2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理,京津地区)精练六 数 列
步步高高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》综合检测
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
综合检测第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1－b i1＋2i ＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．4C ．－10D ．102．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．85．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( ) A ．6种 B ．8种 C ．12种 D ．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( ) A.9π4 B.94π C.4π9D.49π7．如果执行如图的算法框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a n 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”，这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对 C ．甲对、乙错D ．两人都错9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分10．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．1612．(2015·延安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．14．若m ＝ʃ20(2x －e x )d x ，则“a ＝m ＋e 2－214”是“函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点”的________条件(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选填)．15．如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，若OP →＝λ1OB →＋λ2OC →，则λ1－λ2＝______.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为1＋52，圆C 是以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 22|ON |2的值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·福州质检)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0.(1)求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)设y ＝f (x )的图像与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式．18．(12分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m ，修建此矩形场地围墙的总费用为y 元． (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．19．(12分)(2015·淄博模考)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和均值EX .20．(12分)(2015·珠海摸底)在边长为4 cm 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合，构成一个三棱锥．(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； (2)证明：AB ⊥平面BEF ；(3)求平面MEF 与平面BEF 夹角的余弦值．21．(12分)若函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －2x .(1)求函数φ(x )＝g (x )－kf (x )(k >0)的单调区间；(2)若对所有的x ∈[e ，＋∞)，都有xf (x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·广州普通高中毕业班综合测试)已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点，直线x ＋2y ＝0与椭圆C 1交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－2，1)，点P 是椭圆C 1上异于点A ，B 的任意一点，点Q 满足AQ →·AP →＝0，BQ →·BP →＝0，且A ，B ，Q 三点不共线． (1)求椭圆C 1的方程； (2)求点Q 的轨迹方程；(3)求△ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标．答案解析1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D 13．503503603 14.充分不必要 15.－32 16.5＋1417．解 方法一 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12＋m . 因为f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)由(1)得f (x )＝32sin x ＋12cos x . 所以S ＝ʃt 0⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32cos x ＋12sin x t 0＝⎝⎛⎭⎫－32cos t ＋12sin t －⎝⎛⎭⎫－32cos 0＋12sin 0＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32. 所以S (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32 ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3. 方法二 (1)因为函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫56π＝0.又f ⎝⎛⎭⎫56π＝3sin 512πcos 512π＋cos 2512π＋m ＝32sin 56π＋12cos 56π＋12＋m ＝34－34＋12＋m ＝12＋m . 所以12＋m ＝0，解得m ＝－12.以下同方法一．(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以S ＝ʃt 0sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝－cos⎪⎪⎝⎛⎭⎫x ＋π6t0＝－cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π6＋32. 所以S (t )＝－cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π6＋32 (0<t <2π3)． 18．解 (1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知得xa ＝360，得a ＝360x .∴y ＝225x ＋3602x －360(x >2)．(2)∵x >2， ∴225x ＋3602x ≥2225x ·3602x＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．19．解 (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A 1， 则P (A 1)＝⎝⎛⎫234＝1681；设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233×23＝64243， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7.P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132＝19.P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427. P (X ＝6)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232×13＋⎝⎛⎭⎫234＝2881. P (X ＝7)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281， 则X 的分布列为EX ＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.20．(1)解 MN ∥平面AEF .证明：由题意可知点M ，N 在折叠前后都分别是AB ，CF 的中点(折叠后B ，C 两点重合)， 所以MN ∥AF . 因为⎩⎪⎨⎪⎧MN 平面AEF ，AF 平面AEF ，MN ∥AF ，所以MN ∥平面AEF .(2)证明 由题意可知AB ⊥BE 的关系在折叠前后都没有改变． 因为在折叠前AD ⊥DF ，由于折叠后AD 与AB 重合，点D 与B 重合， 所以AB ⊥BF .因为⎩⎪⎨⎪⎧AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，BE 平面BEF ，BF 平面BEF ，BE ∩BF ＝B ，所以AB ⊥平面BEF .(3)解 记EF 的中点为G ，连接ME ，MF，BG ，MG . 因为BE ＝BF ，ME ＝MF ，所以BG ⊥EF 且MG ⊥EF ， 所以∠MGB 是平面MEF 与平面BEF 的夹角． 因为AB ⊥平面BEF ，所以∠MBG ＝90°. 在△BEF 中，BG ＝2，由于MB ＝2，所以MG ＝MB 2＋BG 2＝6，于是cos ∠MGB ＝BG MG ＝26＝33.所以平面MEF 与平面BEF 夹角的余弦值为33. 21．解 (1)函数φ(x )＝x －2x －k ln x 的定义域为(0，＋∞)．φ′(x )＝1＋2x 2－k x ＝x 2－kx ＋2x 2，记函数h (x )＝x 2－kx ＋2，其判别式Δ＝k 2－8. ①当Δ＝k 2－8≤0，即0<k ≤22时，h (x )≥0恒成立， ∴φ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立， φ(x )在区间(0，＋∞)上递增，②当Δ＝k 2－8>0即k >22时，方程h (x )＝0有两个不等的实根x 1＝k －k 2－82>0，x 2＝k ＋k 2－82>0. 若x 1<x <x 2，则h (x )<0，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在区间(x 1，x 2)上递减； 若x >x 2或0<x <x 1，则h (x )>0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递增． 综上可知：当0<k ≤22时， φ(x )的递增区间为(0，＋∞)；当k >22时，φ(x )的递增区间为(0，k －k 2－82)和(k ＋k 2－82，＋∞)，递减区间为(k －k 2－82，k ＋k 2－82)． (2)∵x ≥e ，∴x ln x ≥ax －a ⇔a ≤x ln xx －1.令p (x )＝x ln xx －1，x ∈[e ，＋∞)， 则p ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2.∵当x ≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x >0，∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数， ∴x －ln x －1≥e －ln e －1＝e －2>0，p ′(x )>0，∴p (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴p (x )的最小值为p (e)＝e e －1，∴a ≤ee －1.22．解 (1)∵双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴椭圆C 1的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，∵椭圆C 1过点A (－2，1)， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－(2)2＝2.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点Q (x ，y )，点P (x 1，y 1)，由A (－2，1)及椭圆C 1关于原点对称可得 B (2，－1)，∴AQ →＝(x ＋2，y －1)，AP →＝(x 1＋2，y 1－1)， BQ →＝(x －2，y ＋1)，BP →＝(x 1－2，y 1＋1)． 由AQ →·AP →＝0，得(x ＋2)(x 1＋2)＋(y －1)(y 1－1)＝0， 即(x ＋2)(x 1＋2)＝－(y －1)(y 1－1)．① 同理，由BQ →·BP →＝0，得(x －2)(x 1－2)＝－(y ＋1)(y 1＋1)．②①×②，得(x 2－2)(x 21－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．③由于点P 在椭圆C 1上，则x 214＋y 212＝1， 得x 21＝4－2y 21，代入③式，得－2(y 21－1)(x 2－2)＝(y 2－1)(y 21－1)． 当y 21－1≠0时，有2x 2＋y 2＝5，当y 21－1＝0时，点P (－2，－1)或P (2，1)，此时点Q 对应的坐标分别为(2，1)或(－2，－1)，其坐标也满足方程2x 2＋y 2＝5. 当点P 与点A 重合时，即点P (－2，1)， 由②得y ＝2x －3.解方程组⎩⎨⎧2x 2＋y 2＝5，y ＝2x －3，得点Q 的坐标为(2，－1)或⎝⎛⎭⎫22，－2. 同理，当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为(－2，1)或⎝⎛⎭⎫－22，2. ∴点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝5，除去四个点(2，－1)，⎝⎛⎭⎫22，－2，(－2，1)，⎝⎛⎭⎫－22，2. (3)点Q 到直线AB ：x ＋2y ＝0的距离为|x ＋2y |3. △ABQ 的面积为S ＝12(2＋2)2＋(－1－1)2·|x ＋2y |3＝|x ＋2y |＝x 2＋2y 2＋22xy .而22xy ＝2×(2x )×⎝⎛⎭⎫y 2≤4x 2＋y 22(当且仅当2x ＝y 2时等号成立)， ∴S ＝x 2＋2y 2＋22xy ≤ x 2＋2y 2＋4x 2＋y 22 ＝ 5x 2＋52y 2＝522(当且仅当2x ＝y 2时，等号成立)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝y 2，2x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2.∴△ABQ 的面积的最大值为522，此时，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，2或⎝⎛⎭⎫－22，－2.。
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理,京津地区)精练十二 推理与证明、算法、复数
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1 B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2nn ＋22．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．－1 C ．1D ．23．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A.编号1 B ．编号2 C ．编号3D ．编号44．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋15．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉S B ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S C ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S7．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( ) A ．T ＞0？，A ＝M ＋W50B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50C ．T ＜0？，A ＝M －W50D ．T ＞0？，A ＝M －W508．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12……则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86D ．92第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．10．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….依此，若m 3的“分裂数”中有一个是2015，则m ＝________.11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共扼复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．16.(13分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X ′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x ≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x ≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c .①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(13分)已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；(2)求证：m ≥72.18．(13分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2. (1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19．(14分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S (件)与电视广告每天的播放量n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现． (1)试写出该产品每天的销售量S (件)关于电视广告每天的播放量n (次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(14分)(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n ＜2n ＋43.答案解析1．A [S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1，故选A.]2．B [a 1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1.]3．A [由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵2009＝4×502＋1，∴第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1.]4．A [根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质， 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中， ∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0， 又F B →＝(c ，b )，A B →＝(－a ，b )， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12， 故选A.]5．C [∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2.]6．B [方法一 因为(x ，y ，z )∈S ，则x ，y ，z 的大小关系有3种情况，同理，(z ，w ，x )∈S ，则z ，w ，x 的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x ，y ，w ，z 的大小关系有4种可能，均符合(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .故选B.方法二 (特殊值法)因为(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，不妨令x ＝2，y ＝3，z ＝4，w ＝1，则(y ，z ，w )＝(3,4,1)∈S ，(x ，y ，w )＝(2,3,1)∈S ，故(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 的说法均错误，可以排除选项A 、C 、D ，故选B.]7．D [依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数，因此结合题意得，选D.]8．B [由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )的个数为4n ， ∴|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.] 9.3724解析 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.10．45解析 由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m 增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2015是第1008个奇数，若它是m 的分解，则1至m －1的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个．∴1＋2＋3＋…＋(m －1)<1008,1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m ≥1008，即m (m －1)2<1008，m (m ＋1)2≥1008，解得m ＝45. 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析 由a ≥b ，得x 2≥x 3， 解得x ≤1，所以当x ≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3， 当x ≤1时， 由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2. 当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 13．2015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小，可求出第63行最左边的一个数是63×(63＋1)2＝2016，从左至右的第2个数应是2016－1＝2015. 14．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下： ①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3. 15．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i. 因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0， 解得⎩⎨⎧m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32， 所以m 的集合为{m |5－12＜m ＜32}． 16．解 ①g →7→7＋12＝4→d ；o →15→15＋12＝8→h ；d →4→42＋13＝15→o ；则明文good 的密文为dhho. ②逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－1，(x ′∈N ，1≤x ′≤13)2x ′－26，(x ′∈N ，14≤x ′≤26) 则有s →19→2×19－26＝12→l ； h →8→2×8－1＝15→o ； x →24→2×24－26＝22→v ； c →3→2×3－1＝5→e . 故密文shxc 的明文为love.17．证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9.即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9， 即证b 2a 2＋4a 2b 2≥4. 根据基本不等式有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立． 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1. 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b2＝2m －1＞0， 所以m ≥72. 18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15. (2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)，g (5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12. 19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N *)． 由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *， 于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n ) ＝b (2－12n )(n ∈N *)． 所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告每天播放量n (次)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n ∈N *.(2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n ≥4(n ∈N *)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．(1)证明 用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)；①当n ＝1，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＞2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理知，对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立．(2)解 {a n }是递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .这说明{a n }是递减的数列．(3)证明 由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n ＞2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14， 所以a n ＋1－2＜14(a n －2)＜(14)2·(a n －1－2)＜…＜(14)n (a 1－2)． 所以，当a ＝3时，a n ＋1－2＜(14)n ， 即a n ＋1＜(14)n ＋2， 当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43， 当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜3＋(14＋2)＋[(14)2＋2]＋…＋[(14)n －1＋2] ＝3＋2(n －1)＋141－14[1－(14)n －1] ＝2n ＋1＋13[1－(14)n －1]＜2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N *)．。
步步高【加练半小时】2017年高考数学(全国理)专题复习：(理)(全国)阶段检测6.docx
一、选择题1．(2015·浙江六校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln [(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)3．(2014·课标全国Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i4．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π85．(2015·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026 D ．2 0366．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.787．设随机变量X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.388．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β9．设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25 C.55 D ．－5510．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项是( )A ．160B ．－160C ．26D ．－2611．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．6312．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题13．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 14．(2015·金华十校模拟)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上，且AB⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．15．(2014·福建)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2015·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．19．(2015·内江期末)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1. (1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．(2015·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝1 1a i ，求证：S n<32.21．(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝ax ＋ln(x －1)，其中a 为常数． (1)试讨论f (x )的单调区间； (2)当a ＝11－e 时，存在x 使得不等式|f (x )|－ee －1≤2ln x ＋bx 2x 成立，求b 的取值范围．22．(2015·山东滕州第三中学第一学期期末)如图，直线l ：y ＝x ＋b (b >0)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，已知点P (2，2)在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小值为324.(1)求直线l 及抛物线C 的方程；(2)过点Q (2,1)的任一直线(不经过点P )与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案解析1．A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A8．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．] 9．D 10．B [a ＝(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx 3－r ，令3－r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项是－C 3626－3＝－160，选B.] 11．B12．C [因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ， 所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.]13.π3解析 ∵函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵f (x )的图象关于点(x 0,0)成中心对称，∴f (x 0)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3＝0，∴2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， ∵x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 14.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4(m 2＋n 2)＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 15.2e 2 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数． 又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π6＝0， 则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24 (k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此x 0＝5π24 或x 0＝11π24.当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤7π12，5π6. 18．解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3) ＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η. 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132×23＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的均值E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.19．(1)证明 ∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ， ∴EA ⊥BM .又∵BM ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ，而EM ⊂平面ACFE ， ∴BM ⊥EM .∵AC 是圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°. 又∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴AB ＝23，BC ＝2，AM ＝3，CM ＝1. ∵EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，FC EA ＝13，∴FC ⊥平面ABC ，∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形， ∴∠EMA ＝∠FMC ＝45°， ∴∠EMF ＝90°，即EM ⊥MF . ∵MF ∩BM ＝M ，∴EM ⊥平面MBF . 而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF .(2)解 如图，延长EF 交AC 的延长线于G ，连接BG ，过C 作CH ⊥BG ，连接FH .由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG . 而FC ∩CH ＝C ，∴BG ⊥平面FCH . ∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BM ＝AB sin 30°＝3， 由FC EA ＝GC GA ＝13，得GC ＝2. ∵BG ＝BM 2＋MG 2＝2 3. 又∵△GCH ∽△GBM ， ∴GC BG ＝CH BM ，则CH ＝GC BM BG ＝2×323＝1. ∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FHC ＝45°， ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0， ∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时，a n －13a n －1＝3n －1，①n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.②由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合． a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *.(3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1，∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n. ∴S n <32.21．解 (1)由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1}， f ′(x )＝a ＋1x －1＝ax －a ＋1x －1.当a ≥0时，f ′(x )>0在定义域内恒成立，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝1－1a >1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1－1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞. 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－1a )，单调递减区间为(1－1a ，＋∞)．(2)由(1)知当a ＝11－e 时，f (x )的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f (x )max ＝f (e)＝e1－e＋ln(e －1)<0， 所以|f (x )|≥－f (e)＝ee －1－ln(e －1)恒成立，当x ＝e 时取等号． 令g (x )＝2ln x ＋bx 2x ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当1<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0，从而g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋b2，所以，存在x 使得不等式|f (x )|－e e －1≤2ln x ＋bx 2x 成立， 只需e e －1－ln(e －1)－e e －1≤1e ＋b 2， 即b ≥－2e－2ln(e －1)． 22．解 (1)∵点P (2,2)在抛物线C 上，∴p ＝1.设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －2)2－4m 2＝4－8m ，由Δ＝0，得m ＝12，则直线l ′的方程为y ＝x ＋12. 两直线l ，l ′间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，有⎪⎪⎪⎪b －122＝324， 解得b ＝2或b ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线C 的方程为y 2＝2x .(2)∵直线AB 的斜率存在，且k ≠0，∴设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k ≠0)，即y ＝kx －2k ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＋2＝0(k ≠0)， 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k (k ≠0)，y 1y 2＝2－4k k(k ≠0)． ∵k 1＝y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，k 2＝2y 2＋2， ∴k 1＋k 2＝2y 1＋2＋2y 2＋2＝2(y 1＋y 2)＋8y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝2·2k ＋82－4k k ＋2·2k ＋4(k ≠0)＝4k ＋23. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y ＝x ＋2，得x M ＝2k ＋1k －1，y M ＝4k －1k －1，∴k 3＝4k －1k －1－22k ＋1k －1－2＝2k ＋13， ∴k 1＋k 2＝2k 3.∴存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，且λ＝2.。
步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文,京津地区)精练：综合检测(一)(含答案解析)
〖XD〗〖BFB〗〖WTBX〗〖HS5〗〖JZ〗〖HT1”DH〗高三单元滚动检测卷·数学〖HT[HTH]考生注意：〖HT〖HTF〗1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.2.〖ZK(〗答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.〖ZK)3.本次考试时间120分钟,满分150分.4.〖ZK（〗请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.〖ZK）〗〖HT〖BW（S（X2.5mm，，）〗〖JY〗〖HT9.BS〗综合检测（一）〖HT〗〖BW）〗〖BT1〖FL(-DK2〗〖HJ2.2mm〗〖HS2〗〖JZ〗〖HT4H〗第Ⅰ卷〖HT〖HT10.H〗一、选择题〖HT〗（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四1.〖ZK（〗如果复数z=[SX(]2[]-1+i[SX)],则〖JY〖KG6〗〖WB〗〖KG6〗〖WB〗〖KG6〗〖WB〖KH-1D〗A.|z|=2〖DW2〗B.z的实部为1C.z的虚部为-1〖DW2〗D.z的共轭复数为1+i〖ZK）〗〖HT2.〖ZK（〗已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示，则y对x的回归直线方程y[DD （-1*1]〖HT3H〗＾[DD）]〖HT〗=b[DD（-1*1]〖HT3H〗＾[DD）]〖HT〗x+a[DD （-1*1]〖HT3H〗＾[DD）]〖HT〗必过点〖JY〖BG（！〗〖BHDG2，K3，K3。
4〗x[]0[]1[]2[]3〖BH〗y[]1[]3[]5[]7[BG)]A.(1,2)〖DW2〗B.〖JB（（〗〖SX（〗3[]2〖SX）〗,0〖JBC.(2,2)〖DW2〗D.〖JB（（〗〖SX（〗3[]2〖SX）〗,4〖JB））〗〖ZK）〗〖HT3.〖ZK（〗设M是△ABC边BC上任意一点，且2AN TX→-*4〗=NM TX→-*4〗，AN TX→-*4〗=λAB TX→-*4〗+μAC TX→-*4〗，则λ+μ的值为〖JY〗A.〖SX（〗1[]4〖SX）〗〖DW2〗B.〖SX（〗1[]3〖SXC.〖SX（〗1[]2〖SX）〗〖DW2〗D.1〖ZK）〗〖HT HJ3.2mm〗4.〖ZK（〗下面图（1）是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是〖JY〖JZ〗〖XCSXJ128a.TIF〖JZ〗图(1)〖JZ〗〖XCSXJ128.TIF〖JZ〗图(2)〖HJ3.7mm A.6〖DW〗B.10〖DW〗C.91〖DW〗D.92〖ZK）〗〖HT5.〖ZK（〗某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是〖JY〗A.64〖DW〗B.63〖DW〗C.62〖DW〗D.61〖ZK）〗〖HT6.〖ZK（〗已知集合〖JB（{〗（x，y）〖JB（|〗〖JB（{〗2x+y-4≤0x+y≥0x-y≥0〖JB）〗〖JB）〗〖JB）}〗表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x,y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为〖JYA.〖SXπ[]32〖SX）〗〖DW2〗B.〖SX（〗3π[]16〖SXC.〖SXπ[]16〖SX）〗〖DW2〗D.〖SX（〗3π[]32〖SX）〗〖ZK）〗〖HT7.〖ZK（〗〖HTH〗〖HT〗设函数f(x)=log a|x|在（-∞,0)f(a+1)f(2)的大小关系是〖JYA.f(a+1)>f(2)〖DW2〗B.f(a+1)<f(2)C.f(a+1)=f(2)〖DW2〗D.不能确定〖ZK）〗〖HT〖HJ2.0mm〗8.〖ZK（〗〖HTH〗〖HT〗（〖HTK〗2015·大连模拟〖HT〗）已知双曲线C：〖SX（〗x2[]4〖SX）〗-[SX（]y2[]b2[SX）]=1 （b>0）的一条渐近线方程为y=[SX(]〖KF （〗6〖KF）〗[]2[SX)]x,F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上的一点，|PF1|∶|PF2|=3∶1|PF1TX→-*4〗+PF2TX→-*4〗|的值是〖JYA.4〖DW2〗B.2〖KF（〗6〖KFC.2〖KF（〗10〖KF）〗〖DW2〗D.[SX（]6〖KF（〗10〖KF）〗[]5[SX）]〖ZK）〗〖HT〗〖BG（！〗〖BHDG2，K5，K5。
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理,京津地区)精练十一 计数原理、概率、随机变量及其分布
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十一 计数原理、概率、随机变量及其分布第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有( ) A ．150种 B ．114种 C ．100种D ．72种2.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( ) A.34 B.38 C.14D.183．(2015·山西四校联考)若(x 6＋1x x)n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．64．(2015·东北三省联考)在五次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．(0，15]B ．(0，16]C ．(0，14]D ．(0，13]5．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.756．若P (X ≤n )＝1－a ，P (X ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤X ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )7．(2015·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知(1＋xk )k 的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796 B.532 C.16D.7488．用直线y ＝m 和直线y ＝x 将区域x 2＋y 2≤6分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．(－3，2) C ．(－2，2)D ．(－2，3)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 从0,1,2三数中任取一个，b 从1,2,3,4四数中任取一个，那么f (x )>b 恒成立的概率为________．10．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任选3道题作答．已知所选的3道题中有2道甲类题，1道乙类题，设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立，则张同学恰好答对2道题的概率为________．11．(2015·昆明一调)设区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}，区域A ＝{(x ，y )|xy ≤1，(x ，y )∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点恰好在区域A 中的概率为____________．12．(2015·长沙模拟)从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的均值为________．13．反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则这四次点数的所有不同结果的种数为________．14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X ，则E (X )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)某车站每天上午发出两辆客车，每辆客车发车时刻和发车概率如下：第一辆车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为14，12，14；第二辆车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为14，12，14；两辆车发车时刻是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，求：(1)该旅客乘第一辆车的概率；(2)该旅客候车时间(单位：分钟)的分布列及均值．16．(13分)袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球． (1)若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；(2)若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．17.(13分)某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：(1)从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；(2)从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．18．(13分)设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2(单位：cm)，其分布列为求E(X1)，E(X2)，D(X1219.(14分)(2015·河南洛阳统考)为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高制成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下(不包括175cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的均值．20．(14分)一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f 1(x )＝x 3，f 2(x )＝5|x |，f 3(x )＝2，f 4(x )＝2x －12x ＋1，f 5(x )＝sin(π2＋x )，f 6(x )＝x cos x .(1)从中任意抽取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和均值．答案解析1．C [先将五人分成三组，因为要求每组至少一人， 所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有C 25C 23C 112＋C 35C 12C 112＝25种分组方法，因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法， 所以不同的保送方案共有25×4＝100种．]2．A [由于每个部分均可选用红、蓝两种颜色涂色，故共有2×2×2＝8(个)基本事件，其中颜色全相同的只有红或蓝两种，故三个颜色不全相同的概率为1－28＝34.]3．C [T k ＋1＝C k n (x 6)n －k (1x x)k ＝C knx 6n －152k ， 当T k ＋1是常数项时，6n －152k ＝0，即n ＝54k ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C.]4．D [由题意可得C 15p (1－p )4≥C 25p 2(1－p )3，解得p ≤13，故p ∈(0，13]．]5．B [由题意知X 可能的取值为0,1,2,3， 故有P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125.P (X ＝3)＝8125，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125 ＝150125＝65.] 6．C [P (m ≤X ≤n )＝P (X ≤n )＋P (X ≥m )－1 ＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )．] 7．C [由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4， 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝(2x 2－13x 3)|40＝323， ∵任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，∴以x ，y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积 S 2＝4×16＝64， 所以所求概率P ＝S 1S 2＝16.故选C.]8．A [区域x 2＋y 2≤6表示以原点O (0,0)为圆心，半径等于6的一个圆面(圆周以及圆周内部)，直线y ＝x 和圆周的交点为A (3，3)，B (－3，－3)． 直线y ＝m 表示一条和x 轴平行的直线，①当3≤|m |<6时，圆面被分成了3部分，用5种不同的颜色给这3块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，则共有A 35＝60种不同的染色方法，不满足条件．②当|m |≥6时，圆面被分成了2部分，按题中要求的涂色方法共有A 25＝20种，不满足条件． ③显然，当－3<m <3时，圆面被分成了4部分，按题中要求的涂色方法共有A 45＝120种，满足条件．] 9.23解析 当a >0时，f (x )＝ax ＋x x －1 (x >1)＝a (x －1)＋1x －1＋a ＋1≥2a ＋a ＋1＝(a ＋1)2， 因为f (x )>b 恒成立，所以(a ＋1)2>b 恒成立，若b ＝1，则a ＝1,2；b ＝2，a ＝1,2；b ＝3，a ＝1,2；b ＝4，a ＝2，共7种情况； 当a ＝0时，f (x )＝1x －1＋1>1，b ＝1适合，共1种情况．故概率为83×4＝23.10.57125解析 设张同学答对的甲类题的数目为x ，答对的乙类题的数目为y ，答对的题的总数为X ，则X ＝x ＋y ，所以P (X ＝2)＝P (x ＝2，y ＝0)＋P (x ＝1，y ＝1)＝C 22×(35)2×(1－45)＋C 12×35×(1－35)×45＝57125. 11.1＋2ln24解析 在平面直角坐标系中画出区域Ω和A ，则区域Ω的面积为4，区域A 的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y ＝1x (x ＞0)与x ＝12，x ＝2，y ＝0所形成的曲边梯形的面积，则区域A 的面积S A ＝12×2＋∫2121xd x ＝1＋2ln2.根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A 中的概率为A 的面积Ω的面积＝1＋2ln24.12．60°解析 在正方体中任意两面对角线所成角可能为0°，60°，90°，其中12条对角线中成0°的，即平行的共有6对，成90°的面对角线共有12对，成60°的面对角线共48对，故正方体中任意两面对角线所成角的均值为0°×666＋90°×1266＋60°×4866＝60°.13．360解析 假设第四次抛出的数字为1，则前三次抛出的数字应该是2,3,4,5,6中的两个，先选一个排在前三个空中，有C 15C 13种排法，再从剩下的四个数字中选一个排在剩余的两个空中，有C 14种排法，根据分步乘法计数原理知，共有6C 15C 13C 14＝360种不同的结果．14．2解析 所有可能出现的情况分别为硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为X 1＝－4，此时概率P 1＝116；硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为X 2＝－1，此时概率P 2＝C 34·(12)3·12＝416；硬币2次反面向上而2次正面向上，则青蛙停止时坐标为X 3＝2，此时概率为P 3＝C 24·(12)2·(12)2＝616；硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为X 4＝5，此时概率P 4＝C14×(12)1×(12)3＝416；硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为X 5＝8，此时概率P 5＝C 04×(12)4＝116， 所以E (X )＝X 1P 1＋X 2P 2＋X 3P 3＋X 4P 4＋X 5P 5＝2.15．解 (1)记第一辆车在8：20和8：40发车的事件分别为A 和B ，且A 、B 互斥， ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋14＝34.(2)设该旅客候车时间为ξ(分钟)，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝30(分钟)．∴该旅客候车时间的均值是30分钟． 16．解 (1)摸出的2个小球为异色球的种数为C 11C 17＋C 13C 14＝19，从8个小球中摸出2个小球的种数为C 28＝28. 故所求概率为P ＝1928.(2)符合条件的摸法包括以下三类： 一类是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有C 14C 11C 13＝12种不同摸法，一类是有2个红球，1个其他颜色球，共有C 24C 14＝24种不同摸法，一类是所摸得的3个小球均为红球， 共有C 34＝4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种． 由题意知，随机变量ξ的可能取值为1,2,3， 其分布列为E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝95.17．解 (1)记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A ，则P (A )＝C 220＋C 110C 115＋C 120C 115C 250＝190＋150＋30025×49＝128245， 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为128245.(2)依题意可知X 的可能取值分别为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝3501225＝27， P (X ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 120C 115C 250＝5501225＝2249. P (X ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝2501225＝1049. P (X ＝3)＝C 15C 115C 250＝751225＝349.从而X 的分布列为X 的均值E (X )＝0×27＋1×2249＋2×1049＋3×349＝5149.18．解 根据题意，有E (X 1)＝(82＋83＋90＋92＋98)×0.2＝89，E (X 2)＝(82＋86.5＋90＋92.5＋94)×0.2＝89，D (X 1)＝(82－89)2×0.2＋(83－89)2×0.2＋(90－89)2×0.2＋(92－89)2×0.2＋(98－89)2×0.2＝35.2，D (X 2)＝(82－89)2×0.2＋(86.5－89)2×0.2＋(90－89)2×0.2＋(92.5－89)2×0.2＋(94－89)2×0.2＝18.7，因为E (X 1)＝E (X 2)，故两门火炮的平均性能相当， 但D (X 1)>D (X 2)，故乙火炮性能相对较稳定， 则甲火炮性能相对较分散，不够稳定．19．解 (1)根据茎叶图知，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法抽取5人，又530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人， “非高个子”有18×16＝3人，从这5人中选2人，用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”， 则它的对立事件A 表示“没有‘高个子’被选中”， 则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)抽取的30名学生中有12名是“高个子”，所以抽取1名学生，是“高个子”的频率为1230＝25，用样本估计总体，把频率作为概率，那么从该地所有高中生中抽取1名学生，是“高个子”的概率是25.从该地所有高中生中抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验， 于是，ξ服从二项分布B (3，25)，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03(1－25)3＝27125， P (ξ＝1)＝C 1325(1－25)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(1－25)＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 因此，ξ的分布列如下：所以E (ξ)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65(或E (ξ)＝3×25＝65)． 20．解 (1)f 1(x )＝x 3为奇函数；f 2(x )＝5|x |为偶函数；f 3(x )＝2为偶函数；f 4(x )＝2x －12x ＋1为奇函数；f 5(x )＝sin (π2＋x )为偶函数；f 6(x )＝x cos x 为奇函数． 所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数．故基本事件总数为C23＋C13C13，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为C23，故所求概率为P ＝C23C13C13＋C23＝14. (2)ξ可取1,2,3,4.P (ξ＝1)＝C13C16＝12， P (ξ＝2)＝C13C16·C13C15＝310， P (ξ＝3)＝C13C16·C12C15·C13C14＝320， P (ξ＝4)＝C13C16·C12C15·C11C14·C13C13＝120. 故ξ的分布列为 E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文,京津地区)精练：9概 率(含答案解析)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十一 概 率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.7122．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( ) A.310 B.25 C.35D.7103．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同，现从中随机取出2个小球．则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D.144.如图，扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份，连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310B.15C.25D.125．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23D.456．(2015·太原一模)如图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.45D.9107．(2015·湖州质检)若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)产生进位现象，则称n 为“先进数”，例如：4是“先进数”，因4＋5＋6产生进位现象，2不是“先进数”，因2＋3＋4不产生进位现象，那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为( ) A ．0.10 B ．0.90 C ．0.89 D ．0.888．集合A ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，x ∈N}，集合B ＝{(x ，y)|y≤－x ＋5，x ∈N}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a ，掷第二颗骰子得到的点数记作b ，则(a ，b)∈A∩B 的概率等于( ) A.14 B.29 C.736D.536第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．10.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．11．(2015·长沙模拟)一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为________．12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE －D 1DCGH 内的概率为________．13．从{13，12，2,3}中随机抽取一个数记为a ，从{－1,1，－2，2}中随机抽取一个数记为b ，则函数y ＝a x ＋b 的图象经过第三象限的概率是________．14．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表：(1)试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．16．(13分)盒子内装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x ，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y.试求： (1)x ＋y 是10的倍数的概率； (2)xy 是3的倍数的概率．17.(13分)投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子，观察出现的点数，并记红色骰子出现的点数为m ，蓝色骰子出现的点数为n ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，mx ＋ny ＝3解答下面问题．(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．18．(13分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？说明理由．19.(14分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n.(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率； (2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．20．(14分)现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ，且x<y”． (1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率．答案解析1．C [基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共有12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.]2．B [由题意可知a n ＝2·(－2)n －1，故前10项中，不小于8的只有8,32,128,512，共4项，故所求概率是410＝25.]3．C [取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4种，所以所求概率为410＝25.]4．A [题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB ，AOC ，AOD ，AOE ，EOB ，EOC ，EOD ，DOC ，DOB ，COB ，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD ，EOC ，DOB)，因此所求的概率等于310.]5．C [设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，所以x(12－x)＝20， 解得x ＝2或x ＝10.故P ＝10－212＝23.]6．C [设被污损的数字为a(0≤a≤9且a ∈N *)，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a ， 解得8＞a ，即得0≤a≤7且a ∈N *，所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故应选C.]7．D [一位数中不是“先进数”有0,1,2共3个；两位数中不是“先进数”，则其个位数可以取0,1,2，十位数可取1,2,3，共有9个， 则小于100的数中，不是“先进数”的数共有12个，所以小于100的“先进数”的概率为P ＝1－12100＝0.88，故应选D.]8．B [根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B 对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷两颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)． 所以满足(a ，b)∈A∩B 的概率为836＝29.]9.23解析 P ＝12＋16＝23.10.35 1315解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况， 故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是 P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.11．1－π12解析 如图，三角形ABC 的面积为12×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S ＝12×π·12＝π2，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P ＝6－π26＝1－π12.12.910解析 因为EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1， 所以EH ∥平面BCC 1B 1，过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE －D 1DCGH 和EB 1F －HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a×255a 2a 2＝910. 13.38解析 由题意得，从集合{13，12，2,3}中随机抽取一个数记为a ，则a 有4种情况；从集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则b 有4种情况， 则函数f(x)＝a x ＋b 的所有情况有16种，函数f(x)＝a x ＋b 的图象经过第三象限的情况有a ＝2，b ＝－1；a ＝2，b ＝－2；a ＝3，b ＝－1；a ＝3，b ＝－2；a ＝12，b ＝－2；a ＝13，b ＝－2，共6种，所以函数f(x)的图象经过第三象限的概率P ＝616＝38.14.1116解析 由已知f′(x)＝3x 2＋a>0，所以f(x)在R 上递增，若f(x)在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f(1)＝1＋a －b≤0，f(2)＝8＋2a －b≥0，经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)共11对满足条件，而总的情况有16种， 故所求概率为1116.15．解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ， P(A)＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种． 记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P(M)＝710＝0.7.16．解 先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x ，y)共有100个． (1)x ＋y 是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x ＋y 是10的倍数”的概率为P 1＝10100＝0.1.(2)xy 是3的倍数，只要x 是3的倍数，或y 是3的倍数， 由于x 是3的倍数且y 不是3的倍数的数对的个数为21个，而x 不是3的倍数且y 是3的倍数的数对的个数也为21个， x 是3的倍数且y 也是3的倍数的数对的个数为9个． 即xy 是3的倍数的数对的个数为21＋21＋9＝51(个)． 故xy 是3的倍数的概率为P 2＝51100＝0.51.17．解 (1)方程组只有一个解，则n≠2m.由上表可知方程组只有一个解的概率P ＝36－336＝1112.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，mx ＋ny ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(3－n)2m －n，y ＝2m －32m －n ，若要方程组只有正数解，则需⎩⎪⎨⎪⎧2(3－n)2m －n ＞0，2m －32m －n ＞0.由上表可知方程组只有正数解的概率P ＝1336.18．解 (1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果．所以P(A)＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，理由如下：B 与C 都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B 与事件C 可能同时发生，故不是互斥事件． (3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P ＝1325>12，故这种游戏规则不公平．19．解 (1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为Ω＝{(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)}共10个基本事件．设使函数为增函数的事件空间为A ，则A ＝{(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)}共6个基本事件．所以P(A)＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1的区域如图所示，使函数图象过一、二、三象限的m 、n 的取值的区域为第一象限的阴影部分． 所以所求事件的概率为P ＝1272＝17.20．解 (1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A. 则事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x<y”， 由(1)可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个，所以P(A)＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512.。
2017届高三数学(全国,理)一轮复习滚动检测 滚动检测二 含解析
高三单元滚动检测卷·数学考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2016·浏阳联考)设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)〈1}，B＝{x|y＝ln （1－x)｝，则图中阴影部分表示的集合为( ）A．｛x｜x≥1}B．{x|x≤1｝C．{x|0〈x≤1}D．{x|1≤x<2｝2．已知f(x)＝错误!则f(错误!)＋f(－错误!)的值为（)A。
错误!B．－错误!C．－1 D．13．（2015·湖北荆州中学模拟）已知函数f（x）＝错误!则－2≤a≤1是f（x）在R上单调递增的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设f（x)＝|2－x2｜,若0<a〈b且f（a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是（）A．(0，2) B．(0，2）C．(0,4) D．（0，2错误!）5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,且当x≥0时，f(x)＝ln（x ＋1)，则函数f（x）的大致图象为( )6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足错误!≤0,则必有( ）A．f(0)＋f（2）〉2f(1）B．f(0）＋f（2）≤2f（1）C．f(0）＋f(2）〈2f(1）D．f（0）＋f(2）≥2f(1）7．(2015·渭南质检一)已知函数f(x)满足f（－x)＝f(x）和f(x＋2)＝f （x)，且当x∈[0，1]时，f（x)＝1－x，则关于x的方程f(x)＝（错误!）x在x∈[0，4]上解的个数是( ）A．5 B．4C．3 D．28．若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞)上单调递增,则k的取值范围是（)A．(－∞，－2] B．(－∞,－1]C．［2,＋∞) D．［1,＋∞)9．已知函数f（x)＝错误!则对任意x1，x2∈R,若0<|x1｜<｜x2｜，下列不等式成立的是( ）A．f(x1)＋f（x2)〈0 B．f(x1)＋f（x2）〉0C．f（x1)－f(x2）>0 D．f(x1）－f(x2)〈010．当x∈［－2,1］时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A．［－5，－3］B．[－6,－错误!]C．[－6，－2］D．［－4，－3］11．已知定义在R上的函数f(x）满足f（x)＝－f（x＋错误!)，且f(1）＝2，则f（2 017)等于（）A．－1 B．2C．－2 D。
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高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测六 数 列第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·黄冈中学期中)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－42．(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．93．已知数列{a n }是等差数列，若a 2016＋a 2017<0，a 2016·a 2017<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．4029B ．4030C ．4031D ．40324．(2015·重庆模拟)已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(n ＋1n )n －1C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n5．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞06．(2015·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}7．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5等于( )A ．0B.116π2C.18π2D.1316π2 8．(2015·黄冈中学月考)若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是________．10．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.11．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．12．(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．13．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2n a n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．14．(2015·杭州严州中学阶段测试)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n.若对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)(2015·福建)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．16．(13分)(2015·山东省实验中学模拟)为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．(1)问：到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：至少需要多少年可以实现这一目标．(参考数据：0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg0.75＝－0.13，lg0.95＝－0.02)17.(13分)(2015·北京西城区期末)已知数列{a n}满足a2＝5，且其前n项和S n＝pn2－n.(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5<S5，求b1的取值范围．18．(13分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(14分)已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .20．(14分)(2015·淄博一模)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，则S n ＝a n ＋1－12，(n ∈N *)． (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．答案解析1．C [由a 1＋a 7＝2a 4＝－2得a 4＝－1，a 3＝2，d ＝－3，故选C.]2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.]3．C [∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴数列{a n }是递减的等差数列．又∵a 2016＋a 2017<0，a 2016·a 2017<0，∴a 2016>0，a 2017<0，∴数列的前2016项为正数，从第2017项开始为负数，由求和公式和性质可得S 4031＝4031a 2016>0，S 4032＝2016(a 2016＋a 2017)<0，∴S n 取最小正值时n ＝4031.]4．D [因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n， 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n .] 5．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ， ∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3， ∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.] 6．B [因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ， 所满足的正整数n ＝1,2,3,4.]7．D [∵{a n }是公差为π8的等差数列， ∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，且a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4. ∵f (x )＝2x －cos x ，∴f (a 1)＋f (a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 5－cos a 5＝2(a 1＋a 5)－(cos a 1＋cos a 5)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π4＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π4 ＝4a 3－2cos a 3cos π4＝4a 3－2cos a 3， f (a 2)＋f (a 4)＝2a 2－cos a 2＋2a 4－cos a 4＝2(a 2＋a 4)－(cos a 2＋cos a 4)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π8＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π8 ＝4a 3－2cos a 3cos π8. ∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)＝10a 3－cos a 3－(2＋2cos π8)cos a 3 ＝10a 3－⎝⎛⎭⎫1＋2＋2cos π8cos a 3＝5π， ∴a 3＝π2，∴f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π. ∴a 1＝π2－π4＝π4，a 5＝π2＋π4＝34π. ∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－34π×π4＝1316π2.] 8．B [依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．]9．－1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1.10．1解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 11．10100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10100. 12.2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2， 令b n ＝1a n， 故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 13．4解析 ∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n .∴数列{a n }是等比数列．∴R n ＝82a 1(1－3n 2)－a 1(1－3n )(1－3)a 1·3n 2＝(3n 2)2－82(3n 2)＋813n 2(1－3) ＝11－3×(3n 2＋813n 2－82)≤11－3(281－82) ＝643－1. 当且仅当3n 2＝813n 2⇒3n ＝81⇒n ＝4时等号成立． 所以数列{R n }的最大项为第4项．14．(0，＋∞)解析 a 1＝a ，a 2＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋a a ＋1＝2a ＋1a ＋1，a 4＝3a ＋22a ＋1.由题意对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，所以32<1＋1a n －1<2⇒1<a n －1<2，要使n ≥4都成立，只需32<a 4<2成立，所以32<3a ＋22a ＋1<2， 解得a >0.15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋...＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.16．解 (1)设2015年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a 1＝600，a n ＋1＝0.95a n ＋10.又a n ＋1－200＝0.95(a n －200)，且a 1－200＝600－200＝400， 所以数列{a n －200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列． 所以a n －200＝400·0.95n －1， 即a n ＝400·0.95n －1＋200. 所以2019年初机动车保有量为a 5＝400×0.954＋200＝524万辆．(2)由题意可知，a n ＝400·0.95n －1＋200<500， 即0.95n －1<0.75，所以n >lg0.75lg0.95＋1＝7.5， 故至少需要8年的时间才能实现目标．17．解 (1)由题意，得S 1＝p －1，S 2＝4p －2.因为a 2＝5，S 2＝a 1＋a 2，所以S 2＝4p －2＝p －1＋5，解得p ＝2.所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝(2n 2－n )－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.验证知n ＝1时，a 1符合上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，得T n ＝b 1(1－2n )1－2＝b 1(2n －1)． 因为T 5<S 5，所以b 1(25－1)<2×52－5，解得b 1<4531.又因为b 1≠0， 所以b 1的取值范围是(－∞，0)∪(0，4531)． 18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n .(2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1. 于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.19．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 25－2＝2， 所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝23， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－12b n ， 得b n ＝13b n －1， 所以数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列， 所以b n ＝23n . (2)c n ＝a n ·b n ＝4n －23n ， T n ＝4×1－231＋4×2－232＋4×3－233＋…＋4×(n －1)－23n －1＋4n －23n ， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－232＋…＋4×(n －1)－23n －2＋4n －23n －1， 两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n . 20．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)， 两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝a 2－12，得a 2＝1， ∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列， 则a n ＝12·2n －1＝2n －2， S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2，∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2，T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n )1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1－1n ＋2. 由4T n >2n ＋1－1504，得 4(2n －1－1n ＋2)>2n ＋1－1504， 即4n ＋2<1504，n >2014. ∴使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2015.。