角平分线的性质第2课时评价作业

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角的平分线的性质第二课时教案

角的平分线的性质第二课时教案
11.3角的平分线的性质(第2课时)
【教学目标】
1．使学生掌握角的平分线的判定定理，并会用角的平分线的性质定理和判定定理解决有关简单问题．
2．通过引导学生参与活动的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程提高思维能力．
3．通过师生互动，培养学生学习的自觉性，激发学生探究新知的热情．【教学重点】角的平分线的判定定理的探索与角平分线的性质定理和判定定理应用．
【教学难点】角的平分线性质定理和判定定理的区别与联系．
【教学方法】启发探究式．
【教具】三角板
【教学流程】
一、复习引入：
学生口答角的平分线有什幺性质？教师强调说明：
“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那幺，反过来会怎幺样呢？
二、探索新知：
1、提出问题，创设情境：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）。

1.4第2课时角平分线性质定理的应用

课时作业(八)[1.4 第2课时角平分线性质定理的应用]一、选择题1．下列说法：①在△ABC 中，AB 的垂直平分线是A ，B 两点的对称点；②角的两边关于角平分线所在的直线对称；③在等腰三角形ABC 中，两腰AB ，AC 关于∠A 的平分线所在的直线对称；④在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的对称轴上；⑤一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离相等．其中正确的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．如图K －8－1，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，BC ＝7.5，DE ＝2，则△BCE 的面积为链接听课例1归纳总结( )图K －8－1A ．10B ．7C ．7.5D ．43.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图K －8－2所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( )图K －8－2A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．如图K －8－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则有下列说法：①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.其中正确的有( )图K －8－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.如图K －8－4，△ABC 的面积等于6，边AC ＝3.现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的点C′处，点P 在直线AD 上，则线段BP 的长不可能是( )图K－8－4A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题6．如图K－8－5，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E.若两平行线间的距离为6，则OE＝________．图K－8－57．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是三个内角平分线的交点，AC＝3，BC＝4，点O 到三边的距离r＝________．三、解答题9．如图K－8－6，某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明灯P，使它到绿地各边的距离相等．请你在图中画出安装照明灯P的位置.图K－8－610．如图K－8－7，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：∠1＝∠2.图K－8－711．如图K－8－8，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为D，M，N.求证：BM＝CN.图K－8－812．如图K－8－9，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.图K－8－913．如图K－8－10，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：AD垂直平分EF.图K－8－10分类探究观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B.(1)如图K－8－11①，当∠C＝90°，AD平分∠BAC时，求证：AB＝AC＋DC；(2)如图K－8－11②，当∠C≠90°，AD平分∠BAC时，线段AB，AC，DC之间又有怎样的数量关系？(3)如图K－8－11③，当AD平分△ABC的外角时，线段AB，AC，DC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．图K－8－11详解详析课堂达标1．[解析] B 在△ABC 中，AB 的垂直平分线是A ，B 两点的对称轴，故①错误；②③④⑤都正确．2．[解析] C 过点E 作EK ⊥BC 于点K. ∵BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB ， ∴EK ＝DE ＝2，∴△BCE 的面积＝12BC·EK ＝12×5×2＝5.故选C.3．A4．[解析] D 根据作图的过程可知，AD 平分∠BAC.故①正确； ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠CAB ＝60°.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝30°，∴∠ADC ＝90°－∠CAD ＝60°.故②正确； ∵∠BAD ＝∠B ＝30°，∴AD ＝BD ， ∴点D 在AB 的垂直平分线上．故③正确； ∵在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴CD ＝12AD ，∴BC ＝CD ＋BD ＝12AD ＋AD ＝32AD.∵S △DAC ＝12AC·CD ＝14AC·AD ，S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AC·32AD ＝34AC·AD ，∴S △DAC ∶S △ABC ＝(14AC·AD)∶(34AC·AD)＝1∶3，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，共4个．5．[解析] A 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，BE ′⊥AC ′于点E′，易知AB 平分∠DAC ，先利用三角形的面积公式求出BE ＝4，得BE′＝4，由垂线段最短可知BP ≥BE′，可得正确答案．6．[答案] 3[解析] 如图，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，OG ⊥CD 于点G . ∵∠ACD 与∠BAC 的平分线相交于点O ， OE ⊥AC ， ∴OE ＝OF ＝OG . ∵FG ＝6， ∴OE ＝3. 故答案为3.7．[答案] 4∶3[解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，D 为∠BAC 的平分线AD 上一点，则DE ＝DF.由AB ＝4，AC ＝3，△ABD 的面积为12AB·DE ，△ACD 的面积为12AC·DF ，从而得到△ABD 与△ACD 的面积之比即AB 与AC 之比，故答案为4∶3.8．19．解：∵照明灯到绿地各边的距离相等，∴照明灯P 的位置为△ABC 的角平分线的交点，如图．10．证明：如图，连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 边的中点， ∴AD 平分∠BAC.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ， ∴∠1＝∠2.11．证明：如图，连接BE ，EC. ∵BD ＝DC ，DE ⊥BC ，∴BE ＝CE.∵AE 平分∠BAC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ，∴EM＝EN，∠EMB＝∠ENC＝90°.在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE＝CE，EM＝EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE，∴BM＝CN.12．证明：∵点P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO＝90°，∴∠DPF＝90°－∠DOP，∠EPF＝90°－∠EOP，∴∠DPF＝∠EPF.在△DPF和△EPF中，∵PD＝PE，∠DPF＝∠EPF，PF＝PF，∴△DPF≌△EPF，∴DF＝EF.13．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上．又∵DE＝DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.素养提升解：(1)证明：过点D作DE⊥AB，垂足为E.∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，∵AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°.∵DE⊥AB，∴∠BDE＝45°，∴BE＝DE＝DC.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋DC.(2)AB＝AC＋DC.理由：在AB上截取AG＝AC，连接DG.∵AD平分∠BAC，∴∠GAD＝∠CAD.在△ADG和△ADC中，∵AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADG≌△ADC，∴DG＝DC，∠AGD＝∠ACB.∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B.又∵∠AGD＝∠B＋∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG＋AG＝DC＋AC.即AB＝AC＋DC.(3)AB＝DC－AC.证明：在AF上截取AG＝AC，连接DG. ∵AD平分∠FAC，∴∠GAD＝∠CAD.在△ADG和△ADC中，∵AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADG≌△ADC，∴DG＝DC，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD.∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B.又∵∠FGD＝∠B＋∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG－AG＝DC－AC.即AB＝DC－AC.。

《角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

BD MC N E A G板书设计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。

12.3角的平分线的性质二章全等三角形导入新课讲授新课课堂小结第2课时角平分线的判定八年级数学上(RJ)

得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ 平分∠，且⊥， ⊥
P
O
E
B
∴ 猜想:
思考：这个结论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，⊥，⊥，垂足分别是D、E，.求证：点P 在∠的角平分线上.
证明：作射线， ∵⊥⊥. ∴∠∠90°，
二三角形的内角平分线活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△的角平分线，相交于点P，求证：点P到三边，，的距离相等.
几何语言描述： ∵ 平分∠，且⊥， ⊥.
∴.
不必再证全等
A D
P到的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到的距离
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
一角平分线的判定问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△中，∥交于点E，∥交于点F，点P是上一点，且点D到的距离与到的距离相等，判断是否平分∠，并说明理由．

12.3 角的平分线的性质(第2课时)八年级上册人教版

素养目标
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 1. 理解角平分线判定定理.
探究新知
素养考点角平分线的判定的应用
例如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距
离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置
链接中考如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF， CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) . ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.

八年级数学人教版(上册)第2课时角的平分线的判定

∴OB＝OD．∴OE＝OD．又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC．证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC．证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD．证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .

人教版八年级数学上册作业课件第十二章全等三角形角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定

11．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．
12．如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，AB＝ AC，求证：AD平分∠BAC.
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠CFA＝∠BEA＝90°，在△ACF和△ABE中， ∠CFA＝∠BEA，∠CAF＝∠BAE，AC＝AB，∴△ACF≌△ABE(AAS)，∴AF＝ AE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴AD平分∠FDE，即∠ADF＝∠ADE，∵∠ADF＋ ∠FAD＝90°，∠ADE＋∠EAD＝90°，∴∠FAD＝∠EAD，即AD平分∠BAC
9．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(B )
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
10 ．如图，已知 △ ABC的周长是 20， OB， OC分别平分 ∠ ABC和 ∠ ACB ， OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF， ∠B＝50°，∠C＝70°，那么∠DAF＝_3_0_°___，∠ADE＝__6_0_°___．
8．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB. 解：过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F，∵∠1＋∠2＝180°，∠2 ＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO，在△PAE和△PBF中，∠AEP＝∠BFP，∠1 ＝∠PBF，PA＝PB，∴△PAE≌△PBF(AAS)，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB
14．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. (1)如图①，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB； (2)如图②，若点O在△ABC的内部，∠OBC＝∠OCB，求证：∠ABC＝∠ACB； (3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝ ∠ACB成立吗？请画图表示．

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八年级上册（11-15章） - 49 -
B
E
O
角平分线的性质第2课时评价作业
（12分钟满分：100分）
一、必做题（1、2、3题每题10分， 4、5题每题20分，共70分）
1、如右图，因为 OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ， PE ⊥OB ，所以 = . 依据是。

2、如上图，因为点P 在∠AOB 的内部， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，且PD=PE ，所以 OP 平分∠ . 即∠ =∠ .
3、要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是
的交点.
4、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处
Ｄ．4处
5、如图，ABC △中，90ACB ∠= ，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE 垂直平分
AB 交AB 于
E ，若1
1.52
DE AD =
=cm ，则BC =（）
Ａ．3 cm Ｂ．7.5 cm Ｃ．6 cm Ｄ．4.5 cm
二、选做题（20分）
6、已知，如图，点P 是△ABC 的外角∠CBE 和对角∠BCF 的平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ．
7. 如图，已知在△ABC 中，90C ∠= ，点D 是斜边AB
的中点，
2AB BC =
，
Ｂ
Ｄ
E
F
八年级上册（11-15章） - 50 -
DE AB 交AC 于E ．
求证：DE=CE
三、思考题（15分）
8、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ．连接EF ，EF•与AD 交于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论．
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｃ。