第5章-第3讲-图搜索-分枝限界法3

第3讲 分支限界法
分枝-限界搜索算法
例 4：有两艘船,n个货箱.第一艘船的载重是c1,第二艘
船的载重是c2,wi是货箱i 的重量. 问题：把哪些货箱装载到第一艘船，把哪些货箱装载到第 二艘船，才能把n个货箱全部装完？
……
第3讲 分支限界法
分枝-限界搜索算法
数学模型：显约束是：
w1+w2+……+wn≤c1+c2 隐约束是： wi+…+wj≤c1 wk+…+wm≤c2
10
10 7
10 7
所有出队结点中的叶子结点到根结点的 路径就是最优装载方案，即最优解 （可能有多个最优解）。
10
7
第3讲 分支限界法
算 法 1（先进先出策略）
float bestw,w[100]; int n； queue Q; main( ) 初 始 { float c1,c2,s=0; 化 int i; input(c1,c2，n);//输入c1,c2,n for(i=1;i<= n;i++) { input(w[i])；//输入每个物品的重量 s= s+w[i]；} if (s<=c1 or s<=c2) //判断总重量是否超单个车辆的重量 { print( “ need only one ship”); return;} if (s>c1+c2) { print( “ Non solution”); return;} //超重
第3讲 分支限界法
算法1的缺点有:
数据结构：由此，树中结点的信息包括:weight;parent; LChild; 同时这些结点的地址就是抽象队列的元素,队列 操作与算法1相同 . 2)算法1是在对子集树进行盲目搜索，我们虽然不能将 搜索算法改进为多项式复杂度，但由于在算法中加入了 “限界”技巧，通过“剪枝”方法还是能降低算法的复杂度
X3=1 8
?
X3=0 X3=1 X3=0 X3=1 X3=0 X3=1 X3=0 20 0 50 ? ? ? 60 9 10 11 12 13 14 15
问题理解
物品的重量 W={10,30,50} 当前实际装在船A上的货 60 物总重量用ew表示，需要 1 满足约束：ew+xi≤c1, X1=1 bestw为当前已装入的最优 装载值。 ew=10 50 2 Bestw=10 X2=1 X2=0 ew=10 ew=40 Bestw=40 Bestw=40 20 50 4 5 X3=1 ?
第3讲 分支限界法
每节一经典
有预见的前行
？ ？
第3讲 分支限界法
分枝——某个节点成为扩展节点后，要展开它的所 有子节点；并将这些子节点放在一个称为活节点表 中(栈，队列，优先队列). 按一定的规则(后进先出，先进先出)从活节点表中 取出一个节点作为扩展节点. 定界——展开扩展节点的子节点时，使用限界函数 以避免在状态空间中生成不包含答案结点的子树.
第3讲 分支限界法
MaxLoading(c1); //返回最优装载值 if (s-bestw<=c2); { print(“The first ship loading”, bestw); print(“The second ship loading”, s-bestw);} else Print(“Non solution”); } MaxLoading( float c) //返回最优装载值 { Add (Q,-1); //初始化活结点队列，标记分层 int i = 1; //E-结点的层 ew=0; bestw=0; // ew为当前船的装载量, bestw为当前船目前的最优值 while (not Empty(Q)) //搜索子集空间树 { if (ew+w[i]<= c) //检查E-结点的左孩子，物品i是否可装入 { AddLiveNode(ew+w[i],i); //物品i可以装载 AddLiveNode(ew,i); //右孩子总是可行的，不装载物品i Delete ( Q,ew ) ; // 取下一个E-节点
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选择下一个活节点的方式不同，导致几种不同的分支 搜索方式： 1．FIFO搜索
2．LIFO搜索
3．优先队列式搜索
第3讲 分支限界法
1．FIFO搜索 先进先出(First In First Out,FIFO)搜索算法依赖 “队列”做基本的数据结构。一开始，根结点是唯一的 活结点，根结点入队。从活结点队中取出根结点后， 作为当前扩展结点。对当前扩展结点，先从左到右地 产生它的所有儿子，用约束条件检查，把所有满足约 束函数的儿子加入活结点队列中。再从活结点队列中 取出队首结点(队中最先进来的结点)为当前扩展结 点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
第3讲 分支限界法
算法1的缺点有: 1）在可解的情况下，没有给出每艘船装载物品的方 案。而要想记录第一艘船最大装载的方案，象回溯法中 用n个元素的数组是不能实现的，可以用数组队列下标记 录解方案。 为了改进算法，可以采用构造二叉树的方法，只需 要记录最优解的叶结点，这样二叉树就必需有指向父结 点的指针，以便从叶结点回溯找解的方案。 为了方便知道当前结点对物品的取舍情况，还必须 记录当前结点是父结点的哪一个儿子。
D C B A
第3讲 分支限界法
1．FIFO搜索 先进先出(First In First Out,FIFO)搜索算法
A B C D
D
C
B
A
D
C
B
A
第3讲 分支限界法
2．LIFO搜索 后进先出 (Last In, First Out,LIFO) 搜索算法依赖 “栈”做基本的数据结构。一开始，根结点入栈。从栈 中弹出一个结点为当前扩展结点.对当前扩展结点，先 从左到右地产生它的所有儿子，用约束条件检查，把 所有满足约束函数的儿子入栈，再从栈中弹出一个结 点(栈中最后进来的结点) 为当前扩展结点,……,直到找 到一个解或栈为空为止。 how to do ?
X3=0 60 15
Bestw=40 Bestw=60 不是最 如果装入 不是最 不是最 不是最 优方案 x3,则超重 优方案 优方案 优方案 ew=90？ ew=40 ew=60 ew=10 ew=80？ ew=30 ew=50 ew=0
60
1 X1=0
问题理解
物品的重量 W={10,30,50} 1) 2) 3) 4) 5 3 4 1 2 3 1 2
2
X2=0 X2=1
3
X2=0
结点不需扩展 X3=1
4
X3=0 X3=1
5
X3=0 X3=1
6
X3=0 X3=1
7
X3=0
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算法2：为了方便计算一个分支的“装载上界”,用变量 量r记录当前层以下的最大重量。 公共变量的定义：
float bestw,w[100],bestx[100]; int n； Queue Q; struct QNode { float weight; QNode *parent; QNode LChild; }
如果装入 x3,则超重
第3讲 分支限界法
Bestw=0
X1=0
60 3
ew=0 Bestw=10
X2=1 X2=0 ew=30 ew=0 30 Bestw=40 Bestw=40 60 6 7
20
X3=0 9 0
X3=1 10 50
X3=0 11 ?
X3=1 12
8
X3=0 X3=1 ? ? 13 14
D C B A
第3讲 分支限界法
2．LIFO 后进先出(Last In, First Out,FIFO)搜索算法
A B C D
A
D C B A
A B
C
D
第3讲 分支限界法
3．优先队列式搜索 为了加速搜索的进程 , 应采用有效方式选择 E- 结点 进行扩展 . 优先队列式搜索 , 对每一活结点计算一个优 先级 ( 某些信息的函数值 ), 并根据这些优先级 , 从当前 活结点表中优先选择一个优先级最高 ( 最有利 ) 的结点 作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上有最优解的分支 推进,以便尽快地找出一个最优解。关键是使用数据结 构“堆(heap)”.
第3讲 分支限界法
算法1的缺点有: 一个简单的现象，若当前结点的“装载上界”，比现 有的最大装载bestw小，则以该结点为根的子树（分支）
就无需继续搜索。而一个结点的“装载上界” 是容易求
解的。
1
改进策略：如果将 要扩展的结点的装 载上界小于当前状 态船的最优装载量 X2=1 (bestw40
W1 W1 = = 20 10
W3=40
W1 W1 = = 20 10
W2=40
W3=40
C1=50T
C2=50T
第3讲 分支限界法
问题理解
虽然是关于两艘船的问题，其实只讨论一艘船的最大 装载问题即可。因为当第一艘船最大装载为bestw时， 若: w1+w2+……+wn-bestw ≤c2 可以找出最大装载问题的一个解。 将问题转化为一艘船的最优化问题后，问题的解空间 为一个子集树。也就是算法要考虑所有物品取舍情况 的组合,n个物品的取舍组合为2n次个分支，搜索子集 树是NP-复杂问题。
4
X3=1 X3=0 X3=1
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X3=0
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X3=1 X3=0 X3=1
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X3=0
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第3讲 分支限界法
问题理解
物品的重量 W={10,30,50}，船载重量：60 关键术语： 结点的装载上界：包含该结点的所有装载方案中最大的载重量(剩余量)。 例：方框中的数字就是该结点方案时船的载重量上界。 当前状态时船的装载量：当前状态时船A上已经装入的 货箱总重量(ew)。 60 1 例：在状态1时，已装载量=0 X1=1 X1=0 在状态2时，已装载量=10 船载重量：船A最多能装货物的重量。 50 60 3 2 例：船A装载量为c1=60 当前状态时船的最优装载量(bestw)X :2=1 X2=1 X2=0 X2=0 从初始到当前所有状态能够装 30 20 60 50 入船中的货物最大总重量 4 5 6 7 (不超过c1)。