优化设计(重复试验方差分析2)
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重复测量数据方差分析
实验设计
处理——A因素：g个水平 a1 , a2 ,ag 每个水平 n个 试验对象 时间——B因素：m个时点 b1 , b2 ,bm 试验数据Xijk i=1,2, … ,g j=1,2, … ,m k=1,2, … ,n 试验数据共gmn个
方差分析
b1 a1 a2 b2 „ bj
合计
X 221 X 222 Tij ( X ij ) X 22 n
77.0
80.4 65.0 77.0 66.8 71.0 72.6 73.4 78.0
75.2
81.2 63.2 73.8 64.4 68.2 72.8 73.4 76.4
77.4
79.6 63.4 72.5 60.8 70.2 72.6 72.2 74.8
32
33 34 35 36 37 38 39 40
一、重复测量资料的数据特征
目的：推断处理、时间、处理×时间作用于试
验对象的试验指标的作用。
资料特征：
处理因素 时间因素
g （≥1 ）个水平，每个水平有n个
试验对象，共计 gn个试验对象。
同一试验对象在m（≥2 ）个时
点获得m个测量值，共计gnm个测量值。
方法：方差分析
前后测量设计
前后测量设计资料是重复测量资料中最为常见 的资料类型，即g=1, m=2, 如表9-1。 和配对设计的数据形式相同，但两者属于完全 不同的实验设计类型。区别如下： 1. 是否随机分配处理（分组）； 2. 差值的独立性问题； 3. 数据处理方式的差异。
受试 对象j
1 2
剂型 k
1 1
服药后测定时间i(周)
0 84.4 105.0 8 82.2 100.8 16 82.2 97.4 24 83.0 96.6
重复测量设计资料的方差分析
F
2n-1
SS组间
1
SSA
MSA
MSA/ MS组间误差
2(n-1) 2n
SS组间- SSA SS组内
MS组间误差
1
SSB
MSB
MSA/ MS组内误差
1
SSAB
MSAB
MSAB/ MS组内误差
2(n-1) SS组内- SSB- SSAB MS组内误差
重复测量资料方差分析－SPSS数据格式
包括3个变量： Group：组别， 1=处理组，2=对 照组
设立平行对照的目的是为了保证非处理因素 的影响在处理组和对照组中达到均衡。
表12-2 两组高血压患者治疗前后的舒张压
序号
1 2 …… 9 10
处理组 治疗前 治疗后
130 114 124 110 …… …… 126 108 124 106
序号
11 12 …… 19 20
对照组 治疗前 治疗后
118 124 132 122 …… …… 120 124 134 128
C
SS组内
X2 1 2
M
2 j
表中n为每个处理组中观察对象的例数，X为 每个观察结果，M为每个观察对象前后两次 观察的合计，C为校正系数。
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
SS
MS
表12-8 考虑干预和时间因素的SS分解
变异来源 处理组间
干预（A） 时间（B） AB交互作用
自由度 离均差平方和(SS)
3
SS处理
1 n
(T12
【优化试验设计】优化设计(方差分析)2016
fA×B = fA ×fB 试验误差的自由度fe = f总 - f因+交
• 总偏差平方和S及其自由度还满足下列关系：
a
S S j S j S j S j
j 1
c因
c交
c空
a
f f f j f j f j
j 1
c因
c交
c空
• 总偏差平方和等于正交表所有列偏差平方和之和，等于所有 试验因素、试验考察交互作用和空列偏差平方和之和；其自 由度等于各列自由度之和，等于试验因素、试验考察交互作 用和空列的自由度之和。
差，则有：
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
25
F分布：
设 U ~ 2 (n1) ，V ~ 2 (n2 ) ，且U、V独立，则称随机变量：
F U / n1 V / n2
服从自由度为（n1,n2）的F分布，记为F~F(n1,n2)。
F临界值是根据统计数学原理而编制的F分布表(Fα(f1, f2))，对 于不同的 α值，设计了不同的F分布表
P[FA F ( f A , fe )] 1
如果 FA F ( f A , fe ) ，就可以拒绝接受原假设，并认为在显著
水平 下，因素 A的水平变动对试验指标有显著的影响，而作
这一结论的置信度为1- ，犯错误的几率为 。
常用的F表有α＝0.01、0.05、0.10、0.25几种， α称为置信度
S j
a b
b
( y jk
k 1
y)2
其中：y jk
y jk a
b
ab 2 b [ k 1 ( y jk
2
y
2yy
jk )]
a b 2
2
b
• 总偏差平方和S及其自由度还满足下列关系：
a
S S j S j S j S j
j 1
c因
c交
c空
a
f f f j f j f j
j 1
c因
c交
c空
• 总偏差平方和等于正交表所有列偏差平方和之和，等于所有 试验因素、试验考察交互作用和空列偏差平方和之和；其自 由度等于各列自由度之和，等于试验因素、试验考察交互作 用和空列的自由度之和。
差，则有：
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
25
F分布：
设 U ~ 2 (n1) ，V ~ 2 (n2 ) ，且U、V独立，则称随机变量：
F U / n1 V / n2
服从自由度为（n1,n2）的F分布，记为F~F(n1,n2)。
F临界值是根据统计数学原理而编制的F分布表(Fα(f1, f2))，对 于不同的 α值，设计了不同的F分布表
P[FA F ( f A , fe )] 1
如果 FA F ( f A , fe ) ，就可以拒绝接受原假设，并认为在显著
水平 下，因素 A的水平变动对试验指标有显著的影响，而作
这一结论的置信度为1- ，犯错误的几率为 。
常用的F表有α＝0.01、0.05、0.10、0.25几种， α称为置信度
S j
a b
b
( y jk
k 1
y)2
其中：y jk
y jk a
b
ab 2 b [ k 1 ( y jk
2
y
2yy
jk )]
a b 2
2
b
方差分析II
在假设 H0A, H0B为真时，有： MS 1 ) A (r F ~ F(r 1 ,(r 1 )(s 1 )) A MS 1 )(s 1 ) e (r MS 1 ) B (s F ~ F(s 1 ,(r 1 )(s 1 )) B MS 1 )(s 1 ) e (r
无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表 示为： xij i j ij r s i 0, j 0 i 1 j 1 ~ N ( , 2 ) 且相互独立 ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s 其中 表示平均的效应，i和βj分别表示因素A 的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应．
无交互作用的双因素方差分析
在无交互作用的方差分析中，因素A的确r个水平与因素B 的s个水平的组合共计 n=rs 个处理，每个处理做一次试验， 试验数据如下表： 指标 因 素 A A1 A2 … Ar 因素B( j ) B1 X11 X21 Xrs … B2 X12 X22 Xrs … … … … … Bs X1s X2s Xrs …
2 ˆ MS e 2 2 1 ˆ ˆ 解得 ： MS MS MS e A e A 2 2 m ˆ MS r A A
多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
r 2 x x i i 1 s r
r
s
( x ij x ) 2 SS A SS B SS e f T rs 1
i 1 j 1
重复正交试验的方差分析
重复正交试验的方差分析1.简介正交表的各列都已安排满因素或交互作用，没有空列，为了估价试验误差和进行方差分析，需要进行重复试验；正交表的列虽未安排满，但为了提高统计分析精确性和可靠性，往往也进行重复试验。
重复试验，就是在安排试验时，将同一处理试验重复若干次，从而得到同一条件下的若干次试验数据。
重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析没有本质区别，除误差平方和、自由度的计算有所不同，其余各项计算基本相同。
(本文内容来自于网络资料的整理，希望能帮助到在寻找重复正交试验的方差分析方法的同学)1.1无重复试验计算表格表头设计A B……试验数据列号12…k x i x i2试验号11 (x1x12)21 (x2x22)…………………n m………x n x n2K1j K11K12 (1)K2j K21K22 (2)……………K mj K m1K m2…K mkK1j2K112K122…K1k2K2j2K212K222K2k2……………K mj2K m12K m22…K mk2 SS j SS1SS2…SS kCT＝QSSr1＝QCT＝QSSxQnTCTxT＝jji＝jTTni＝iT2 ni＝i--=∑∑∑m12ij121K＝表10-21 L n（m k）正交表及计算表格1.2 有重复试验计算方法（1）假设每号试验重复数为s ，在计算K 1j ，K 2j ，…时，是以各号试验下“s 个试验数据之和”进行计算。
（2）重复试验时，总偏差平方和SS T 及自由度df T 按下式计算。
式中，n －正交表试验号 S －各号试验重复数X it －第i 号试验第t 次重复试验数据 T －所有试验数据之和（包括重复试验）∑∑===ni st it x T 11（3）重复试验时，各列偏差平方和计算公式中的水平重复数改为“水平重复数乘以试验重复数”，修正项CT 也有所变化，SS j 的自由度df j 为水平数减1。
（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差SS e1和重复试验误差SS e2，即自由度dfe 等于df e1和df e2之和，即S e2和dfe2的计算公式如下：21SSe SSe SSe +=21dfe dfe dfe +=（5）重复试验时，用检验各因素及其交互作用的显著性。
单因素重复实验设计方差分析(GLM
实验设计步骤
1. 确定实验目的和假设。
3. 设定实验处理和测量指标。
5. 进行统计分析，包括数据清 洗、方差齐性检验等。
2. 选择样本和分组。
4. 实施实验并记录数据。
6. 解读和分析结果，得出结论 。
实验设计注意事项
样本代表性
确保样本具有足够的代表性，能够反映总体 的情况。
数据处理规范
遵循数据处理规范，确保数据的准确性和可 靠性。
05
结论
研究成果总结
01
验证了单因素重复实验设计方差分析(GLM)在处理重复测量数 据时的有效性。
02
揭示了不同处理组之间的显著差异，为进一步研究提供了依 据。
03
证明了GLM在处理具有重复测量特点的数据时具有优越性， 能够更准确地估计实验处理效应。
研究不足与展望
需要更多的研究来验证GLM在处理不同类型重复测量数据时的适用性和稳 健性。
背景
在科学实验、社会科学调查和工 业生产等领域中，经常需要进行 单因素重复实验设计，以评估不 同处理或条件下的结果差异。
GLM简介
GLM全称General Linear Model，即一般线性模型，是一种广泛使用的统计分析方 法。
它通过构建线性模型来描述因变量和自变量之间的关系，并使用适当的统计技术来 估计模型参数和检验假设。
对数据进行整理，计算出每个 组的均值和观测值的总数。
5. 检验假设
通过比较组间变异和组内变异 的比例，判断处理方式是否对 实验结果验是方差分析中重要的一步，它通过比较组间变异和组内变异的比例来检验多个总体均值是否 相等。
在进行假设检验时，需要选择合适的统计量来描述组间变异和组内变异的比例，并确定显著性水平。
重复测量数据方差分析
74.4
77.0
75.2 77.4
82.6
80.4
81.2 79.6
68.6
65.0
63.2 63.4
79.0
77.0
73.8 72.5
69.4
66.8
64.4 60.8
72.6
71.0
68.2 70.2
72.4
72.6
72.8 72.6
75.6
73.4
73.4 72.2
80.0
78.0
76.4 74.8
7.90
9.75 8.02
经检验处理组与对照组的差值 d 方差不齐（F S12 / S22 6.58 ， P 0.01），不符合两均数比较 t 检验的前提条件。
设置对照旳前后测量设计
前后测量数据间存在明显差别时，并不能阐明这种差 别是由前后测量之间施加旳处理所产生，还是因为存 在于前后两次测量之间旳时间效应所致。
比较
表9-2 两种措施对乳酸饮料中脂肪含量旳测定成果(%)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
哥特里－罗紫法
0.840 0.591 0.674 0.632 0.687 0.978 0.750 0.730 1.200 0.870
脂肪酸水解法
0.580 0.509 0.500 0.316 0.337 0.517 0.454 0.512 0.997 0.506
受试 对象j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
剂型 k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
服药后测定时间i(周)
定量数据重复测量的方差分析
定量数据重复测量的方差分析引言。
在科学研究中，我们经常需要对同一组对象进行多次测量，以便得到更加准确和可靠的数据。
在这种情况下，我们需要进行方差分析来确定测量结果的差异是否显著。
本文将介绍定量数据重复测量的方差分析方法及其应用。
一、方差分析的基本原理。
方差分析是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。
在定量数据重复测量的情况下，我们通常使用重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）来分析数据。
重复测量方差分析可以用于比较同一组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果之间的差异。
重复测量方差分析的基本原理是利用组内变异和组间变异之间的比较来判断测量结果的差异是否显著。
组内变异是指同一组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果之间的差异，而组间变异是指不同组对象之间的测量结果之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断测量结果的差异是否由于不同时间点或不同条件引起。
二、重复测量方差分析的假设。
在进行重复测量方差分析时，我们需要满足以下几个假设：1. 同质性方差假设，不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果的方差相等；2. 正态分布假设，测量结果符合正态分布；3. 独立性假设，不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果相互独立。
如果以上假设不成立，我们需要采取相应的方法来处理数据，例如进行变换或者使用非参数方法进行分析。
三、重复测量方差分析的步骤。
进行重复测量方差分析的步骤如下：1. 确定研究设计，确定需要比较的组别以及重复测量的时间点或条件；2. 收集数据，收集不同组对象在不同时间点或不同条件下的测量结果；3. 检验假设，对数据进行正态性检验和同质性方差检验，如果假设不成立，则需要进行相应的数据处理；4. 进行方差分析，利用统计软件进行重复测量方差分析，得出组间变异和组内变异的比较结果；5. 进行事后检验，如果方差分析结果显著，我们需要进行事后检验来确定具体哪些组别或时间点之间存在显著差异；6. 结果解释，根据方差分析和事后检验的结果，对测量结果的差异进行解释和讨论。
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试验优化设计习题课
吉林大学材料科学与工程学院 李欣
第三节 重复试验的方差分析
无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列” 无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列” 来估计的。然而“空列”并不空， 来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交 互作用所占据。这种误差既包含试验误差， 互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作 称为模型误差 若交互作用不存在， 模型误差。 用，称为模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计 试验误差是可行的；若因素间存在交互作用， 试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差 会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时， 会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时， 试验误差应通过重复试验值来估计。所以， 试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验 最好能有二次以上的重复。 最好能有二次以上的重复。 正交表的各列都已安排满因素或交互作用， 正交表的各列都已安排满因素或交互作用，没有空 为了估价试验误差和进行方差分析， 列，为了估价试验误差和进行方差分析，需要进行重复试 正交表的列虽未安排满， 验；正交表的列虽未安排满，但为了提高统计分析精确性 和可靠性，往往也进行重复试验。 和可靠性，往往也进行重复试验。
2 2 n T a T
式中 自由度
1 a T Q = ∑∑ y ，P = (∑∑ yit ) 2 at i =1 t =1 i =1 t =1
2 it
a
T
f = aT − 1
为第i号试验的第 次重复试验的结果， 式中 yit—为第 号试验的第 次重复试验的结果， 为第 号试验的第t次重复试验的结果 t=1,2,…,T; y为试验数据的总平均值。 为试验数据的总平均值。 为试验数据的总平均值
S = ∑ S j + Se 2 = ∑ S j + ∑ S j + ∑ S j + Se 2
j =1 c c因 c交 c空 c
f = ∑ f j + fe2 = ∑ f j + ∑ f j + ∑ f j + fe2
j =1 c因 c交 c空
在重复试验情况下，总偏差平方和 不等于 不等于各列偏差平方 在重复试验情况下，总偏差平方和S不等于各列偏差平方 和之和，总自由度f 不等于各列自由度之和 各列自由度之和， 和之和，总自由度 也不等于各列自由度之和，这是重复 试验与无重复试验的基本区别。 试验与无重复试验的基本区别。
a T 2 2 it a T
f e 2 = a(T − 1)
yi第i号试验的平均值，即 号试验的平均值， 号试验的平均值 当T=2时，可以简化为 时
1 T yi = ∑ yit T t =1
1 a S e 2 = ∑ ( yi1 − yi 2 ) 2 2 i =1
当正交表无空列时，可直接用 当正交表无空列时，可直接用Se2/fe2作为试验误差的均方 和进行方差分析；当因素或交互作用的偏差平方和较小时， 和进行方差分析；当因素或交互作用的偏差平方和较小时， 也可归入S 也可归入 e。 重复试验时，总偏差平方和 及其自由度满足 重复试验时，总偏差平方和S及其2＝33.42，SC＝29.01，SD=13.54，Se1=S空=9.65
S e2 =
2
16 i =1
3 t =1
∑∑
2
y it
2
1 − 3
16
3
∑
2
i =1
( ∑ y it ) 2
t =1
1 = ( 2 + 2 + ... + 6 . 9 ) − ( 6 2 + 12 . 5 2 + ... + 20 . 4 2 ) 3 = 2050 . 32 − 2048 . 31 = 2 . 01
(1) 通常等水平多因素试验，用La(bc)正交表进行试验方 通常等水平多因素试验， 正交表进行试验方 案设计。如果每号试验重复 次 案设计。如果每号试验重复T次，则试验数据的总偏差平 方和S及其自由度 为 方和 及其自由度f为： 及其自由度
1 a T S = ∑∑ ( yit − y ) = ∑∑ yit − (∑∑ yit ) 2 at i =1 t =1 i =1 t =1 i =1 t =1 S =Q−P
(2) 列偏差平方和 j和自由度 j为 列偏差平方和S 和自由度f
aT Sj = b b ∑ ( y jk − y ) = aT k =1
2 b
1 a T y − (∑∑ yit ) 2 ∑ aT i =1 t =1 k =1
2 jk
b
即
S j = Qj − P
f j = b −1
列的自由度f 列的自由度 j仍等于水平数减一 当b=2时，列的偏差平方和可以简化为 时
重复试验的方差分析
重复试验，就是在安排试验时， 重复试验，就是在安排试验时，将同一处理试验 重复若干次， 重复若干次，从而得到同一条件下的若干次试验 数据。 数据。 重复试验的方差分析与无重复试验的方差分 析没有本质区别，除误差平方和、 析没有本质区别，除误差平方和、自由度的计算 有所不同，其余各项计算基本相同。 有所不同，其余各项计算基本相同。
采用正交表L 安排试验， 采用正交表 8(27)安排试验，表头设计如下： 安排试验 表头设计如下：
表头设计 列号 A 1 B 2 C 4
3
5
6
7
例4.5的计算表 的计算表
表头设计 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 yj1 yj2 S A 1 1 1 1 1 2 2 2 2 B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 C 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2 1.5 1.0 2.5 2.5 1.5 1.0 1.8 1.9 试验结果 yi 1.7 1.2 2.2 2.5 1.8 2.5 1.5 1.3 1.0 3.2 1.5 1.7 1.3 1.8 1.5 1.0 2.0 2.8 1.5 1.5 2.2 和 ∑yi 6.0 4.2 9.9 9.3 6.5 6.3 7.3
表中无空列，所以 小于S 表中无空列，所以Se1=0。但Sc/fc小于 e2/fe2， 。 因此应将S 归入试验误差的偏差平方和S 因此应将 c归入试验误差的偏差平方和 e， 则Se=Se2+Sc=67.85，fe=fe2+fc=20。对各因素 ， 。 进行显著性检验。结果表明，A、B和D因 进行显著性检验。结果表明， 、 和 因 素都是显著性因素。显然最优组合应取A 素都是显著性因素。显然最优组合应取 3, B2 和D3 ，而对于不显著因素 取适当水平。 而对于不显著因素C取适当水平 取适当水平。 假定从节约出发，选定C 假定从节约出发，选定 3 , 则本试验最优组 合为
S 因素 = f 因素
SS A 49.99 MS A = = = 16.66 df A 3 MS 同理： B = 11.14 MS C = 9.67 MS D = 4.51 MS e＝ 0.33
显著性检验
变异来源 A B C D 误差e1 重复误差e2 误差e 总和 平方和 49.99 33.42 29.01 13.54 9.65 2.01 11.66 137.63 自由度 3 3 3 3 3 32 35 47
四、有重复试验的情况
例4 某厂为提高零件内孔研磨工序质量进 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值， 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值，希 望其越小越好。 望其越小越好。 在试验中考察的因子水平如下： 在试验中考察的因子水平如下：
因子水平表
因子 A:研孔工艺设备 研孔工艺设备 B:生铁研圈材质 生铁研圈材质 C:留研量 留研量(mm) 留研量 水平一 通用夹具 特殊铸铁 0.01 水平二 专用夹具 一般灰铸铁 0.015
进行重复试验的方差分析时， 进行重复试验的方差分析时，各项计算及显著性检验仍可 在表中分向按序进行，方法步骤与无重复试验时基本相同。 在表中分向按序进行，方法步骤与无重复试验时基本相同。 例：电解腐蚀试验，考察四个三水平因素，交互作用不考虑。 电解腐蚀试验，考察四个三水平因素，交互作用不考虑。 试验指标为产品质量，以规定标准进行综合评分， 试验指标为产品质量，以规定标准进行综合评分，满分为 100分，合格为 分。选用 9(34)正交表安排试验，每号试 正交表安排试验， 分 合格为80分 选用L 正交表安排试验 验重复三次。试验结果如表： 验重复三次。试验结果如表：
Se1为空列的偏差平方和， 为空列的偏差平方和，
S e1 = ∑ S j
c空
f e1 = ∑ f j
c空
Se2为重复试验的情况下，纯试验误差的偏差平方和，它 为重复试验的情况下，纯试验误差的偏差平方和， 完全是由重复试验引起的， 完全是由重复试验引起的，
1 a T S e 2 = ∑∑ ( yit − yi ) = ∑∑ y − ∑ (∑ yit ) 2 T i =1 t =1 i =1 t =1 i =1 t =1
1 Sj = ( y j1 − y j 2 ) 2 aT
（3）重复试验时，总试验误差的偏差平方和Se由两部分组成： 重复试验时，总试验误差的偏差平方和S 由两部分组成：
空列误差 Se1和重复试验误差 Se2，即
Se = Se1 + Se 2
自由度 fe等于 fe1和 fe2之和，即 之和，
fe = fe1 + fe 2
（2）计算各列偏差平方和及其自由度
b Sj = aT 1 = 12
a b
∑
k =1 2
y jk
2
a 1 − (∑ aT i = 1
T
∑
t =1
4 y it ) 2 = 16 × 3
吉林大学材料科学与工程学院 李欣
第三节 重复试验的方差分析
无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列” 无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列” 来估计的。然而“空列”并不空， 来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交 互作用所占据。这种误差既包含试验误差， 互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作 称为模型误差 若交互作用不存在， 模型误差。 用，称为模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计 试验误差是可行的；若因素间存在交互作用， 试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差 会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时， 会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时， 试验误差应通过重复试验值来估计。所以， 试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验 最好能有二次以上的重复。 最好能有二次以上的重复。 正交表的各列都已安排满因素或交互作用， 正交表的各列都已安排满因素或交互作用，没有空 为了估价试验误差和进行方差分析， 列，为了估价试验误差和进行方差分析，需要进行重复试 正交表的列虽未安排满， 验；正交表的列虽未安排满，但为了提高统计分析精确性 和可靠性，往往也进行重复试验。 和可靠性，往往也进行重复试验。
2 2 n T a T
式中 自由度
1 a T Q = ∑∑ y ，P = (∑∑ yit ) 2 at i =1 t =1 i =1 t =1
2 it
a
T
f = aT − 1
为第i号试验的第 次重复试验的结果， 式中 yit—为第 号试验的第 次重复试验的结果， 为第 号试验的第t次重复试验的结果 t=1,2,…,T; y为试验数据的总平均值。 为试验数据的总平均值。 为试验数据的总平均值
S = ∑ S j + Se 2 = ∑ S j + ∑ S j + ∑ S j + Se 2
j =1 c c因 c交 c空 c
f = ∑ f j + fe2 = ∑ f j + ∑ f j + ∑ f j + fe2
j =1 c因 c交 c空
在重复试验情况下，总偏差平方和 不等于 不等于各列偏差平方 在重复试验情况下，总偏差平方和S不等于各列偏差平方 和之和，总自由度f 不等于各列自由度之和 各列自由度之和， 和之和，总自由度 也不等于各列自由度之和，这是重复 试验与无重复试验的基本区别。 试验与无重复试验的基本区别。
a T 2 2 it a T
f e 2 = a(T − 1)
yi第i号试验的平均值，即 号试验的平均值， 号试验的平均值 当T=2时，可以简化为 时
1 T yi = ∑ yit T t =1
1 a S e 2 = ∑ ( yi1 − yi 2 ) 2 2 i =1
当正交表无空列时，可直接用 当正交表无空列时，可直接用Se2/fe2作为试验误差的均方 和进行方差分析；当因素或交互作用的偏差平方和较小时， 和进行方差分析；当因素或交互作用的偏差平方和较小时， 也可归入S 也可归入 e。 重复试验时，总偏差平方和 及其自由度满足 重复试验时，总偏差平方和S及其2＝33.42，SC＝29.01，SD=13.54，Se1=S空=9.65
S e2 =
2
16 i =1
3 t =1
∑∑
2
y it
2
1 − 3
16
3
∑
2
i =1
( ∑ y it ) 2
t =1
1 = ( 2 + 2 + ... + 6 . 9 ) − ( 6 2 + 12 . 5 2 + ... + 20 . 4 2 ) 3 = 2050 . 32 − 2048 . 31 = 2 . 01
(1) 通常等水平多因素试验，用La(bc)正交表进行试验方 通常等水平多因素试验， 正交表进行试验方 案设计。如果每号试验重复 次 案设计。如果每号试验重复T次，则试验数据的总偏差平 方和S及其自由度 为 方和 及其自由度f为： 及其自由度
1 a T S = ∑∑ ( yit − y ) = ∑∑ yit − (∑∑ yit ) 2 at i =1 t =1 i =1 t =1 i =1 t =1 S =Q−P
(2) 列偏差平方和 j和自由度 j为 列偏差平方和S 和自由度f
aT Sj = b b ∑ ( y jk − y ) = aT k =1
2 b
1 a T y − (∑∑ yit ) 2 ∑ aT i =1 t =1 k =1
2 jk
b
即
S j = Qj − P
f j = b −1
列的自由度f 列的自由度 j仍等于水平数减一 当b=2时，列的偏差平方和可以简化为 时
重复试验的方差分析
重复试验，就是在安排试验时， 重复试验，就是在安排试验时，将同一处理试验 重复若干次， 重复若干次，从而得到同一条件下的若干次试验 数据。 数据。 重复试验的方差分析与无重复试验的方差分 析没有本质区别，除误差平方和、 析没有本质区别，除误差平方和、自由度的计算 有所不同，其余各项计算基本相同。 有所不同，其余各项计算基本相同。
采用正交表L 安排试验， 采用正交表 8(27)安排试验，表头设计如下： 安排试验 表头设计如下：
表头设计 列号 A 1 B 2 C 4
3
5
6
7
例4.5的计算表 的计算表
表头设计 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 yj1 yj2 S A 1 1 1 1 1 2 2 2 2 B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 C 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2 1.5 1.0 2.5 2.5 1.5 1.0 1.8 1.9 试验结果 yi 1.7 1.2 2.2 2.5 1.8 2.5 1.5 1.3 1.0 3.2 1.5 1.7 1.3 1.8 1.5 1.0 2.0 2.8 1.5 1.5 2.2 和 ∑yi 6.0 4.2 9.9 9.3 6.5 6.3 7.3
表中无空列，所以 小于S 表中无空列，所以Se1=0。但Sc/fc小于 e2/fe2， 。 因此应将S 归入试验误差的偏差平方和S 因此应将 c归入试验误差的偏差平方和 e， 则Se=Se2+Sc=67.85，fe=fe2+fc=20。对各因素 ， 。 进行显著性检验。结果表明，A、B和D因 进行显著性检验。结果表明， 、 和 因 素都是显著性因素。显然最优组合应取A 素都是显著性因素。显然最优组合应取 3, B2 和D3 ，而对于不显著因素 取适当水平。 而对于不显著因素C取适当水平 取适当水平。 假定从节约出发，选定C 假定从节约出发，选定 3 , 则本试验最优组 合为
S 因素 = f 因素
SS A 49.99 MS A = = = 16.66 df A 3 MS 同理： B = 11.14 MS C = 9.67 MS D = 4.51 MS e＝ 0.33
显著性检验
变异来源 A B C D 误差e1 重复误差e2 误差e 总和 平方和 49.99 33.42 29.01 13.54 9.65 2.01 11.66 137.63 自由度 3 3 3 3 3 32 35 47
四、有重复试验的情况
例4 某厂为提高零件内孔研磨工序质量进 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值， 行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值，希 望其越小越好。 望其越小越好。 在试验中考察的因子水平如下： 在试验中考察的因子水平如下：
因子水平表
因子 A:研孔工艺设备 研孔工艺设备 B:生铁研圈材质 生铁研圈材质 C:留研量 留研量(mm) 留研量 水平一 通用夹具 特殊铸铁 0.01 水平二 专用夹具 一般灰铸铁 0.015
进行重复试验的方差分析时， 进行重复试验的方差分析时，各项计算及显著性检验仍可 在表中分向按序进行，方法步骤与无重复试验时基本相同。 在表中分向按序进行，方法步骤与无重复试验时基本相同。 例：电解腐蚀试验，考察四个三水平因素，交互作用不考虑。 电解腐蚀试验，考察四个三水平因素，交互作用不考虑。 试验指标为产品质量，以规定标准进行综合评分， 试验指标为产品质量，以规定标准进行综合评分，满分为 100分，合格为 分。选用 9(34)正交表安排试验，每号试 正交表安排试验， 分 合格为80分 选用L 正交表安排试验 验重复三次。试验结果如表： 验重复三次。试验结果如表：
Se1为空列的偏差平方和， 为空列的偏差平方和，
S e1 = ∑ S j
c空
f e1 = ∑ f j
c空
Se2为重复试验的情况下，纯试验误差的偏差平方和，它 为重复试验的情况下，纯试验误差的偏差平方和， 完全是由重复试验引起的， 完全是由重复试验引起的，
1 a T S e 2 = ∑∑ ( yit − yi ) = ∑∑ y − ∑ (∑ yit ) 2 T i =1 t =1 i =1 t =1 i =1 t =1
1 Sj = ( y j1 − y j 2 ) 2 aT
（3）重复试验时，总试验误差的偏差平方和Se由两部分组成： 重复试验时，总试验误差的偏差平方和S 由两部分组成：
空列误差 Se1和重复试验误差 Se2，即
Se = Se1 + Se 2
自由度 fe等于 fe1和 fe2之和，即 之和，
fe = fe1 + fe 2
（2）计算各列偏差平方和及其自由度
b Sj = aT 1 = 12
a b
∑
k =1 2
y jk
2
a 1 − (∑ aT i = 1
T
∑
t =1
4 y it ) 2 = 16 × 3