抓住本质探究滚动问题

抓住本质探究滚动问题
张睿
（浙江省宁波市镇海区古塘中学，315200）
圆的滚动问题，在新老教材中都出现过。

近年
更是作为竞赛题出现。

由于解决此问题，需要较强的空间想象能力，因此对于所有学生，甚至是老师都是难点。

笔者结合自己在教学中的反思，发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方法，便能帮助学生灵活应对这类题目的变式。

1、 由简入手：圆在直线上滚动
探究一：若半径为r 的圆沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？
分析：如图1，圆滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2πr ，即AB=2πr ,则圆心经过的路程OO ` =2πr 。

圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

因此可以作出一个大胆猜想：圆沿线（包括直线、曲线、折线）滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。

对这个猜想的补充说明：要正确理解这个猜测，必须分清两个概念，即“滚动、转动”。

转动的定义：物体的各部分都绕着同一条轴线做圆周运动，这样的运动叫做转动。

那么圆自身的转动指的就是：圆上各点绕着圆心做圆周运动，其所研究的对象是圆自身。

而滚动的主体要有两个图形，两个图形保持时刻接触。

2、 拓广范围：圆在多边形内、外滚动
探究二：如图，⊙Ｏ沿着△ＡＢＣ的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来位置。

已知△ＡＢＣ的周长是⊙Ｏ周长的５倍，问⊙Ｏ自身转动了几圈？
分析： 而按照本文前面的猜想，只要算出圆心经过的路程，根据：⊙Ｏ转动的圈数=圆的周长
圆心经过的路程
，即可得到结果。

解：圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。

其
中三条线段长：654321o o o o o o ++=△ＡＢＣ的周长；图中三段弧所在圆的半径即为⊙Ｏ的半径，而它们的度数和，等于以A 、B 、C 为顶点的三个周角，减去六个直角，再减去△ＡＢＣ的内角和的差，即︒=︒-⨯︒-⨯︒3601806903360。

所以三段弧长和为⊙Ｏ的周长。

∴圆心经过的路程=△ＡＢＣ的周长+⊙Ｏ的周长 ∴⊙Ｏ转动的圈数=6
1
1
5=+（圈）
小结：圆在n 边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于n 边形的周长加上n 段弧长，而这些弧所在圆的半径即为圆的半径，圆心角和为：
︒=-⨯︒-⨯︒-⨯︒360)2(180290360n n n 发现
即是n 边形的外角和，这样n 段弧长和为圆周长。

∴⊙Ｏ转动的圈数=圆的周长
圆心经过的路程
①
=圆的周长
圆的周长
多边形的周长
+
=1
+圆的周长
多边形的周长
②
在一些出版的论文中，曾看到公式②。

虽然，两个公式有相似之处，但笔者认为，研究圆心经过的路程，是这类问题的本质。

如在以下的探究中，更能灵活应对。

探究三：如图，已知Rt △ＡＢＣ中∠B=60°，∠C=30°，AB=4，⊙Ｏ的半径r=1。

若⊙Ｏ沿着Rt △ＡＢＣ的内侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。

问⊙Ｏ自身转动了几圈？
图1
分析：如图3，圆心经过的路程为△O 1O 2O 3的周长。

略解：如图3，圆与三角形三边相切，切点分别为D 、E 、F 、G 、H 、M ，连结圆心和各切点，延长HO 2交BC 边于点N ，由已知易得
3
4,8,4===AC BC AB
3
,1=
===BF BE AM
AD
在Rt △O 2NG 中，可得O 2N=
3
3
2，
则HN=
3
3
2
3+
在Rt △HNC 中，可得HC=
233
633+=
+
△O 1O 2O 3的周长=△ABC 的周长-2AD-2BE-2HC =64323223484=----++ ⊙Ｏ转动的圈数=6/2π(圈)
F
C
B
A
小结：抓住本质，则圆在多边形上滚动，内外无别。

3、 曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动 探究四：⊙M 和⊙N 为等圆，半径为r.若⊙N 沿⊙M 外侧无滑动滚动一周，则⊙N 自身转动几圈?
分析：如图4，⊙N 的圆心经过的路程为，以点M 为圆心，2r 为半径的圆的周长
∴⊙N 转动的圈数=4πr/2πr=2(圈)
学生对这道题，直观上难以想象。

认为⊙N 滚动一周，圆上每个点依次与⊙M 上每个点重合一次，因此⊙N 只转动了一圈。

这暴露出学生对本文中提到的转动一圈的概念不清。

可向学生讲清概念的同时，利用图4，让学生直观感受。

如图4，当⊙N 的圆心，由N1的位置移到N2的位置时，圆上点A 、B 的位置也相应转动到点A ’、B'的位置，我们发现⊙N 刚滚动了四分之一周时，自身已经转动了半圈；而当⊙N 滚动了二分之一周
时，自身已经转动了一整圈。

小结：圆的滚动问题，只要找准圆心经过的路程，不但内外无别，曲直亦无别！
以下是两道变式题，读者可自行解决。

1、⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为4。

若⊙A 沿⊙B 内侧无滑动滚动一周，则⊙A 自身转动几圈?
略解：如图5，⊙A 的圆心在以点B 为圆心，半径为3的圆上，圆心经过的路程为6π，则自身转动的圈数
=6π/2π=3（圈）。

A
2、半径为1的小圆从点O 到点O'，沿曲线AB 作无滑动的滚动，已知半圆AC 、半圆BC 所在圆的半径分别为4、2。

则小圆自身转动了几圈？
略解：如图6，小圆的圆心在以3为半径的圆上，圆心经过的路程为6π，则自身转动的圈数=6π/2π=3（圈）。

学习数学，能让学生学会透过想象，认识事物的本质。

在无滑动的滚动过程中，圆只有通过自身的转动，才能使得圆心产生位移。

相信通过这样的探究，学生不只是能应对各式各样的变式题，更能运用这种探究思维，去观察错综复杂的世间万物。

参考书目：《中小学数学》教师版 2005年1-2期《“转圈几何”的探究》钱卫娣 2005年第9期《“内外”确实有别》刘少伟 2007年第5期《有趣的滚动》刘向平
内容摘要：圆的滚动问题中，圆不管是沿曲线或直线滚动，还是沿多边形的内或外滚动，其自身转动的圈数，都与其圆心经过的路程有关。

即：
⊙Ｏ转动的圈数=圆的周长
圆心经过的路程。

图3
图5
图6。