㊀为了使该模型在分析时更具一般性,引入下列无量纲量:T t =MK,X x=P K,ω=ΩM K,ξ=C2MK,V0 v0=PMK,f u=μMg P,b=KB P,f(x)=F(X)P(5)㊀㊀得其无量纲方程为x㊆+2ξx㊃+x+f f+f(x)=sin(ωt+τ)㊀x<b(6)其中,f f=f u x㊃>v0[-f u,f u]x㊃=v0-fux㊃<v0ìîíïïïïï(7)f(x)=μk1-μk0Δl s/tanθx>δ0xɤδìîíïïïï(8)㊀㊀用q=p/n表示系统的亚谐运动与周期,p=1,2, 表达碰撞次数,n=1,2, 表达周期数,同时选择物块碰撞前瞬间状态量建立Poincarè映射,σp={(x,x㊃,t)ɪR2T,x=b,x㊃>0},Poincarè映射可以表示为X(i+1)=f[v,X(i)](9)式中,XɪR2;vɪR m是实参数;X(i)=(x(i),x㊃(i),τ(i))T;X(i+1)=(x(i+1),x㊃(i+1),τ(i+1))T㊂2　低频下碰撞系统的动力学特性㊀㊀如图3所示,当碰撞系统基准参数改变时,该碰撞系统的力学特性也会随着改变㊂图3(a)为参数域为(ω,ξ)的平面系统分岔图,可知随着阻尼比ξ的增大,激振频率增大,其力学特性由复杂趋向于单一㊂图3(b)为参数域为(ω,δ)的平面系统分岔图,可知力学特性在小间隙下较为丰富㊂选取参数b=0.05,f u=0.1,ξ=0.05,θ0=π/4,l= 2,v0=0.1,通过数值计算可得到分岔图,如图4所示㊂其中,横坐标为激振频率ω,纵坐标x㊃为物块M碰撞前的速度,G p/n表示从p/n运动进入下一个运动窗口的擦边分岔㊂选择激振频率ω作为分岔参数㊂由图5可知,当ω在(0.814,0.9096)时为1/1周期运动,随着ω减小至0.81367时发生擦边分岔㊂见图5(a),物块的碰撞运动由1/1周期运动变为2/1周期运动,ω继续减小,2/1运动会经历倍化㊁逆倍化分岔出现4/2周期运动,当ω=0.56643时碰撞块再次发生擦边分岔,2/1周期运动变为3/1周期运动㊂见图5(b),ω继续减小,3/1周期运动在ω=0.469782时发生擦边分岔进入4/1运动㊂见图5(c),ω减至0.4252570时4/1周期运动发生擦边分岔,变为5/1周期运动㊂见图5(d),随着ω继续减小,由5/1运动擦边进入6/1运动㊂见图5(e),再由6/1运动擦边进入7/1运动㊂见图5(f),最后变为颤碰运动㊂可知,随着频率的减小,p/1运动通过擦边分岔产生(p+1)/1周期运动,当碰撞次数增大到一定次数之后将产生Chatting-impact现象,随着ω减小,系统由㊀1068㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图4㊀分岔图Fig.4㊀Bifurcationdiagrams图5㊀擦边运动图Fig.5㊀Grazing contact diagrams1/1周期运动至颤碰运动转迁规律如图4所示㊂其中,p ~/1表示颤碰运动,GBif 表示Grazing 分岔㊂ωˌ:p ~/1GBif ѳ GBif ѳ(p +1)/1GBif ѳp /1GBifѳGBifѳ3/1GBifѳ2/1GBifѳ1/13　迟滞域及吸引子共存研究㊀㊀在不改变上述基本参数的情况下,以激振频率ω作为分岔图参数,对其进行增减求解,如图6所示㊂其中,红色实线代表激振频率ω减小时的分岔图;蓝色实线代表激振频率ω增大时的分岔图;S p /n 表示随着ω增加,p /n 周期运动碰撞次数p 减少一次,产生(p -1)/n 周期运动的Saddle-node 分岔㊂图6㊀频率迟滞图Fig.6㊀Frequency hysteresis diagram由图6可以观察到,激振频率ω减小和激振频率ω增大时,发生Grazing 分岔和Saddle-node 分岔的激㊀第45卷第5期马㊀硕等:含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性1069㊀㊀振频率ω不同且Saddle-node分岔的激振频率比Grazing分岔大,由于分岔点的位置不同导致了相邻周期运动的不可逆,因此在p/1运动和(p-1)/1运动之间会产生迟滞域,如图7所示,其中FH p/1表示产生相应周期运动的迟滞域㊂由图7可知,在以激振频率ω为参数的频率迟滞域内存在多个吸引子共存的现象㊂图8给出了在FH p/1迟滞域内,当确定激振频率时,改变不同的初始值,会得到(p+1)/1运动和p/1运动的相图,当ω=0.4701时,改变初始值,会得到3/1和4/1周期运动,见图8(a),其中虚线代表3/1周期运动,实线代表4/1周期运动㊂当ω=0.4258时,改变初始值,会得到4/1和5/1周期运动,见图8(b)㊂图7㊀频率迟滞域局部图Fig.7㊀Enlarged view of frequency hysteresisdomain图8㊀共存吸引子相图Fig.8㊀Phase diagrams of coexistence attractors㊀㊀为了进一步研究周期共存区内不同吸引子和吸引域的分布情况,根据胞映射法选取初态域O=x1,x㊃1()|{-2<x1<1,-1<x㊃1<1}并将其划为400ˑ400个状态胞,如图9所示㊂该图表示3/1周期运动与4/1周期运动的演化过程,两种周期运动分别由不同的颜色表示,可以看出当ω=0.46975时系统主要为4/1周期运动㊂随着激振频率的增大,即当ω=0.46984,ω=0.46995,ω=0.47013,ω=0.4704,ω=0.47052时,3/1周期运动的比例会逐渐增大即3/1周期运动的稳定性在此激振频率的区域内会逐渐大于4/1周期运动,如图9所示㊂图10为系统不同激振频率ω所对应的不同周期运动的系统吸引域分布图㊂其中,图10(a)为ω=0.42557时系统的吸引域分布图,可以看出4/1周期运动所占初态域的面积小于5/1周期运动,故5/1周期运动的稳定性大于4/1周期运动;图10(b)为ω=0.402437时系统的吸引域分布图,其中5/1周期运动嵌套于6/1周期运动之间,且5/1周期运动的稳定性小于6/1周期运动;图10(c)为ω=0.3882时系统的吸引域分布图,其中6/1周期运动通过擦边分岔变为7/1周期运动并在此初态域内共存,且7/1周期运动所占初态域的面积大于6/1周期运动,可知在此激振频率下7/1周期运动的稳定性要高于6/1周期运动㊂4　结论㊀㊀本文建立了一类单自由度含干摩擦和非线性约束的碰撞振动模型,研究了以激振频率为参数情况下该模型的运动状态及动力学特性,得出结论如下:1)随着激振频率的减小,该碰撞振动系统的运动会发生Grazing分岔,导致系统碰撞次数p增加,使p/1运动转化为(p+1)/1运动,同时随着激振频率的增加,该系统会发生Saddle-node分岔,使碰撞次数p减少,㊀1070㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图9㊀3/1与4/1周期运动吸引域分布图Fig.9㊀3/1and 4/1periodic motion attraction distribution map ofarea图10㊀吸引域分布图Fig.10㊀Distribution map of attraction area使(p +1)/1运动变为p /1运动㊂2)改变系统的基准参数会使系统的力学特性发生改变,随着阻尼比ξ的增大,系统的力学特性会由复杂变得单一,同理该碰撞系统在小间隙下力学特性较为丰富㊂3)Grazing 分岔和Saddle-node 分岔之间会存在一个频率迟滞域,由于相邻周期转迁运动的不可逆性,相邻周期运动之间会产生吸引子共存现象㊂4)随着激振频率的减小,部分p /1运动发生Grazing 分岔进入(p +1)/1运动;当激振频率足够小时会产生颤碰运动,且由于干摩擦的存在,该碰撞系统的某些p /1运动窗口会产生摩擦黏滞的现象,使系统产生黏-滑-碰运动等动力学行为㊂参考文献(References )[1]㊀王同慧,朱喜锋.含干摩擦振动系统的共存吸引子与亚谐碰撞运动研究[J].兰州交通大学学报,2019,38(2):121-125.WANG TongHui,ZHU XiFeng.Research on coexisting attractorsand subharmonic collision motions of dry frictional vibration system[J].Journal of Lanzhou Jiaotong University,2019,38(2):121-125(In Chinese).[2]㊀朱喜锋,罗冠炜.两自由度含间隙弹性碰撞系统的颤碰运动分析[J].振动与冲击,2015,34(15):195-200.ZHU XiFeng,LUO GuanWei.Vibration motion analysis of a two-degree-of-freedom elastic collision system with gaps[J].Journal ofVibration and Shock,2015,34(15):195-200(In Chinese).[3]㊀侍玉青,杜三山,尹凤伟,等.带有双侧刚性约束的两自由度振动系统的动力学分析[J].振动与冲击,2019,38(14):37-47.SHI YuQing,DU SanShan,YIN FengWei,et al.Dynamic analysis of a two-degree-of-freedom vibration system with bilateral 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single-degree-of-freedom impact vibration system withclearance and dry friction[J].Journal of Vibration and Shock,2008(7):102-105(In Chinese).。

机械系统动力学模型的非线性分析方法

机械系统动力学模型的非线性分析方法一、引言机械系统动力学模型的非线性分析方法是研究机械系统中复杂非线性行为的重要手段。

在实际工程中，机械系统往往存在着多种非线性现象，如摩擦、接触、间隙、变刚度等，这些非线性行为对系统的稳定性和动态响应产生重要影响。

因此，研究机械系统的非线性特性对于工程设计及系统优化具有重要意义。

二、基础理论机械系统动力学模型的非线性分析方法建立在基础理论的基础上。

其中，最基本的理论是非线性动力学理论，包括非线性振动理论、混沌理论等。

非线性振动理论研究了机械系统在非线性激励下出现的振动现象，而混沌理论则研究了非线性系统中存在的混沌现象。

三、非线性摩擦模型摩擦是机械系统中常见的非线性现象，对系统的运动性能和能量传递产生显著影响。

研究摩擦现象的非线性分析方法包括多种摩擦模型，如Coulomb摩擦模型、Dahl摩擦模型等。

这些模型可以定量描述摩擦力与相对运动速度之间的关系，并应用于动力学分析中。

四、非线性接触力模型在机械系统中，接触是一种常见的非线性现象，对系统运动和力学行为具有重要影响。

非线性接触力模型包括Hertz接触模型、Köhler接触模型等，可用于描述接触区域的应力分布、接触刚度等参数，进而分析系统的振动特性和接触行为。

五、非线性间隙模型间隙是机械系统中一种常见的非线性现象，广泛存在于传动系统、液压系统等领域。

非线性间隙模型用于描述机械系统中间隙对动力学响应的影响，常用的模型包括Hunt-Crossley模型、Berg模型等。

这些模型可以描述间隙位置、间隙力与系统响应之间的关系，为系统动力学行为的分析提供基础。

六、非线性变刚度模型变刚度是机械系统中的一种常见非线性现象，常见于弹性元件或柔性结构。

非线性变刚度模型可用于描述刚度随位移或载荷变化而发生变化的情况，如软弹簧、受压弯曲杆件等。

基于变刚度模型的非线性分析方法可以研究系统的振动特性和稳定性。

七、非线性分析方法在机械系统动力学模型的非线性分析中，常用的方法包括数值模拟方法、摄动法、变分法等。

用改进的摩擦模型计算带阻尼结构叶片的响应_徐自力

通过 H amilton 原理推导出简谐激励下带阻尼结构叶片系统的运动微分方程为 Mx + Cx + Kx + f n = f 0 cos t 式中 x 是系统的总位移向量 ; f 0 为激振力幅值 ; ( 1) 为激
图2 Oden 模型滞回曲线图 3 改进的 O den 模型滞回曲线
M、 C、 K 为系统的质量阵、阻尼阵、刚度阵 ;
4
结
论
本文提出的用于模化非线性干摩擦阻尼的改进 Oden 摩擦模型考虑了静摩擦力和动摩擦力的差别, 是对 Oden 摩擦模型的发展和完善, 算例也表明了该模型的可用性. 通过计算发现 , 使带阻尼联结件的叶片系统响应最小的最佳正压力值是与激励条件及阻尼联接件的位置有关的 . 当阻尼联接件位于叶片
2 O den J T , Pires E B. N onlocal and nonlinear friction laws
3 W ang J H, Chen W H. Investigation of the v ibration of a blade w ith friction damper by HBM . ASM E Journal of 图6 激振力密度为 40 kN/ m , 联接件位于相对高度为 0. 5 处的频响曲线 4 Engineering for G as T urbine and Power, 1993, 115 ( 4) : 294~ 299 M enq C H, Griffin J H. A co mparison of transient and steady state finite element analyses of the forced response of a frictionally damped beam. A SM E Journal of V ibr atio n, A coustics, Stress and Reliability in Design, 1985, 107( 1) : 19~ 25

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１干摩擦阻尼结构叶片非线性动力学
方程的求解方法
干摩擦约束结构叶片非线性动力学方程的求解方法主要有解析法、数值积分法、谐波平衡法以及时频交替算法。１解析法可以获得单自由度和两自由（）度系统稳态响应的精确解，对于更复杂的系统，例如系统中含有多个非线性因素、多个自由度，该方法
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５摩擦约束叶片系统的非线性动力学
行为
由于界面上摩擦力的非线性，导致叶片系统表现出许多非线性动力学特征：１固有频率和振型的（）跳跃现象，理论和实验的研究表明，叶片在升速和降速的过程中，由于摩擦界面上参数的变化会导致固有频率和振型出现跳跃现象。２周期解的跳跃现（）象，９采用谐波平衡法对有２文［〕振子摩擦约束系统的强迫振动响应进行了研究，并描述了周期解的跳跃现象。３超谐共振，９采用３（）文［〕次增量谐波平衡法对有３个方向摩擦约束的３振子系统的强迫振动响应进行了研究，并描述了系统出现的共振、超谐共振，以及随激振力频率变化引起的周期解的跳跃现象。由于摩擦界面上摩擦力的高度非线性，使得叶片系统具有高度非线性，然而由于目前所采用的非线性求解方法，摩擦力的简化等方面的不足，导致系统的许多非线性动力学特征被人为忽略。例如，在一个振动周期内，摩擦界面经历了粘、滑和脱离以及正压力的变化，系统增加了时变的阻尼和刚度，使得在一个振动周期内振型发生突变。系统可能出现亚谐共振、概周期运动、倍周期运动等现象。
３接触运动学模型
在接触运动学方面，根据相对运动形式的不同以及对其简化程度的不同，接触运动学模型分为一维接触模型、二维接触模型和三维接触模型。不同接触运动模型将导致摩擦力与接触点位移间具有不同的函数关系，直接影响到对摩擦界面描述的准确程度，以及系统响应的计算结果准确性，另外严重影响到动力学方程求解难易程度。一维的接触模型是最常用的模型，可以用它来模化简单的叶片和基础阻尼器，假设叶片与阻尼块的相互运动始终在一条直线上。实际上，叶片除了弯曲振动，还发生扭转振动及双向弯曲和扭转的祸合振动，导致接触面点的运动轨迹可能成直线、椭圆、圆或者任意的两维曲线，因此需要采用二维接触模型。对于楔型阻尼块以及叶片间的摩擦连接，摩擦面间的相对运动除了发生在摩擦平面外，还会引起法向的相对运动，导致正压力的变化，需要用三维接触模型来模化。文［〕６对三维的接触模型进行了研究，考虑了接触面间多种连接状态以及个状态之间的转换，对接触面的接触运动学做了详细的研究。但是，该研究仍限于理想的摩擦阻尼块，如何建立合理的符合实际的接触面运动学行为，同时又能便于整体动力学建立和求解的模型，仍有很多工作要做。
２界面摩擦模型
在摩擦模型的简化方面，由于是两个弹性表面接触在一起，利用相互间的摩擦力产生约束。两个表面相对运动很复杂，会在三个方向发生变化，在接触面上的切向运动会导致两个表面出现粘、滑和脱离等状态，法向运动会引起正压力的变化，而且接触面上粗造程度等都会对摩擦力产生影响。通常摩擦面不是一个小的平面，平面上各点的运动状态并不
（西安交通大学能源与动力工程学院西安，１０９（西安交通大学学报编辑部西安，１０９ ’ ７０４）２７０４）摘要综述了非线性干摩擦阻尼结构叶片系统的动力学研究现状。引述国内外大量文献，对非线性干摩擦阻尼
结构叶片系统动力学研究中的５个主要问题进行了讨论，它们是干摩擦阻尼结构叶片非线性动力学方程的求解方法、界面摩擦模型简化、接触运动学模型、叶片主结构模型的简化、摩擦约束叶片系统的非线性动力学行为。阐述了常用的各种模型及求解方法的优缺点，最后并提出了该领域值得进一步研究的几个关键问题。
集中质量弹簧多自由度模型及有限元模型。单自由度模型概念清晰，求解方便，但该模型仅适用于小的正压力的情况，也不能用于阻尼器的最优设计，
因为按照该模型在正压力很大、质量块不动时，叶片的振动响应达到最佳。实质上，在叶片中即使阻尼块和叶片的相对运动为零，但整个系统还是振动的，此时的摩擦阻尼为零，阻尼效果最差。该模型不能模拟叶片和阻尼器的柔性，更谈不上描述叶片弯扭藕合的复杂振动行为，因此仅能对叶片阻尼器的设计提供一些定性指导。７提出了采用多质量文［〕弹簧系统模型来表示叶片结构，在他们的模型中采用了两质量模型和４质量模型。有限元模型可以很好地模拟叶片的复杂几何形状和复杂的振动模态，从计算精度来讲是一种较理想的模型，目前许多学者在研究中采用了有限元模型［］但缺点是自由ｚ，．８度多，计算量大。
３３
经验或者昂贵的实验来完成，有些则仅是研究人员的一个想法，到底实际中的效果如何，则无从考证。
ｔｄｍａｍｔｏｆｒｃｌｉｎｅａｙｔｒ－ｉｏｉｅｈｄｃｌａｏｔｓｄｓａｅｍｅｎｏａｕｔｈｔｅｔｅｓｏｓｏｎｎｉｅｒｎｍｉｓｓｅＡＭＥｕｎｌｐｎｅｏｌａｄａｃｔｍ．ｎｎｙｙＳＪｒａｏｏｆＡｐｉＭｅｈｎｃ，１８；：４－１４ｐｌｄｃａｉｅｓ９９５１９５６
５
虽然在界面摩擦力的建模及受摩擦约束叶片响应分析方面取得了一定的进展，但主要限于用小自由度来近似地模拟带阻尼结构叶片的动力学行为，所获得的结果只能提供一些定性、用于趋势性分析的参考意见。因此，为了准确地分析干摩擦阻尼结构叶片结构的非线性强迫振动响应，优化叶片动力特性，应在以下方面做进一步研究，它们是变正压力微动滑移摩擦力模型，带摩擦阻尼约束叶片的非线性动力学方程的求解方法，叶片非线性系统的降阶技术，叶片系统
第１卷增刊７２００４年８月
振动
工
程
学
报
Ｖｏ．ＮｏＳｌ１７．
ＪｕｎｌＶｉａｉＥｇｎｅｉｇｏｒａｏｂｔｎｉｅｒｆｒｏｎｎ
Ａｕ．学研究现状
徐自力‘ 张春梅‘ 杜秀杰“
收稿日期：０４０－０２０－４２
振
动
工
程
学
报
第１７卷
一致，摩擦过程非常复杂。
在摩擦模型的研究方面，目前常用的摩擦模型包括宏观滑移模型和微动滑移模型ａ宏观滑移模（）１型是一种单点接触的模型，又分为Ｃｕｍｏｌｂ摩擦ｏ模型和滞后滑移模型〔２这种模型的优点是简单、Ｉ１－。直观，因此被很多研究人员所采用。２微动滑移模（）型是一种多点接触模型［，１主要有串联、５１并联两种形式。当正压力或接触面较大时，微动滑移模型比宏观滑移模型更能准确地描述摩擦力与位移之间的关系。微动滑移模型的复杂性使得其目前只能停留在理想化的摩擦阻尼元素上做些理论上的探索。针对接触面上正压力的变化，目前主要有恒正压力模型和变正压力两种模型，恒正压力模型简单方便，概念清晰，但准确性差，变正压力模型复杂，但计算结果较恒正压力模型准确。目前已有的一些模型，大多是对理想化摩擦阻尼器进行研究，尚没有一个完善的模化模型。
非线性行为的探索，新型阻尼器设计等。
参考文献
ＭｅｑＨ，ｌＪＧｉｉＪＴｅｌｅｃｏＭｉｎＣＢｅｋｒｆＨｈＩｆｎｅ－ｉａ，ｆｎ．ｎｕｆ
ｃｏｌｏＶｂａｏｙｓｏｓ，ａｔＡｅｔｅｒｔｒｓｐｉｒｔｒＲｐｎｅＰｒ１Ｎｗｏｅｉｉｎｅ：ｈ－
６结束语
从已发表的大量文献来看，人们对于摩擦减振的机理已经有了较深刻的理解。许多形式的阻尼结构开始在实际机组中应用，目前的设计通常是通过但
４叶片主结构简化模型
叶片结构模型的简化，可分为单自由度模型、
增刊
徐自力等：非线性干摩擦阻尼结构叶片系统动力学研究现状
关键词：叶片；干摩擦；阻尼；非线性动力学中图分类号：Ｋ２３３Ｔ６．
气流力诱发的叶片强迫振动是引起叶片破坏的主要原因，为了限制叶片强迫振动的振幅，增加叶片适应冲击载荷的能力以及为防止长叶片在流固祸合作用下产生的自激振动，一种有效的方法就是在系统中采用特殊的摩擦连接结构增加系统的结构阻尼。例如，在汽轮机中采用的自带围带、凸肩、拉金成组或成圈的联结结构，在航空发动机中采用的叶片缘板下阻尼器等结构。当振动发生时，接触界面间发生滑移和摩擦，干摩擦消耗叶片系统振动能量，降低叶片的振动。在振动过程中，摩擦界面间可能出现滑动、粘滞、分离等状态，以及状态间的过度和转换。阻尼结构的存在使得叶片系统成为一个变刚度、变阻尼的非线性动力学系统，给叶片的动力特性研究和叶片阻尼结构的优化设计带来不少困难。本文从干摩擦阻尼结构叶片非线性动力学方程的求解方法、界面摩擦模型的简化、接触运动学模型、叶片主结构模型的简化、摩擦约束叶片系统的非线性动力学行为等五个方面作一简要评述。
就显得无能为力。２数值积分法可以追踪解的时间（）过程，因此可用于求解非线性动力学方程。但是，为了能够准确反映摩擦面粘滞状态和滑移状态之间的转换，在状态转换点附近必须采用小的时间步长，因此计算效率不高。另一个缺点是不易确定系统的稳态解。因此，数值积分法多用于检验频域法及其他方法的准确性［０谐波平衡法利用傅里叶展开，［（）１３］将非线性摩擦力转化为线性化摩擦力，使得非线性微分方程转化为非线性代数方程进行求解。谐波平衡法又包括一次谐波平衡法和增量谐波平衡法〔３２ｊ＾一次谐波平衡法简单易用，被大量的文献所采用。当非线性摩擦力展开项中的高次谐波项对振动影响较大时，必须采用增量谐波平衡法。增量谐波平衡法可以很好地处理强非线性问题，有好的计算精度，它的缺点是随着谐波次数增加，计算时间成几何倍数增加。据报道谐波阶数超过３相对数值积分法该后，方法已无优势可言。４时频交替算法利用了频域高（）效性和时域法处理非线性力的精确性［［４１