人教版九年级数学(下)28.2.2应用举例(2)

解：（1）在Rt△ABC中，
∠ACB=90°
5.5 cos 24 AB 5.5 AB 6.0(m) cos 24
A
24°
B
C
故斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.0m。
综合提高 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡 的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°。沿坡面AB 向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡 AB的坡度i＝1： 3，AB=10米，AE＝15米。（i＝1： 3 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； C （2）求广告牌CD的高度． D （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米． 参考数据： 2 1.414, 3 1.732 ） （1）BH＝5m。 （2）CD≈2.7m。
AG 3 5 tanF＝ ，即 FG 3 FB 5
F B G E
D C
解得FB＝ 5 3－5≈3.66（m）。
所以改建需占路面宽度FB长约3.66m。
课内练习
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面i＝1：1.5是 指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i＝1： 3是指DE与CE的比。根据图中数据求： （1）坡角α和β; （2）斜坡AB的长（结果保留整数）
b c cos A c sin B A的邻边 b B a tan B的邻边 a cos A
cos B
斜边tan A tan B c A 的邻边 b cos A B的邻边 sin A cos B sin B a
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° i=1:1.5 A 6m F E D i=1:3 β C
1 2 tan 1.5 3
B
α
33.69
在Rt△CDE中，∠CED=90°
(2)在Rt△ABF中，
tan
1 3 18.43
6 sin , AB 6 6 AB 10.9(m). sin 0.55
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课内练习 如图，在山坡上种树，要求两树间的水平距离是 5.5m、 测得斜坡的倾斜角是24度，求斜坡上相邻两树间的坡 面距离（结果保留小数点后一位）
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
北 30° 东 A
温馨提示：
（1）方向角通常是以南北方向线为 主，一般习惯说成“南偏东（西）” 或“北偏东（西）”。 （2）观测点不同，所得的方向角也 不同，但各个观测点的南北方向线 是互相平行的，因此通常借助于此 性质进行角度转换。
西
O 45° B 南
例题讲解 例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， 65° 海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果P 取整数）？ 解：如图 ，在Rt△APC中， 34° PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈72.505 PC sin B 在Rt△BPC中，∠B＝34° PB
PC 72.505 PB 130(nmile ) sin B sin 34
A C
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
课内练习
练习.海中有一个小岛A，它周围8n mile范围内有暗礁。 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东 60°方向上，航行12n mile到达D点，这时测得小岛A在 北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
由锐角求三角函数值 计算器 由三角函数值求锐角
温故而知新
B
解直角三角形的原则： 有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。 A
c a
b
┌ C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
例题讲解 例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （结果取整数）
65°
P C 34° A
B


指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方向角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
AF tan ABF BF
解得x=6
3x tan 30 12 x
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸 上都要注明斜坡的倾斜程度. 坡面AB与水平面BC所形成的夹角 ∠ABC叫做坡角，记作α
A
AB表 示坡面
h
B
BC表 示水平 面
A F B G E D C
例题讲解
3 （2）在Rt△DEC中，∵ i=1： 3 ，∴ tan C ＝ ， 3
解：（1）设 AB的坡度为i′在Rt△AGB中， ∵ ∠ABG=45°，∴AG＝BG， ∴AB的坡度i′＝tan 45°＝1。
∴ ∠C=30°。又∵CD＝10cm，∴DE＝5m
（3）由（1）（2），知AG＝BG＝DE＝5m 在Rt△AFG中，∠F＝ 30°， A
α
铅 直 高 度
l
水平宽度
C
一般地，线段BC的长度称为斜坡 AB的水平宽度，用l表示，线段AC 的长度称为斜坡AB的铅直高度，用h 表示。
h
i α
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） l 的比叫做坡面坡度（或坡比）。 记作 温馨提示 h i,即 i= ＝tanα。 （1）坡度i不是坡角的度数，它
l
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
是坡角的正切值，即i＝tanα； h （2）坡度i也叫坡比，即i＝ ， l 一般写成1：m的形式。
例题讲解 例5、某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中 天桥斜面CD的坡度为：i=1：3，CD的长为10m，天桥 另一斜面AB的坡角∠ABG=45°。 （1）写出过街天桥斜面AB的坡度； （2）求DE的长； （3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓， 将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面 为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长。（结果 精确到0.01）
B 45° 60°
H
A
E
28.2.2应用举例（2）
h
i
α
l
解直角三角形： 直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90° 斜边c
温故而知新
B
∠A的对边a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式
A
sin A
┌ ∠A的邻边b C
斜边 c
B的对边 b a c sin A ccos A A的对边 a B b tan sin B 斜边 c