二次函数表达式三种形式练习题

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人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质(含解析)

人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质1.二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质：（1）对称轴：2bx a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式：（1）一般式：y=ax 2 +bx+c (a≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式；（2）顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a -=-+.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：12()()y a x x x x =--.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号：（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）yxO一．选择题（共7小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝2x2﹣1D．y＝2x3﹣12．二次函数y＝x2+2x+1的常数项是（）A．1B．2C．﹣1D．03．抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．对称轴是y轴C．经过点（m﹣1，﹣m2+1）D．有最小值5．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4d﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）8．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为．9．二次函数y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是．10．已知抛物线y＝﹣（x+2）2，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围为．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是．三．解答题（共6小题）13．求抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向、对称轴、顶点坐标．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．15．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，求m的值．16．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+k的图象经过A（2，0），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点C（0，2），交x轴于点A（﹣3，0）和点B（点A在点B的左侧）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：A、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝2x2﹣1是二次函数，符合题意；D、y＝2x3﹣1是三次函数，不符合题意．故选：C．2．【解答】解：二次函数y＝x2+2x+1的常数项是1．故选：A．3．【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：C．4．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，a＝﹣1，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y有最大值1，∴选项A、B、D不符合题意；∵当x＝m﹣1时，y＝﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）＝﹣m2+1，∴图象经过点（m﹣1，﹣m2+1），故选项C符合题意．故选：C．5．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，故选：B．6．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而增大，∵﹣＜﹣＜＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：C．7．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故②正确；由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，∴a＝b，∴b+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故④正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．故选：C．二．填空题（共5小题）解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．【解答】解：∵y＝（x+4）2﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣4，﹣1），故答案为：（﹣4，﹣1）．10．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而增大，x＞﹣2时，y随x增大而减小，故答案为：＜﹣2，＞﹣2．11．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴可知图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），把x＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得，y＝0，∴当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜0．故答案为：﹣4≤y＜0．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝5，∵AB平分∠CAO，∴∠BAC＝∠BAO，∵BC∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠BAC＝∠CBA，∴CB＝CA＝5，∴B（5，4）．把A（﹣3，0）、B（5，4）代入y＝ax2+bx+4，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．故答案为：y＝﹣x2+x+4．三．解答题（共6小题）13．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向向下、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，9）．14．【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：﹣4﹣2m+3＝3，解得m＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线开口向下，有最大值4，∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．15．【解答】解：（1）∵抛物线L有最低点，∴二次项的系数a大于0．即m﹣2＞0．∴m＞2．（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，∴二次项的系数a互为相反数，即m﹣2＝﹣1．∴m＝1．16．【解答】解：（1）把A（2，0），代入y＝﹣x2+4x+k得k＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，当x＝0时，y＝6，（2）∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），∴C（4，0），AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，∴△ABC的面积＝AC•OB＝×2×6＝6．17．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，2），A（﹣3，0），∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）存在，设抛物线的对称轴交x轴与点D，∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴D（﹣1，0），∵点B与点A关于直线x＝﹣1对称，∴AD＝BD，如图1，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的上方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝﹣1+3＝2，∴P（﹣1，2）；如图2，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的下方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝2，∴P（﹣1，﹣2）综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）．18．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2．（3）PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．。

2018年秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练二次函数表达式的三种常见求解方法(新版)浙教版

二次函数表达式的三种常见求解方法►方法一已知图象上任意三点，通常设一般式1．已知二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，则这个二次函数的表达式是( )A．y＝－10x2＋x B．y＝－10x2＋19xC．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)，(－1，－6)，(2，6)，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标为________．3．如图1－ZT－1所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点．(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴．图1－ZT－14．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图1－ZT－2所示的平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如果小明站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小明的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象写出t的取值范围．图1－ZT－2►方法二已知二次函数图象的顶点和图象上另外一点，通常设顶点式5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么该抛物线的函数表达式为( )A．y＝－2x2＋4x＋5 B．y＝2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x－1 D．y＝2x2＋4x＋36．已知抛物线经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线x＝0为对称轴，则该抛物线的函数表达式为_____________________．图1－ZT－37．如图1－ZT－3所示，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B.若抛物线y ＝ax2＋bx＋c以A为顶点，且经过点B，则这条抛物线的函数表达式为____________．。

专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法

专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法 ►　方法一　利用一般式求二次函数表达式1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为( )A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋22．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________．3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图2－ZT－1►　方法二　利用顶点式求二次函数表达式5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋66．已知y 是x 的二次函数，根据表中的自变量x 与函数y 的部分对应值，可判断此函数的表达式为( )x …－1012…y…－154254…A .y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝(x －1)2＋234D ．y ＝－(x －1)2＋2347．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．图2－ZT －3►　方法三　利用交点式求二次函数表达式9．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )254A ．y ＝－x 2＋3x ＋4 B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4D ．y ＝x 2－3x ＋410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6►　方法四　利用平移求二次函数表达式11．[2018·广西]将抛物线y ＝x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式12为( )A ．y ＝(x －8)2＋5B ．y ＝(x －4)2＋51212C ．y ＝(x －8)2＋3D ．y ＝(x －4)2＋3121212．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴．►　方法五　利用对称轴求二次函数表达式13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图2－ZT－414．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图2－ZT－5教师详解详析1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得解得{4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，)则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求{a ＝－1，b ＝1，c ＝2，)得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.2．[答案]y ＝x 2＋3x －4[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得解得{16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，){b ＝3，c ＝－4，)∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4.3．y ＝x 2－2x －14．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得{4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，)解这个方程组，得{a ＝－12，b ＝1，c ＝0，)所以抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x .12(2)由y ＝－x 2＋x ＝－(x －1)2＋，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直121212平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝＝＝4，因此AM ＋OM 的最小值为4.AN 2＋BN 242＋42225．D6．[解析]D ∵函数图象过点(0，)和(2，)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数5454图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得4a ＋2＝－1，解得a ＝－，∴此函数表达式为y ＝－(x －1)2＋2.34347．[答案]y ＝－x 2＋3.515[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5，∴a ＝－，∴y ＝－x 2＋3.5.15158．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2＋1＝3，即此交点的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝×(－1＋4)＝，故1232该抛物线的顶点坐标为(，)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(，)代入，得3225432254＝a (＋1)(－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注2543232意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.11．[解析]D y ＝x 2－6x ＋2112＝(x 2－12x )＋2112＝[(x －6)2－36]＋2112＝(x －6)2＋3，12故y ＝(x －6)2＋3向左平移2个单位后，12得到新抛物线的表达式为y ＝(x －4)2＋3.1212．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3，∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35.(2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x ＝4.13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴＝1，解得b ＝2，b2又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(2)y ＝2(x －2)2＋1　y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8，则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4.将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝.49二次函数y ＝(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x －3)2＋4.4949根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还可以为y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x ＋3)2＋4，y ＝(x －3)2＋4或4949y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.4949。

二次函数经典习题(含答案)

二次函数经典复习习题练习一二次函数1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s2、下列函数：① y = ()21y x x x =-+；③ ()224y xx x =+-；④ 21y x x=+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564mm y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1）如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是（或），顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是；（2）抛物线221x y -=的对称轴是（或），顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（）A． B ．C ．D ．6、已知函数24m m y m x --=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.9、已知函数()422-++=m m xm y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线对应的二次函数的关系式.ttt1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中正确的是 . 4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是 . 5、已知函数2)(22+-+=x m m mxy 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小，函数有最值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积. 6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向平移3个单位，再向平移2个单位得到.5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最值，是 .（3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积；（3）指出该函数的最值和增减性；（4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（） A 、6，4 B 、－8，14 C 、－6，6 D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（） A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ；（2）2832-+-=x x y ；（3）4412-+-=x x y11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由. 12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1）求一次函数的关系式；2) 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y m x x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b=4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______. 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点，求a 、b 、c15、试求抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点间的距离（240b ac ->）练习八二次函数解析式1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为 . 3、二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y 轴交点的纵坐标为-3 （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；5、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式. 7、已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2. （1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10,求这个一次函数的解析式.练习九二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（） A 、0 B 、-1 C 、2 D 、416、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝17、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值 8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：(1)求该抛物线的解析式；(2) 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围. 11、已知抛物线22y x m x m =-+-.(1)、求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x m x m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.练习十二次函数解决实际问题1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计．．为 y （万元），且 y ＝ax 2＋bx ，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋53，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ 5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件. ① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式； ② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？ ③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中. ①求这条抛物线所对应的函数关系式.②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m. （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d 表示h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，若行车道总宽度AB 为6m ，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m ）.参考答案1：1、22t s =；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D ；8、),2150(2254S 2<<+-=x x 189；9、x x y 72+=，1；10、22-=x y ；11、,244S 2x x +-=当a<8时，无解，168<≤a 时，AB=4,BC=8，当16≥a 时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.参考答案2：1、(1)x=0,y 轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y 轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C ；4、A ；5、B ；6、-2；7、3-；8、021<<y y ；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、292x y =参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、2312-=x y ，1312+=x y ，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、322+=x y ，0，小，3；5、1；6、c.参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、2)2(3-=x y ，2)32(3-=x y ，2)3(3-=x y ;3、略；4、2)2(21-=x y ；5、（3，0），（0，27），40.5；6、2)4(21--=x y ，当x<4时，y 随x 的增大而增大，当x>4时，y 随x 的增大而减小；7、-8，-2，4.参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、342-+-=x x y ；6、C ；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( 32-,0)、( 32+,0)、 32，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y 随x 的增大而增大；当x<-1 时，y 随x 的增大而减小,(4)2)1(-=x y ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3<x<1参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、2)1(2+-x ；5、5)1(212+--=x y ；6、（-2，0）（8，0）；7、大、81；8、C ；9、A ；10、（1）1)2(212--=x y 、上、x=2、（2，-1），（2）310)34(32+--=x y、下、34=x 、（310,34），（3）3)2(412---=x y 、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x 、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元参考答案7：1、1162+-=x x y ；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C ；10、D ；11、B ；12、C ；13、B ；14、4422++-=x x y ；15、aac b 42-参考答案8：1、31-、32、1；2、1082++=x x y ；3、1422+-=x x y ；4、（1）522-+=x x y、（2）3422---=x x y 、（3）41525452--=x x y 、（4）253212+-=x x y ；5、9194942+-=x x y ；6、142-+-=x x y ；7、（1）25482582582++-=x x y 、5；8、322++-=x x y 、y=-x-1或y=5x+5 参考答案9：1、47-≥k 且0≠k ；2、一；3、C ；4、D ；5、C ；6、C ；7、2，1；8、31,3,121≤≤-=-=x x x ；9、（1）x x y 22-=、x<0或x>2；10、y=-x+1，322+--=x x y ,x<-2或x>1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）参考答案10：1、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低 ④2～7月份售价下跌；2、y ＝x 2＋x ；3、成绩10米，出手高度35米；4、23)1(232+--=x S ，当x ＝1时，透光面积最大为23m 2；5、（1）y ＝(40－x) (20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800，（2）1200＝－2x 2＋60x ＋800，x 1＝20，x 2＝10 ∵要扩大销售 ∴x 取20元，（3）y ＝－2 (x 2－30x)＋800＝－2 (x －15)2＋1250 ∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、（1）设y ＝a (x －5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a ＝－254，∴y ＝－254 (x －5)2＋4，（2）当x ＝6时，y ＝－254＋4＝3.4(m)；7、（1）2251x y -=，（2）h d -=410，（3）当水深超过2.76m 时；8、)64(6412≤≤-+-=x x y ，x =3，m y 75.3496=-=，m 2.325.35.075.3≈=-，货车限高为3.2m.。

中考数学二次函数练习题

二次函数课前检测1. 抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（，﹣3）B ．（﹣，﹣3）C ．（，3）D ．（﹣，3）2. 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④4. （2017齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c ＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t 为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5. （2017贵州）如图，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．（2）顶点式：y =a (x –h )2+k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)，顶点坐标是(h ，k )．（3）交点式：y =a (x –x 1)(x –x 2)，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0. 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)对称轴x =–2b a知识梳理顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时， y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时， y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小 2. 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0 与y 轴负半轴相交 b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0 与x 轴有两个交点 b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a (x –h ) 2+k ，顶点坐标为(h ，k )． 2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)，当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)． 2．ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；学#科网（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．学科+网2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例1 下列函数中，二次函数是 A ．y =–4x +5B ．y =x （2x –3）C ．y =（x +4）2–x 2D ．y =21x典例2 函数y =211mm x ++（）是二次函数，则m 的值是考点突破C ．–1D ．以上都不对1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是 A ．y =ax 2+bx +c B ．y =x （x –1）C ．y =21xD ．y =（x –1）2–x 22．如果y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数，那么a 的取值范围是 A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定考向二二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3 函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．典例4 如果二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是C．ac<0 D．bc<03．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是A．B．C．D．4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是A．a<0 B．c>0C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0考向三二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．学科#网典例5二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为A．向上B．向下C．向左D．向右典例6对于抛物线y=–（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=–2；③图象不经过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3C．2 D．16．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是A．a<0，b<0 B．a>0，b<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<07．对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x>0时，y随x的增大而增大．②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=–2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=–4，x2=–1．③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个考向四二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x–h)2+k的形式．3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典例7如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2典例8如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+22）2+22B．y=（x+2）2+2C．y=（x–22）2+22D．y=（x–2）2+28．已知抛物线C：y=x2+2x–3，将抛物线C平移得到抛物线C′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是A．将抛物线C沿x轴向右平移52个单位得到抛物线C′B．将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C′C．将抛物线C沿x轴向右平移72个单位得到抛物线C′D．将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C′9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是x 6.17 6.18 6.19y–0.03 –0.01 0.02A．–0.03<x<–0.01 B．–0.01<x<0.02典例10如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>110．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是A．–1<x<5 B．x>5C．x<–1 D．x<–1或x>511．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．考向六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典例11如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为A．y=5–x B．y=5–x2C．y=25–x D．y=25–x2典例12烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=–52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．y =60（300+20x ）B ．y =（60–x ）（300+20x ）C ．y =300（60–20x ）D ．y =（60–x ）（300–20x ）13．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m ，水面宽4 m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是A ．y =–2x 2B ．y =2x 2C ．y =–0.5x 2D ．y =0.5x 21．若273m y m x -=-（）是二次函数，则m 的值是 A ．±3 B ．3C ．–3D ．92．将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =x 2+5，下列叙述正确的是 A ．向上平移5个单位长度 B ．向下平移5个单位长度 C ．向左平移5个单位长度D ．向右平移5个单位长度3．二次函数y =x 2–2x +1的图象与x 轴的交点情况是达标测评A ．有一个交点B ．有两个交点C ．没有交点D ．无法确定4．二次函数y =ax 2+bx +c 与一次函数y =ax +c 在同一直角坐标系内的大致图象是A ．B ．C ．D ．5．二次函数y =（x –2）2+m 的图象如图所示，一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A （1，0）及点B （4，3），则满足kx +b ≥（x –2）2+m 的x 的取值范围是A ．1≤x ≤4B ．x ≤1C ．x ≥4D ．x ≤1或x ≥46．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合），连接AP ，作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，△PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是A ．y =–x 2+4xB ．2122y x x =-C ．2122y x x =-+D ．y =x 2–4x7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2.5 m ，水面宽度增加A．1 m B．2 mC．3 m D．6 m8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac．其中正确的结论的有A．2个B．3个C．4个D．5个9．抛物线y=（x–2）（x+3）与y轴的交点坐标是__________．10．若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用>连接）11．二次函数y=x（x–6）的图象的对称轴是__________．12．已知一个二次函数的图象经过A（1，6）、B（–3，6）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．学#科网13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？14．已知二次函数y=–12x2–x+72．（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=–12x2的图象如何平移能得到二次函数y=–12x2–x+72的图象，请写出平移方法．1．（2017•长沙）抛物线y =2（x –3）2+4顶点坐标是 A ．（3，4） B ．（–3，4）C ．（3，–4）D ．（2，4）2．（2017•牡丹江）若抛物线y =–x 2+bx +c 经过点（–2，3），则2c –4b –9的值是 A ．5B ．–1C ．4D ．183．（2017•金华）对于二次函数y =–（x –1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是 A ．对称轴是直线x =1，最小值是2B ．对称轴是直线x =1，最大值是2C ．对称轴是直线x =–1，最小值是2D ．对称轴是直线x =–1，最大值是24．（2017•连云港）已知抛物线y =ax 2（a >0）过A （–2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>05．（2017•眉山）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2–axA ．有最大值4a B ．有最大值–4aC ．有最小值4aD ．有最小值–4a6．（2017•陕西）已知抛物线y =x 2–2mx –4（m >0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′，若点M ′在这条抛物线上，则点M 的坐标为 A ．（1，–5） B ．（3，–13）C ．（2，–8）D ．（4，–20）7．（2017•丽水）将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移3个单位 C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位实战演练8．（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是A．abc<0，b2–4ac>0 B．abc>0，b2–4ac>0C．abc<0，b2–4ac<0 D．abc>0，b2–4ac<09．（2017•兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x–5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y–1 –0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x–5=0的一个近似根是A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.310．（2017•日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a–b+c<0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤11．（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是__________．（写一个即可）12．（2017•锦州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc>0；②a=b；③a=4c–4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是__________．（只填序号即可）13．（2017•衡阳）已知函数y=–（x–1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1__________y2（填“<”“>”或“=”）．14．（2017•百色）经过A（4，0），B（–2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是__________．15．（2017•阿坝州）某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？16．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=–x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=–x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．附：二次函数专题训练一、关于等腰三角形问题1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.2、如图，直线3y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点3+=xC（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.二、二次函数关于垂直问题1、如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2=++经过A，By x bx c两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.26题图26题备用图2、如图，是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．三、二次函数关于平行四边形问题1、如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．四、二次函数关于相似问题1、如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.()y x h k所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2、如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-，并且与y 轴交于点()03，C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，直线y=-23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=-43x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．。

【经典必考】待定系数法求二次函数表达式30题含详细答案

…………○……………○…………线……学校:_______________…………○……………○…………线……待定系数法求二次函数表达式30题含详细答案1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．试卷第2页，总11页○…………装……○…………订………线…………○……※※请※※不※※要※※※※订※※线※※内※※答○…………装……○…………订………线…………○……4．如图，抛物线y =x 2 +bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △P AB =8，并求出此时P 点的坐标．5．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.6．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形…外…………○…………装…………○…………线………学校:___________姓名：____________…内…………○…………装…………○…………线………ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.7．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．8．如图，已知抛物线y=2x +mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．试卷第4页，总11页○…………外………装…………○…………订……………○……※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………内………装…………○…………订……………○……9．如图，抛物线y=a （x ﹣1）（x ﹣3）（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，抛物线上另有一点C 在x 轴下方，且使△OCA ∽△OBC （1）求线段OC 的长度；（2）设直线BC 与y 轴交于点M ，点C 是BM 的中点时，求直线BM 和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC 下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点P ，使S △PAB =S △ABC ，写出P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QBC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两…………○…………………线…………学校:_________…………○…………………线…………点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C （0，－3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.12．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C ．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （-9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点试卷第6页，总11页…………装…………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订…………装…………○…………线…………○…的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．……○…………外……装…………○…线…………○……____姓名：___________班……○…………内……装…………○…线…………○……16．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．17．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+53x+c 的图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．18．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第8页，总11页………○………………订…………○※※请※※不※※※内※※答※※题※※………○………………订…………○19．若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．20．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．21．如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求ABC ∆的面积． 22．如图，二次函数y=（x+2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围．23．在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点1,0A .已知抛物线22y x mx m =+-（m 是常数），顶点为P .（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H .当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式.○…………装…………○…………○…………学校:___________姓名：___________班：___________○…………装…………○…………○…………24．如图，抛物线y=ax 2+bx(a ＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．25．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y axa =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值． 26．如图，抛物线顶点P （1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式．（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标．（3）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，试卷第10页，总11页…装…………○…………………线…………不※※要※※在※※装※※订※※线※※…装…………○…………………线…………E ．是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．27．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点.(1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 29．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，4AB =，交y 轴于点C ，对称轴是直线1x =．…外…………○…………线…………○……学校:_____…内…………○…………线…………○…… (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线1x =的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标； (3)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为()0t t >秒． ①若AOC ∆与BMN ∆相似，请直接写出t 的值； ②BOQ ∆能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 30．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案1．（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）2()1,M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或3(1,2+-或3(1,)2-. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-， ②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：1t =2t =.综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或⎛- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 2．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM 的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M 的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，∵直线AC 的解析式为y=3x+3，∴直线PC 的解析式可设为y=﹣13x+b ，把C （0，3）代入得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）；过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ，把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=278；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝，解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝直线BC 的解析是为y=-x+3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S CPE=12（-t2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S△BCP最大=278.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，|m-3|，当MN=BM时，①m2（m-3），解得②m2（m-3），解得当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．4．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（1+4）或（1-4）或（1，﹣4）．【分析】（1）由于抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，那么可以得到方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b 、c 的值．（2）根据S △PAB =8，求得P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ， ∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8， ∴12AB•|y P |=8， ∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.二次函数图象上点的坐标特征．5．（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1M -，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．【分析】（1）函数表达式为：y=a （x-4）2+3，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）A （4，3）、B （0，-5），则点M （2，-1），设直线AB 的表达式为：y=kx-5，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为：()243y a x =-+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-，故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1M -，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，当点Q 在A 的下方时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点P （m ，-12m 2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q （4，s ），即：m-2=4，-12m 2+4m-5-4=s ，解得：m=6，s=-3，故点当点Q 在点A 上方时，AQ=MP=2，同理可得点Q 的坐标为（4，5），②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-12m 2+4m-5+s ，解得：m=2，s=1，故点P 、Q 的坐标分别为（2，1）、（4，1）；综上，P 、Q 的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.6．（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【分析】（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；（3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解．【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．7．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①P 点的横坐标为4或2或2；②点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C （0，-5），B （5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x 2+6x-5=0得A （1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以，接着根据平行四边形的性质得到，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2），AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），∵B （5，0），C （0，﹣5），∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形，∴AM=2AB=2×， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，∴PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴×=4，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 1，m 2综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3，解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0），∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．9．（1）；（2）y=3x ，抛物线解析式为y=3x 2﹣3；（3）点P 存在，坐标为（94，﹣8）．【分析】（1）令y=0，求出x 的值，确定出A 与B 坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC 的长即可；（2）根据C 为BM 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC ，确定出C 的坐标，利用待定系数法确定出直线BC 解析式，把C 坐标代入抛物线求出a 的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P 作x 轴的垂线，交BM 于点Q ，设出P 与Q 的横坐标为x ，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ ，四边形ACPB 面积最大即为三角形BCP 面积最大，三角形BCP 面积等于PQ 与B 和C 横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P 的坐标即可．【详解】解：（1）由题可知当y=0时，a （x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，即A （1，0），B （3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA ∽△OBC ，∴OC ：OB=OA ：OC ，∴OC 2=OA•OB=3，则（2）∵C 是BM 的中点，即OC 为斜边BM 的中线，∴OC=BC ，∴点C 的横坐标为32，又C 在x 轴下方，∴C （32设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（323032k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：b=∴x又∵点C（3 2解得：a=3，∴抛物线解析式为x2（3）点P存在，设点P坐标为（xx2，过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x∴2）=x2x﹣当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S △BCP =12PQ （3﹣x ）+12PQ （x ﹣32）=34PQ=2 当x=﹣9=24b a 时，S △BCP 有最大值，四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为（94，﹣）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．10．（1）y=﹣x 2﹣2x +3；（2）所求P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）；（3）点Q 的坐标是（﹣1，2）．【分析】（1）将A （-3，0），B （1，0）两点代入y=-x 2+bx+c ，利用待定系数法求解即可求得答案；（2）首先求得点C 的坐标为（0，3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±3分别代入抛物线的解析式，求出x 的值，即可求得P 点的坐标；（3）根据两点之间线段最短可得Q 点是AC 与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC 的解析式，将抛物线的对称轴方程x=-1代入求出y 的值，即可得到点Q 的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴930{10b c b c -++=-++=，解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3；（2）∵y=﹣x 2﹣2x+3，∴x=0时，y=3，∴点C 的坐标为（0，3）．设在抛物线上存在一点P （x ，y ），使S △PAB =S △ABC ，则|y|=3，即y=±3．如果y=3，那么﹣x 2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，x=0时与C 点重合，舍去，所以点P （﹣2，3）；如果y=﹣3，那么﹣x 2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣，所以点P （﹣，﹣3）；综上所述，所求P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣，﹣3）或（﹣1，﹣3）；（3）连结AC 与抛物线的对称轴交于点Q ，此时△QBC 的周长最小．设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴30{3m n n -+==，解得：13m n ==⎧⎨⎩， ∴直线AC 的解析式为：y=x+3．∵y=﹣x 2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，∴点Q 的坐标是（﹣1，2）．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积以及轴对称-最短路线问题．正确求出函数的解析式是解此题的关键．11．（1）223y x x =--；（2）存在这样的点，此时P ，32-）；（3）P 点的坐标为(32，−154)，四边形ABPC 的面积的最大值为758．【分析】（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；. （3）由于△ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，易求得直线BC 的解析式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．【详解】。

第二章二次函数专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型(含答案)

专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型►类型一已知三点求表达式1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．图3－ZT－12．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图3－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求表达式3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图3－ZT－34．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当P A＋PB的值最小时，求点P的坐标．图3－ZT－4►类型三已知抛物线与x轴的交点求表达式7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－38．如图3－ZT－5，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则抛物线的表达式为______________．图3－ZT－59．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．► 类型四根据图形平移求表达式10．一个二次函数图象的形状与抛物线y ＝－2x 2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．11．将抛物线y ＝12x 2平移，使顶点的坐标为(t ，t 2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．12．把抛物线y ＝x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT －6所示的抛物线．(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点M ，使△ABM 的面积为20，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －613．如图3－ZT －7，经过点A (0，－6)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B (－2，0)，C 两点．(1)求此抛物线的表达式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m (m >0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．图3－ZT －7详解详析1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2.∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1，故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)．把(0，3)代入表达式，得3＝3a ， ∴a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3.6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P . 设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37，∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)，所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)，解得a ＝－1.所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)，即y ＝－x 2＋2x ＋8.10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋911．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －t )2＋t 2.∵平移后的抛物线经过点(1，1)， ∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13，∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19，即y ＝12x 2－x ＋32或y ＝12x 2＋13x ＋16.12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.设点M 的坐标为(m ，n )． ∵△ABM 的面积为20， ∴12AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)；当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)． 13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)，∴y ＝12x 2＋bx －6.∵该抛物线过点B (－2，0)，∴12×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12x 2－2x －6.∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8，∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ，即y 1＝12(x －1)2－8＋m ，∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2，∴C (6，0)，∴直线AC 的表达式为y ＝x －6，当x ＝1时，y ＝－5. ∵点P 在△ABC 内，∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，解得3<m <8.。

二次函数知识点总结及练习题

二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数（c bx ax ++2为整式）例1：函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数例4：下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--，) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0），对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。

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二次函数表达式三种形式
一．选择题（共12小题）
1．（2015•永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（）
A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．（2014•山东模拟）将y=（2x﹣1）•（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（）A．B．
C．D．
3．（2015秋•绍兴校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）
A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2
4．（2015秋•龙岩校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）
A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4
C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4
5．（2015秋•禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）
A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3
C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
6．（2014秋•岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）
A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2
7．（2014秋•招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）
A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4
8．（2013秋•青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2
9．（2013秋•江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2
10．（2014•长沙县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c 的值等于（）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
11．（2015•温州模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）
A．3.125 B．4 C．2 D．0
12．（2015•宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（）
A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣
二．填空题（共9小题）
13．（2015•东光县校级二模）如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为．
14．（2015•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为．
15．（2015春•石家庄校级期中）若函数y=（m2﹣4）x4+（m﹣2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则m=．
16．（2015秋•丰县校级月考）已知二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2，则该二次函数的解析式为．
17．（2014•长春一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是．
第17题图第20题图
18．（2015秋•武威校级月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出抛物线解析式．
19．（2014•南京校级二模）二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为．
20．（2014•永嘉县校级模拟）如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是．
21．（2014秋•化德县校级期末）坐标平面内向上的抛物线y=a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若∠ACB=90°，则a的值是．
三．解答题（共9小题）
22．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，
连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
23．（2015•泰州）已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
24．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
25．（2015•瑶海区三模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
26．（2015•巴中模拟）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
27．（2015•齐齐哈尔模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）．
（1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标；
（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标．
28．（2015•齐齐哈尔模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D与点C关于抛物线对称轴对称，连接DB、DC，直线PD交直线BC于点P，且直线PD把△BCD分成面积相等的两部分，请直接写出直线PD的解析式．
29．（2015•山西模拟）如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
30．（2015秋•泰安校级期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．
二次函数三种表达式练习答案：
一．选择题（共12小题）
1．B；2．C；3．D；4．B；5．A；6．D；7．D；8．B；9．D；10．C；
11．C； 12．A；
二．填空题（共9小题）
13．y=-（x-4）2-2； 14．y=-x2+2x+3；15．-2； 16．y=x2+x-； 17．y=-x2+2x+3；
18．y=x2-2x-3；19．y=-x2-2x+3； 20．y=-x2+x+5；21．；
三．解答题（共9小题）
22．；23．；24．；25．；26．；
27．；28．；29．；30．；。