【数学】江苏省南京市2017届高考迎一模模拟试卷(解析版)

江苏省南京市2017届高考数学迎一模模拟数学试卷一．填空题（每题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B=．2．（5分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是．4．（5分）从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．5．（5分）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为．6．（5分）在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为．8．（5分）已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a2b﹣．（填“＞”、“＜”或“=”）9．（5分）△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是．10．（5分）已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．11．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M是线段A1F上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．13．（5分）若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）ln x，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是．14．（5分）若实数x，y满足x﹣4=2，则x的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．16．（14分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．（1）求证：AE∥面DBC；（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．17．（14分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．18．（16分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y 轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P 交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k 为定值．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n 的最小值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+ln x，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．[选做题]（选修4-2：矩阵与变换）21．已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为p sin（θ﹣）=2．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23．（10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．24．（10分）已知（x+2）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．（1）求a0及S n=a i；（2）试比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，并说明理由．参考答案一．填空题1．{x|1≤x≤2}【解析】由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A={x|﹣2≤x≤2}，由B中不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}2．4【解析】=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．3．（﹣∞，1]【解析】若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．4．【解析】从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况，能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况，所以P（任取三条，能构成三角形）==．故答案为：5．30【解析】根据题意，在区间[4，5]的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3，而总数为100，因此频数为30．故答案为30．6．﹣4【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2﹣2x+2=26，解得：x=﹣4或x=6（舍去）故答案为：﹣47．【解析】抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．8．＜【解析】∵a≠b，a＜0，∴a﹣（2b﹣）=＜0，∴a＜2b﹣．故答案为：＜．9．（﹣2，6）【解析】以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），则=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m）．又∵点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，则═（1，4m）•（﹣3，4m）=16m2﹣3，∴﹣2＜16m2﹣3＜6，故答案为：（﹣2，6）．10．{，}【解析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{，}．11．+【解析】由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值，如图所示，O为所求，则由射影定理，可得，DO=，sin∠ADO=cos∠CDO=，∴CO==1，∴△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是（1+）=+，故答案为：+．12．【解析】∵函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，∴△=0，∴a2+4b=0，∴b=．∵关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），∴方程f（x）=c﹣1的两根分别为：m﹣4，m+1，即方程：﹣x2+ax=c﹣1两根分别为：m﹣4，m+1，∵方程：﹣x2+ax=c﹣1根为：，∴两根之差为：2=（m+1）﹣（m﹣4），c=﹣．故答案为：．13．{2}【解析】根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）ln x在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令=，则．由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣ln x为增函数，从而x﹣ln x≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min=m（1）=1，即k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}．14．[4，20]∪{0}【解析】方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x＞0时，解答如下：令t=∈[0，]，原方程可化为：﹣2t+=，记函数f（t）=﹣2t+，g（t）=，t∈[0，]，这两个函数都是关于t的函数，其中x为参数，f（t）的图象为直线，且斜率为定值﹣2，g（t）的图象为四分之一圆，半径为为，问题等价为，在第一象限f（t），g（t）两图象有公共点，①当直线与圆相切时，由d=r解得x=20，②当直线过的点A（0，）在圆上的点（0，）处时，即=，解得x=4，因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，综合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．方法二：【代数法】令t=∈[0，]，原方程可化为：x﹣4t=2，因为x﹣y=x﹣t2≥0，所以x≥t2≥0，两边平方并整理得，20t2﹣8xt+x2﹣4x=0（*），这是一个关于t的一元二次方程，则方程（*）有两个正根（含相等），，解得，x∈[4，20]∪{0}．特别地，当x=0时，y=0，符合题意．故答案为：[4，20]∪{0}．二、解答题15．解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．∴tan（θ+）===﹣；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（﹣θ）==+=．16．证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．17．解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km．（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km．18．（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，∴=b，化为b=1．∵离心率e==，b2=a2﹣c2=1，联立解得a=2，c=．∴椭圆C的方程为=1；（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．∴⊙D的方程为：．令x=0，解得y=±，∴|AB|=，∴S△ABD===．（3）证明：由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），∴直线A1B2的方程为，由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，由，解得．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1﹣2）=．∴．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．即=，∴x2=，∴F．∴EF的斜率m==．∴2m﹣k=﹣k=为定值．19．（1）证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n﹣1=S n﹣1+n﹣1，n≥2，两式相减得a n=2a n﹣1+1，n≥2，即a n+1=2（a n﹣1+1），n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1，n∈N*；（2）解：b n=（2n+1）a n+2n+1=（2n+1）•2n，∴T n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n，∴2T n=3•22+5•23+…+（2n+1）•2n+1，两式相减可得﹣T n=3•2+2•22+2•23+…+2•2n﹣（2n+1）•2n+1，∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2∴＞2010可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式＞2010的n的最小值为10．20．解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a=﹣2．由f′（1）=g（﹣1）﹣2，得a+1=b﹣2，所以b=1．所以h（x）=﹣x2+ln x+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=ln x+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．所以h（x）极大=h（）=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．且x→0时，ln x＜0，x→+∞时，ln x＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②证明：由题意得，即，①×②得．因为x1，x2＞0，所以﹣b（x1+x2）＞0，所以，因为0＜﹣b＜，所以e﹣b＞1，所以x1x2＞＞＞e2，所以＞1．[选做题]21．解：依题意，NM==，由逆矩阵公式得，（NM）﹣1=，所以=，即有a=5，b=﹣．22．解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=2，整理得：ρ（sinθcos﹣cosθsin）=ρsinθ﹣ρcosθ=2，即ρsinθ﹣ρcosθ=4，则直角坐标系中的方程为y﹣x=4，即x﹣y+4=0；（2）设P（cosα，3sinα），∴点P到直线l的距离d==≥=2﹣，则P到直线l的距离的最小值为2﹣．【必做题】.23．解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以；（2）随机变量ξ的所有取值为﹣1，0，1，ξ=﹣1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故，ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故，∴P（ξ=0）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．24．解：（1）令x=1，则，令x=2，则，所以S n=a i=4n﹣3n．（2）要比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n﹣1）3n+2n2的大小．当n=1时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，当n=4或5时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．猜想：当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时结论成立，即4k＞（k﹣1）3k+2k2，两边同乘以4，得4k+1＞4[（k﹣1）3k+2k2]=k3k+1+2（k+1）2+[（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2]，而（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2=（k﹣4）3k+6（k2﹣k﹣2）+2k+10=（k﹣4）3k+6（k﹣2）（k+1）+2k+10＞0，所以4k+1＞[（k+1）﹣1]3k+1+2（k+1）2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，；当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，S n＜（n ﹣2）3n+2n2；当n≥4时，．。