谈二次函数教学中引入“开放性”习题
谈二次函数教学中引入“开放性”习题
“创新是民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。
一个没有创新能力的民族难以屹立于世界民族之林”。
笔者认为编拟一些开放性题目，是培养学生发散性思维的有效手段。
在教学过程中，适当地进行一些“开放性试题”的训练，是培养学生创新意识和创新能力的有效途经。
“开放性”直接决定了我们在此不可能按照某种模式机械地去从事解题活动，而必须主动地、积极地去进行探索。
因此，“开放性试题”的教学对于学生创新精神的培养是十分有利的。
创新意识和创新能力的培养，不仅仅是题型的改变，更是教学思想的重要转变。
彻底改变学生在学习过程中的被动状态，促使其更为积极、主动地去进行探索。
笔者就“开放性问题” 在二次函数教学中谈谈自己的体会。
二次函数是初中数学教学难点、重点。
由于直角坐标系是初三新内容，学生在直角坐标系下识图能力还不行，对于二次函数的概念、图象各信息之间的关系，部分学生理解上很困难，为了让学生更好地掌握这部分内容，我就在课上编拟了以下几道开放性的习题，谈谈自己的体会。
例1．一道习题，其中一部分文字是这样的：已知二次函数
y = x2+bx+c的图象过点A（c，0），……，求证这个二次函数的图象关于直线x = 2对称，其中省略号部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
①根据现有的信息，你认为题中的二次函数可能具有哪些性质；
②请你把这道题补完整。
【分析解答】①必须从结论出发，由对称轴求出b = －4，由已知图象过点A （c，0），可得等式c2+bc+c = 0，c（c+b+1）=0，∴c = 0或c+b+1=0，联系到b =－4，这个二次函数的解析式可能是：y = x2－4x或y = x2－4x+3.
如果函数解析式为y = x2－4x，那么可得以下性质:
(1) 图象开口向上
(2) b =－4，c = 0；
(3) 图象经过原点;
(4) △=16＞0；
(5) 对称轴为x = 2；
(6) 顶点坐标为（2，－4）；
(7) 与x轴的两个交点分别为（0，0），（4，0）；
(8) 与x轴的两个交点的距离为4；
(9) 最小值为－4；等等.
如果函数解析式为y = x2－4x+3，那么可得以下性质:
(1) 图象开口向上
(2) b =－4，c = 3；
(3) 与y轴的交点坐标为（0，3）;
(4) 对称轴x = 2；
(5) 顶点坐标为（2，－1）；
(6) △=4＞0；
(7) 与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）；
(8) 与x轴的两个交点的距离为2；
(9) 最小值为－1；等等.
本题的答案有很多，通过引导学生容易想到这些答案，这些答案基本上包含了大纲要求掌握的内容，因此不须开放下去。
另外，我又让学生把这两个二次函数的异同点作了一下整理，并在同一直角坐标系描出它们的图象。
②绝大部分学生认为，只要将以上随便哪个性质补在省略号的地方就可以了，但问题并非如此简单。
必须提醒学生补上的条件能否保证“图象关于直线x = 2对称”这一结论；同时也应注意条件是否过多，画蛇添足总不好。
例如：如果将“△= 16”这个条件补上，并不能证明其图象对称轴为x = 2；又如：如果将“b =－4，c = 3”这个条件补上，那么原有条件“图象过点A（c，0）”就变得可有可无了，太简单而无挑战性了。
这一问让学生在解题中更好地理解题设条件的作用。
我将这一问留在课后，并提供了几种方案：（着重号为什么）
(1) 与y轴交点坐标为（0，3）；
(2) △= 4，c．＞．0．；
(3) 最小值为－4，c．≤．0．；
(4) 与x轴的两个交点之间的距离为4，且b．＞－
．．c．；
笔者认为通过这一题的练习，使学生对二次函数的概念及其之间的联系能够更好的理解，也能让学生体验到了老师编题的过程。
从课后的练习反馈来看学生对二次函数的概念确实有了更深一步的理解，没想到基础较好的学生，对第二问的补充内容加了以下条件：过点B（－c，24）， b ＞∣c∣。
例2．已知函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，x =为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a、b、c的一些什么结论？
【分析解答】首先观察到二次函数的图象为抛物线，抛物线开口向上，其对称轴为直线x =，抛物线与x轴有两个交点，交点的横
标一个大于1，另一个介于－1与0之间，顶点的纵坐标及与y轴的交点的纵坐标均介于－1与0之间，课上由小组讨论得如下结论：
(1) a＞0 ；
(2) －1＜c＜0；
(3) 由对称轴可得2a = －3b；
(4) 由（1），（3）得b＜0；
(5) 考虑x =1时，y＜0，所以有a+b+c＜0；
(6) 又x =－1时，y＞0，所以有a－b+c＞0；
(7) 由顶点的纵坐标可得，－1＜c－＜0；
(8) 若设抛物线与x轴的交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2为方程
ax2+bx+c = 0的两根，△＞0，x1+ x2 =，
x1·x2 = ，且A，B关于对称轴x =对称，∴x1+ x2 = ，
AB =∣x1－x2∣=；
(9) 由（3），（5），（6）得＜a＜－3c或2c＜b＜。
通过对二次函数图象信息的收集，学生对于二次函数图象的认识有了进一步的提高，也为接下来函数图象的综合应用打下基础。
二次函数是初中阶段“数形结合”数学思想的“典范”，于是我选择一道与抛物线内接三角形有关的习题。
例3．设抛物线y = ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C。
显然，△ABC的形状由系数a、b、c的值确定，例如当a =，b =，c = 2时，可以证明△ABC为直角三角形。
你能找出关于△ABC的形状
和系数a、b、c之间的关
系吗？
你不妨大胆地进行猜想，但你必须想办法证明或否定你的猜想。
（所谓△ABC的形状是指△ABC是否为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形？等等）
【分析解答】由已知，得△＞0，以下的讨论均以此为前提。
1. 当ac＞0时，由韦达定理知x1和x2同号，此时△ABC必为钝角三角形。
由此学生自然会想到“当ac＜0时，△ABC必为锐角三角形”。
可惜这是错
的，例如函数y =x2－x－1，容易算出△ABC的三边长分别为3，
，
，∴△ABC为钝角三角
形。
事
实上，这样的反例可举出无数多个，选定x1，x2的值，然后调整a的值，此时随着a的变化，C点上下移动，而A、B两点始终固定不动。
因此，只要C点离原点足够近，总可以使△ABC为钝角三角形；
2. 当b = 0时，x1 =－x2，△ABC关于y轴对称，因而是等腰三角形；于是，
又有学生猜想“当b≠0时，△ABC不是等腰三角形”？——又错了！又如，y =x2－x－4，计算的：A（－2，0），B（3，0），C（0，4），于是AB =
BC = 5。
又有什么规律呢？
（课后留给了基础较好的学生解决）
3. 特殊的，当b = 0，且ac =时，△ABC是等边三角形。
4. 当ac =－1时，△ABC是直角三角形。
【证明】充分利用图形的位置特点证明如下：
设C点坐标为（0，c），则当ac =－1时，
AB2=（x1－x2）2
=（）2－4·
=
而AC2+BC2 =（x12+c2）+（x22+c2）
=（x1+x2）2－2x1x2+2c2
=（）2－2·+2c2
=
==AB2
此时△ABC是直角三角形。
经过几次猜测，几次否定课堂气氛相当热烈，学生的兴趣盎然，学习积极性非常高，以至于解答这道题花了整堂课时间。
课上“数形结合”、“分类讨论”的数学思想方法，使得学生对此有了一个初步的认识。
通过以上几题的训练，笔者认为相比传统教学中的“封闭性”题型，学生
的学习积极性，参与性都提高了不少，而且效果也不错。
师生的共同解答暴露了命题猜测、探究的整个过程。
“开放性”题型在课堂教学中的引入，不同程度的加大了教师备课的难度，但学生的思维却得到了发展，发散性和深刻性有了比以往更大的提升，这也是我们数学教育工作者希望看到的结果。
只要教者留意，对某些封闭题进行改造，让它适度开放，必能为学生思维能力的培养，乃至创新教育开拓广阔的前景。
不过，笔者也发现了开放题中的“开放度”的把握，“开放”多少，“开放”多深，不是教师定了算，而是要看学生的知识基础、思维能力，教材内容，同时还要看学生处于什么阶段，这也需要我们以后在教学实践中不断摸索。
在中学数学教学中引入开放性习题来激发学生学习兴趣的实践探究
在中学数学教学中引入开放性习题来激发学生学习兴趣的实践探究一、引言在中学数学教学中，学生常常会觉得数学问题枯燥乏味，缺乏实际应用的意义，导致学习兴趣的下降。
为了激发学生对数学的学习兴趣，引入开放性习题成为了一种非常有效的教学手段。
本文将探讨如何在中学数学教学中引入开放性习题，以期激发学生的学习兴趣。
二、开放性习题的定义和特点开放性习题是指那些没有标准答案、可以有多种解法的问题。
与传统的计算题相比，开放性习题更加注重培养学生的问题解决能力、创新思维以及合作精神。
开放性习题强调的是探究和发散思维，不仅要求学生正确答题，还要求他们通过多种途径解决问题，并提供合理的解释和推理。
三、为什么要引入开放性习题1.激发学生的主观能动性。
传统的数学教学更加注重知识的灌输，学生缺乏思考和探索的机会。
而引入开放性习题可以让学生在解决问题的过程中主动思考和探索，培养他们的自主学习意识和能力。
2.培养学生的创新思维。
开放性习题鼓励学生从不同角度思考问题，寻找新的解决方法。
通过解决开放性习题，学生将更加容易培养出创新思维，这对于他们的未来发展是至关重要的。
3.提高学生的合作精神。
在解决开放性习题的过程中，学生需要相互合作，讨论问题，分享解题思路。
这样的合作学习可以培养学生的合作意识和团队合作能力，对于他们未来的工作和生活也是非常重要的。
四、如何引入开放性习题1.渐进式引入。
由于开放性习题具有一定的难度，所以需要逐渐引入。
可以从简单的开放性习题开始，鼓励学生多角度思考和解决问题，并逐渐增加难度和复杂度。
2.提供资源和指导。
为了让学生更好地解决开放性习题，教师可以提供一些相关的资源和指导材料。
这些资源可以包括类似的问题案例、相关的知识点和解题技巧等，帮助学生更好地理解和解决问题。
3.鼓励学生发表和分享。
在学生解决开放性习题后，可以组织一些讨论和分享的活动，让学生展示自己的解题思路和方法，并与其他同学进行交流和讨论。
这样可以激发学生的自信心，提高他们对数学的学习兴趣。
初中数学二次函数开放性习题类型及解题技巧
摘要：在初中数学教学中引入开放性习题的目的是为了培养学生的数学思维和逻辑思维，而二次函数开放性习题的引入既可以培养学生的思维能力，又能培养学生的逻辑思维，还可培养学生灵活运用数学知识的能力。但是就现阶段的初中数学教学现状来看，很多学生对二次函数的理解以及其解题思路缺乏相关的技巧，并且对开放性习题类型的认知较少。而二次函数又是初中数学知识体系的重要组成部分，同时也是初中学生在学习数学知识的过程中必须要掌握的知识点。那么在初中数学教学中二次函数开放性习题的类型具有哪些呢？又有哪些解题技巧呢？下面本文将对此做出探究。
一、初中数学二次函数开放性习题常见的几种类型
（一）数形结合二次函数分析题
数形结合二次函数分析题是比较常见的一种习题类型，其目的是为了培养学生看图的理解能力和信息的获取能力，使学生从图像到性质，再从性质想象到图像的形状和位置，也就是二次函数的表达式。比如从抛物线的开头方向的对称轴可以判定A、B点，然后在由抛物线Y轴的相交点可以判定C点的位置等等，之后再从抛物线X轴的焦点个数得出公式B2-4AC，从而计算出其位置和符号。比如在某练习题中我们从图已知二次函数的相关数据，然后让学生计算A、B、C、B2-4AC、A+B+C、A-B+C的符号。本题目注重考察的是抛物线的开口方向，也就是轴对称以及其顶点的位置。学生在解答这类属性结合二次函数题目的过程中，不仅仅需要动手、动脑、还需要回忆之前所学的知识，将知识进行连贯，灵活的运用所学的知识，这样才能使学生掌握答题技巧，同时也促进了学生的全面发展。
（二）求解二次函数的解析题目
二次函数的解析试题其主要目的是为了培养学生的解题能力，当然也是为了让学生灵活的掌握解题技巧。而确定二次函数的解析题目的最基本方法就待定系数法，也就是说先假设一个含有等待确定关系的恒等式，确定这个恒等式关系的过程也就是求解二次函数的过程。之后在根据恒等式的定义或者性质列举出方程或者方程组，最后求出待定系数的值，最后则解决了实际问题。这是二次函数解题题目对大的特点。如果在教师在告知学生二次函数开放性习题类型的时候学生不能很好的掌握这个概念和特点的话，那么教师可以还可以讲解具体的公式，比如以下几点：比如某函数解析式的标准形式为Y=KX+B；请根据条件列举出关于K和B的方程组，然后在解出K和B的值。这种带入式的形式就叫做待定系数法。通过这样方式也可以使学生认识到二次函数的解析题目特点，从而有针对性的培养学生的解题技巧，更重要的是可以防止学生在掌握解题技巧的时候出现混乱，从而提高解题效率。
初中二次函数习题及答案
初中二次函数习题及答案初中二次函数习题及答案二次函数是初中数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
在初中阶段，学生需要通过大量的习题来巩固和提高对二次函数的理解和运用能力。
下面将介绍一些常见的初中二次函数习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：求解二次函数的顶点坐标和对称轴方程。
已知二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求解该二次函数的顶点坐标和对称轴方程。
解答：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标x = -b/2a，纵坐标y = -Δ/4a，其中Δ = b^2 - 4ac为判别式。
因此，顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，对称轴方程为x = -b/2a。
2. 习题二：求解二次函数与x轴交点的个数。
已知二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求解该二次函数与x轴交点的个数。
解答：二次函数与x轴交点的个数取决于判别式Δ的值。
当Δ > 0时，二次函数与x轴有两个交点；当Δ = 0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ < 0时，二次函数与x轴没有交点。
3. 习题三：求解二次函数的图像开口方向。
已知二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求解该二次函数的图像开口方向。
解答：二次函数的图像开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
4. 习题四：求解二次函数的最值。
已知二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求解该二次函数的最值。
解答：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值出现在顶点处。
当a > 0时，二次函数的最值为最小值，最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，二次函数的最值为最大值，最大值为顶点的纵坐标。
5. 习题五：求解二次函数的对称中心坐标。
已知二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
在中学数学教学中引入开放性习题来激发学生学习兴趣的实践探究
在中学数学教学中引入开放性习题来激发学生学习兴趣的实践探究在中学数学教学中，引入开放性习题是一种激发学生学习兴趣的有效方法。
传统的数学教学往往注重基础知识的灌输和机械运算能力的培养，导致学生对于数学的兴趣逐渐丧失。
而开放性习题的引入，旨在培养学生的探究思维和创新意识，使他们能够主动地参与数学问题的探究过程，激发学习兴趣。
首先，开放性习题可以引发学生的兴趣。
传统的数学教学中，学生只需要按部就班地完成一些标准的习题，因此学生们可能觉得数学是一种死板的、缺乏趣味的学科。
而开放性习题则不同，它通常具有多种解法，多个思路，可以激发学生们的探究欲望以及创造力，激发发现新方法的欲望。
例如，教师可以提出一个开放性的问题，要求学生设计一座桥的最佳结构。
学生可以自由创造和思考，探索各种可能的解决方案，这样不仅能够锻炼他们的思考能力，还能增强他们对数学的兴趣。
其次，开放性习题可以培养学生的探究思维。
数学习题相对固定，学生常常只需要套用公式和方法进行求解。
然而，开放性习题则需要学生主动探索、思考，培养他们的探究思维能力。
学生在解决开放性习题的过程中，不仅需要进行逻辑思考，还需要运用自己的知识和经验，发现问题的本质，并找到解决问题的方法。
这种思维方式不仅可以提高学生解决问题的能力，还可以培养他们的创新意识。
再次，开放性习题可以增强学生的合作意识和团队合作能力。
在传统的数学教学中，学生通常是独立解题的，缺乏与他人合作的机会。
而开放性习题的引入，可以促使学生进行合作学习，通过讨论、分享和交流解决问题的方法，相互借鉴，互相启发。
这样不仅可以提高学生的解题能力，还可以培养他们的合作意识和团队合作能力。
例如，教师可以布置一个开放性的数学问题，组织学生进行小组讨论和合作解答，这样既可以激发学生的学习兴趣，又可以培养他们的合作能力和团队精神。
最后，开放性习题可以提升学生解决实际问题的能力。
传统的数学教学往往将数学问题与实际问题划分开来，学生常常无法将所学的数学知识应用于实际生活中。
谈二次函数教学中引入“开放性”习题
谈二次函数教学中引入“开放性”习题“创新是民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。
一个没有创新能力的民族难以屹立于世界民族之林”。
笔者认为编拟一些开放性题目，是培养学生发散性思维的有效手段。
在教学过程中，适当地进行一些“开放性试题”的训练，是培养学生创新意识和创新能力的有效途经。
“开放性”直接决定了我们在此不可能按照某种模式机械地去从事解题活动，而必须主动地、积极地去进行探索。
因此，“开放性试题”的教学对于学生创新精神的培养是十分有利的。
创新意识和创新能力的培养，不仅仅是题型的改变，更是教学思想的重要转变。
彻底改变学生在学习过程中的被动状态，促使其更为积极、主动地去进行探索。
笔者就“开放性问题” 在二次函数教学中谈谈自己的体会。
二次函数是初中数学教学难点、重点。
由于直角坐标系是初三新内容，学生在直角坐标系下识图能力还不行，对于二次函数的概念、图象各信息之间的关系，部分学生理解上很困难，为了让学生更好地掌握这部分内容，我就在课上编拟了以下几道开放性的习题，谈谈自己的体会。
例1．一道习题，其中一部分文字是这样的：已知二次函数y = x2+bx+c的图象过点A（c，0），……，求证这个二次函数的图象关于直线x = 2对称，其中省略号部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
①根据现有的信息，你认为题中的二次函数可能具有哪些性质；②请你把这道题补完整。
【分析解答】①必须从结论出发，由对称轴求出b = －4，由已知图象过点A （c，0），可得等式c2+bc+c = 0，c（c+b+1）=0，∴c = 0或c+b+1=0，联系到b =－4，这个二次函数的解析式可能是：y = x2－4x或y = x2－4x+3.如果函数解析式为y = x2－4x，那么可得以下性质:(1) 图象开口向上(2) b =－4，c = 0；(3) 图象经过原点;(4) △=16＞0；(5) 对称轴为x = 2；(6) 顶点坐标为（2，－4）；(7) 与x轴的两个交点分别为（0，0），（4，0）；(8) 与x轴的两个交点的距离为4；(9) 最小值为－4；等等.如果函数解析式为y = x2－4x+3，那么可得以下性质:(1) 图象开口向上(2) b =－4，c = 3；(3) 与y轴的交点坐标为（0，3）;(4) 对称轴x = 2；(5) 顶点坐标为（2，－1）；(6) △=4＞0；(7) 与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）；(8) 与x轴的两个交点的距离为2；(9) 最小值为－1；等等.本题的答案有很多，通过引导学生容易想到这些答案，这些答案基本上包含了大纲要求掌握的内容，因此不须开放下去。
初中二次函数题型及解题方法
初中二次函数题型及解题方法【主题】：初中二次函数题型及解题方法1. 介绍在初中数学中，二次函数是一个非常重要的知识点，涉及到了函数的图像、性质、方程与不等式等内容。
通过学习初中二次函数的题型及解题方法，可以帮助学生更深入地理解函数的性质和应用，从而提高数学解题能力。
本文将针对初中二次函数的常见题型及解题方法进行全面分析和讨论。
2. 二次函数的基本形式二次函数的基本形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
在解题时，可以通过分析二次函数的图像特点来进行求解。
3. 初中二次函数题型及解题方法3.1 求解二次函数的最值问题当二次函数表示的是某个实际问题中的规律时，往往需要求解函数的最值。
通过对二次函数图像的分析，可以利用顶点公式求解函数的最值，并结合实际问题进行解答。
3.2 求解二次函数与直线的交点通过构建二次函数和直线的联立方程，可以求解二次函数与直线的交点，从而解决相关的几何问题或应用题。
3.3 解决二次函数不等式二次函数的不等式问题是初中数学中的重点之一，通过对二次函数图像的分析，可以将不等式转化为对应的区间表示，进而求解不等式的解集合。
3.4 求解二次函数的零点通过因式分解、配方法、求根公式等方法，可以求解二次函数的零点，即方程y=ax^2+bx+c=0的解。
4. 个人观点和理解初中二次函数是数学中一个非常重要的内容，对学生的数学思维能力和解题能力都有很大的提升作用。
在学习过程中，要重视对二次函数图像的理解和分析，掌握几何意义、代数意义和应用意义，并善于运用各种方法进行解题。
还要注重培养数学建模能力，将二次函数运用到实际问题中去解决实际问题。
5. 总结通过本文的介绍和讨论，我们对初中二次函数的题型及解题方法有了更深入的理解。
在学习过程中，要注重对图像的分析、函数性质的运用以及解题方法的灵活运用，从而提高数学解题能力。
在这篇文章中，我全面阐述了初中二次函数的题型及解题方法，希望能帮助你更深入地理解这一数学知识点。
九年级数学下册《二次函数的典型例题的解析》教案、教学设计
2.学生在解决实际问题时，可能存在思路不清晰、方法选择不当等问题，需引导他们运用所学知识分析问题，培养解题技巧。
3.部分学生对数学学习缺乏兴趣，需要通过生动的教学方式和有趣的例题来激发他们的学习积极性。
4.学生在团队合作中可能存在分工不明确、沟通不畅等问题，需引导他们学会有效合作，提高团队协作能力。
2.培养学生的探究精神，鼓励学生勇于提出问题、解决问题，形成良好的学习习惯。
3.培养学生面对困难时保持积极的心态，教育学生要勇于克服困难，不怕挫折，形成坚韧不拔的品质。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生在解题过程中尝试不同的方法，培养学生的发散思维和创新能力。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已具备一定的数学基础和逻辑思维能力。在此基础上，他们对二次函数的概念、图像和性质已有初步了解，但在实际应用和综合解题能力方面仍有待提高。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
（3）例题讲解：精选典型例题，逐步引导学生分析问题，运用所学知识解题，并适时总结解题方法。
（4）课堂练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（5）小组讨论：组织学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和创新意识。
（6）课堂小结：对本节课的知识点进行总结，强调重点，明确难点。
（2）结合图像和性质，采用数形结合的方法，帮助学生建立直观的几何观念，降低解题难度。
（3）设计具有梯度、层次的例题，使学生在解答过程中逐步掌握解题方法，突破难点。
2.教学过程设想：
（1）导入新课：通过复习二次函数的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
（2）课堂讲解：结合图像和性质，详细讲解二次函数的顶点、对称轴、最值等求解方法，并强调在实际问题中的应用。
二次函数中的开放题及动态题--
10
如图(2）直角三角形 ABC 的2 m/s的速度沿直线CF向 正方形移动直到AB 与CD 重合，设Xs时，三角形 与正方形重叠部分的面积为Ym2。
1) 写出Y 与 X 关系表达式. 2) 三角形移动多少时间时，重叠部分的面积最大？
最大面积是多少？
D 10
E
AD
E
H
B8
C
图一
F
BC
C’ F
图二
解：① CH // AB
2
y 1 x2 16x 20
2
小结
谈谈本节课你的收获有哪些？ 1、通过对开放题的学习，使我们对二次函数图像及性质 得到充分回顾和复习。
2、通过对动态题的学习，我们尝试用三角形、四边形与 二次函数的相关知识有机的结合来解决数学问题。等等
CC' 2x A D
E
CC' CH BC' AB
2x CH 8 10
H
CH 210x 5 x 42
y 1 •2x• 5 x 5 x2
2
22
y与x的关系式是y 5 x2
2
BC
C’ F
图二
② 由题意， 得0 x 4,当x 4时
重叠部分的面积最大，最大面积为
y 5 42 5 16 40(m2 )
c2
y 1 x2 3x 2 2
y 1 x2 3x 2 2
x …. 0 1 2 3 4 5
y ….. 2 -1/2 -2 -5/2 -2 -1/2
6 …. 2
Y
3 2
1
y 1 x2 3x 2 2
-1 0 1 2 3 4 5 6 X
-2
2) 请根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填上一个适当 的条件,把原题补充完整.
部编数学九年级上册专题22.10二次函数解析式的确定【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】【人教版】【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 (1)【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 (4)【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 (8)【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 (10)【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 (14)【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 (18)【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y… 3.51﹣0.5﹣1﹣0.51 3.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．（2）描点、连线画出图象即可；（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则4a+2b+c=−1c=116a+4a+c=1，解得：a=12b=−2 c=1，∴二次函数解析式为y=12x2﹣2x+1；（2）用描点法画出函数图象，如图所示：（3）令y＝0，则12x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝2x2＝2+由图象知，当x＞2+x＜2y＞0，【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得a−b +c =10a +b +c =4c =3，解得a =4b =−3c =3，∴所求二次函数解析式为y ＝4x 2﹣3x +3．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【分析】把（2，0），（4，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，可得二元一次方程组4+2b +c =0①16+4b +c =2②，解二元一次方程组可得b =−5c =6，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x =−b 2a ，顶点坐标公式(−b2a ，4ac−b 24a)，把a ，b ，c 的值代入计算即可得出答案．【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得4+2b +c =0①16+4b +c =2②，②﹣①，得2b ＝﹣10，解得：b ＝﹣5，把b ＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c ＝0，解得：c ＝6，∴b =−5c =6，∴这个二次函数的解析式y ＝x 2﹣5x +6，∴二次函数y ＝x 2﹣5x +6对称轴是直线x =−b2a =−−52×1=52，由二次函数的顶点坐标公式（−b2a ，4ac−b 24a）可得，二次函数y ＝x 2﹣5x +6顶点坐标：x =−b2a =52，y =4ac−b 24a=4×1×6−(−5)24×1=−14，即（52，−14）．【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c ，过（1，﹣32），在x ＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y 2＝x +1交于点P （m ，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解．（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x=−b2a=−2，∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得−32=a+4a+c 0=a−4a+c，解得a=−4c=−12，∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=−134，∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和−134，如图，∴−134＜x＜﹣1时，y1大于y2．【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．（2）由抛物线顶点式求解．（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k 3=a+k，解得a=−1 k=4，∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（1，0），∴﹣3＜x＜1时，y＞0．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为 ﹣4≤y≤0 .（直接写出答案）【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．故答案为：﹣4≤y≤0．【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式；（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角形BCD和三角形ACD面积之和即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B点的坐标为（0，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3，解得：k=−1 b=3，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，∴当x ＝1时，y ＝2，∴D 点坐标（1，2），所以CD ＝4﹣2＝2，S △CAB ＝S △BCD +S △ACD =12×（1+2）×2＝3，∴△ABC 的面积为3．【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，且图象经过点C （0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【分析】设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将（0，﹣3）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3）得﹣3a ＝﹣3，解得a ＝1．∴抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，顶点为D ．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D 的坐标及△ABD 的面积．【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4），∴点D到AB的距离为4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD =12×4×4＝8．【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B （3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3），将C （0，3）代入得：3＝a （0﹣1）（0﹣3），∴a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）（x ﹣3）＝x 2﹣4x +3，∴顶点坐标M （2，﹣1），（2）设直线CM 的解析式为y ＝kx +b ，将C （0，3）、M （2，﹣1）代入得：b =32k +b =−1，∴k =−2b =3．∴y ＝﹣2x +3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【分析】根据抛物线与x 轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点（1，﹣8）代入求得a 即可．【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a ＝﹣8，解得：a ＝2，∴该二次函数解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣3），即y ＝2x 2﹣4x ﹣6．25．二次函数的解析式y ＝x 2﹣5x +6，对称轴是直线x =52，顶点坐标是（52，−14）．【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N 过A （﹣1，3），B （4，8），O （0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB 的解析式；（2）平移抛物线N ，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB 上；②设平移后抛物线与y 轴交于点C ，如果S △ABC ＝3S △ABO ．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M 和直线AB 的解析式；（2）先求出直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t ，t +4），则平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣t ）2+t +4，接着表示出N （0，t 2+t +4），利用三角形面积公式得到12•|t 2+t +4﹣4|•（4+1）＝4×12×4×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A （﹣1，3），B （4，8），O （0，0）代入得a−b +c =316a +4b +c =8c =0，解得a =1b =−2c =0，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ；设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，3），B （4，8）代入得−m +n =34m +n =8，解得m ＝1，n ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝x +4；（2）当x ＝0时，y ＝x +4＝4，则直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t ，t +4），则平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣t ）2+t +4，当x ＝0时，y ＝（0﹣t ）2+t +4＝t 2+t +4，则C （0，t 2+t +4），∵S △ABC ＝3S △ABO ，∴12•|t 2+t +4﹣4|•（4+1）＝3×12×4×（4+1），即|t 2+t |＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝ ＞1 时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线，0），利用两交点间的距离可计算出b的值，从而得到平移后的抛与x轴的交点坐标为（0，0）、（b2物线解析式．【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；故答案为＞1；（3）因为平移后的抛物线过原点，所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=b2所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（b，0），2|＝4，解得b＝8或﹣8，所以|b2所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且−1＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．2【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，故当−1＜x1＜x2，y1＞y2．2【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；，进而得出答案．（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−12【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵顶点坐标（2，1）；∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=−12，∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（−12，1）．【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M ＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴a+b−3=09a−3b−3=0，解得：a=1 b=2．∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，∴D′（﹣1，4），∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC =12×4×3=6，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直线DD′为y＝﹣4x，设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N m2﹣2m+3），∴MN=m=m2−2m−34，∴S△DD′M =12×m2−2m−34×（4+4）＝m2﹣2m﹣3，∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1当m＝1m2﹣2m+3＝﹣10，当m＝1m2﹣2m+3＝10，∴M（1+10）或（110）．【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜0 ；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 y＝﹣（x+1）2+4 ．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；当x＝0时，y＝﹣3；所以当﹣3＜x ＜0时，y 的取值范围为﹣4≤y ＜0，故答案为﹣4≤y ＜0；（3）∵函数y ＝（x +1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a ＝1∴该函数的图象沿x 轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a ＝﹣1∴翻折后得到的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，故答案为y ＝﹣（x +1）2+4．【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L ：y ＝ax 2﹣2x ﹣3a 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线L 的顶点，抛物线L ′与L 关于y 轴对称．（1）求抛物线L 的表达式；（2）在抛物线L ′上是否存在点P ，使得△PBC 的面积等于四边形OCDB 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A 点坐标代入y ＝ax 2﹣2a ﹣3中求a 的值，从而得到抛物线L 的表达式；（2）连接OD ，过P 点作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q 点，如图，解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得B （3，0），再配方得y ＝（x ﹣1）2﹣4，则D （1，﹣4），利用关于y 轴对称的点的坐标特征和顶点式得到抛物线L ′的解析式为y ＝（x +1）2﹣4，即y ＝x 2+2x ﹣3，设P （t ，t 2+2t ﹣3），易得直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，接着计算出四边形OCDB 的面积为152，所以12×3×|t 2+t |=152，然后解关于t 的方程，从而得到P 点坐标．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y ＝ax 2﹣2a ﹣3得a +2﹣3＝0，解得a ＝1，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）连接OD ，过P 点作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q 点，如图，y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴B （3，0），∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴D （1，﹣4），∴点D 关于y 轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线L 关于y 轴对称的抛物线L ′的解析式为y ＝（x +1）2﹣4，即y ＝x 2+2x ﹣3，设P （t ，t 2+2t ﹣3），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵四边形OCDB的面积＝S△OCD +S△ODB=12×3×1+12×3×4=152，而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，∴S△PBC =12×3×|t2+t|=152，∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，解方程t2+t＝5得t1t2=方程t2+t＝5无实数解，∴P【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式 y＝﹣x2+1 ．【分析】根据二次项系数小于零，图象开口向下，一次项系数等于零，图象的对称轴为y轴，常数项不等于零，图象不过原点，可得答案．【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一） ．【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 y＝（x﹣2）2﹣3 ．【分析】利用二次函数的性质可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，于是可设a＝1，c＝1，再利用二次函数的确定抛物线的对称轴为直线x＝2，然后利用函数的图象与坐标轴只有两个交点得到抛物线的顶点坐标为（2，0），再设顶点式求抛物线解析式．【解答】解：由函数的图象经过第一、二、四象限可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，可设a＝1，c＝1，因为当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减大，则抛物线的对称轴为直线x＝2，由函数的图象与坐标轴只有两个交点，则抛物线的顶点坐标为（2，0），所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+m，把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝（x﹣2）2﹣3．【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： y＝x2﹣2x+4 ．【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案为：y＝x2﹣2x+4．。
初中数学开放性习题类型及解题技巧
撷英篇一、初中数学开放性习题的特点以及作用（一）开放性习题的特点什么是数学开放题？对于数学开放题目前还没有一个统一的定义，但是可以总结一些开放性习题的特点，比如答案不固定、条件不完整、条件多余、条件不足、多种答案、多种解法等等，在初中数学教学中，出现了独特设计、个性开放的题目，与传统中规中矩的题目不同，开放性习题构思独特，能够培养学生的创新能力，在数学教学中最富有研究价值，是应试教育向素质教育转变的重要体现。
同时，开放性习题还具有内容新颖、条件与结论不定、解题思路灵活的特点，与学生的实际生活贴近。
形式也多种多样，具有可塑性，探索结论、解法，充分体现出了现代化的教学气息。
还有一个明显的特征就是答案不是唯一的，需要通过多种思维观察题目，对题目进行想象、归纳、类比，挖掘多种解题方式，创新性的解题方式能够满足现代人才发展竞争要求。
（二）开放性习题的作用1.对学生的教育作用有利于培养学生的思维，让学生打破原有的思维模式，通过联想与想象的方式多角度进行思考，有助于学生创造能力以及思维模式的形成。
开放性习题的不确定性是教师研究的主要问题，通过师生交流的形式将开放性习题融入课堂中，激发学生独立思考的能力，让学生能够构建知识形成的过程，培养学生灵活的思维能力以及创造能力。
有利于激发学生的学习兴趣，通过合作的形式完成学习与竞争，让学生畅所欲言，通过实践的形式进行解题，在轻松愉快的氛围中学习，能够激发学生学习的动力，从而对学习产生浓厚的兴趣。
有利于强化学生的创新意识，因为开放性习题的答案与模式不固定，学生需要调动所有的知识，用多种思维模式对问题进行探索，强化学生的创新意识与探究能力。
2.对教师的教学作用转变教师的观念与角色，用动态式、开放式的教学理解数学知识，以学生作为教育的中心，而不仅仅是一个知识的传授者，对教学的内容进行设计，做课程的组织者与设计者，从而大大提高教学效果。
二、初中数学开放性习题类型（一）结论开放性结论开放性就是在既定的条件下探索对象是否真实存在，分为结论存在与不存在两种情况，解题的方法为如果结论存在，通过演绎推理的方式得出结论，从而做出准确的判断。