0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题
分支限界法解题算法框架
分支限界法解题算法框架分支限界法是一种建模和求解复杂优化问题的有效算法，它源于笛卡尔的科学思想，被认为是能够解决复杂优化问题的革命性工具。
它的基本思想是：分支限界法以树状结构的方式求解优化问题，不断的分割搜索空间，找到最优解。
1、分支限界法的基本概念分支限界法是求解优化问题的一种方法，它将解空间划分为若干个子空间，在每个子空间中评估优化指标，根据分支限界准则，搜索最优解。
它主要分为以下几个步骤：（1）定义一个有限的决策空间，并设置目标函数的优化指标；（2）将决策空间划分为若干个子空间，并设置有效限界和分裂标准；（3）在每个子空间中进行搜索，并进行评价；（4）根据评价结果，重复（2）、（3）步骤，直至满足停止条件，搜索得到最优解。
2、分支限界法的优势分支限界法是一种求解优化问题的有效算法，它在优化技术中占有很重要的地位。
其优势在于：（1）分支限界法可以使用更少的计算量，求解复杂的优化问题；（2）分支限界法采用分支和分割的方式，可以更好的避免搜索局部最优，获得更可靠的最优解；（3）分支限界法可以认为是一种智能化、自适应的搜索技术，它可以有效提高计算效率；（4）分支限界法易于理解，实现比较容易，可以节省程序员的工作量和计算时间。
3、案例应用分支限界法在很多领域有广泛的应用，其中最常见的应用是解决资源分配问题。
可以将需要分配的资源划分为若干个变量，然后使用分支限界法寻找该资源分配问题的最优解。
在运输问题中，如果要在有限的时间内最大限度地利用车辆从一个汽车站点出发，向其他若干个目的地发送货物，可以使用分支限界法来求解，以便在有限的时间内找到最优解。
在装配线调度问题中，如果要解决多个工序同时进行的装配线调度问题，则可以使用分支限界法来求解。
4、总结分支限界法解题算法是一种求解优化问题的有效算法，它将求解空间划分为若干个子空间，采用分支和分割的方式，找到最优解。
该算法具有计算量小、避免搜索局部最优、易于实现等优点，可以用于解决复杂优化问题，在资源分配、运输、装配线调度等领域都有广泛的应用。
分支限界法
一、分支限界法：分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。
但在一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。
回溯法的求解目标是找出T 中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使用某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。
分支限界法的搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展对点。
为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
二、分支限界法的基本思想：分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分支限界法与回溯法对当前扩展结点所使用的扩展方式不同。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，那些导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被子加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。
三、选择下一扩展结点的不同方式：从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法。
最常见的有以下两种方式：1、队列式(FIFO)分支限界法：队列式分支限界法将活结点表组织成一个队列，并按队列的先进先出原则选取下一个结点为当前扩展结点。
算法分析与设计分支限界法
算法分析与设计分支限界法分支限界法是一种常用的优化算法，它通过剪枝和分支的方式在空间中找到最优解。
在算法设计与分析中，分支限界法在求解组合优化问题和图论问题中有广泛应用。
分支限界法的基本思想是将问题划分为一个个子问题，并对每个子问题进行求解，同时通过剪枝操作减少空间。
算法从一个初始状态开始，通过扩展子节点来生成树。
在每个节点上，先判断该节点是否需要剪枝操作。
如果需要剪枝，则舍弃该节点及其子节点；如果不需要剪枝，则继续扩展该节点为新的可能解。
通过不断扩展和剪枝操作，最终找到最优解。
分支限界法的核心是选择一个合适的策略来确定节点的扩展顺序。
常用的策略包括优先级队列、最小堆、最大堆等。
这些策略可以根据问题的性质和特点来选择，以保证效率。
同时，剪枝操作也是分支限界法中关键的一环。
剪枝操作有多种方式，如上界和下界剪枝、可行剪枝、标杆剪枝等。
通过剪枝操作，可以减少空间，提高算法的效率。
分支限界法的时间复杂度通常是指数级别的，因为每个节点需要根据策略进行扩展，并进行剪枝操作。
然而，通过合理选择策略和剪枝操作，可以显著减少空间，降低时间复杂度。
此外，分支限界法还可以通过并行计算等技术进一步提高效率。
分支限界法在求解组合优化问题中有广泛应用。
组合优化问题是在有限的资源条件下，通过组合和选择来达到最优解的问题。
例如，旅行商问题、背包问题等都是经典的组合优化问题，而分支限界法可以在有限的时间内找到最优解。
在图论问题中，分支限界法也有重要的应用。
例如，最短路径问题、图着色问题等都可以通过分支限界法求解。
总之，分支限界法是一种基于和剪枝的优化算法，通过合理选择策略和剪枝操作，在有限的时间内找到最优解。
该算法在组合优化问题和图论问题中有广泛应用，可以有效提高问题求解的效率。
在实际应用中，可以根据问题性质和特点选择合适的策略和剪枝操作，以达到最佳的求解效果。
分支界限法 最大团问题
摘要最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP）是现实世界中一类真实问题，在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用。
自1957年Hararv和Ross首次提出求解最大团问题的确定性算法以来，研究者们已提出了多种确定性算法来求解最大团问题。
但随着问题规模的增大（顶点增多和边密度变大），求解问题的时间复杂度越来越高，确定性算法显得无能为力，不能有效解决这些NP完全问题。
最大团问题又称为最大独立集问题（Maximum Independent Set Problem），在市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、故障诊断等领域具有非常广泛的应用。
目前，求解MCP问题的算法主要分为两类：确定性算法和启发式算法。
确定性算法有回溯法、分支限界法等，启发式算法蚁群算法、顺序贪婪算法、DLS-MC算法和智能搜索算法等。
不管哪种算法，都要求在多项式时间内求得MCP问题的最优解或近似解。
图分为有向图和无向图，本文主要研究确定性算法求解无向图最大团问题。
根据算法的设计结果，采用C++语言在Visual Studio 2008上实现算法，通过测试分析，结果运行正确。
关键词：最大团问题，分支限界法，MCP目录1 问题描述 (1)2 问题分析 (2)3 建立数学模型 (4)4 算法设计 (5)5 算法实现 (6)6 测试分析 (10)结论 (11)参考文献 (12)1 问题描述给定一个无向图1.1=(V，E)，找出此无向图的最大团。
如果V⊆U，且对任意u，v ∈ U有(u，v) ∈E，则称U是G的完全子图。
G的完全子图U是G的一个团，当且仅当U不包含G的更大完全子图。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
无向完全图：设G=（V,E）为N阶无向图，若G中的任何顶点都以其余的N-1个顶点相邻，则称G为N阶无向图。
完全子图：给定G=(V,E)，如果U为G的子图并且是完全图，则称为完全子图团：设U为G完全子图,当图U不包含G的更大完全子图时，称U是G的一个团。
算法分析及设计分支限界法
a 21
b 32
c 43
• 将结点8作为扩展结点0-1-5-8-12-10
路径长度小于0-2-6-9-10，选择路径02-6-9-10
u
ed
g
f
h
作为最短路径。 • 从s到T的最短路为0-2-6-9-10，长度
Hale Waihona Puke 524 5 9 4 5 6 12 5 6 6
为8。
q
km
l
5 6 78 6 9
o
r
8 10 p
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2
6.1
分支限界法的基本思想
2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩 展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导 致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
12 10 8 8 8 10
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第6章 分支限界法
本章主要知识点：
6.1
分支限界法的基本思想
6.2
单源最短路径问题
6.3 0-1背包问题
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6.2
单源最短路径问题
1. 问题描述
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点， 称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权 之和。这个问题通常称为单源最短路径 问题。
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6.1
分支限界法的基本思想
• 例如：考虑n=3时0-1背包问题，其中w=[16,15,15], p=[45,25,25],c=30。
(原创精品)分支限界法
分支限界法概述：分支定界(branch and bound) s搜索法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
搜索策略1 产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 将其余的孩子结点加入活结点表；4 从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
5 如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点根据选择方式的不同分支定界算法通常可以分为两种形式：①队列式（FIFO）分支限界法队列式分支限界法将活结点表组织成一个队列，并按队列的先进先出原则选取下一个结点为当前扩展结点②优先队列式的分支限界法将活结点表组织成一个队列，并按优先队列中规定的优先级选取优先级最高的下一个节点成为当前扩展节点最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先分支限界法和回溯法的区别①求解目标不同：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解②搜索方式不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树③搜索问题的解空间树方面：在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
什么是剪枝（以走迷宫举例）我们在“走迷宫”的时候，一般回溯法思路是这样的：1、这个方向有路可走，我没走过2、往这个方向前进3、是死胡同，往回走，回到上一个路口4、重复第一步，直到找着出口这样的思路很好理解，编程起来也比较容易。
分支限界法
? 分支限界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索 边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。也就是说分支限 界法在解空间上搜索时都要用到一种基本方法叫“剪枝”。
2013-3-29
上海师范大学计算机系 胡金初
5
10.1 分支限界的策略
步骤3 如果当前节点被探测尽, 令p ←p - 1, 转步骤6. 否则, 设当前层(第p 层) 各活动子节点中具有最小下界值的节点为 Q , 则在P 1末尾加入Q 对应第p 位置上的工件, 此时的当前 节点转为Q , 转步骤4 。
2013-3-29
上海师范大学计算机系 胡金初
4
10.1 分支限界的策略
? 剪枝顾名思义，就是将树中的一些“死胡同”，不能到达我们需要的解 的枝条“剪”掉，以减少搜索的时间。是所有的枝条都可以剪掉，这就 需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。在设计判断 方法的时候，需要遵循一定的原则： 1、正确性 2、准确性 3、高效性
KL
MN
O
7
10.2 0-1背包问题
? 设物品包的重量为数组w[16,15,15],价值为p[45,25,25], 总容量为c=30。 １、用队列式（FIFO）分支界限法求背包问题
仍以图1为例，我们求的基本步骤如下： 1）根结点A首先进入列表；如图10.2
A
图10.2根结点A首先进入列表
2）按照广度遍历，将其左右儿子 B、C结点放入队列。其 中B结点表示第一个物品放入背包内，这时背包内的容量 为16，还剩余的容量为 30-16=14，价值为 45。C结点表示 第一个物品不妨入背包内。如图10.3
算法设计与分析_分支限界法_最大团问题演示
平均情况下少
算法实现
运行程序 C++实现
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
1，2是一个完全子图但不是最大完全子图，1，2，3，5不是完全子图，因为1， 3不连接。
问题描述
给定无向图 G={V,E}，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图 中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“()”表示。
如果U|V，且对任意两个顶点u,v∈U有(u,v)∈E，则称U是
右右33左4 右右11右右左212左左323右34 左右1左右左右121左右左右232右3右4 右左1左1左左212右右23
3
usu=su3=s =3 3
usu=s u=34s3= 3 us =usu4s==44
左1右左12 usus==54
左1 us = 5
团结点数：cliqueSize=cs 上届数：upperSize=us 最大团节点数：bestn-bn 其中上届数（us） = 团节点数+图节点数-层数+1（cs+n-level+1） 当us<bn时，左边剪枝，右边可能有解。上层结点与下层结点不连接，则剪枝。
算法的while循环的终止条件是遇到子集树的一个叶节点（即n+1 level+1 = us，比较us、cs和bn的大小关系。
在 2层.当节此u点优s>）先b成n队，为列则当式该前分节扩点支展的节限子点界节。法点中中，有u可p行pe解rS；ize实际上也是优 先 当 对u于队s子=列b集中n树，元中若素的访的叶问优节完先点全，级部有数。u据算p，p法e则r总s遍iz是e历从=结活c束li结q；u点eS优ize先。队此列时中活节点 抽 优先取队具列有若ห้องสมุดไป่ตู้最访余大问节u未点p完uppe成prSe，rizS则eiz值该e值节的均点元不子素超树作过中为当没下前有一扩可展个行节扩解点。展的元素。
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问题描述给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。
如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。
如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。
因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。
特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。
例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。
根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。
{1,2,5}是G的一个最大团。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。
右侧图是无向图G的补图G'。
根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。
虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。
{1,2,5}是G'的最大独立集。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。
算法设计最大团问题的解空间树也是一棵子集树。
子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。
算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。
在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。
当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。
接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。
当upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。
算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。
对于子集树中的叶结点，有upperSize＝cliqueSize。
此时活结点优先队列中剩余结点的upperSize值均不超过当前扩展结点的upperSize值，从而进一步搜索不可能得到更大的团，此时算法已找到一个最优解。
算法具体实现如下：1、1.template<class T>2.class MaxHeap3.{4.public:5.MaxHeap(int MaxHeapSize = 10);6.~MaxHeap() {delete[] heap;}7.int Size() const{return CurrentSize;}8.9.T Max()10.{11.MaxSize = MaxHeapSize;12.heap = new T[MaxSize+1];13.CurrentSize = 0;14.}15.16.template<class T>17.MaxHeap<T>& MaxHeap<T>::Insert(const T& x)18.{19.if(CurrentSize == MaxSize)20.{21.cout<<"no space!"<<endl;22.return*this;23.}24.25.26.27.delete[] heap;28.heap = a;29.CurrentSize = size;30.MaxSize = ArraySize;31.32.// 从最后一个内部节点开始，一直到根，对每个子树进行堆重整33.for(int i = CurrentSize/2; i >= 1; i--)34.{35.T y = heap[i]; // 子树根节点元素36.// find place to put y37.int c = 2*i; // parent of c is target38.// location for y39.while(c <= CurrentSize)40.{41.// heap[c] should be larger sibling42.if(c < CurrentSize && heap[c] < heap[c+1])43.{44.c++;45.}46.// can we put y in heap[c/2]47.if(y >= heap[c])48.{49.break; // yes50.}51.52.// no53.heap[c/2] = heap[c]; // move child up54. c *= 2; // move down a level55.}56.heap[c/2] = y;57.}58.}2、1.//最大团问题优先队列分支限界法求解2.#include ""3.#include ""4.#include <iostream>5.#include <fstream>ing namespace std;7.8.const int N = 5;//图G的顶点数9.ifstream fin("");10.11.class bbnode12.{13.friend class Clique;14.private:15.bbnode *parent; //指向父节点的指针16.bool LChild; //左儿子节点标识17.};18.19.class CliqueNode20.{21.friend class Clique;22.public:23.operator int() const24.{25.return un;26.}27.private:28.int cn, //当前团的顶点数29.un, //当前团最大顶点数的上界30.level; //节点在子集空间树中所处的层次31.bbnode *ptr; //指向活节点在子集树中相应节点的指针32.};33.34.class Clique35.{36.friend int main(void);37.public:38.int BBMaxClique(int[]);39.private:40.void AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode>&H,int cn,int un,int level,bbnode E[],bool ch);41.int**a, //图G的邻接矩阵42.n; //图G的顶点数43.};44.45.int main()46.{47.int bestx[N+1];48.int**a = new int*[N+1];49.for(int i=1;i<=N;i++)50.{51.a[i] = new int[N+1];52.}53.54.cout<<"图G的邻接矩阵为:"<<endl;55.for(int i=1; i<=N; i++)56.{57.for(int j=1; j<=N; j++)58.{59.fin>>a[i][j];60.cout<<a[i][j]<<" ";61.}62.cout<<endl;63.}64.65.Clique c;66.= a;67.= N;68.69.cout<<"图G的最大团顶点个数为："<<(bestx)<<endl;70.cout<<"图G的最大团解向量为："<<endl;71.for(int i=1;i<=N;i++)72.{73.cout<<bestx[i]<<" ";74.}75.cout<<endl;76.77.for(int i=1;i<=N;i++)78.{79.delete[] a[i];80.}81.delete[]a;82.return0;83.}84.85.//将活节点加入到子集空间树中并插入到最大堆中86.void Clique::AddLiveNode(MaxHeap<CliqueNode> &H, int cn, int un, int level,bbnode E[], bool ch)87.{88.bbnode *b = new bbnode;89.b->parent = E;90.b->LChild = ch;91.92.CliqueNode N;93.= cn;94.= b;95.= un;96.= level;97.(N);98.}99.100.//解最大团问题的优先队列式分支限界法101.int Clique::BBMaxClique(int bestx[])102.{103.MaxHeap<CliqueNode> H(1000);104.105.//初始化106.bbnode *E = 0;107.int i = 1, = 0,109.bestn = 0;110.111.//搜集子集空间树112.while(i!=n+1)//非叶节点113.{114.//检查顶点i与当前团中其他顶点之间是否有边相连115.bool OK = true;116.bbnode *B = E;117.for(int j=i-1; j>0; B=B->parent,j--)118.{119.if(B->LChild && a[i][j]==0)120.{121.OK = false;122.break;123.}124.}125.126.if(OK)//左儿子节点为可行结点127.{128.if(cn+1>bestn)129.{130.bestn = cn + 1;131.}132.AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true); 133.}134.135.if(cn+n-i>=bestn)//右子树可能含有最优解136.{137.AddLiveNode(H,cn,cn+n-i,i+1,E,false); 138.}139.140.//取下一扩展节点141.CliqueNode N;142.(N); //堆非空143. E = ; = ;145.i = ;146.}147.148.//构造当前最优解149.for(int j=n; j>0; j--)150.{151.bestx[j] = E->LChild; 152. E = E->parent; 153.}154.155.return bestn;156.}。