人教版小学六年级工程问题
2024学年人教版六年级下册数学小升初专题训练：工程问题
2024学年人教版六年级下册数学小升初专题训练：工程问题一、单选题1．甲加工3个零件用40分钟，乙加工4个零件用30分钟，甲、乙工作效率的比为（）A．3：4B．4：3C．9：16D．16：92．王师傅5分加工17个零件，李师傅6分加工20个零件，张师傅7分加工23个零件，（）的工作效率最高。
A．王师傅B．李师傅C．张师傅D．三人的工作效率一样3．小胖和小亚进行口算比赛，小胖6分钟做72道，小亚4分钟做52道，谁做得快一些（）。
A．小胖B．小亚C．一样快D．无法比较4．一项工程，甲队单独做4天可以完成，乙队单独做6天可以完成。
两队合作2天后，还剩下这项工程的（）未完成．A．56B．16C．712D．235．加工32个零件，由师傅单独做需要4小时，由徒弟单独做需用8小时，师徒合作需用几小时？正确列式的是（）。
A．1÷（14- 18）B．32÷（14+ 18）C．1÷（14+ 18）D．32÷4+32÷8二、判断题6．做一个零件，甲用了12小时，乙用了13小时，甲的效率高。
（）7．某工程队修一条道路，每天修这条道路的111，那么11天可以修完这条道路。
（）8．甲乙两队合作修一条长180千米的公路，甲队每天修5.5千米，乙队每天修3.5千米，两队合修20天完工。
（）9．一份稿件小王8小时可以打完，小张12小时可以打完。
两人合作，4.8小时可以打完。
（）10．5小时加工30个零件，1小时加工2个零件。
（）11．一项工程，甲单独做3天完成，乙单独做4天完成，甲的工作效率是乙的75%．（）三、填空题12．甲乙两个工程队合修一条1140米长的公路．两队同时开工，甲队从东端开始修，每天修50米.乙队从西端开始修，每天修45米．经过天可以修完.部黄砂运进工地。
14．工程队修筑一条公路，计划用24天修完，每天修45米．实际提前6天就完成了任务，实际平均每天修米15．某工厂原计划24天烧煤6吨，实际烧了30天，实际每天比计划少烧吨16．一件工作，原计划20天完成，实际16天完成，工作时间缩短了%，工作效率提高了%.17．一项工程，甲队独做2天可完成它的512，如果由甲、乙两队合作3天，就会超额完成18，那么，这项工程由乙队独做需天完成。
人教版小学六年级数学上册工程问题
工程问题1一项，甲队独做要 10天完成，乙队独做要 15天完成，甲队先做 2天后，剩下的再由两队合做，还要多少天可以完成任务？2一项，甲队独修 15天完成，乙队独修 20天完成。
两队合修 5天后，甲队调走，剩下的由乙队继续修完。
乙队还要几天修完？3．队做一条公路，第一周做了全长的 20%，第二周做了全长的长多少米？ 1，两周共做了 180米。
这条公路全4.一项，甲单独做 20天完成，乙单独做 30天完成。
甲乙合做了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 16天。
乙请假多少天？5.水池中有两水管，单开甲水管 10小时可将空池放满水，单开乙水管15小时可将满池水放完，现两管齐开，几小时可将空池放满？6.一项，甲要 20天完成，乙要 30天完成，在两人合做中，甲休息了 5天，共要多少天才能完成全？7.一项，甲乙两队合做 12天完成。
现由甲队先做 18天，乙队再接替甲队做 8天，这样正好完成全部任务，这项如果甲队独做，多少天完成？8.某水池装有甲乙两个进水管和丙一个出水管。
单开甲管 6分钟可以注满水池，单开乙管 8分钟可以注满，单开丙管 4分钟可以把满池水排完。
三管齐开，几分钟能使水池注满？9.两个小组装配收音机，甲组每天装配 50台，第一天完成了总任务的 10%，这时乙组才开始装配,每天装配 40台,完成这批任务时，甲组做了多少天？10.修筑一条公路，完成了全长的 2／3后,离中点 16.5千米，这条公路全长多少千米？11.师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的 2／7，比师傅少做 21个，这批零件有多少个？12.两队修一条公路，甲队每天修全长的 1／5，乙队独做 7．5天修好。
如果两队合修 2天后，其余由乙队独修，还要几天完成？13.有一计划用工人 800名，限 100天完成。
不料从开工起，做 35天后因事故停工，停工 25天后继续开工，如果要在限期内完工，应增加工人多少名？14.甲从东村去西村需 10分钟，乙从西村去东村需行 15分钟，两人同时动身相向而行，相遇时离中点 150米，求两村间的距离。
人教版六年级数学上册【课本】六年级(上)第14讲 工程问题综合提高
第十四讲工程问题综合提高本讲知识点汇总：1.工程问题基本公式：工作量=工作效率×工作时间；工作时间=工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间．2.理解“单位1”的概念并灵活应用；3.有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系；工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．典型题型1.基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间．（1）基本工程问题：关键在于效率的计算；（2）中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；（3）来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体的工作安排；2.具有周期性的工程问题（1）轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；3.工程问题中的比例（1）正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；（2）效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；4.水管问题和牛吃草问题（1）牛吃草问题型：设效率，比较总量；（2）水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．例1．生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？「分析」题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设的工作方式分析题目．练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天．开始到完工共用了多少天时间？例2．A仓库货物是B仓库的2倍，甲搬运A仓库需要32小时，乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时．甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完．丙帮助甲搬了多少小时？「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，那么，我们可以求出工作时间．练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？例3．小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？「分析」（1）直接计算即可；（2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成工作的过程中需要多少个整周期哪？练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？例4．甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2012年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？「分析」分析可得两个工程队都是每7天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作量分别是多少呢？练习4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2012年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？例5． 一批蜘蛛侠模型，做了后，提速25%，提前3小时完成任务；如果做了400个模型后，提速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．例6．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．14智慧的结晶——《梦溪笔谈》宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，有10多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域．所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为，酒坛总数也应是这个数．显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“”即为，酒坛实际数应为．加上去的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想．会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式．沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系．他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．”()37841106649+÷= 1106÷ ()6-⨯÷下宽上宽高 37846÷作业1. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天，那么乙队休息了多少天？2. 一项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成，如果甲先做8小时，乙再做6小时也可完成．如果甲先做3小时，则乙还需要做几小时？3. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则需要用规定时间的就可完成；如果减少2台机器，那么就要推迟小时完成．问由一台机器完成这项工程需要多少小时？4. 草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃几天？5. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．现有两个相同的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小时？ 23 78。
人教版六年级下册数学工程问题(课件)
3 9 10 4 ÷ 40 = 3
答 ： 10天 完 成 全部工 程 的3。
3
4
例题5
工作总量不变
一项工程，甲、乙合做６天可以完成。甲独做18天可以完成，乙独做多少天可以完成？
合作6天 “1”
1
①甲乙合作效率__6_。
1
1 ÷6 =6
1
1
②甲工作效率_1_8_。 乙工作效率 _9__。
1 1 ÷ 18 = 18
两队共同修建需要多少天？ 12天
“1”
1
1
①甲工作效率12___。乙工作效率 _2_0_。
1 1 ÷ 12 = 12
1
÷ 20
=
1 20
2
②甲乙合作效率_1_5_。
11 2 12 + 20 = 15
15
③甲乙合作需要_2__天。
2 15 1 ÷ 15 = 2
答 ： 两 队 共 同修建 需要 15天 ？
甲乙合作2天
2
？3
乙8天
1 1 ÷6=6
11 2 ×6=3
2
1
②余下的工作总量__3_、乙的工作效率__1_2。
12 1—3 = 3
1
2
1
3 ÷ 8 = 12
③甲的工作效率_1__2、甲的工作时间__1_2天。
11 1 6 — 12 = 12
1 1 ÷ 12 = 12
答：成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
练习7 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完 成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项 工作都完成最少需要多少天？
51 1−6=6
工程问题说课稿
工程问题说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《工程问题》，下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教法学法、教学过程以及教学反思这六个方面来进行我的说课。
一、教材分析《工程问题》是人教版小学数学教材六年级上册第四单元《比》中的内容。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
但是，工程问题应用广泛，与日常生活联系紧密，学好工程问题能够提高学生的解题能力和思维能力。
二、学情分析六年级的学生在学习了整数、小数和分数的四则混合运算的基础上，已经具备了解决简单工程问题的知识基础。
但是，由于工程问题比较抽象，学生可能对工作效率、工作时间和工作总量之间的关系理解不够深刻，需要通过具体的实例进行引导和讲解。
三、教学目标根据课程标准和学生的认知水平，我制定了以下教学目标：1. 知识与技能：理解工程问题中的数量关系，掌握工程问题的解题方法。
2. 过程与方法：通过自主探究、合作交流等活动，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：体会数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。
四、教法学法根据教学目标和学生的实际情况，我采用了情境导入法、启发式教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流等方式进行学习。
五、教学过程为了实现教学目标，我设计了以下教学过程：1. 情境导入通过展示实际生活中的工程问题，如修建道路、修建房屋等，引导学生思考工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知出示例题，让学生根据所给信息，尝试列式解答。
然后，组织学生进行小组讨论，交流各自的解题思路和方法。
最后，教师进行总结和归纳，讲解工程问题的解题方法和步骤。
3. 巩固练习设计一些与工程问题相关的练习题，让学生进行练习和巩固。
在学生练习的过程中，教师进行巡视和指导，及时纠正学生的错误。
4. 课堂小结引导学生回顾本节课所学的内容，总结工程问题的解题方法和步骤。
六年级上册数学试题-简单工程问题人教版
工程问题1一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做几天完工？2一批零件，甲独做8小时完成，乙独做10小时完成，两人合作几小时可以完成工程的一半？3 一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要5天能完成全工程的61。
现由两队合做，多少天可以完成？4修一条公路，甲队独做要20天，乙队的效率是甲队的180%，现两队合作需要几天完成？5开筑一条隧道，甲工程队要6个月完成，乙工程队要4个月完成，两队同时从两端开工，几个月可以开通运？6从A地到B地,甲车要10小时行完,乙车要15小时行完,如果甲乙两车相对开出,几个小时他们会相遇？相遇时甲车行了AB间路程的几分之几?7一批水泥，大卡车要15次运完，小卡车要20次运完，为了尽快运完，大卡车和小卡车同时运，多少次可以运完？8挖一条水渠，甲单独每天挖全部的121，乙单独完成需要15天，甲乙合作可以完成全部的31？9一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完这批零件的43？10一项工程，甲队单独完成要11天，乙队单独完成要15天，两队各做5天，分别完成这件工作的几分之分？谁做得多？11一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？12一批零件，师傅单独做要15小时完成，徒弟的效率是师傅的54，两人合做，5小时能加工完这批零件的几分之几？13修一条公路，甲队独做要20天，甲乙的效率比为4：5，现两队合作需要几天完成？14一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？15一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？16一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？17 修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？18一批货物，由大、小卡车同时运送，6小时可运完，如果用大卡车单独运，10小时可运完。
人教版六年级下册数学 小升初专题复习 工程问题-算术方法
人教版六年级下册数学小升初专题复习工程问题-算术方法知识点总结1.工程问题中，通常将未知的工作总量设为单位“1”2.基本公式工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率合作效率＝A的效率＋B的效率3.两人合作的工程问题中，单人效率＝合作效率－另一人的效率4.在有人休息的工程问题中，要注意选择分析的对象，通常从一直在工作的人入手分析，进而求出另外一人的工作量。
5.分段法：根据工作效率的不同把整个工作过程划分为不同的阶段，每个阶段用基本公式解决问题。
6.三人合作的工程问题，根据工作时间转化为两人做工的问题分析。
练习题：1、制造一批零件，甲单独完成需要10 天，所以甲的工作效率______；乙单独完成需要15 天，所以乙的工作效率是______。
若甲、乙两人合作，他们的合作效率是______ ＋ ______ ＝______。
因此他们合作完成这批零件需要_____ 天。
2、甲、乙、丙、丁四队合修一条公路。
（1）完成这项工作，可以将工作总量设为 ________________________ 。
（2）甲队单独修完需要20 天，所以甲队的工作效率是______；乙队单独修完需要30 天，所以乙队的工作效率是______。
（3）如果丙队的工作效率是______，那么丙队单独修完这条公路需要______ 天；如果丁队的工作效率是______，那么丁队单独修完这条公路需要______ 天。
3、一项工程，甲、乙两人合做需要6天完成，如果甲单独做需要18天完成，那么乙单独做需要多少天？4、植树节到了，如果甲班植树，20分钟可以植完；如果乙班植树，30分钟可以植完。
请问：这两个班一起植树，多少分钟可以植完全部的树？5、甲、乙两辆车运一堆泥，如果只用甲车运，12小时可以运完；如果只用乙车运，6小时可以运完。
请问：如果两车一起运，多少小时可以运完？6、一项工程，甲单独做40天可以完成，乙单独做60天可以完成。
六年级数学上册典型例题系列之第三单元工程问题 人教版(含答案)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1六年级数学上册典型例题系列之第三单元工程问题（解析版）编者的话：本试题是在《分数除法应用题提高部分》基础上进行编辑总结的，题型主要包括工程问题基础类型题、求合作时间类型题、求单量单独完成时间类型题、工程问题中的请假问题和较复杂的工程问题，共计十三个考点，按编排顺序考点难度由浅及深，考试出现频率逐次降低。
值得注意的是，《工程问题》虽然是小学数学应用题中的一个独立类型，但是在实际教学中大多数教师都在六年级数学上册第三单元分数除法章节进行讲解和练习，因此，编者认为可配合《分数除法应用题提高部分》再行使用，亦可根据学生掌握情况而定，欢迎使用。
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工程问题工程问题属于分数应用题。
分数工程问题和整数工作问题基本一样，都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
在具体解工程问题时要注意如下几点。
1．工作总量通常以“l ”表示，而工作效率用工作总量的几分之几表示，但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的。
2．两人合作的工程问题，一般都应设法确定各自的工作效率。
3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况。
4．解答方法要根据题目具体特点，灵活选用。
例1 一段布，可做30。
件上衣，也可做48条裤子，如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子? [分析解答一] 把“一段布”看作“一项工程”，“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成，“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”，“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天，这样此题就可变为一道基本工程问题。
11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭(条) 答：还可以做16条裤子。
[分析解答二] 同一段布，可做30件上衣，也可做48条裤子，则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6(条)(即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍)，那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32(条)，还可以做裤子48—32=16(条) 48—48÷32×20=16(条)[分析解答三] 用比例方法解答。
解：设还可以做x 条裤子，则：3030204816x x -==例2 一项工程，甲乙合做6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了2．5小时，因此，经过7．5小时完工，如果这项工程由甲单独完成需要多少小时?[分析解答一] 甲停工2．5小时所做的工作量，甲乙两人合做 7．5—6=1．5(小时)可以完成。
这项工程甲乙合做6小时完成，是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍，也是甲2．5小时工作量的4倍，这项工程甲单独做要2．5×4=10(小时)才能完成。
2．5 ×[6÷(7．5—6)]=10(小时)答：这项工程由甲单独完成需要10小时。
[分析解答二]假设合做7.5小时能完成工程的16×7．5=54超过“1”的54一l=14，14就是甲2．5小时所做的工作，因此甲独做需要的时间为 2．5÷14=l0(小时)2．5÷(16×7．5一1)=l0(小时)[分析解答三] 根据题意可知甲、乙两人实际合做了5小时，乙又独做了2．5小时，乙的工作效率为(1一16×5)÷2．5=115，则甲的工作效率为16一115=110甲独做该工程需1÷110=lO(小时) 7．5—2．5=5(小时)11115 2.51066⎡⎤⎛⎫÷--⨯÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(小时)例3 师徒二人合做一批零件，12天可以完成。
师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做l 天，共完成任务的320。
如果让师傅单独做多少天可以完成?[分析解答一]用“分干合想”的思路，将条件中“师傅先做了3天，徒弟接着做1天”转化为“师徒合做一天，师傅又做2天”可以求出师傅2天做了这批零件的311201215-=。
再把完成这批零件的总时间比作单位“1”，2天就占其中的115。
那么，师傅单独做所用的天数是2÷115=30(天)(3—1)÷(312012-)=30(天)答：师傅单独做30天可以完成。
[分析解答二] 同样先求出师傅2天做了这批零件的311201215-=，再求出师傅的工作效率115÷2=130，最后求出所求天数。
L[(312012-)÷(3—1)]=30(天)例4一项工程，甲、乙合做8天完成，如果先让甲独做6天，然后乙再独做，完成任务时发现比甲多用3天，乙独做这项工程要多少天完成?[分析解答一] 用“分干合想”的思路，根据题意可知甲、乙合做了6天，然后乙再独做3天完成。
乙3天的工作量是l一18×6=14，则乙独做这项工程的时间是3÷14=12(天)3÷(1一18×6)=12(天)答：乙独做这项工程要12天完成。
[分析解答二] 根据解答一的分析，乙独做3大的工作总量为l-18×6=14，乙的工作效率为14÷3=112，乙独做该工程需1÷112=12(天)1÷[(1一18×6)÷3]=12(天)[分析解答三]假设甲、乙合做9天，工作量是18×9=118，超过总工程1 18-l=18，18就是甲3天所做的，那么，甲的工作效率是18÷3=124，乙完成全工程用的时间l÷（18—124)=12(天)1÷[18-(18×9一1)÷3]=12(天)例5 一件工作，甲单独做】2小时完成，现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。
乙单独做这件212作多少小时完成?[分析解答一] 可用“合干分想”的思路，将条件“甲乙合做4小时后，乙又用6小时才完成”转化成“甲先做4小时，再由乙做(4+6)=l0(小时)。
那么，可以知道甲4小时独做工作的412，乙10小时做的工作量为l一412=812，最后求出乙单独做这件工作所用的时间10÷812=15(小时)(4+6)÷(1-412)=15(小时)答：乙单独做这件工作15小时完成。
[分析解答二] 根据解答一的分析，先求出乙的工效，再求出他独做的时间。
1÷[(1一412)÷(4+6)]=15(小时)例6 一项工程，甲、乙两人合做12天可以完成，中途甲因事停工5天，因此用了15天才完成。
甲单独做这项工程要用多少天?[分析解答一] 用假设法进行思考。
假设甲中途没有停工，甲乙合做15天可以完成的工作是112×15=114，超过这项工程的l14-1=14，14就是甲5天能做的工作，甲单独完成工程需用天数是5÷14=20(天)5÷(112×15一1)=20(天)答：甲单独做这项工程要用20天。
[分析解答二] 根据条件可知甲5天的工作量等于甲乙合做15-12=3(天)的工作量，甲乙合做12天的工作让甲单独做需用的天数是5×(12÷3)=20(天)5 ×[12÷(15—12)]=20(天)[分析解答三] 甲停工5天，也就是乙独做了5天，然后甲乙合做15—5=10(天)完成这项工程，乙单独做5天的工作是1一112×(15—5)=16，乙队的工作效率是16÷5=130则甲单独做这项工程需用时间是1÷(112-130)=20(天)[1一112×(15—5)]÷5=1301÷(112一130)=20(天)例7 一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合做这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天?[分析解答一] 假设中途甲没有请假．照常工作．那么完成的总工作量应为l+18=118，两人完成这批零件共用118÷(18+110)=5(天)(1+18)÷(18+110)=5(天)答：完成这批零件共用5天。
[分析解答二]根据条件“中途甲因事请假一天”可知在T作过程中乙单独做了1天，完成110，两人同时合做的工作量为l—110=910。
那么，合做的时间为9 10÷（18+110)=4(天)，完成任务共用时间为4+1=5(天)(1一110)÷（18+110)+1=5(天)[分析解答三]设完成这批零件共用x天1 8×(x一1)+110x=1x=5例8 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成，若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。
问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成?[分析解答] 同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这样，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一池水的1111 20212830+++。
所以同时打开1，2，3，4号阀门，放满一池水需1÷[(111120212830+++)÷3]=18(分)例9 某工程由一、二、三,队合干，需要8天完成，由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。
如果按一、二、三、四、一、二、三、四……的顺序，每个小队干一天，再轮流干，那么工程由哪个队最后完成?[分析解答] 与例8类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是(11181015++)÷2=748，四个小队各干了6天即24天后，还剩下工程量的1一748×6=18。
又因为一、二、三小队合干需8天，即一、二、三小队各干1天完成工程量的18，所以工程由三小队最后完成。
例10 师徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的1 10，徒弟每小时加工自己任务的115。
现在同时开始加工自己的零件，师傅完成任务后立即去帮助徒弟加工，等两人都完成任务时，一共用多少小时?[分析解答一] 假设工作时师徒均没有休息，如果把每个人的任务都看作“1”，就相当于两个人共同完成“2”，则所用时间是：2÷(110+115)=12(时)[分析解答二] 改变一下工作的顺序，师徒先共同做完师傅的任务，再共同做徒弟的任务，则所用时间是：1÷(110+115)×2=12(小时])[分析解答三】如果把师徒两人的任务合起来看作“1”，那么师傅单独完成就需(10×2)小时，徒弟单独完成就需(15×2)小时，他们共同工作．则所用时间是：1÷(1102⨯+1152⨯)=12(时)[分析解答四] 当师傅完成任务时，师徒都干了10小时，师傅去帮助徒弟，同徒弟合干剩下部分，则完成任务所用时间是：10+(1一115×10)÷(110+115)=12(小时)例11 甲、乙两人加工同样多的零件，甲需要12小时完成，乙需要15小时完成。
现在甲乙两人同时加工，当甲完成任务时，又帮乙做。
又过了几小时，甲乙将所有的任务完成?[分析解答一] 甲完成任务时用了12小时，这时乙也做了12小时，乙完成了工作量的1215，乙还剩下l一1215=15，甲乙合做15还需用1 5÷(112+115)=l13(小时)(1一1215)÷(112+115)=l13(小时)答：又过了l 13小时，甲乙将所有的任务完成。