且把金针度于人

且把金针度于人
说明：本文是我结合2010年天津市中考数学第（25）题写的，也是希望借
此可以
探讨中考数学试题之中所蕴含的教育价值，以更好地服务于中学数学课堂的教
与学。

已发表于《中学数学教学参考》2010年第9期（中旬）
“鸳鸯绣了从教看，莫把金针度与人”，意思是说好诗可以任人欣赏，但不要把作诗的秘诀传授给他人．胡适先生曾将后面的一句改为“且把金针度与人”，一字之差，袒露了他的胸襟和豁达．2010年天津市中考数学第（25）题（以下简称本题），不仅依托基本几何图形的特性，以点或线段的运动对图形产生的影响为载体，考查了学生对“图形与变换”、“图形与坐标”的理解，而且，也将基本的解题思路、将解决数学问题的一般方法予以呈现，使试题赋予了丰厚的“度与人”的内涵．
本文拟结合本题的呈现方式、解法分析、拓展性问题等方面的研究，浅析中考数学试题设计中蕴含的教育价值．
1 问题的呈现温馨友善，彰显人文关怀
1.1 试题呈现
（原题请见天津市中考数学试题第（25）题）
1.2 简要评析
本题以基本几何图形为背景，主要考查轴对称变换、平移变换的基本概念和基本应用，以及在图形的变化过程中，对基本图形的识别、推理论证和计算的能力．
第（Ⅰ）问，要求确定“使△的周长最小时”点的坐标，关键是要找到点的位置．为帮助更多的考生解答本题，本题设计了“温馨提示”．这种呈现方式，一方面，具有很好的亲和力，增强了考生解答本题的信心，体现了命题者对广大考生的关爱；另一方面，通过提示本题解答的切入点，点拨解题思路，使考试功能得到很好的补充和完善，考试不仅仅是评价的过程，同时，也是一种指导考生自主学习的过程．
第（Ⅱ）问，要求确定“使四边形的周长最小时”点、的坐标．事实上，是将第（Ⅰ）问“确定点的位置”的问题，拓展为“确定线段的位置”的问题．可以借助第（Ⅰ）问中的“温馨提示”，通过适当地平移线段，将问题转化为第（Ⅰ）问的情况予以解决，体现的是一种思路上的自然的延续．
营造温馨的解题氛围，降低起点，延缓坡度，将“思路”与“方法”同时“度与人”的设计，彰显了中考数学试题“关爱每一位考生”的人文情怀．
2 问题的解决注重方法，突出数学思维
通常情况下，研究几何图形的基本思路，关键是探寻“变化过程中的规律性”，解决的一般方法是“先定性，后定量”，本题就是一个很好的范例．
2.1 第（Ⅰ）问解法探究
首先，第（Ⅰ）问的“定性”，是命题者以“温馨提示”的方式给出的，可以证明依照这样的方法作出的点，能够使△的周长最小．
如图③，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接，若在边上任取点（与点E不重合），连接、、，由，可知点到、两点的距离之和是最小的，即△的周长最小.
接下来的“定量”，可以有四种基本的方法．
方法1，利用相似．因为所在的三角形为△或△，借助与之相似的三角形，如Rt△∽Rt△，或Rt△∽Rt△，得到含有的比例式或，再结合已知矩形中线段的长，可求得，所以，满足条件的点的坐标为（1，0）.
方法2，借助于直线的解析式．根据题意，易得点、点，可得直线的解析式为，点即为该直线与轴的交点，令，得，于是点的坐标为（1，0）.
方法3，借助于面积之间的关系．设，由，再结合已知矩形中相关线段的长，可得关于的关系式，解得，即点的坐标为（1，0）.
方法4，利用勾股定理．设，则．在Rt△、Rt△和Rt△中，根据勾股定理，得，，，由，得关于的关系式，解得，即点的坐标为（1，0）.
2.2 第（Ⅱ）问解法探究
解答第（Ⅱ）问，可以完全类比第（Ⅰ）问的方法，关键也是要先确定点、的位置．由于、的长为定值，要使四边形的周长最小，只需最小．
如图④，在边上截取，即将平移至的位置，不论落在边的何处，四边形始终为平行四边形，有．此时，只需最小，问题转化为第（Ⅰ）问的情况．于是，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，在上截取，得点．这样得到的点、，使四边形的周长最小．其中，关键的想法，是“先平移，后作轴对称”，即先通过截取，将平移至，再作点关于轴的对称点，为转化成第（Ⅰ）问的情况奠定了基础．
类似地，也可以按照如图⑤的作法，在确定点、的位置时，“先作轴对称，后平移”．即先作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线，并截取，连接，得点，再在上截取，得点，连接，则四边形为平行四边形，此时是把平移到了的位置，使，为运用“两点之间线段最短”创造了条件．
对于第（Ⅱ）问的“定量”，也可以类比第（Ⅰ）问的四种基本方法，进行解答．如类比方法1，如图④，借助于Rt△∽Rt△或Rt△∽Rt△，列出关
系式，得，，所以，满足条件的点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.同样，类比方法2、方法3、方法4，结合图⑤的作法，均可得到上述结论．
可见，本题第（Ⅱ）问的解答，就是建立在第（Ⅰ）问的基础上，通过几何图形的平移、轴对称的变换，紧扣“周长最小”这个“不变量”，实现了解题思路的正迁移．
像这样，能综合运用分析、类比、转化、推理等思维方式，以达成解题效率最优化的设计，也正是本题在“数学思维”层面上要“度与人”的内容．
3 问题的拓展内涵丰富，体现研究价值
3.1 数学模型的应用价值
本题第（Ⅰ）问，实质上，就是已知直线及同侧两点，，要在直线上找一点，使最小．
如图⑥，点为点关于直线的对称点，连接，与直线交于点，由于直线是线段的垂直平分线，根据“两点之间线段最短”，此时的点一定满足“到，两
点的距离之和”最短．这一基本的数学模型，在实际生活中，有着广泛的应用．
如人教版课标实验教材（供天津用）八年级上册“13.2轴对称变换”，在“探究”栏目中设置的“选址修建泵站”的问题，即“要在燃气管道上修建一个泵站，分别向，两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？”其数学模型就是如图⑥的情形．
本题第（Ⅱ）问，实质上，就是已知直线及同侧两点、，要在直线上找两个点、，（线段的长为定值），使最小．
如图⑦，过点作直线∥，截取，相当于将平移至的位置，事实上，不论在直线上位于何种位置，四边形始终都是平行四边形，这样，只需确定点的位置就可以了，其问题的本质还是如图⑥的数学模型．
这在解决实际问题中，也是屡见不鲜的．如人教版课标实验教材（供天津用）七年级上册“2.4平移”一节的习题中，设置的“选桥造址”问题，就是一个典型的例证．
应该说，数学模型的应用价值，一方面，是从实际问题中抽象出数学模型，通过解决数学问题，完成对实际问题的解答；另一方面，就是以数学的“眼光”，审视实际生活情景中遇到的问题，回归数学模型的“原始状态”，学以致用．本题的设计，也正是基于这样的想法，将一基本的数学模型，“嫁接”于平面直角坐标系中的矩形之内，让“图形与变换”、“图形与坐标”有机整合，使试题具有了一定的探究“空间”．
3.2 进一步深化的研究价值
本题所涉及的矩形，限定了边长，，如果进行适当的拓展，取，，其中、为定值，且满足，，则在轴上仍然存在长为2的线段，可以使四边形的周长最小，此时，点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.本题第（Ⅱ）问就是当时的特殊情况．当然，在此基础上，若将线段的长设为，同样可以探究“使四边形的周长最小”时的点、的坐标．
事实上，如果将本题中的“矩形”改为“三角形”或“梯形”等，也同样可以得到一系列变式的题目，其本质，仍然是通过轴对称变换或平移变换，借助于“两点之间线段最短”，转化为如图⑥的基本模式予以解决．有兴趣的读者不妨一试，或者您还可以尝试着“变式”出更多更优美的题目．
中考数学试题，能否将中学数学的核心内容、思想方法，将解决问题的一般思路和策略，以及考查内容本身进一步研究的价值，加以提炼和概括，并以恰当的呈现方式“度与人”，使其在更大的范围内发挥效能，应该是中考数学试题设计的追求，也是一项值得深入探讨的话题．。