角平分线的性质2
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第12章 全等三角形 第2课时 角的平分线的性质(2)
互动课堂理解
证明在△DBE和△DCF中,
∠ = ∠ = 90°,
∠ = ∠,
= ,
所以△DBE≌△DCF(AAS).
所以DE=DF.因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以点D在∠BAC的平分线上.
快乐预习感知
1
2
3
4
1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(
).
A.两内角平分线的交点一定在三角形内
第2课时 角的平分线的性质(2)
快乐预习感知
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线
上.
2.三角形的三条角平分线 相交于一点 ,这点到三角形三边的
距离 相等
.
3.三角形中到三边的距离相等的点是( D ).
A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两内角平分线的交点到三边的距离相等
D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在
∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平
分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,其中正确的
证明:∵DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,
∴∠BED=∠CFD=90°,
= ,
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
= ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
角平分线的性质(2)
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交 于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
分析:无条件限制，4处。
小结
？
A
E
F D
B
C
尝试应用
牛刀小试 1、如图，在三条公路 围成的一块平地上建一 个水库，要使这个水库 到三条公路的距离相等, 应在何处修建?
思考
在确定了水库的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?如何证明的?
延伸与拓展
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中 转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地 址有:( ) A.一处 B. FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的性质(2)
学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划教 学设计︵内容、方法、过程、反馈、 反思︶一、 复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ②几何表达: ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB 二、合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结OP在Rt △PAO 和Rt △PBO 中， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）三、典型例题例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．例2.如图，在⊿ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE =CF ，求证：AD 是∠BAC 的角平分线例3.已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE . 求证：(1)BD =CE ；（2）AF 平分∠BFE .例4.如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？A EB D FC。
角平分线的性质
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
SPDB
1 2
·AB·PD=28.
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 利用角平分线的性
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，
ห้องสมุดไป่ตู้E G
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
C
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程.
知识要点
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
角平分线定理2证明
角平分线定理2证明角平分线定理2是指在一个三角形中，如果一个角的平分线上某个点到另外两边的距离比另外一个点到两边的距离大，则该角的平分线所对应的两个小角的角平分线也相应地实现这个条件。
下面我们来证明这个定理。
设在三角形ABC中，点D和E分别是角BAC的平分线上的两个点，且满足AD > AE；点F和G分别是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线上的两个点。
首先，连接BD、BE、CD、CE、AF和AG。
要证明FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线，我们需要证明FG与AB和AC平分的两个小角分别相等。
根据角平分线的定义，我们可以得到以下等式：∠BDA = ∠ADE∠CDA = ∠AED∠CGA = ∠AGE∠CFA = ∠AFE接下来，我们要使用一些三角形的性质，来推导出角BFG和角BAG的等式，以及角CGF和角CAF的等式。
由于∠BDA = ∠ADE，且∠DEA是角DAE的平分线，根据角BDA和角ADE平分线定理，我们可以得到：∠BDA = ∠EDA由于∠CGA = ∠AGE，且∠AGE是角AEG的平分线，根据角CGA和角AGE平分线定理，我们可以得到：∠CGA = ∠EGA同样地，由于∠CFA = ∠AFE，且∠AFE是角AEF的平分线，根据角CFA和角AFE平分线定理，我们可以得到：∠CFA = ∠EFA再由于∠BFD = ∠DFA，且∠BFD是角BDF的平分线，根据角BFD和角DFA平分线定理，我们可以得到：∠BFD = ∠AFD类似地，由于∠CGE = ∠EGA，且∠CGE是角CTE的平分线，根据角CGE和角EGA平分线定理，我们可以得到：∠CGE = ∠AGE最后，由于∠CFE = ∠EFA，且∠CFE是角CEF的平分线，根据角CFE和角EFA平分线定理，我们可以得到：∠CFE = ∠AFE综上所述，我们可以得出以下结论：∠BDA = ∠EDA∠CGA = ∠EGA∠CFA = ∠EFA∠BFD = ∠AFD∠CGE = ∠AGE∠CFE = ∠AFE因此，根据角等于其对应的平分线所对应的两个小角之和的性质，我们可以得到：∠BDF + ∠BFD = ∠ADF∠CGE + ∠EGA = ∠CGA∠CFE + ∠EFA = ∠CFA进一步地，我们可以得到：∠BDF + ∠AFD = ∠ADF∠CGE + ∠AGE = ∠CGA∠CFE + ∠AFE = ∠CFA由于∠BDF = ∠AGE，∠AFD = ∠CGA，以及∠EFA =∠CFA，我们可以得到：∠ADF = ∠CGA∠CGA = ∠CFA从而可以得出结论：FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线。
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O C
B
A
C E
D B A 角的平分线的性质 2
学习目标:
1、掌握角的平分线的判定方法。
2、 掌握几何命题的证明步骤。
3、 能够利用平分线的性质和判定进行推理、计算和应用。
学习重点：角的平分线的判定的证明及运用。
学习难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。
一、自主学习 复习旧知： 1、如右图：OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC= =
2
1
∠AOB=2 =
2、角平分线的性质：角平分线上任意一点到这个角两 边的 相等
3、如图1，⑴角平分线的性质定理： ∵P 在∠AOB 的平分线上 PD ⊥ PE ⊥ ∴ = ⑵角的平分线的判定定理： ∵PD=PE PD ⊥OA PE ⊥OB
∴
4、(练习)在△ABC 中，∠ACB=90°，BD
是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB,点E 为垂足，
则AD+DE=
二、活动探究
1. 探究如何证明:角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上
⑴根据条件画出正确的图形如图2， ⑵写出已知：∠ACB 内一点P ，PD ⊥ ,PE ⊥ ，
⑶写出求证：
（4）证明：定理归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 几何语言:∵∠ACB 内一点P ，PD ⊥AC,PE ⊥BC ,PE=PD ∴ 2、如图3，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，BF 交CE 于D
点，且BD=CD
求证：D 在∠BAC 的平分线上
三、当堂检测 1、△ABC 中，点P 是BC 边上一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则点P 与BC 的交点
2、如图4，已知∠ACB ，PD ⊥CA 于D ，PE ⊥CB 于E ，欲证PD=PE ，必须补充P 在∠ACB 的 ，连接CP ，证明 和 全等
O D
P
E
B
C A
图1C E D P B
A 图2F E
D
C
A
B 图3
P
E
D
C
B
A 图4
图10
F
E D C B A 3、如图5，点P 在射线OC 上，∠AOB=70 0， PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD=PE ，则∠AOP 的度数为
4、如图6，在△ABC 中，D 是外角∠CBM,∠BCN 的角平分线的交点，且DE ⊥AM 于E ，D F ⊥AN 于F 。
求证：D 在∠BAC 的平分线上
5、已知D 、E 、F 分别是△ABC 三边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的
面积相等，求证：AD 平分∠BAC
6、如图11，已知∠A=∠B=90 0，∠BCD 的平分线CE 交AB 于E ， 且AE=BE 。
求证: DE 平分∠ADC
O
P
E
D
C
B
A
图5
E D
C
B A 图11。