北师大版高中数学必修一第四章第1节函数与方程(第2课时)

1.2利用二分法求方程的近似解
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．
1．二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的_________，将区间___________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．【做一做】已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
2．用二分法求方程的近似解的过程
过程如图所示．
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值________号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的____________，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的________．
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的____和___________．初始区间可以选得不同，不影响最终计算结果．
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然．
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点．
答案：1．中点一分为二
【做一做】0.625
2．中点 零 反 中点 精度 性质 试验估计
用二分法求方程的近似解需注意什么？
剖析：用二分法求方程的近似解要注意的问题：
(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．
题型一函数零点的性质
【例1】函数f (x )＝x 3－2x 2
＋3x －6在区间[－2,4]上的零点必定在()． A ．[－2,1]内B ．[5
2
，4]内
C ．[1，74]内
D ．[74，5
2
]内
分析：按二分法的顺序是计算f (1)，f (5
2
)等进行，但数据计算较麻烦，[－2,4]内的整
数较多，选易计算的整数求解．
反思：用二分法求函数的近似零点，是取中点求函数值，看符号，确定新区间，再取中点求函数值等依次进行下去．
有时从计算速度上考虑，首先把整数代入计算会更快一些，如f (0)，f (±1)，…. 题型二求方程的近似解
【例2】求方程lg x －2－x
＋1＝0的近似解(精度为0.1)．
分析：先确定f (x )＝lg x －2－x
＋1的零点所在的大致区间，再用二分法求解．
反思：求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n ，n ＋1)，n ∈Z ；(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间M ；(3)写出方程的近似解．
题型三用二分法证明方程根的分布
【例3】已知函数f (x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，证明a ＞0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．
分析：∵f (0)＞0，f (1)＞0，
∴只需在[0,1]内找到一个点的函数值小于零即可．
反思：根据二分法，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0不成立，可计算f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14是否为负，若还不成立，再计算f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
是否为负，总之，在区间[0,1]内找到一个分点，使对应函数值为负即可．
题型四二分法的实际应用 【例4】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10km 长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
分析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去． 反思：这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用．二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法．
答案：【例1】D 解：f (0)＝－6＜0，f (1)＝－4＜0，f (2)＝0， 故2为一零点在(1,3)内，只有D 选项满足．
【例2】解：令f (x )＝lg x －2－x
＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．
因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f (x )至多有一个零点． 又因为f (1)＝0.5＞0，f (0.1)≈－0.933032992＜0， 所以方程在[0.1,1]内有唯一一个实数解．
由于区间[0.49375,0.55]的区间长度为0.05625，它小于0.1，因此，我们可以选取这
一区间内的任意一个数作为方程lg x －2－x
＋1＝0的近似解．例如，选取0.5作为方程lg x
－2－x
＋1＝0的一个近似解．
【例3】解：∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0. ∵a ＋b ＋c ＝0，
∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c . ∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0.
在[0,1]内选取二等分点1
2
，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3
4a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0.
∵f (0)＞0，f (1)＞0，
∴f (x )在区间[0，12]和[1
2，1]内分别存在一个零点．又二次方程f (x )＝0最多有两个实
根，
∴方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．
【例4】解：如图，他首先从中点C 查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点去查．
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50m 至100m ，即一两根电线杆附近，只要检查7次就够了．
1下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()．
2下列函数中，必须用二分法求其零点的是()．
A．y＝x＋7B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝
1
2
x
x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
3用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的零点，验证f(2)·f(4)＜0.给定精度ε＝
0.01，取区间(2,4)的中点x1＝24
3
2
+
=，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈
__________.(填区间)
4用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，这时可判断x0∈__________.
5求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精确到0.1)
答案：1．A
2．D D选项中无法解方程
1
2
x
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，则必须用二分法求零点．
3．(2,3) ∵f(2)·f(3)＜0，∴x0∈(2,3)．
4．(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25，这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，
故x0∈(0.25,0.5)．
5．分析：借助于计算器，利用二分法求解．
解：令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
因为(2)＝ln2－1＜0，(3)＝ln3＞0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
由于区间(2.1875,2.21875)内所有值精确到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.。