人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数 》测试卷-带参考答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》测试卷-带参考答案一、单选题1．将二次函数化为顶点式正确的是（）A．B．C．D．2．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C．D．3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m5．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（）A．B．C．D．或8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线的顶点在轴上，则.10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加m．11．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是m．12．已知点、和都在函数的图象上，则、和的大小关系为（用“”连接）．13．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，当轴时，．三、解答题14．如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．15．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？16．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17．某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点的水平距离应为多少18．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．A8．B9．2510．2 ﹣411．60012．13．414．解：当时米．答：货车的限高应是米．15．（1）解：设y与x之间的函数关系式为由已知得解得因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W由题意得W关于x的二次函数图象开口向上，且x为整数当时，W取最大值，最大值为1800即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．16．（1）解：由已知可得：AD==则S=1×=；（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m∵AB＞0，AD＞0，AF＞0∴0<x<设窗户的面积为S由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+当x=时，S有最大值，为∵＞1.05∴现在窗户透光的最大值变大.17．（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为把代入得：解得：抛物线的解析式为（2）解：当时解得：不符合题意，舍去答：人梯到起跳点的水平距离应为．18．（1），和（2）解：如图，连接设点当时，即点P的坐标为时，有最大值；（3）解：存在.①如图，当四边形为时抛物线对称轴为直线的坐标为②如图，当四边形为时，作于点G和和综上所述，点F的坐标为或或。
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题(含简单答案)
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题（含简单答案）人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合训练题一、单选题1．在下列表达式中，x是自变量，是二次函数的是（）A．B．C．D．2．下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（）A．B．C．D．3．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知二次函数的图像上有三点，则的大小关系为（）A．B．C．D．5．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A．B．C．D．6．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（）A．B．，C．，D．，7．根据下列表格的对应值，判断方程（，、、为常数）一个解的范围是（）A．B．C．D．8．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线与y轴的交点坐标为．10．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为．11．抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是．12．抛物线的二次项系数是；一次项系数是．13．已知函数的图象过原点，则a的值为14．若抛物线的图象与坐标轴只有两个公共点，则m的值为．15．一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则该学生推铅球的水平距离为．16．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为．三、解答题17．抛物线经过点．(1)求这个二次函数的关系式；(2)为何值时，的值随着的增大而增大？18．抛物线的对称轴是直线，且过点．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求A点和点B的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；(3)直接写出当时，自变量x的取值范围．20．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上运动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标；(3)点Q是直线下方抛物线上一点，当Q运动到什么位置，的面积最大，求出面积的最大值和此时点Q的坐标．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：… 0 1 2 …… 0 5 …(1)直接写出表格当中的m值：_________；(2)直接写出这个二次函数的表达式_________；(3)在图中画出这个二次函数的图象．(4)直接写出当时，y的取值范围是_________．(5)直接写出当时，x的取值范围是_________．22．有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．(1)求S关于x的函数解析式；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？(3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.(1)请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？24．如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．参考答案：1．D2．B3．D4．B5．D6．D7．C8．D9．10．11．12． 1 413．214．15．16．/17．(1)(2)18．(1)；(2)；19．(1)A、B的坐标分别为：，，(2)是直角三角形，(3)有图像可得：时，或．20．(1)(2)或(3)当轴时，的面积最大，最大值为1，此时点Q的坐标为21．(1)0(2)(4)(5)22．(1)(2)花圃的长为(3)能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积23．(1)(2)当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．24．(1)，(2)存在，或(3)3。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
人教版九年级上数学册《第22章二次函数》综合检测试卷含答案
人教版九年级上册数学综合检测含答案第22章 二次函数（时间：120分钟 总分120分）一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项。
）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( A )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．A ．3B ．4C ．5D ．62．若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( B ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或33．将抛物线y ＝3x 2平移得到抛物线y ＝3(x －4)2－1 的步骤是( D ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位4．抛物线y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( D )A ．(1,2)，x ＝1B ．(1－，2)，x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝45.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图 ，则下列结论：第5题图①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图 所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m ，则学生丁的身高为( B )第6题图A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m ____≠2______时，该函数为二次函数； (2)当m _____＝2_____时，该函数为一次函数．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1,10)和(2,7)，且3a ＋2b ＝0，则该抛物线的解析式为___y ＝2x 2－3x ＋5_____．9．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为k <－74且k ≠0 .10．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝___4___元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．11．若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是 1或0 . 12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点是（2，－2）；③在x 轴上截得的线段的长是2； ④与y 轴的交点是（0，3）．其中正确的有__①③④_____(填序号).三、解答题 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a (－2)2.解得a ＝－2，故函数解析式为y ＝－2x 2.(2)∵－4≠－2(－1)2，∴点B (－1，－4)不在抛物线上． (3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3.∴纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)与(－3，－6)．14．如图 ，A (－1,0)，B (2，－3)两点都在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上．(1)求m 的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．第14题图解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.15．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP的值．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0， ∴抛物线与x 轴一定有两个交点．当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4. 故交点坐标为(－2,0)，(4,0)． (2)由(1)，可知：|AB |＝6.y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝12×6×9＝27.16．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC .∴这次表演成功．17．如图，抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C (5,4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．第17题图解：(1)a ＝1，P ⎝⎛⎭⎫52，－94. (2)答案不唯一，满足题意即可．如向上平移104个单位长度后，再向左平移3个单位长度等．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图,二次函数y=ax 2-4x+c 的图象过原点,与x 轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足S △AOP =8,请直接写出点P 的坐标.解：(1)依题意,得⎩⎨⎧=+=016160a c解得⎩⎨⎧=-=01c a∴二次函数的解析式为y=-x 2-4x. (2)令P(m,n), 则S △AOP =12 AO ·|n|=12×4|n|=8,解得n=±4, 又∵点P(m,n)在抛物线 y=-x 2-4x 上,∴-m 2-4m=±4,分别解得m 1=-2,m 2=-2+2 2 和m 3=-2-2 2 ,∴P 1(-2,4),P 2(-2+2 2 ,-4),P 3(-2-2 2 ,-4).19．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象C 经过(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)三点，直线l 的解析式为y ＝2x －3.(1)求抛物线C 的解析式；(2)判断抛物线C 与直线l 有无交点；(3)若与直线l 平行的直线y ＝2x ＋m 与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标．解：(1)把(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)分别代入抛物线，解得a ＝12，b ＝3，c ＝52，∴y ＝12x 2＋3x ＋52.(2)令12x 2＋3x ＋52＝2x －3，整理后，得12x 2＋x ＋112＝0，∵Δ<0，∴抛物线与直线无交点．(3)令12x 2＋3x ＋52＝2x ＋m ，整理后，得12x 2＋x ＋52－m ＝0.由Δ＝12－4×12×⎝⎛⎭⎫52－m ＝0，解得m ＝2，求得点P 的坐标为(－1,0)．20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (单位：个)与销售单价x (单位：元/个)之间的对应关系如图 所示：(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (单位：元)与销售单价x (单位：元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， ∵图象过点(10,300)，(12,240)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30，b ＝600. ∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.即点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝－30x ＋60.(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600.即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3600. (3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.x ＝－30x 2＋780x －3600图象对称轴为x ＝－7802×(－30)＝13.∵a ＝－30<0.∴抛物线开口向下．当x ≥15时，w 随x 增大而减小． ∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21． 如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2＋3(3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋53，∴平移了53－3＝43个单位22.某公司700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件).当35≤x ≤50时,y 与x 之间的函数关系式为y=20-0.2x;当50≤x ≤70时,y 与x 之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元. (1)当50≤x ≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数解析式.(2)若该公司第一年的年销售利润(年销售利润=年销售收入-生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x ≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和-成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围.解：(1)设当50≤x ≤70时,y 与x 的函数关系式为y=kx+b.把(50,10),(70,8)代入得⎩⎨⎧=+=+8701050b k b k 解得⎩⎨⎧=-=151.0b k ∴当50≤x ≤70时,y 与x 的函数解析式为y=-0.1x+15.[来源:Z*xx*] (2)①依题意知:25≤90- x ≤45,即45≤x ≤65.当45≤x ≤50时,W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)=-0.2x 2+16x+100=-0.2(x-40)2+420.由函数的性质知,当x=45时,W 最大值为415. 当50≤x ≤65时,W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)=-0.1x 2+8x+250=-0.1(x-40)2+410.由函数的性质知,当x=50时,W 最大值为400.综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元. (3)30≤m ≤40.(由题意,令W=-0.1x 2+8x+250+415-700≥85,整理,得x 2-80x+120≤0, 解得20≤x ≤60.∵50≤x ≤65,根据函数的性质分析,50≤x ≤60. 即50≤90-m ≤60.故30≤m ≤40.)六、（本大题共1小题，共12分）23．如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第23题图解：(1)∵OC ＝3OB ，B (1,0)，∴C (0，－3)．把点B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋3ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3.(2)如图D86.过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N . S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12×DM ×(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， ∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入，求得y ＝－34x －3.令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3.此时四边形ABCD 面积有最大值为272.图D86 图D87(3)如图D87，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3，∴x ＝0或x ＝－3.∴P 1(－3，－3)． ②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3，得x 2＋3x －8＝0.解得x ＝－3＋412或x ＝－3－412.此时存在点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3和P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.。
人教版九年级数学上册第22章二次函数 单元综合测试题(含解析)
2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列函数中不属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）（x﹣2）B．y＝（x+1）2C．y＝2（x+2）2﹣2x2D．y＝1﹣x22．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 3．已知抛物线y＝x2﹣x+1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20234．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜1D．﹣3＜x＜1 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值612．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．15．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，则y＝ax2+bx+c图象顶点坐标是．16．如图，一为运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出m．17．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．18．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC＝时，四个正方形的面积之和最小．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣）25．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝（x+1）2是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣x+1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m+1＝0，∴m2﹣m+2022＝m2﹣m+1+2021＝2021．故选：B．4．解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），∵向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的函数图象的顶点坐标为（8，﹣3），∴平移后所得抛物线解析式为y＝2（x﹣8）2﹣3，故选：D．5．解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1．故选：A．6．解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．7．解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，C错误；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．11．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．12．解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．解：设顶点式y＝a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5＝﹣14，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2﹣5，即y＝﹣x2﹣4x﹣9．14．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．15．解：y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．16．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．17．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．18．解：设AC为x，四个正方形的面积和为y．则BC＝8﹣x，AD＝DE＝EC＝，∴y＝3×（）2+（8﹣x）2＝x2﹣16x+64＝，∴x＝﹣＝6时，四个正方形的面积之和最小．故答案为6．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．解：（1）根据二次函数的图象可知：A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），把A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c可得，解得．即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标（1，﹣4），和对称轴x＝1．20．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．21．解：（1）∵抛物线解析式为y＝（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴y＝（x﹣1）2﹣4令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0解得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝S△MAB，∴|y P|＝×4＝5，即y P＝±5又∵点P在y＝（x﹣1）2﹣4的图象上∴y P≥﹣4∴y P＝5，则（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），即﹣x2+8x＝12，解得：x＝2或x＝6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，S最大值＝16，∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．23．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．24．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣．所以二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积＝×4×1＝2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m＝﹣（m﹣2）2+1，解得m1＝0（舍去），m2＝8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》综合练习(附答案)
22.1二次函数图像性质 综合练习题(附答案)1、函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。
6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。
求：（1）求出此函数关系式。
（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。
2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y 。
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数综合练习题附答案●基础巩固1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______.2.二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y>0.4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.A B D12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的 零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.13.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 14.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根 ;B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根 ;D.没有实数根.15.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47; B.k ≥－47且k ≠0; C.k ≥－47; D.k >－47且k ≠0 16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( ) A.424 m B.6 m C.15 m D.25mx y 8O5 m 12m ABCDx y2.4 12O图4图5图617.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A.1B.3C.4D.618.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( )A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图5所示)，则下列结论正确的是( ) ①a <－601 ②－601<a <0 ③a －b +c >0 ④0<b <－12aA.①③B.①④C.②③D.②④20.把一个小球以20 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t －5t 2.当h=20 m 时，小球的运动时间为（ ） A.20 sB.2 sC.(22+2) sD.(22－2) s21.如果抛物线y=－x 2+2(m －1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是( ) A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<122.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x 、y 轴分别相交于A 、C 两点，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点c 且与一次函数在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( ) A.(－21，411) B.(－21，45) C.(21，411) D.(21，－411) 23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( ) A.y=25x+15B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.524.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－121x 2+32x+35，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A.6 mB.12 mC.8 mD.10 m25.某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m26.求下列二次函数的图像与x 轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y=12x 2+x+1; (2)y=4x 2-8x+4; (3)y=-3x 2-6x-3; (4)y=-3x 2-x+4 27.一元二次方程x 2+7x+9=1的根与二次函数y=x 2+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根. (1)4x 2-8x+1=0; (2)x 2-2x-5=0;(3)2x 2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0.29.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图像与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.●能力提升30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？31.已知二次函数y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象的对称轴是x =2，且最高点在直线y =21x +1上，求这个二次函数的表达式.32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I =2v 2来表示，其中v (千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.mx 35.下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？●综合探究37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：(2)写出当n=10时，S=______;(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.nOS参考答案1.262.41 大 －83没有 3.①x 2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y =x 2－3x －105. m >29无解 6.y =－x 2+x －1 最大 7.y =－81x 2+2x +1 16.58. 2 9.b 2－4ac>0(不唯一) 10 . 15 cm23225 cm 2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 62513.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D25.B 〔提示：设水流的解析式为y=a(x －h)2+k,∴A(0，10)，M(1，340). ∴y=a(x －1)2+340，10=a+340. ∴a=－310. ∴y=－310(x －1)2+340.令y=0得x=－1或x=3得B(3，0), 即B 点离墙的距离OB 是3 m26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(43-,0),草图略. 27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.28.(1)x 1≈1.9,x 2≈0.1;(2)x 1≈3.4,x 2≈-1.4;(3)x 1≈2.7,x 2≈0.6;(4)x 1≈1.6,x 2≈-0 .6 29.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以==│-3│=3.C △ABC =AB+BC+AC=2 S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3. 30．(1)y =－2x 2+180x －2800.(2)y =－2x 2+180x －2800 =－2(x 2－90x )－2800 =－2(x －45)2+1250. 当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元. 31．∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =21x +1上. ∴y =21×2+1=2. ∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2). ∴－ab2=2.∴－)2(242--m m =2. 解得m =－1或m =2. ∵最高点在直线上，∴a <0, ∴m =－1.∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2). ∴2=－4+8+n .∴n =－2.则y =－x 2+4x +2. 32(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +-∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x )=－31(x －25)2+3625,∴当x =25时，y 最大=3625,即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx-50m.∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n 50x=－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n625,当x =25时，y 最大=n625,即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n625 m 2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 33(1)如下表(2)I =2·(2v )2=4×2v 2.当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍. 34(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c .由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===-.5.3,0,2.0,5.15.105.3,5.3,022c b a c b a c a b得∴抛物线的表达式为y =－0.2x 2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为 h +1.8+0.25=(h +2.05) m,∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,∴h=0.2(m).35 (1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利.……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y=21(x －2)2－2,当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).36．设m=a+b y=a ·b,∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m )2+42a ,当a=2m时，y 最大值为42a .结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.37．(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元. 38．(1)10 (2)55 (3)(略).(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上. 设函数的解析式为S=an 2+bn+c.由题意知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0.c ,21b ,21a ,639,324,1解得c b a c b a c b a∴S=.21212n n +。