简单的优化模型

第五讲简单的优化模型在实际生活中，特别是在工程技术、经济管理和科学研究领域中存在着很多优化模型，如投资的成本最小、利润最大问题，邮递员的投递路线最短问题，货物的运输调度问题，风险证券投资中的收益最大，风险最小问题。

优化模型大致的可以分成两大类：无约束优化模型和约束优化模型。

无约束优化模型即求一个函数在定义域内的最大值或最小值，这类问题往往可以使用微分的方法得到最终的结论，如一元及多元函数的最值归结为求函数的驻点；约束优化模型即求函数在一些条件约束下的最优解，对于等式约束的问题，可以使用Lagrange乘数法求解，但是在数学建模中得到的优化模型往往不是等式约束问题，而是诸如不等式约束甚至更复杂的数学规划问题，这些问题需要使用Matlab等科技计算软件才能解决。

数学规划问题包括线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划、多目标规划以及动态规划等类型的问题。

不管是什么类型的优化问题，在建模过程中需要解决的问题，也是建模的基本步骤为：（1） 确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）（2） 确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）（3） 确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）（4） 模型求解（使用数学工具或数学软件求解）（5） 结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等）本讲将主要介绍使用微分法可以解决的优化模型。

模型一、生猪的出售时机问题：饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。

市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。

如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

分析：（1） 目标：选择最佳的生猪出售时机的标准是使得生猪出售的利润最大。

因此目标函数应当是利润函数。

利润=收益-成本。

影响收益的因素有生猪出售时的体重及生猪出售时的价格，成本完全是由生猪饲养的天数决定。

在影响收益的两个因素中，生猪的体重随着饲养天数的增加而增加，而价格却随着饲养天数的增加而减少，这是一对矛盾体，这样也就决定了最终存在一个最佳的出售时机。

（2） 决策变量：生猪饲养的天数t。

（3） 约束条件：关于天数的约束，。

0≥t （4） 求解的方法：虽然有的约束，但是总的来说该模型最后可以看成是无约束的优化问题，因此可以使用微分法解决。

0≥t 模型记号说明：r —生猪体重每天的增加量 t —生猪饲养的天数 0w —生猪的当前重量)(t w —t 天时生猪的重量 g —价格每天的减少量 0p —生猪的当前价格)(t p —t 天时生猪的价格i —每天的投入)(t R —第t 天生猪卖出时的收益)(t C —第t 天生猪卖出时的成本 )(t Q —第t 天生猪卖出时的利润，模型建立：（1）t 天后猪的重量：rt w t w +=0)( （2）t 天后猪的价格：gt p t p −=0)(（3）第天生猪卖出时的收益： t 00002)()()()(p w t gw rp rgt t p t w t R +−+−==（4）第天生猪卖出时的成本：t it t C =)(（5）第天生猪卖出时的利润：t 00002)()()()(p w t i gw rp rgt t C t R t Q +−−+−=−=利润的最大化归结为下面的优化问题：)(max t Q利用微分法可以求解该问题当rgigw rp t 200−−=时，利润达到最大。

在该问题中，4,80,800===i w p g r ,为估计值1.0,2==g r ，代入上公式可以得到最佳出售天数为10天。

模型分析： （1） 敏感性分析敏感性分析就是分析因素的变动对结果的影响，通常使用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。

如函数中，对),(y x g z =z x 的敏感度定义为xzz x x z ∂∂=∂∂)(ln )(ln 。

在本模型中5.1,6040≥−=r rr t ，因此有t 对r 的敏感度为 60406060),(2−==r r t r r t S ， 当2=r 时，敏感度为3，这表明生猪每天的体重增加1%，出售的时间将推迟3%。

类似地，t 对g 的敏感度为g gt g g t S 2033)3(),(2−−=−=，当1.0=g 时敏感度为-3，这说明生猪的价格每天的降低量增加1%，出售时间将提前3%。

（2） 稳健型分析在此模型中假设生猪体重的增加和价格的降低都是常数，这是对现实情况的简化，实际的模型应当考虑非线性函数形式和不确定性情形。

这样需要讨论当p w ,时一般的t 的函数情况。

此时有，按照微分法，可以知道最优解应当满足6404)()()(−−=t t w t p t Q 4)()()()(=′+′t w t p t w t p ，即出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止。

模型二 森林救火模型问题重述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量。

队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。

综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

问题分析：总的目标是确定队员数量使得损失费与救援费的总和最小。

决策变量应当是消防队员的数量。

（1）损失费：损失费由大火熄灭时，被烧毁的森林面积B 决定，若假设单位面积损失为，则损失费为。

其中最关键的是决定1c B c 1B 与决策变量，即队员数量之间的关系。

建设火烧过的森林区域是圆。

考虑队员数量对被烧毁森林面积的影响。

将起火的时间定为0，开始灭火的时间设为，灭火结束的时间为，因此烧毁的森林面积为。

队员人数对的影响在于队员的人数多少决定了火势蔓延的速度快慢，在中，由于没有人员参与灭火，火势蔓延的速度可以认为与时间成正比，而蔓延的速度直接影响到被烧毁的森林圆的半径，从而在内，与时间的平方成正比。

在区间内，由于灭火的影响，火势的蔓延速度减慢，与参与的队员人数即每个队员的灭火能力成反比，结果在时刻，蔓延速度将为0，即火被扑灭。

1t 2t )(2t B )(2t B ],0[1t ],0[1t )(t B ],[21t t 2t （2）救援费：影响救援费的因素有两个，救援队员的人数与救援的时间，而这两个因素之间也是相关的，人数多则救援时间12t t −短，反之，人数少则救援时间长。

因此在考虑救援费时，必须考虑单位时间内每个队员的费用。

模型假设：（1） 不考虑其他因素，如地理条件，气候等对灭火的影响，仅考虑火的自身蔓延情况及派出的救援人数x 对灭火的影响。

（2） 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径与t 成正比，大火烧过的区域是一个圆，t 时刻圆的面积为。

)(t r )(t B （3） 失火的时间为0，开始灭火的时刻为，灭火结束的时间为。

1t 2t （4） 从失火到开始救火，，],0[1t dtdB与t 成正比，系数β（火势蔓延速度）。

（5） 从开始救火到灭火结束，，火势蔓延的速度降为],[21t t x λβ−，λ为每个队员的平均灭火速度。

符号说明：x t B t t ,,),(,,21λβ地说明略， 1c —烧毁单位面积的损失费 2c —每个消防队员单位时间的费用3c —每个队员的一次性支出 )()(t B t v ′=—火势的蔓延速度模型建立与模型求解： （1）的计算。

)(2t B ))((2121)()()(2122210022112t t x t tdt x tdt dt dt t dB t B tt t t −−+=−+==∫∫∫λββλββ（2）的确定。

时刻火势的扩散速度为0，这就决定了不是任意选择的。

2t 2t 2t ⎩⎨⎧≤≤−≤≤=211)(0)(t t t t x t t tt v λββ 从而βλβ−+=x t t t 112。

进一步有)(22)(212212βλββ−+=x t t t B 。

（3）总费用的确定。

森林损失费为，救援费用为)(21t B c x c t t x c 3122)(+−，因此总的救火费用为x c x xt c x t c t c x C 3122121211)(22)(+−+−+=βλββλββ（4）模型求解。

问题归结为，由)(minx C 0)(=′x C 可以得到最佳的救火队员数为231221122λλβλβc t c t c x ++=（留作习题，自己计算） 模型分析：（1） 救援人数必须大于λβ/，否则火势蔓延速度不能得到控制；（2） 救援人数表达式中，λβ/是控制火势蔓延的最少人数，增加的部分表明，随着3,c λ的增加，人数将减少，因为每个队员的扑火能力提高了，可以理解为灭火前的前期准备费用，费用高说明准备充分；而的增加导致人员的增加。

3c 121,,t c c （3） 模型的关键是对的建模，其中我们抛开了风势等其他自然因素对火势的影响。

在实际情况下，)(t B ′λ应当与有关，而且从某种程度上讲，队员的灭火能力随着时间的增加而减少。

1t模型三：消费者的选择问题问题：市场上有甲乙两种产品可供消费者选择，一个消费者应当如何合理分配自己所拥有的资金。

问题分析：影响投资者分配资金方案的因素有：（1）投资者拥有的资金数，（2）两种产品的价格，（3）投资者判断合理的标准（投资者所认为的最佳）。

效用函数的概念：效用是一个经济名词，表示的是一个投资者从消费活动中所获得的满意程度。

在本问题中，假设投资者消费两种产品的数量分别为，则可以认为消费者所获得的效用是的函数，记为。

即可以将效用函数理解为从消费集合到实数集合的一个函数：21,q q 21,q q ),(21q q U R R R y x U →×:),(。

yUx U ∂∂∂∂,称为边际效用，平面上的曲线xOy C y x U =),(代表能带给消费者效用为C 的所有产品组合，该曲线称为一条无差异曲线。

对于效用函数，我们有下面几个假设（注意假设条件的经济意义）：),(y x U （A1）0,0>∂∂>∂∂yUx U ，经济含义为边际效用大于零，即消费更多的产品可以带来更大的效用。

（A2）U 关于拟凹，即),(y x 02)()(2222222<∂∂∂∂∂∂∂−∂∂∂∂+∂∂∂∂y x Uy U x U y U x U x U y U （A3）有时使用下面的约束条件0,0,022222>∂∂∂<∂∂<∂∂y x UyU x U 按照假设（A1）（A2），在平面上无差异曲线是一条单调递减，且凹向上的曲线。

（为什么？留作习题。

）xOy 模型建立：投资者将自己拥有的资金合理的分配到两种产品的消费上，目标是使得自己获得的效用最大。