分支限界法经典案例算法分析资料讲解
第6章 分支限界法(1-例子)
6.3 装载问题
3. 算法的改进
// 检查右儿子结点 // 检查左儿子结点 Type wt = Ew + w[i]; if (wt <= c) { // 可行结点 右儿子剪枝
if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); // 可能含最优解 Q.Delete(Ew);// 取下一扩展结点 提前更新 bestw
5. 优先队列式分支限界法
解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存 储活结点表。 活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的 路径所相应的载重量再加上剩余集装箱的重量之和。 优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。 在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当 前扩展结点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解。 此时可终止算法。
while6.3 (true)装载问题 { // 检查左儿子结点 2. 队列式分支限界法 if (Ew + w[i] <= c) // x[i] = 1 EnQueue(Q, Ew + w[i], bestw, i, n); // 右儿子结点总是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 if (Ew == -1) { // 同层结点尾部 if (Q.IsEmpty()) return bestw; Q.Add(-1); // 同层结点尾部标志 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 i++; // 进入下一层 } }
if (wt > bestw) bestw = wt; // 加入活结点队列 if (i < n) Q.Add(wt); }
单元最短路径问题 分支限界法
单元最短路径问题分支限界法【序】单元最短路径问题：分支限界法解析【引】在计算机科学中，图论问题一直是研究的热点之一。
而图的最短路径问题更是其中一个经典的困难问题。
在图中，单元最短路径问题就是要找到两个顶点之间的最短路径。
而在解决这个问题的过程中，我们可以借助分支限界法，来帮助我们找到最优的解。
本文将深度分析单元最短路径问题及分支限界法，以帮助读者全面理解并掌握这一问题解决方法。
【1】什么是单元最短路径问题？单元最短路径问题是图论中常见的一个问题，它要求在一个加权有向图或无向图中，找到两个给定顶点之间的最短路径。
该问题的解决方法包括了广度优先搜索、迪杰斯特拉算法等多种方法，其中分支限界法是一种常用的解决方法之一。
【2】分支限界法的基本思想分支限界法是一种通过搜索解空间来找到最优解的方法。
它通过将问题空间划分为一系列子问题，并不断搜索当前最优解的子空间，从而逐渐缩小问题空间，最终找到最优解。
【3】分支限界法在单元最短路径问题中的应用在解决单元最短路径问题时，分支限界法可以通过以下步骤来实施：1. 确定初始解和问题空间：选择一个顶点作为起始点，并设置一个初始解，例如将起始点的路径长度设置为0，其他顶点的路径长度设置为无穷大。
2. 扩展节点：从初始解开始，按照一定的扩展策略选择下一个节点进行扩展。
在单元最短路径问题中，我们可以选择将当前节点的邻接节点添加到解空间中。
3. 更新当前解：根据当前解空间中的节点，更新各节点的路径长度。
4. 剪枝：根据一定的条件，判断是否要剪去一些节点，从而缩小问题空间。
5. 重复上述步骤：不断迭代地重复上述步骤，直到找到最优解或者问题空间为空。
【4】为什么分支限界法适用于单元最短路径问题？分支限界法适用于单元最短路径问题的原因有以下几点：1. 分支限界法能够保证找到最优解。
通过不断地缩小问题空间，分支限界法能够找到最小的路径长度。
2. 分支限界法具有较高的搜索效率。
在每一步中，分支限界法都能够通过剪枝操作，排除一部分不可能达到最优解的节点，从而减少了搜索空间。
9——分支限界法
2 例9.1-限界
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
x2=0
x3=1 x3=0
x3=0 x3=1
x3=0 x3=1 x3=0
7
8
9
10
11 12
13
14
15
W={50,10,10},C1=60。 在此例中，结点3所在分支的所有子树中，装载货物的最 大可能是多少？ 20。
20
2 例9.1-算法2 FIFO分支限界
AddLiveNode(folat wt,int i, QNode *E, int ch) { Qnode *b; if (i=n) //叶子 { if (wt>bestw) //目前的最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch;} //bestx[n]取值为ch return; } b = new QNode; // 不是叶子, 添加到队列中 b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; add (Q,b) ; }
3 7 14 15
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。 所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成E-结点所 有分支，也就是所有的儿子结点。 和回溯法一样，可以在生成的结点中，抛弃那些不满足约 束条件的结点，其余结点加入活结点表。然后从表中选择 一个结点作为下一个E-结点。 选择下一个E-结点方式的不同导致几种分支搜索方式：
8
2 例9.1 装载问题
子集树
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
分支限界法——TSP问题讲诉
算法中while循环的终止条件是排列树的一个叶结点成为 当前扩展结点。当s=n-1时，已找到的回路前缀是x[0:n1]，它已包含图G的所有n个顶点。因此，当s=n-1时，相 应的扩展结点表示一个叶结点。此时该叶结点所相应的回 路的费用等于cc和lcost的值。剩余的活结点的lcost值不 小于已找到的回路的费用。它们都不可能导致费用更小的 回路。因此已找到叶结点所相应的回路是一个最小费用旅 行售货员回路，算法可结束。 算法结束时返回找到的最小费用，相应的最优解由数组v 给出。
0
当前最优解，故没必要扩展
结点C
结点I本身的费用已高于当前 最优解，故没必要扩展结点I
此时，优先队列为空，算法 终止。
算法的while循环体完成对排列树内部结点的扩展。
对于当前扩展结点，算法分2种情况进行处理：
①首先考虑s=n-2的情形，此时当前扩展结点是排列树中某个叶结点的父结 点。如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最小费用，则将该叶结 点插入到优先队列中，否则舍去该叶结点。 ②当s<n-2时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。由于当前扩展 结点所相应的路径是x[0:s]，其可行儿子结点是从剩余顶点x[s+1:n-1]中选 取的顶点x[i]，且(x[s]，x[i])是所给有向图G中的一条边。对于当前扩展结点 的每一个可行儿子结点，计算出其前缀(x[0:s]，x[i])的费用cc和相应的下界 lcost。当lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。
算法： 1.找出中间的蚂蚁离两端的距离中较小的。
a[2]=11
a[2]''=27-11=14, 因为a[2]<a[2]''，所以最小距离是11，时间11/1=11 2.找出两端的蚂蚁距两端的距离中较大的。
第7章--分支限界法NEW
Algorithm
USTB
例：0-1背包问题。假设有4个物品，其重量分别为(4, 7, 5, 3)，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量W=10。首先，将 给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下： 价值/重量 价值 重量 (v/w) 10 6 5 4
12
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法与回溯法的比较
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树 中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标 则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条 件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜 索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗 费优先的方式搜索解空间树。
16
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
用分支限界法求TSP
TSP是求排列的问题，不是仅找一条路径而已。因而需要 对分支限界法的一般算法作些修改： (1)待扩展的结点如果在本路径上已经出现，则不再扩展，但 若是在其他路径上出现过，则仍需要扩展。 (2) (2)新结点，无论其优劣，既不影响其它路径上的结点，也不 受其它路径上的结点的影响。 (3)依据上界函数决定结点是否可以剪去。
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Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法求排列
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open; ⑵while (Open ≠Φ) { ⑶ 从Open中取出[p, f(p), L]; //L是路径已有结点 ⑷ 若f(p)≥U，则抛弃该路径； ⑸ 若p是目标，则考虑修改上界函数值；否则 p ⑹ {将[p, f(p), L]放入Closed; ⑺ 在该路径上扩展结点p；对每个后继d ⑻ {计算f(d)； ⑼ 若f(d)＜U, 则{L = L ∪{p}; 将[d, f(d),L]依序放入Open。} }}}
第10讲分支限界法
背包问题的一个实例如下： 例：考虑n =3 时0-1背包问题的一个实例如下： 考虑 背包问题的一个实例如下 w =[16,15,15], p= [45, 25,25],c = 30。其子集树 。
7
用队列式分支限界法解此问题 队列式分支限界法解此问题
队列式分支限界法搜索解空间树的方式与 解空间树的广度优先遍历算法极为相似， 解空间树的广度优先遍历算法极为相似， 唯一的不同之处是队列式分支限界法不搜 索以不可行结点为根的子树。 索以不可行结点为根的子树。
13
算法思想
2. 队列式分支限界法
用一个队列Q来存放活结点表 来存放活结点表， 中 用一个队列 来存放活结点表 ， Q中weight表示每个活结 表示每个活结 ＝－1时 点所相应的当前载重量。 点所相应的当前载重量。当weight＝－ 时，表示队列已达 ＝－ 到解空间树同一层结点的尾部 同一层结点的尾部。 到解空间树同一层结点的尾部。 算法首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。 算法首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点 。 如果是则将其加入到活结点队列中。 如果是则将其加入到活结点队列中 。 然后将其右儿子结点 加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点 右儿子结点一定是可行结点)。 个儿 加入到活结点队列中 右儿子结点一定是可行结点 。 2个儿 子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点 • 取出元素不是 时，活结点队列一定不空。由于队列中每一 取出元素不是-1时 活结点队列一定不空。 层结点之后都有一个尾部标记-1。 层结点之后都有一个尾部标记 。 • 取出的元素是 时，判断当前队列是否为空。如果队列非空， 取出的元素是-1时 判断当前队列是否为空。如果队列非空， 则将尾部标记-1加入活结点队列 加入活结点队列， 则将尾部标记 加入活结点队列 ， 算法开始处理下一层的活 结点。 结点。
算法——分支限界法（装载问题）
算法——分⽀限界法（装载问题）对⽐回溯法回溯法的求解⽬标是找出解空间中满⾜约束条件的所有解，想必之下，分⽀限界法的求解⽬标则是找出满⾜约束条件的⼀个解，或是满⾜约束条件的解中找出使某⼀⽬标函数值达到极⼤或极⼩的解，即在某种意义下的最优解。
另外还有⼀个⾮常⼤的不同点就是，回溯法以深度优先的⽅式搜索解空间，⽽分⽀界限法则以⼴度优先的⽅式或以最⼩耗费优先的⽅式搜索解空间。
分⽀限界法的搜索策略在当前节点（扩展节点）处，先⽣成其所有的⼉⼦节点（分⽀），然后再从当前的活节点（当前节点的⼦节点）表中选择下⼀个扩展节点。
为了有效地选择下⼀个扩展节点，加速搜索的进程，在每⼀个活节点处，计算⼀个函数值（限界），并根据函数值，从当前活节点表中选择⼀个最有利的节点作为扩展节点，使搜索朝着解空间上有最优解的分⽀推进，以便尽快地找出⼀个最优解。
分⽀限界法解决了⼤量离散最优化的问题。
选择⽅法1.队列式（FIFO）分⽀限界法队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个队列，并将队列的先进先出原则选取下⼀个节点为当前扩展节点。
2.优先队列式分⽀限界法优先队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个优先队列，并将优先队列中规定的节点优先级选取优先级最⾼的下⼀个节点成为当前扩展节点。
如果选择这种选择⽅式，往往将数据排成最⼤堆或者最⼩堆来实现。
例⼦：装载问题有⼀批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1，c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。
可证明，采⽤如下策略可以得到⼀个最优装载⽅案：先尽可能的将第⼀艘船装满，其次将剩余的集装箱装到第⼆艘船上。
代码如下：//分⽀限界法解装载问题//⼦函数，将当前活节点加⼊队列template<class Type>void EnQueue(Queue<Type> &Q, Type wt, Type &bestw, int i, int n){if(i == n) //可⾏叶结点{if(wt>bestw) bestw = wt ;}else Q.Add(wt) ; //⾮叶结点}//装载问题先尽量将第⼀艘船装满//队列式分⽀限界法，返回最优载重量template<class Type>Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n){//初始化数据Queue<Type> Q; //保存活节点的队列Q.Add(-1); //-1的标志是标识分层int i=1; //i表⽰当前扩展节点所在的层数Type Ew=0; //Ew表⽰当前扩展节点的重量Type bestw=0; //bestw表⽰当前最优载重量//搜索⼦集空间树while(true){if(Ew+w[i]<=c) //检查左⼉⼦EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n); //将左⼉⼦添加到队列//将右⼉⼦添加到队列即表⽰不将当前货物装载在第⼀艘船EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);Q.Delete(Ew); //取下⼀个节点为扩展节点并将重量保存在Ewif(Ew==-1) //检查是否到了同层结束{if(Q.IsEmpty()) return bestw; //遍历完毕，返回最优值Q.Add(-1); //添加分层标志Q.Delete(Ew); //删除分层标志，进⼊下⼀层i++;}}}算法MaxLoading的计算时间和空间复杂度为O(2^n).上述算法可以改进，设r为剩余集装箱的重量，当Ew+r<=bestw的时候，可以将右⼦树剪去。
分支限界法经典案例算法分析
3. 算法的改进
6.3 装载问题
// 检查左儿子结点 Type wt = Ew + w[i]; // 左儿子结点的重量 if (wt <= c) { // 可行结点 提前更新 if (wt > bestw) bestw = wt; bestw // 加入活结点队列 if (i < n) Q.Add(wt); } 右儿子剪枝 // 检查右儿子结点 if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); // 可能含最优解 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点
6.3 装载问题
1. 问题描述
有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船， 其中集装箱i的重量为Wi，且 n
w
i 1
i
c1 c2
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个 集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的 策略可得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满； (2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
定义移动方向 的相对位移
设置边界的围 墙 for (int i = 0; i <= m+1; i++) grid[0][i] = grid[n+1][i] = 1; // 顶部和底部 for (int i = 0; i <= n+1; i++) grid[i][0] = grid[i][m+1] = 1; // 左翼和右翼
6.3 装载问题
将第一艘轮船尽可能装满等 价于选取全体集装箱的一个 子集，使该子集中集装箱重 量之和最接近。由此可知， 装载问题等价于以下特殊的 0-1背包问题。 例如：
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• 学习要点
• 理解分支限界法的剪枝搜索策略。 • 掌握分支限界法的算法框架 • （1）队列式(FIFO)分支限界法 • （2）优先队列式分支限界法 • 通过应用范例学习分支限界法的设计策略。 • （1）单源最短路径问题； • （2）装载问题； • （3）布线问题； • （4）0-1背包问题； • （5）最大团问题； • （6）旅行售货员问题；
H.Insert(N);
函数减枝
c: 邻接矩阵
}
H： 活节点优先队列
try {H.DeleteMin(E);} // 取下一扩展结点
catch (OutOfBounds) {break;} // 优先队列空
}
优先权队列 VS. 先进先出队列
6.3 装载问题
1. 问题描述
有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮 船，其中集装箱i的重量为Wi，且 n
最短 路径
prev[j]=E.node;
// 加入活结点优先队列
MinHeapNode<Type> N;
顶点i和j间有边，且此路 径长小于原先从原点到j 的路径长 这个判断，实现了剪枝
N.node=j; //顶点编号为j
N.length=dist[j];
缺乏上界
dist:最短距离数组 prev: 前驱顶点数组 E：当前的扩展节点
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点， 并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所 需的解或活结点表为空时为止。
6.1 分支限界法的基本思想
常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为
扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节
例如：
W 10,8,5
C16
n
max w i x i i1
n
s.t. w i x i c 1 i1
x i { 0 ,1}, 1 i n
6.3 装载问题
2. 队列式分支限界法
在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的 左儿子结点是否为可行结点。如果是则将其加入到 活结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活结点 队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点 都产生后，当前扩展结点被舍弃。
第1层
第2层 第3层 第4层
第5层
7
2
32
3
9
4
2
2
6.2 单源最短路径问题
3
3
3
3
2O
15 1
2
2
目前的最短路
径是8，一旦发
现某个节点的
下界不小于这
个最短路进，
则剪枝
2 3
4
将会产生 重复的子 树，剪枝
7
32 9
2 2
6.2 单源最短路径问题
3
3
3
3
2O
15 1
2
2
利用节点 的控制关 系剪枝
6.2 单源最短路径问题
6.1 分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中 满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是 找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解 中找出在某种意义下的最优解。
（2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索 解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优 先的方式搜索解空间树。
while (true) { for (int j = 1; j <= n; j++)
6.2 单源最短路径问题
if ((c[E.node][j]<inf)&&(E.length+c[E.node][j]<dist[j])) {
// 顶点E.node到顶点j可达，且满足控制约束
记载 dist[j]=E.length+c[E.node][j];
3. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极 小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路 长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩 展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆 中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并 依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前 扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再 到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度， 则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个 结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
6.1 分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩 展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所 有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致 非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结 点表中。
wi c1 c2
i1
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个 集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。
容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的 策略可得到最优装载方案。
(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
6.3 装载问题
将第一艘轮船尽可能装满等 价于选取全体集装箱的一个 子集，使该子集中集装箱重 量之和最接近。由此可知， 装载问题等价于以下特殊的 0-1背包问题。
点成为当前扩展节点。
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
7
2
32
3
9
4
2
2
3
3
3
3
2O
15 1
2
2
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最 短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的 数字表示该结点所对应的当前路长。
活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结 点，由于队列中每一层结点之后都有一个尾部标记1，故在取队首元素时，活结点队列一定不空。当取 出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。如果 队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法 开始处理下一层的活结点。
2. 剪枝策略
在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的 下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结 点为根的子树。
在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从 源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由 于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所 对应的树中的结点为根的子树剪去。
6.2 单源最短路径问题