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《数学随机过程》课件
《数学随机过程》PPT课 件
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
北大随机过程课件：第 2 章 第 2 讲 马尔可夫链
则称这类随机过程是马尔可夫链。它具有无后效性。 性质 1，马尔可夫链的有限维概率密度可以用转移概率来表示，即
P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in ,ξ (n +1) = j} = P{ξ (n +1) = j / ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} = P{ξ (n +1) = j / ξ (n) = in}⋅ P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in}
(n)
=
P(m) ik
(n)
⋅Pk(jr
)
(n
+
m)
k
证明 1
按照全概率公式，
P (m+r ) ij
(n)
=
P{ξ (n + m + r) =
பைடு நூலகம்
j /ξ (n) = i}
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j,ξ (n + m) = k /ξ (n) = i} k
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j /ξ (n + m) = k,ξ (n) = i} k P{ξ (n + m) = k /ξ (n) = i}
1.3 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，是用 m 步和 r 步转移概率来表示 m+r 步转移概率。
m
步转移概率：
P (m) ij
(k
)
=
P{ξ (k
+ m)
=
j /ξ (k)
P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in ,ξ (n +1) = j} = P{ξ (n +1) = j / ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} = P{ξ (n +1) = j / ξ (n) = in}⋅ P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in}
(n)
=
P(m) ik
(n)
⋅Pk(jr
)
(n
+
m)
k
证明 1
按照全概率公式，
P (m+r ) ij
(n)
=
P{ξ (n + m + r) =
பைடு நூலகம்
j /ξ (n) = i}
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j,ξ (n + m) = k /ξ (n) = i} k
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j /ξ (n + m) = k,ξ (n) = i} k P{ξ (n + m) = k /ξ (n) = i}
1.3 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，是用 m 步和 r 步转移概率来表示 m+r 步转移概率。
m
步转移概率：
P (m) ij
(k
)
=
P{ξ (k
+ m)
=
j /ξ (k)
随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
随机过程随机过程的基本概念ppt课件
个“呼叫次数—时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量 才能得到. 由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不 同的“呼叫次数—时间函数”.
6
2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子 （电子）的随机热噪声引起的端电压称为热 噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变 量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热 噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过 程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间 函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才 能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一 次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函 数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当 故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,
时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
11
2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则 当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有 随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过 程的一个样本函数. 其图像成为随机过程 的一条样本曲线（轨道或实现）.
6
2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子 （电子）的随机热噪声引起的端电压称为热 噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变 量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热 噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过 程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间 函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才 能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一 次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函 数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当 故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,
时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
11
2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则 当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有 随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过 程的一个样本函数. 其图像成为随机过程 的一条样本曲线（轨道或实现）.
02第二讲随机过程概念及数字特征精品PPT课件
'
dt
'
E
1 T
T
2 T
2
T
2 T
2
(t)
(t
'
)e
j
(t t '
)dtdt
'
1 T
T
2 T
2
T
2 T
R(t
t ' )e
j(tt' )dtdt '
2
E[ FT () 2 ] 1
2
R(0)R()Fra bibliotek0二、功率谱密度
付氏变换（能量谱密度）F () f (t)e jtdt 沟通了确定信号时域和频
域的关系，随机过程在频率域中要讨论功率谱密度 ，主要原因有二 ：
1. 对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以无法求其付氏 变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。 2. 随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以讨论功率谱密度。
自相关遍历
R( )
遍历过程即指宽遍历过程.
四、严遍历过程或窄义遍历过程
的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平 均特性以概率为一相等 1.遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。
2.若 是平稳高斯过程, 且
；
:
则 是遍历过程
3.对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。
x1x2
10 x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
5 5
x1
10
x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
320500dx2
0
CX (t1,t2 ) E{[ X (t1) E[ X (t1)]][X (t1) E[ X (t1)]]} E[ X (t1) X (t1)] 0
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT
主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人， 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象
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转移概率的性质 : (1) pij (n, k ) 0,
p (n, k ) 1
jI ij
定义：若 pij (n, k ) 与 n 无关，则称该马尔可夫链是齐次的。
我们只讨论齐次马尔可夫链
此时：记 pij (n, k ) pij (k ), k步转移概率矩阵: P(k ) pij (k )
PX
rI
m
i, X m k r , X m n j i , X m k r P X m n j X m i , X m k r P X m i P X m i
PX
rI
m
P X m k r X m i P X m n j X m k r pir k prj n k
记 X n ：表示某顾客第n个两月末所购买的啤酒品牌，比如 “X 3 =2”表示半年后某顾客购买的是B品牌的啤酒.
可近似地认为顾客购买啤酒具有马尔可夫性，且满足齐次性
《数理统计》授课教案——李正耀
则 X n ，n 0是一齐次马尔科夫链，一步转移概率矩阵：
A A(95%) B(2%) C(2%) D(1%) B A(30%) B(60%) C(6%) D(4%) C A(20%) B(10%) C(70%) D(0) D A(20%) B(20%) C(10%) D(50%)
iI iI ai I
（3）马氏链的有限维分布
定理：设 X n , n 0 为齐次马氏链,则对任意的 i1 , i2 ,, in I 和n 1有： P X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n in pi 0 pii1 pin1in
《数理统计》授课教案——李正耀
(2) 绝对概率与初始概率的关系
定理：设 X n , n 0 为马尔可夫链，则对任意的j I 和n 1，绝对概率p j (n)具有性质： (1) p j (n) pi (0) pij (n) 或 p(n) p(0) P(n)
(2) p j (n) pi (n 1) pij 或 p(n) p(n 1) P
3 n 2
一般当n为任意整数时有： P(n) P
表明一步转移概率是最基本的，它确定了马氏链的状态 转移的统计规律。
第二节 初始概率与绝对概率
(1) 定义：设 X n , n 0 为马尔可夫链, 分别称 p j (0) P X 0 j 和p j (n) P X n j， ( jI) 为马氏链的初始概率和绝对概率，并分别称
表明n时刻的绝对概率分布完全由初始分布和n步转 移概率所确定。
(2) p j n P X n j P X n 1 i, X n j P X n 1 i P X n j X n 1 i Pi (n 1) pij
i I , 0 p 1
j i 1, i 1, j I
例2：赌博问题：甲有a元，乙b有元，两人博弈，每一局赢 者得一元，无和局，输光为止，设每一局甲赢的概率为p.
记 X n：表示第n局后甲拥有的钱数，则 X n , n 0 是一 有限齐次马尔可夫链(带有吸收壁的随机游动),状态空间：
p (0), j I 和 p (n), j I 为马氏链的初始 分布和绝对分布，简记为和 p (0) 和 p (n)。
j j j j
写成向量形式: p (0) p1 (0), p2 (0),, p j (0), p (n) p1 (n), p2 (n),, p j (n),
齐次链的一步转移概率为： pij pij (n,1) pij (1),
一步转移概率矩阵记为: p11 p12 p1n P pij mm p p p 22 2n 21 这里m为状态集I中所含的状态数。
《数理统计》授课教案——李正耀
对任意n 3, t1 t2 tn , x1 ,..., xn， 若满足：
P{ X (tn ) xn X (t1 ) x1 ,, X (tn 1 ) xn 1} P{ X (tn ) xn X (tn 1 ) xn 1}
马尔可夫性, 或无后效性
则称过程 X (t ), t T 为马尔可夫过程。
ai I
推论 (1) P X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in pi0 (0) pi0i1 pin1in (2) P X 1 i1 , X 2 i2 , , X n in X 0 i0 pi0i1 pin1in
已知到现在为止的所有信息来预测将来, 则只与现在 状态有关,与过去状态无关.
链：状态空间为离散集的过程称为链. 参数集 T 离散的马尔可夫链称为离散时间的马尔可夫 链，简称马尔可夫链(或马氏链). 参数集 T 是连续区间的马尔可夫链称为连续时间的马 尔可夫链.
马尔可夫链的参数集一般取 T 0,1, 2, 习惯上记马尔可夫链为:
马尔可夫链
马尔可夫过程是一类特殊的随机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程, 最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研 究的，应用十分广泛,其应用领域涉及计算机,通信, 自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育, 气象,物理,化学等等.
《数理统计》授课教案——李正耀
马尔可夫过程:
rI rI
pij n pir (k ) prj n k
rI
用矩阵形式表示为：
Pn Pk Pn k
在上式取k 1，P (n) P P(n 1) 则n 2时有：P(2) P(1) P(1) P n 3时：P(3) P(1) P(2) P
1-p
-2 -1 0
p
1 2
Yn , n 0 是一独立随机变量序列，也是马氏链, X n Yi
n
X n , n 0的增量为：X m X n Yi，故 X n , n 0
i n 1
m
i 1
是独立增量过程,因而也是齐次马尔可夫链。
其一步转移概率矩阵为：
X n , n 0
马尔可夫链的状态空间一般取整数，记为 I , 设 i I , X n i 表示在时刻 n，马氏链处于状态 i.
马尔可夫链此时的定义
定义：设有离散随机过程 X n , n 0 ,若对任意的整数n, k 和i0 , i1 ,..., in 1 , i, j I (状态空间), 满足： 则称 X n , n 0 为马尔可夫链或马氏链. P{ X n +k j | X 0 i0 ,..., X n 1 in 1 , X n i} P{ X n k j | X n i}
1 1 0.95 2 0.30 P 3 0.20 4 0.20
2 0.02 0.60 0.10 0.20
3
4
0.02 0.01 0.06 0.04 0.70 0 0.10 0.50
马尔科夫链的应用极其广泛!
用以预测土地利用结构：——《马尔科夫链在预测土地利
第一节 转移概率
定义：条件概率P{ X n k j | X n i}＝＝ pij (n, k ) 称为马尔可夫链在 n时刻的k步转移概率. 即为：
记为
“系统时刻 n 从状态 i 出发， 于时刻n k到达状态 j 的概率”
定义：称 pij (n,1) P{ X n 1 j | X n i}为马氏链在 n 时 刻的一步转移概率.
iI
iI
2 1
0
j
n 1 n
证： (1) p j (n) P X n j P X 0 i, X n j P X 0 i P X n j X 0 i pi (0) pij (n)
iI iI iI
Markov性的 记 A {X (tn ) xn }............将来状态 直观含义
B {X (t1 ) x1 ,..., X (tn2 ) xn2}........过去
C { X (tn1 ) xn1}........现在的状态
Markov性 :
P( A | BC) P( A | C)
I 0,1, 2, , a b
一步转移概率矩阵：
0
1
2 ab
0 1 0 0 0 1 1 p 0 p 0 P 2 0 1 p 0 0 a b 0 0 0 1
例2：啤酒的市场占有率问题： 某市场上有(且只有) A、 B、C、D四种啤酒在销售，A种 啤酒的广告改变广告方式后，经市场调查发现，买A种啤酒 及另外三种啤酒的顾客每两个月的平均转移概率如下： 数 A A(95%) B(2%) C(2%) D(1%) 据 如 B A(30%) B(60%) C(6%) D(4%) 何 C A(20%) B(10%) C(70%) D(0) 得 到 D A(20%) B(20%) C(10%) D(50%) ？
马尔可夫链举例
例1：随机游动问题
1-p
-2 -1 0
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物理学中的扩散过程，统计中 的序贯分析等
p
1 2
一质点只能停留在数轴上的整数点处，每隔单位时间 随机地向左或向右移动一格，向右移动的概率为p，向左 移动的概率为1-p.
记X n：表示第n时刻，质点所处的位置，设P X 0 0 1
事实上，每一步都相当于做一次伯努利试验，记 1 质点右移 Yn = 1 质点左移 则 P Yn 1 =p，P Yn -1 =1-p