2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试(期末)数学试题及答案解析版
2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题及答案解析版一、填空题 1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,1,2B =-，则AB =______.【答案】{}1,2【解析】先求出集合A ，然后根据交集的计算，即可求出A B .【详解】∵集合{}220A x x x =-≤ ∴集合{}02A x x =≤≤ ∵集合{}1,1,2B =- ∴{}1,2AB =故答案为：{}1,2. 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题． 2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______.【解析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果． 【详解】∵21i z =+ ∴2112i iiz i =+=-⋅ ∴()22125z=+-=故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.【答案】25【解析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出013579S =+++++的值，从而得解． 【详解】模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了伪代码的应用问题，解答本题的关键是应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是______. 【答案】216y x =【解析】求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为2,0y mx m =>，由抛物线的焦点坐标，可得m ，即可得到所求方程． 【详解】由题意得，双曲线221124x y -=的右焦点为()4,0.抛物线方程设为2,0y mx m =>.∵抛物线的顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点∴44m=，即16m =∴抛物线方程为216y x = 故答案为：216y x =. 【点睛】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=，若直线12l l //，则m =______.【答案】2-【解析】根据题意，由直线平行的条件可得()220m m -+=，可得m 的值，验证直线是否重合即可得答案． 【详解】根据题意，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=.若直线12l l //，必有()220m m-+=，解得：1m =或2-.当1m =时，直线1l ：10x y --=，2l ：10x y --=，两直线重合，不符合题意；当2m =-时，直线1l ：240x y +-=，2l ：2410x y ---=，两直线平行，符合题意； ∴2m =-. 故答案为：2-. 【点睛】已知直线1l ，2l 的方程分别是：1l ：1110A x B y C++=（1A ，1B 不同时为0），2l ：2220A x B y C++=（2A ，2B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221//0l l A B A B ⇔-=，12210AC A C -≠.6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______.【答案】25【解析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率． 【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为2510n C ==.∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p==故答案为：25.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y=+的最大值为______.【答案】13【解析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【详解】实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x yx y--=⎧⎨-+=⎩，解得3x=，2y=时，目标函数经过()3,2A时，目标函数取得最大值，即3213z x y=+=. ∴32z x y=+的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再根据()g x 的解析式，求得4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】 将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，可得cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()2cos 23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象.∴2cos 22sin 4433g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______.【答案】16【解析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B ECF -的体积． 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点.∴11111111132326B ECF F BCE V V BC AB B B --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：16.【点睛】本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q =______. 【答案】2或12【解析】由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比q 的值． 【详解】∵等比数列{}n a 的前三项和342S =，1a ，23a +，3a 成等差数列∴()211121114223a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2q或12故答案为：2或12. 【点睛】本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______. 【答案】3【解析】利用倍角公式、和差公式化简()f θ，利用三角函数的单调性可得B ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论．【详解】 根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3f θ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得1x x m -≥+，即有即()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】 ∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数且在[)0,+∞单调递减 ∵()()1f x f x m -≤+在[],1x m m ∈+恒成立 ∴1x x m -≥+在[],1x m m ∈+恒成立，则222212x x x mx m -+≥++在[],1x m m ∈+恒成立∴()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立∴()()()22221022110m m m m m m ⎧++-≤⎪⎨+++-≤⎪⎩，解得113m -≤≤-. 故答案为：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -=______.【答案】2【解析】设(),P x y ，根据圆C 及切点A ，结合PA PB =，可推出221PO PB -=，再根据两点之间距离公式化简可得220000012x x y y x y y ++=-+，结合点P 在2y x =-上，可列出方程组，即可解出0y ，进而可得答案. 【详解】设(),P x y ∵PA PB = ∴22PA PB = ∴221PO PB -= ∴()()2222001xy x x y y +-=-+-，即220000012x x y y x y y ++=-+ ∵P 在2y x =-上任取∴00220001122x y x y y ⎧-=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得0y =∵01x y -= ∴00x y =-∴00022x y y -=-=故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆的关系，涉及了两点之间的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中已知三个点()2,1A ，()1,2B -，()3,1C -，点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-，则2OP OC OP⋅的最大值为______.【解析】依题意可得()()221x y x y +-=-，通过换元令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，将所求式子化简，再利用基本不等式得解． 【详解】∵点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=- ∴()()221x y x y +-=-令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得2525m n x m ny +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1mn =- ∴2222222344442525OP OC x y m n m mn n m mn n x y OP⋅-+==++-+++()()()()()222255522m n m n m n m n m n mn mn +++===++-++要求出2OP OC OP⋅的最大值，不妨设0m n +>，则2524OP OC OPm n m n⋅=≤=+++，当且仅当2m n m n +=+，即m n +=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取“=”.故答案为：4.【点睛】本题考查平面向量与基本不等式的综合运用，考查换元思想及化简运算能力，属于中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、解答题15．在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，E是AP 的中点，AB BD⊥，平面PBD⊥底面ABCD.⊥，PB PD（1）求证：//PC平面BDE；（2）求证：PD⊥平面PAB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结EO，则点O为AC 中点，由点E为AP的中点，得//PC平EO PC，由此能证明//面BDE；（2）根据题设条件推导出PB⊥平面ABCD，PB AB⊥，⊥，结合PD PB ⊥，从而AB⊥平面PBD，进而可得AB PDAB BD⊥，由此能证明PD⊥平面PAB.【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O，并连接EO∵平行四边形ABCD，且AC交BD于点O∴点O为AC中点在PAC∆中，点E为AP的中点∴//EO PC∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE∴//PC平面BDE（2）∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD平面ABCD BD=，PB BD⊥，PB⊂平面PBD∴PB⊥平面ABCD∵AB平面ABCD∴PB AB⊥又∵AB BD=，PB⊂平面PBD，BD⊂平面PBD ⊥，BD PB B∴AB⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD∴AB PD⊥又∵PD PB⋂=，PB⊂平面PAB，AB平面PAB ⊥，PB AB B∴PD⊥平面PAB.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=.（1）若C B >，且()13cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =⋅，求AC 的长度.【答案】（1）3C π=；（2）56AC =【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan 1C =，可得4C π，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值． 【详解】（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅= ∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯= ∴11cos 14B =∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠= ∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴221153sin 1cos 11414B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=，∴()0,C B π-∈ ∵()13cos 14C B -=且()0,C B π-∈ ∴()sin C B -=14== ∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B=---1311114142=⨯= 在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3C π=.（2）∵ACD ∆的面积12S CA CD =⋅∴11sin cos 22CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos CC C ==，则4Cπ在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABB C=又∵sin B =14AB =，sin sin 42C π==2=，则AC =【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点. ①若247AB =，求直线1l 的方程； ②过A 作左准线l的垂线，垂足为1A ，点5,02G ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：1A ，B ，G三点共线.【答案】（1）2214x y y +=（2）①1y x =+或1y x =--，②证明见解析【解析】（1）根据长轴的值和准线的方程，可求得a ，c 的值，结合222b a c =-，从而可求出椭圆的标准方程； （2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，作11AA l ⊥，根据椭圆的第二定义可得11AF e AA =，结合211a AA x c=+，可推出11AF a ex =+，从而推出12BF a ex =+，根据247AB =，可得1287x x +=-，分别对直线1l 的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线1l 的方程；②当直线1l 的斜率不存在时，分别求出1A G k ，1A B k ，即可得证；当直线1l 的斜率存在时，分别求出1A G k ，BG k ，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题，24a =，24a c =，∴2a =，1c = ∴2223b a c =-=，椭圆方程2214x y y +=.（2）①设()11,A x y ，()22,B x y 作11AA l ⊥，由第二定义，11AF e AA =，而211a AA x c=+∴21101c a AF eAA x a ex a c ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，同理12BF a ex =+∴()11122427AB AF BF a e x x =+=++=，即1287x x +=-，②证明见解析设AB 的斜率为k1°若k 不存在，即122x x +=-（舍） 2°若k 存在，AB ：()1y k x =+联立()3234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，()22223484120k x k x k +++-=（），>0∆恒成立∴212288347k x x k +=-=-+，即1k =±，∴AB ：1y x =+或1y x =-- ②证明1°若AB 的斜率不存在，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，134,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11A G k =-，11A B k =-，11A G A B k k =-∴1A ，B ，G 三点共线. 2°若AB 的斜率存在，()114,A y -，1132A G y k =-，2252BG y k x =+要证1A ，B ，G共线.即证1A G BG k k =，即1225322y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()122253y x y +=-即()()()121212531k x x k x ++=-+，即()12122580kx x k x x k +++=由（）2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+ 代入上式：2222412825803434k k k k k k k -⋅-⋅+=++，即3332824402432034k k k k k k --++=+显然成立。
江苏省2020版高考数学一模试卷(理科)(I)卷
江苏省2020版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一上·柳州期末) 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）A . {3}B . {2，5}C . {1，4，6}D . {2，3，5}2. （2分）(2018·河北模拟) 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2020高一下·南宁期中) 数列是等差数列，，，则（）A . 12B . 24C . 36D . 724. （2分） (2020高二上·吉林期末) 已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A . 非p是特称命题，且是真命题B . 非p是全称命题，且是假命题C . 非p是全称命题，且是真命题D . 非p是特称命题，且是假命题5. （2分）(2020·江西模拟) 已知是球O的内接三棱锥，球O的半径为2，且，，，则点A到平面的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·东营期中) 函数y=x|x|的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·江西模拟) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.848. （2分）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·正定期末) 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1 ， F2 ，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A .B . 或C .D . 或12. （2分）(2019·荆门模拟) 设实数分别满足，，，则的大小关系为A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天水期中) 设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ + 与﹣2垂直，则实数λ=________．14. （1分） (2017高二下·故城期中) 已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），若a0+a1+…+an=62，则n等于________．15. （1分） (2018高二上·湖北月考) 设是的展开式中的一次项的系数，则________．16. （1分）(2016·城中模拟) 已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为________．三、解答题： (共7题；共55分)17. （5分）(2017·衡水模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4 ，b+c=8，求△ABC 的面积．18. （10分）(2019·福建模拟) 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是线段的中垂线，，为线段上的点.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求四面体的体积.19. （10分）(2020·安徽模拟) 某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X．（1）求X的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．20. （5分） (2019高三上·金华期末) 已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．Ⅰ 若，，求椭圆方程；Ⅱ 若，求面积的最大值．21. （10分） (2020高二下·九台期中) 已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数在时有极值，求的解析式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.22. （5分） (2017高二下·廊坊期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23. （10分） (2016高三上·清城期中) 已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
江苏省2020版高考数学一模试卷(理科)(II)卷(精编)
江苏省2020版高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·龙江模拟) 已知集合， .则（）A .B .C .D .2. （2分）若复数Z满足，则复数（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·贵阳期末) 已知正方形ABCD的边长为1，则• =（）A . 1B .C .D . 24. （2分）在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为n阶整点函数。
有下列函数：；②③④，其中是一阶整点函数的是（）A . ①②③④B . ①③④C . ①④D . ④5. （2分） (2019高三上·清远期末) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·银川模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的a，b的值分别等于（）A . 32，B . 32，C . 8，D . 32，7. （2分） (2019高二上·河南月考) 已知数列的前n项和为，，（，），当取最大值时，则n的值为（）A . 672B . 673C . 674D . 6758. （2分） (2015高二下·黑龙江期中) 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（）A . 20种D . 30种9. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·湖北模拟) （x2﹣）6的展开式，x6的系数为（）A . 15B . 6C . ﹣6D . ﹣1511. （2分） (2017高二下·湘东期末) 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC=2CA=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）A . 3πD . 20π12. （2分） (2020高一下·温州期末) 设a为正实数，数列满足，，则（）A . 任意，存在，使得B . 存在，存在，使得C . 任意，存在，总有D . 存在，存在，总有二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·宜春期中) 已知cosα=﹣，且＜α＜π，则tanα的值为________．14. （1分） (2018高一上·汉中期中) 函数的零点个数为________个．15. （1分）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是________16. （1分）对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列在前n项和等于________．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共7题；共65分)17. （10分）(2019高三上·北京月考) 的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且 ,求的面积.18. （10分）(2017·南京模拟) 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y是奇数的概率；（2）求Y的概率分布和数学期望．19. （5分）(2016·枣庄模拟) 如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是菱形，侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，A1B=AB=AA1=2，△AA1C1的面积为，且∠AA1C1为锐角．（I）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．20. （10分） (2019高二上·开福月考) 已知动圆与轴相切，且与圆：外切；（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若直线过定点，且与轨迹交于、两点，与圆交于、两点，若点到直线的距离为，求的最小值．21. （10分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）=lnx+ ax2﹣2bx（1）设点a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；（2）当a=0，b=﹣时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的取值范围．22. （10分） (2020高三上·哈尔滨开学考) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（1）求与的交点的直角坐标；（2）求上的点到直线的距离的最大值．23. （10分） (2019高二下·仙桃期末) 已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏镇江2020高三数学模拟考试试题
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝1＋2i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． Read S ←0For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End(第3题)4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(π4)＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________．10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________．11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，－2x －x 3，x ≥0.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x ＋m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →)＝－1，则OP →·OC→|OP →|2的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝1314，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12CA →·CD →，求AC 的长度．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点． ①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－52，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．18. (本小题满分16分)某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1－a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n＋b n＝n＋12n(1＋b n)，且a1＝b2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 求数列{b n}的通项公式；(3) 设c n＝a nb n，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j(1≤i＜j，i，j∈N*)，使c i＋c j仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j的值；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234对应的变换下得到点Q(y －2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .B. (选修43：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标．C. (选修44：不等式选讲)已知函数f(x) ＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为k ，且a ＋b ＋c ＝k ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．(1) 若直线y ＝－x ＋1与抛物线相交于M ，N 两点，且MN ＝26，求抛物线的方程；(2) 直线l 过点Q(0，t)(t ≠0)交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点C ，如图，设QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，求证：m ＋n 为定值．23. 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来推导组合数恒等式．例如由等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n可得：等式左边x k 项系数为C k 2n (0≤k ≤n)，等式右边x k 项系数为C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ，所以我们得到组合数恒等式：C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ＝C k 2n .(1) 化简：(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋(C 21 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2；(2) 若袋中装有n(n ∈N *)个红球和n 个白球，从中一次性取出n 个球．规定取出k(0≤k ≤n)个红球得k 2分，设X 为一次性取球的得分，求X 的数学期望．2020届高三模拟考试试卷(三)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 254. y 2＝16x5. －26. 257. 138. －39. 16 10. 2或12 11. 312. [－1，－13] 13. 2±2 14. 52415. 解：(1) 连结AC 交BD 于一点O ，连结OE ，因为底面ABCD 是平行四边形， 所以点O 是AC 的中点．(1分) 因为点E 是AP 的中点，所以OE 是△PAC 的中位线，(2分) 所以OE ∥PC.(3分)因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE.(7分)(2) 因为平面PBD ⊥底面ABCD ，AB ⊥BD ，平面PBD ∩底面ABCD ＝BD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBD.(9分)因为PD ⊂平面PBD ，所以AB ⊥PD.(11分)因为PB ⊥PD ，PB ∩AB ＝B ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB.(14分)16. 解：(1) 在△ABD 中，AB ＝14，BD ＝6，则BA →·BD →＝BA·BD·cos B ＝14×6·cos B ＝66，得cos B ＝1114.(1分)在△ABC 中，sin B ＞0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（1114）2＝5314.(2分)又C ∈(0，π)，C ＞B ，则B ∈(0，π2)，则C －B ∈(0，π)．又cos(C －B)＞0，则C －B ∈(0，π2)，由cos(C －B)＝1314，则sin(C －B)＝1－cos 2（C －B ）＝1－（1314）2＝3314，(4分)则cos C ＝cos[B ＋(C －B)]＝cos B ·cos(C －B)－sin B ·sin(C －B) ＝1114×1314－5314×3314＝12.(6分) 又C ∈(0，π)，则C ＝π3.(7分)(2) 在△ACD 中，AD 2＝BA 2＋BD 2－2BA·BDcos B ＝142＋62－2×14×6×1114＝102，解得AD ＝10.(9分)由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∠ADB ∈(0，π)，得∠ADB ＝2π3，则∠ADC ＝π3.(10分)因为S ＝12CA →·CD →，即12CA ·CD ·sin C ＝12CA ·CD ·cos C ，得tan C ＝1，又C 为锐角，C ＝π4.(12分)在△ACD 中，因为AD ＝10，C ＝π4，∠ADC ＝π3，则由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin C ，即AC 32＝1022，解得AC ＝5 6.(14分)17. (1) 解：设椭圆左焦点的坐标为(－c ，0)(c ＞0)，由2a ＝4，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1.(2分)由b 2＝a 2－c 2＝3，则所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分) (2) ①解：若直线AB 的斜率不存在，则AB ＝3≠247，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k(x＋1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0， 则x 1＝－4k 2－6k 2＋14k 2＋3，x 2＝－4k 2＋6k 2＋14k 2＋3 (Ⅰ)，x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3 (Ⅱ)．(4分)(解法1)由椭圆的第二定义知AF 1AA 1＝12，则AF 1＝12AA 1＝12(x 1＋4)＝12x 1＋2. 同理BF 1＝2＋12x 2，(5分)则AB ＝AF 1＋BF 1＝4＋12(x 1＋x 2)＝4＋12·－8k 24k 2＋3＝247.(6分)解得k ＝±1，则直线l 1的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.(8分)(解法2)AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2（x 2－x 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|，(5分) 代入(Ⅰ)得AB ＝1＋k 2×12k 2＋14k 2＋3＝12（k 2＋1）4k 2＋3＝247.(下同解法1)(6分)②证明：当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A(－1，32)，B(－1，－32)，则A 1(－4，32)．又G(－52，0)，kA 1G ＝32－4＋52＝－1，k BG ＝32－52＋1＝－1.则kA 1G ＝k BG ，所以A 1，B ，G 三点共线(9分)当直线AB 的斜率存在时，A(x 1，y 1)，A 1(－4，y 1)，又G(－52，0)，要证A 1，B ，G 三点共线，因为kA 1G ＝y 1－32，k BG ＝y 2x 2＋52，只要证y 1－32＝y 2x 2＋52.(10分)即证k(x 1＋1)(2x 2＋5)＋3k(x 2＋1)＝0.(12分)即证2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝0，代入(Ⅱ)，因为24k 2－124k 2＋3＋5－8k 24k 2＋3＋8＝－32k 2－244k 2＋3＋8＝－8＋8＝0，所以A 1，B ，G 三点共线．综上所述，A 1，B ，G 三点共线．(14分)18. 解：(1) 过点M 作ME ⊥TO ，垂足为E ，过点N 作NF ⊥ME ，垂足为F ，过点G 作GI ⊥OD ，垂足为I.因为圆O 与矩形的三边PS ，SR ，QR 相切， 所以PS ＝130，SR ＝120，圆O 的半径r ＝60， 弧长MA ＝60(π2－α)．(1分)在Rt △MNF 中，MN ＝NF sin α＝OT －OE sin α＝70－60cos αsin α.(2分) 在Rt △OCG 中，OG ＝60sin α，(3分)CG ＝60tan α＝60cos αsin α，GR ＝60－60cos αsin α，(4分)所以l(α)＝70－60cos αsin α＋60(π2－α)＋60＋60sin α＋60－60cos αsin α＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π.(7分)答：将l 表示为α的函数l(α)＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π，α的取值范围是(π4，π2)．(8分)(2) l′(α)＝60cos 2α－130cos α＋60sin 2α＝10·（2cos α－3）（3cos α－2）sin 2α.(10分)令l′(α)＝0，解得cos α＝23或cos α＝32(舍去)．(12分)记cos α0＝23，a 0∈(π4，π2)．α (π4，α0) α0 (α0，π2) l′(α)l (α)递减 极小值递增 (14分)所以当cos α＝23时，l (α)最小．(15分)答：轨道总长度l 最小时，cos α的值为23.(16分)19. (1) 证明：当a ＝0时，f(x)＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，记F(x)＝f(x)－(x －1)＝ln x －x ＋1，令F′(x)＝1x －1＝1－x x ＝0，解得x ＝1.(1分)当x ∈(0，1)时，F ′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＜0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，(2分) 所以F(x)≤F(1)＝0，则f(x)≤x －1.(3分)(2) 解：由题知f′(x)＝1x ＋2ax －a ＝2ax 2－ax ＋1x ①.(4分)因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，令g(x)＝2ax 2－ax ＋1 ②，则方程g(x)＝0的两正根为x 1，x 2， 即x 1＝a －a 2－8a 4a ＞0，x 2＝a ＋a 2－8a4a＞0，等价于a ≠0，Δ＝a 2－8a ＞0 ③，x 1＋x 2＝12＞0 ④，x 1x 2＝12a ＞0 ⑤，解得a ＞8.(5分)令G(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＝ln x 1＋a(x 21－x 1)＋ln x 2＋a(x 22－x 2) ＝ln(x 1x 2)＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a(x 1＋x 2)， 将④⑤代入得G(a)＝ln12a －14a －1＝－ln(2a)－14a －1.(6分) 因为G(a)在a ∈(8，＋∞)上为减函数，则G(a)＜G(8)＝－ln 16－3.(7分) 由f(x 1)＋f(x 2)≤k 恒成立，则k 的取值范围是[－ln 16－3，＋∞)．(8分) (3) 解：当a ＜0时，显然f(1)＝0，所以f(x)至少有一个零点为1.(9分) 由(2)中②③⑤知，此时Δ>0，x 1＋x 2＝12＞0，x 1x 2＝12a ＜0，则x 1＜0＜x 2.因为f′(x)＝2ax 2－ax ＋1x ＝2a （x －x 1）（x －x 2）x，x －x 1＞0，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 2)上为增函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＜0，f(x)在(x 2，＋∞)上为减函数，所以f(x)max ＝f(x 2)．(10分) 因g(1)＝2a －a ＋1＝a ＋1，1° 当a ＝－1时，g(1)＝0，则x 2＝1，f(x)max ＝f(x 2)＝f(1)＝0，此时f(x)有且只有一个零点．(11分)2° 当a ＜－1时，g(1)＜0，则0＜x 2＜1，又由f(x)在(x 2，＋∞)上单调递减，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点是1.(12分)又a ＜－1，则0＜－1a ＜1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＜0，则0＜－1a ＜x 2.由(1)知当x ＞0且x ≠1时，f(x)＜x －1＋a(x 2－x)＝(ax ＋1)(x －1)，则f(－1a )＜0 ⑥.因为f(x)为连续函数，且在(0，x 2)上递增，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点， 所以当a ＜－1时，f(x)共有两个零点．(13分)3° 当－1＜a ＜0时，g(1)＞0，则x 2＞1，又由f(x)在(0，x 2)上为增函数，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点是1.(14分)又－1＜a ＜0，则－1a ＞1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＞0，则－1a ＞x 2.由⑥知，f(－1a )＜0，因为f(x)为连续函数，且在(x 2，＋∞)上为减函数，所以当－1＜a ＜0时，f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点， 此时f(x)共有两个零点．(15分)综上所述，当a ＝－1时，f(x)有且只有一个零点；当a ＜－1或－1＜a ＜0时，f(x)共有两个不同零点．(16分) 20. 解：在T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )中，令n ＝1，得b 1＝1.令n ＝2，得b 2＝2，则a 1＝b 2＝2，(1分)当n ≥2时，由S n ＝a n ＋1－a 1，则S n －1＝a n －a 1， 两式相减得S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＝a n ＋1－a n ，则a n ＋1a n＝2.(2分) 又由S n ＝a n ＋1－a 1，令n ＝1，得a 2a 1＝2，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n .(3分)(2) 当n ≥2时，由T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n ) ①，则T n －1＋b n －1＝n －1＋12(n －1)(1＋b n －1) ②，①－②得b n ＋b n －b n －1＝32＋12nb n －12(n －1)b n －1，(n －4)b n －(n －3)b n －1＋3＝0 ③.(4分)当n ≥3时，则(n －5)b n －1－(n －3)b n －2＋3＝0 ④， 两式相减得(n －4)b n －(2n －8)b n －1＋(n －4)b n －2＝0，所以当n ≥5时，b n ＋1＋b n －1＝2b n ，b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，(5分)由(1)知b 1＝1，b 2＝2，在①中令n ＝3，4，5，求得b 3＝3，b 4＝4，b 5＝5，b 6＝6，(6分) 所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }为首项为1，公差为1的等差数列，即b n ＝n.(7分) (3) 由(1)(2)得c n ＝a n b n ＝2nn，c n ＋1－c n ＝2n ＋1n ＋1－2n n ＝n2n ＋1－（n ＋1）2n n （n ＋1）＝（n －1）2nn （n ＋1）≥0，则c 2＝c 1，当n ≥2时，且c n －1＞c n .(9分)假设存在不同两项c i ，c j ，使c i ＋c j 仍是{c n }中的第k(1≤i ＜j ＜k ，i ，j ，k ∈N *)项， 即c i ＋c j ＝c k .由c i ＋c j ≤c j －1＋c j ＝2j －1j －1＋2j j ＝j2j －1＋（j －1）2j j （j －1）＝（3j －2）2j －1j （j －1）.(11分)又c k ≥c j ＋1＝2j ＋1j ＋1，(12分)则c k －(c i ＋c j )≥2j ＋1j ＋1－（3j －2）2j －1j （j －1）＝j （j －1）2j ＋1－（j ＋1）（3j －2）2j －1j （j －1）（j ＋1）＝（j 2－5j ＋2）2j －1j （j －1）（j ＋1）. 当j ≥5时，c k －(c i ＋c j )＞0，c i ＋c j ＝c k 无解．(14分) 又c 1＝2，c 2＝2，c 3＝83，c 4＝4，c 5＝325，c 6＝643，当j ＝2，3，4，5时，只存在不同两项c 1，c 2，使得c 1＋c 2＝c 4.综上所述，存在i ＝1，j ＝2，使得c 1＋c 2＝c 4.(16分)2020届高三模拟考试试卷(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：依题意，[1234][x1]＝[y －2y ]，即{x ＋2＝y －2，3x ＋4＝y ，解得{x ＝0，y ＝4.(4分)设逆矩阵M －1＝[a bcd]，由MM －1＝[1001]得a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，(7分)则逆矩阵M －1＝[－2 132－12]，(8分)所以M －1[xy ]＝[－2 132－12][04]＝[ 4－2]．(10分)B. 解：由θ＝π4，得曲线C 1的直角坐标系的方程为x －y ＝0.(4分)由{x ＝cos α，y ＝sin 2α，得曲线C 2的普通方程为x 2＋y ＝1(－1≤x ≤1)．(8分) 由{x －y ＝0，x 2＋y ＝1，得x 2＋x －1＝0，即x ＝1－52(舍去)或x ＝－1＋52，所以曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(－1＋52，－1＋52)．(10分)C. 解：f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，(2分) 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，则k ＝3.(3分)因为a ＋b ＋c ＝3，则由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，(6分) 所以a 2＋b 2＋c 2≥（a ＋b ＋c ）23＝3，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，(8分) 此时a 2＋b 2＋c 2的最小值为3.(10分)22. (1) 解：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由{y 2＝2px ，y ＝－x ＋1，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.(1分) 因为p ＞0，所以Δ1＝4(p 2＋2p)＞0，x 1＝p ＋1－p 2＋2p ，x 2＝p ＋1＋p 2＋2p.(2分)由MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|＝22p 2＋2p ＝26，解得p ＝1.(3分) 所以抛物线的方程为y 2＝2x ①.(4分)(2) 证明：设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由于直线l 过Q(0，t)(t ≠0)，点C(x 0，0)， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ②.②代入①消去x ，得ky 2－2py ＋2pt ＝0，Δ2＝4p 2－8kpt ＞0，y 3＝p －p 2－2kpt k ，y 4＝p ＋p 2－2kpt k ，则y 3＋y 4＝2p k ③，y 3y 4＝2pt k④.(7分)又QA →＝(x 3，y 3－t)，AC →＝(x 0－x 3，－y 3)，OB →＝(x 4，y 4－t)，BC →＝(x 0－x 4，－y 4)，由QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，则{y 3－t ＝－my 3，y 4－t ＝－ny 4，所以⎩⎨⎧m ＝t y 3－1，n ＝t y 4－1，(8分)则m ＋n ＝t y 3＋ty 4－2＝t y 3＋y 4y 3y 4－2，(9分)将③④代入得m ＋n ＝t 2pk2pt k－2＝－1为定值．(10分)23. 解：(1) 因为已知等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n ， 令n ＝1 010，得(1＋x)1 010(1＋x)1 010＝(1＋x)2 020， 等式右边展开式含x 1 010项的系数为C 1 0102 020.而等式左边展开式含x 1 010的系数为(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2，所以(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2＝C 1 0102 020.(3分)(2) X 的可能取值为0，12，22，…，k 2，…，n 2，且X 的分布表如下(5分)因为C k n＝n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！k （k －1）！（n －k ）！＝n k （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n k C k －1n －1.(7分) E(X)＝∑nk ＝0k 2C k n C n －k n C n 2n＝∑n k ＝0k 2C k n C k n C n 2n ＝1C n 2n ∑n k ＝0(kC k n )2＝1C n 2n ∑n k ＝1(n·C k－1n －1)2＝n 2C n 2n ∑n k ＝1(C k －1n －1)2 ＝n 2C n 2n ∑n k ＝1C k －1n －1C n －k n －1＝n 2C n 2nC n －12n －2＝n 2（2n －2）！（n －1）！（n －1）！（2n ）！n ！n ！＝n 34n －2， 所以X 的数学期望E(X)＝n 34n －2.(10分)。
江苏省2020年高考数学一模试卷(理科)(II)卷
江苏省 2020 年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2018 高二上·福州期末) 已知集合 A＝，B＝，则 A∩B 等于（ ）A . [1,3]B . [1,5]C . [3,5]D . [1，＋∞)2. （2 分） (2017·延边模拟) 若复数 x 满足（3+4i）x=|4+3i|，则 x 的虚部为（ ）A. B . ﹣4C.﹣ D.43. （2 分） (2020·长春模拟) 已知等差数列 的前 项和为 ，，，则（）A. B. C. D. 4. （2 分） (2016 高二下·红河开学考) 执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 （）第 1 页 共 13 页A.5 B.3 C.2 D.1 5. （2 分） (2016 高二下·金堂开学考) 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下 列命题正确的是（ ） A . 若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B . 若 m∥n，m⊂ α，n⊂ β，则 α∥β C . 若 α⊥β，m⊥β，则 m∥α D . 若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β 6. （2 分） (2013·上海理) （1+x）10 的二项展开式中的一项是（ ） A . 45x B . 90x2 C . 120x3 D . 252x4第 2 页 共 13 页7. （2 分） (2019 高二下·绍兴期中) 已知向量 ， 满足，，且向量 ， 的夹角为 ，若与 垂直，则实数 的值为（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A . 72 B . 66 C . 60 D . 309. （2 分） 设变量 x，y 满足约束条件 A.2， 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为（ ）第 3 页 共 13 页B.4 C.5 D . 20 10. （2 分） 已知正四面体 ABCD 的棱长为 ，则其外接球的体积为（ ） A. πB.πC. π D . 3π11. （2 分） (2018 高二下·柳州月考) 已知左顶点和的右焦点，，若为双曲线 ，则双曲线右支上一点， 的离心率为（ ）A.B.C.D.分别为双曲线12. （2 分） (2019·哈尔滨模拟) 若函数与图像的交点为,，…， A.2 B.4 C.6 D.8，则（）第 4 页 共 13 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高一上·杭州期末) 若，，则14. （1 分） 抛物线的方程为 x=2y2 ， 则抛物线的焦点坐标为________________15. （1 分） (2016 高二上·清城期中) 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+ ），则 an=________．16. （1 分） (2019 高一下·汕头月考) 已知函数 恒成立，则实数 的取值范围是________．三、 解答题 (共 7 题；共 85 分)，若对任意的17. （15 分） (2018 高三上·天津月考) 设函数．（1） 求函数的最小正周期．（2） 求函数的单调递减区间；（3） 设为的三个内角，若，，且 为锐角，求．18. （15 分） (2019 高三上·深圳月考) 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于 圆 O 所在的平面，且 PO＝OB＝1.（1） 若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC⊥平面 PDO； （2） 求三棱锥 P－ABC 体积的最大值；（3） 若，点 E 在线段 PB 上，求 CE＋OE 的最小值．19. （15 分） (2020 高三上·潍坊期中) 2020 年 10 月 16 日，是第 40 个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平第 5 页 共 13 页海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 YC-801 测产，亩产超过 648.5 公斤， 通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 表：，其质量指标等级划分如下质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了 1000 件， 将其质量指标值 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 3 件产品，记“抽出的产品中至少有 1 件不是废品”为事件 ， 求事件 发生的概率；（2） 若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3 件产品，求质量指标值的件数 的分布列及数学期望；（3） 若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表：质量指标值利润 （元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.第 6 页 共 13 页20. （10 分） (2020 高二上·建瓯月考) 已知动点 与平面上点 （1） 试求动点 的轨迹方程 .（2） 设直线与曲线 交于 、 两点，当21. （10 分） (2017 高三上·长葛月考) 已知函数，，的距离之和等于.时，求直线的方程. .（1） 当时，比较与的大小；（2） 设，若函数在上的最小值为22. （10 分） (2017 高二下·曲周期末) 选修 4-4：坐标系与参数方程，求 的值.在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线），以坐标原点 o 为极（1） 若直线 l 曲线 相交于点 ， ，，证明：为定值；（2） 将曲线 上的任意点内接矩形周长的最大值.作伸缩变换后，得到曲线 上的点23. （10 分） (2020·安徽模拟) 已知函数.（1） 求不等式 （2） 若不等式的解集； 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.，求曲线 的第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 85 分)17-1、 17-2、 17-3、 18-1、 18-2、第 9 页 共 13 页18-3、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷一(含附加题)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________． 2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2-4y=0的一条对称轴，则a=________． 6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，直线:l y =与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1，则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅=⋅+________．二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求cos2β；（Ⅱ）求tan()αβ+的值．16．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AE平面PDC ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BC ．17．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为8dm （圆心O 在弓形EMF 内），23EOF π∠=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），ADBC ，且点A ，D 在EF 上，设2AOD α∠=．（Ⅰ）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于α的函数关系式（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos α的值．18．已知点52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，12,A A 分别为E 的左、右顶点，直线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2，CA 2分别与直线l 交于P ，Q两点，以PQ 为直径的圆过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭，求直线m 的方程．19．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当x>1时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，若*n a N ∈，且1, (1,2,3,)23,nn n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数是奇数，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为S n ． （Ⅰ）若a 1=10，求S 3n 的值； （Ⅱ）若S 3=17，求a 1的值；（Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换] 给定矩阵3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（Ⅰ）求矩阵A 的特征值；（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的方程1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．C ．[选修4-5：不等式选讲]若m ，n 都是正数，且存在实数x 使得11|14||12|x x m n ⎛⎫--+≤-+ ⎪⎝⎭成立，求m+n 的最小值．【必做题】第22题、第23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．设1002100012100(2)a a x a x a x =++++，求下列各式的值：（Ⅰ）求a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布()2,15.2N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；（Ⅱ）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （1<n<20且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=， (22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Y μσμσ-<<+=， 40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ答案二．解答题15解：（Ⅰ）由224cos 212sin 125ββ=-=-⨯=⎝⎭． （Ⅱ）由in 0,2s πββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得：cos β=． 由sin )ααβ+得 sin[()])αββαβ+-=+ sin()cos())αβαβαβ⇒+-+=+ ))αβαβ+=+ tan()2αβ⇒+=-．16．解：（Ⅰ）取PC 的中点F ，连接EF ，FD ∵E 是PB 的中点 ∴1,2EF BC EF BC =又1,2ADBC AD BC =∴EF AD ，EF=AD ．即四边形ADFE 为平行四边形． 又∵AE DF ，DF ⊂平面 PCD ，AE ⊄平面PCD ∴AE 平面PCD（Ⅱ）∵PD=DC ，显然DF ⊥PC ． 又∵ PD ABCDPD BC BC ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面， 又∵CD ⊥BC ，CD∩PD=D ∴BC ⊥平面PCD 又∵DF ⊂平面PCD ∴BC ⊥DF 又∵BC∩PC=C ∴DF ⊥平面PBC 又∵AE//DF ∴AE ⊥平面PBC 又∵BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥BC ． 17．解：（Ⅰ）设矩形ABCD 的面积为S ，AOM α∠=． 当03πα<<时（图1），8cos 8cos8cos 4,28sin 16sin 3AB AD παααα=+=+=⨯=此时，16sin (8cos 4)64(sin 2sin cos )S AB AD ααααα=⋅=⨯+=+.当233ππα≤<时（图2），28cos 16cos ,28sin 16sin AB AD αααα=⨯==⨯=此时，16sin 16cos 128sin2S AB AD ααα=⋅=⨯=．故矩形ABCD 的面积为64(sin 2sin cos ),032128sin 2,33S πααααππαα⎧+<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩（Ⅱ）当03πα<<时，()()222'64cos 2cos 2sin 644cos cos 2S ααααα=+-=+-．令'0S =，得cos α=0α． 当()00,αα∈，0S '>，此时S 单调递增；当0,3παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0S '<，此时S 单调递减；故当0αα=时，S 取极大值． 当233ππα≤<时，128sin2S α=是单调递减． 故当0αα=时，即cos α=18．解：（Ⅰ）由题意知，224251955533229a b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，得：2295a b ⎧=⎨=⎩． 所求椭圆方程22195a y +=．（Ⅱ）设()()11222,,,,(3,0)B x y C x y A BC 直线方程：x=ky+2，与抛物线方程联立 222195x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()225920250k y ky ++-= 由韦达定理，12212220592559k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由条件，BA 2直线方程：1(3)y k x =-， 令92x =，得：132P k y =，139,22k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由条件，CA 2直线方程：2(3)y k x =-， 令92x =，得：232Q k y =，239,22k Q ⎛⎫⎪⎝⎭．∴以PQ 为直径的圆的方程2123330222k k x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：()2212123390224x y k k y k k ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭（*）12121212123311y y y y k k x x ky ky +=+=+---- ()()2212122212122225202210595925201315959k k ky y y y k k k k k y y k y y k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⋅⎝⎭. 12121212123311y y y y k k x x ky ky =⋅=⋅----()2122212122225255925201915959y y k k k y y k y y k k k k ⋅+===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.将12k k +，12k k 带入式（*），得： 223255024x y ky ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭． 将3,12⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2120k =，∴21220x y =+．即所求直线m 方程20x-21y-40=0． 19.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 22212(22)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++． 令2(22)10x a x +-+=，则2(22)44(2)a a a ∆=--=-． （1）当02a ≤≤时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （2）当a<0时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （3）当a>2时，'()0f x =，得1,21x a =-此时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+；综上所述，a≤2时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间； a>2时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）a≤2时，()f x 在(0,)+∞单调递增． ∵x≥1时，∴()(1)0f x f >=，符合题意．（2）a>2时，111a a -<-()f x 在(1,1a -+单调递减，(1)a -+∞单调递增．∴()(1(1)0f x f a f =-<=最小值，不符合题意．（15分） ∴实数a 的取值范围(,2]-∞．20．解：（Ⅰ）当a 1=10时，{a n }中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…， 所以S 3n =7n+16．（Ⅱ）（1）若a 1是奇数，则a 2=a 1+3是偶数，213322a a a +==， 由S 3=17，得()11133172a a a ++++=，解得a 1=5，适合题意． （2）若a 1是偶数，不妨设()*12a k k =∈N ，则122a a k ==． 若k 是偶数，则2322a k a ==， 由S 3=17，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则a 3=k+3，由S 3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上，15a =．（Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a ≤成立． 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >， 则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<． 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立．经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3， 综上，{}n a 中总有一项为1或3． 21【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ）A 的特征多项式为 231||(3)1(4)(2)13λλλλλλ---==--=----A E所以A 的特征值为12λ=，24λ=．（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31121213121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31141413141-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．所以111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由题意知，直线l 过点(1,0)P ，且倾斜角6π， 直线l的参数方程：112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）；由24cos 4cos cos 4sin sin 333πππρθρρθρθ⎛⎫=+⇒=- ⎪⎝⎭222220(1)(4x y x x y ⇒+-+=⇒-++=将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22142t ⎫⎛++=⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理，得210t -=，由韦达定理得：12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩∴12||||||AB PA PB t t =+=-==．C ．[选修4-5：不等式选讲]解：设122,411()|41||21|6,24122,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当14x =，min 3()2f x =-．由题意，min 11()f x m n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即1132m n ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，1132m n +≤．11()2224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭．48113m n m n ∴+≥≥+. 当且仅当m=n 时，m+n 的最小值83．【必做题】22．解：（Ⅰ）10002a =．（Ⅱ）令x=1，得1000123100(2a a a a a -=+++++；令x=-1，得1000123100(2a a a a a +=-+-++；∴()()22024********a a a a a a a a ++++-++++()()01231000123100a a a a a a a a a a =+++++-+-++100100(2(2=⋅+1=．23．解： （Ⅰ）2156251235184522552265127548529554.8100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；(54.815.254.815.2)(39.670)0.6826P Z P Z ∴-<<+=<<=．故1(39.670)10.6826(70)0.158715.87%22P Z P Z -<<-≥====．（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为110，n 的可能取值为2，4，5，10．当{2,4,5,10}n ∈时，1~,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于某组n 个人，化验次数Y 的可能值为：1，n+19(1)10n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9(1)110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 999()1(1)11101010n n n E Y n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 则20人的化验总次数为20919()12011010n n f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 经计算(2)13.8,(4)11.8,(5)12.2,(10)15f f f f ≈≈≈≈当n=4时符合题意，按4人一组检测，可使化验总次数最少．。
江苏省2020年高考数学一模试卷(理科)A卷
江苏省2020年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知a，b，c∈R，命题“若，则”的否命题是（）A . 若a+b+c≠3，则<3B . 若a+b+c=3，则<3C . 若a+b+c≠3，则≥3D . 若≥3，则a+b+c=33. （2分）下列函数中，与函数定义域相同的函数为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·吉林期中) 的值为（）A .B .C .D .5. （2分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A . （1，1.25）B . （1.25，1.5）C . （1.5，2）D . 不能确定6. （2分）设a=lnπ，b=logπe，c=logtan1sin1，则（）A . c＞b＞aB . b＞c＞aC . a＞c＞bD . a＞b＞c7. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是（）A .B . 2C . 1< ≤ 2D . ≤ l或 >28. （2分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A . y=ln（x2+1）B . y=﹣x2cosxC . y=﹣lg|x|D . y=（）x9. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·普兰期中) 已知函数，若，则的值是（）．A .B .C .D .11. （2分）关于x的方程（m+3）x2﹣4mx+2m﹣1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围为（）A . （﹣3，0）B . （0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）D . （﹣∞，0）∪（3，+∞）12. （2分） (2019高一上·重庆月考) 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2016高一下·浦东期中) 计算：log3 +log32﹣log3 =________．14. （2分） (2020高二下·奉化期中) 已知函数，则函数的值域为________ ；若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________.15. （1分） (2015高三上·驻马店期末) 已知f（x）=lg（100x+1）﹣x，则f（x）的最小值为________．16. （2分） (2020高二下·宁波期中) 设曲线在点处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.三、解答题 (共8题；共75分)17. （5分） (2017高二上·右玉期末) 已知p：＜x＜．q：x（x﹣3）＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. （15分） (2019高一上·伊春期中) 已知函数，，其中且，．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求关于的不等式的解集．19. （5分） (2020高二下·河南月考) 已知函数，其导函数的两个零点为和 .（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）求函数在区间上的最值.20. （10分）已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh （x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．21. （15分） (2019高三上·涪城月考) 已知函数 .（1）解关于的不等式：；（2）当时，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在,说明理由；（3）若是使恒成立的最小值，试比较与的大小（）.22. （10分） (2015高三上·日喀则期末) 如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE 的平分线和AE、BE分别交于点C，D（1）求证：CE=DE；（2）求证：．23. （5分）(2017·邯郸模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 ， C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．24. （10分） (2018高三上·西安模拟) 已知函数和的图象关于原点对称，且 .（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
江苏省2020版高考数学一模试卷(理科)(I)卷(考试)
江苏省2020版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={5，a2﹣3a+5}，N={1，3}，若M∩N≠∅，则实数a的值为（）A . 1B . 2C . 4D . 1或22. （2分） (2018高二下·定远期末) 设复数 z 满足，则=（）A .B .C .D . 23. （2分） (2017高一上·漳州期末) 设向量 =（1，7）， =（﹣3，4），则向量在方向上的投影是（）A . 5B .C . 5D . ﹣54. （2分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A . -2B . 0.0625C . 0.25D . 45. （2分）若函数在区间内单调递增，则a取值范围是（）A . [， 1)B . [， 1)C . (，D . (1，)6. （2分）(2018·河北模拟) 设，满足约束条件，则的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·唐山模拟) 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·定州开学考) 如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤ ）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变9. （2分） (2020高二下·广州期末) 在展开式中，二项式系数的最大值为m，含的系数为n，则（）A . 3B . 4C .D .10. （2分）已知命题p:命题q:, 则下列判断正确的是（）A . p是真命题B . q是假命题C . 是假命题D . 是假命题11. （2分）设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A . 0.2B . 0.3C . 0.4D . 0.512. （2分） (2020高二下·呼和浩特月考) 若是函数的极值点，则的极小值为（）．A . -1B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·丰台期末) 设函数如果f（1）=1，那么a的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·佛山期末) 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为________．15. （1分） (2018高一下·鹤壁期末) 如图，在中，，，，是边上的一点，脯，则的值为________．16. （1分）(2019·和平模拟) 已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线的焦点，点的极坐标为，曲线上有某点，使得取得最小值，则点的坐标为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高三上·太原期末) 已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3 ，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=log3（an•an+1）（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Sn ．18. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣G的余弦值．19. （5分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）20. （10分）(2017·镇江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21. （15分） (2017高三上·静海开学考) 已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求证：x1x2＞2e2 ．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）22. （10分）(2017·大连模拟) 已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．23. （10分）已知函数f（x）=|2x﹣4|．（1）解不等式f（x）+f（1﹣x）≤10；（2）若a+b=4，证明：f（a2）+f（b2）≥8．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
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2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
一、填空题（共14题，共70分）
1．已知集合A＝{x|x
2
﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝ {1，2} ．
2．设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝ ．
3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 25 ．
4．顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 y
2
＝16x ．
5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，
若直线l
1∥l2
，则m＝ ﹣2 ．
6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列
的概率是 ．
7．若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为 13 ．
8．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为
原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝ ﹣ ．
9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C
1
上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为 ．
2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
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10．等比数列{an}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝ 2或 ．
11．记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的
值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是 3 ．
12．已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤
f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是 [﹣1，﹣] ．
13．过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y
2
＝1的一条切线，切点为A，若存在定点
B（x0，y0），使得PA＝PB恒成立，则x0﹣y0＝ 2± ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，
y）满足（•）×（•）＝﹣1，则的最大值为 ．
二．解答题（共6小题，共90分）
15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥
PD，平面PBD⊥底面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：PD⊥平面PAB．
16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，．
2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
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（1）若C＞B，且cos（C﹣B）＝，求角C；
（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．
17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l
的方程为x＝﹣4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l
1过椭圆E的左焦点F1
，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直
线l
1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（，0），求证：A1
，B，G
三点共线．
18．某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，
宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，
D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段
PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点
M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接
着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装
置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．
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（1）试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围；
（2）求l最小时cosα的值．
19．已知函数f（x）＝lnx+a（x
2
﹣x）（a∈R）．
（1）当a＝0，证明：f（x）≤x﹣1；
（2）如果函数f（x）有两个极值点x
1，x2（x1＜x2），且f（x1）+f（x2
）＜k恒成立，求
实数k的取值范围；
（3）当a＜0时，求函数f（x）的零点个数．
20．已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1﹣a1；数列{bn}的前n项和为Tn，
且满足T
n+bn＝n+，b4＝4，且a1＝b2
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）求数列{b
n
}的通项公式；
（3）设cn＝，问：数列{cn}中是否存在不同两项ci，cj（1≤i＜j，i，j∈N*），使c
i+cj
仍是数列{c
n
}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．
【选做题】（3选2，每题10分）
21．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y
﹣2，y），求M﹣1．
22．已知曲线C1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴
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建立平面直角坐标系，曲线C
2的参数方程为，（α为参数），求曲线C1
与曲
线C
2
交点的直角坐标．
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|的最小值为k，且a+b+c＝k，求a2+b2+c
2
的最小值．
【必做题】（每题10）
24．22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y
2
＝2px（p＞0）．
（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；
（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝
m，＝n，求证：m+n为定值．
25．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）
2n
＝
（1+x）n（1+x）n可得，等式左边xk的系数为（0≤k≤n），等式右边xk项系数为
，所以我们得到组合数恒等式：
＝．
（1）化简：（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2；
（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0
≤k≤n）个红球得k2分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．