2013年高考理科数学江苏卷word解析版
2013年高考理数真题试卷(江苏卷)及解析

第1页,总14页…………装…………○…___________姓名:___________班级…………装…………○…2013年高考理数真题试卷(江苏卷)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题(题型注释)1.函数y=3sin (2x+ π4 )的最小正周期为 .2.设z=(2﹣i )2(i 为虚数单位),则复数z 的模为 .3.双曲线 x 216−y 29=1 的两条渐近线方程为 .则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .5.现在某类病毒记作X m Y n , 其中正整数m ,n (m≤7,n≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .6.如图,在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1 , 三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2 , 则V 1:V 2= .7.抛物线y=x 2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x+2y 的取值范围是 .8.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC上的点,AD= 12 AB ,BE= 23BC ,若 DE → =λ1 AB → +λ2AC →(λ1 , λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .9.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为d 1 , F 到l 的距离为d 2 , 若d 2= √6d 1 ,则椭圆C 的离心率为 .答案第2页,总14页装…………○………※要※※在※※装※※订※※线※装…………○………10.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y= 1x (x >0)图象上一动点,若点P ,A 之间的最短距离为2 √2 ,则满足条件的实数a 的所有值为 . 11.在正项等比数列{a n }中, a 5=12 ,a 6+a 7=3,则满足a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为 .二、解答题(题型注释)12.设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d≠0),S n 是其前n 项和.记b n = nSnn 2+c ,n∈N * ,其中c 为实数.(1)若c=0,且b 1 , b 2 , b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n∈N *); (2)若{b n }是等差数列,证明:c=0.13.设函数f (x )=lnx ﹣ax ,g (x )=e x ﹣ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+∞)上是单调减函数,且g (x )在(1,+∞)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.14.如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ,AC 经过圆心O ,且BC=2OC . 求证:AC=2AD .15.已知矩阵A= [−1002] ,B= [126] ,求矩阵A ﹣1B . 16.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 {x =t +1y =2t( 为参数),曲线C 的参数方程为 {x =2t 2y =2t(t 为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.17.已知a≥b>0,求证:2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b .第3页,总14页○…………线…………○…_○…………线…………○…18.如图,在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA 1=4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值; (2)求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值.19.设数列{a n }:1,﹣2,﹣2,3,3,3,﹣4,﹣4,﹣4,﹣4,…, (−1)k−1k,⋯,(−1)k−1k ︷k 个 ,…,即当(k−1)k 2 <n≤ (k+1)k 2(k∈N *)时, a n =(−1)k−1k .记S n =a 1+a 2+…+a n (n∈N ∗).对于l∈N ∗ , 定义集合P l =﹛n|S n 为a n 的整数倍,n∈N ∗ , 且1≤n≤l}(1)求P 11中元素个数;(2)求集合P 2000中元素个数.答案第4页,总14页参数答案1.π【解析】1.解:∵函数表达式为y=3sin (2x+ π4 ), ∴ω=2,可得最小正周期T=| 2πω |=| 2π2 |=π 所以答案是:π 2.5【解析】2.解:z=(2﹣i )2=4﹣4i+i 2=3﹣4i . 所以,|z|= √32+(−4)2=5. 所以答案是5. 3.y =±34x【解析】3.解:∵双曲线 x 216−y 29=1 的a=4,b=3,焦点在x 轴上而双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的渐近线方程为y=± ba x ∴双曲线 x 216−y 29=1 的渐近线方程为 y =±34x所以答案是: y =±34x4.2【解析】4.解:由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为: 甲:87,91,90,89,93; 乙:89,90,91,88,92;x 甲¯=87+91+90+89+935=90 , x 乙¯=89+90+91+88+925=90 .方差 S 甲2=(87−90)2+(91−90)2+(90−90)2+(89−90)2+(93−90)25=4 =4.S 乙2=(89−90)2+(90−90)2+(91−90)2+(88−90)2+(92−90)25=2 =2.所以乙运动员的成绩较稳定,方差为2. 所以答案是2.【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识,掌握标准差和方差越大,数据的离散程度越大;标准差和方程为0时,样本各数据全相等,数据没有离散性;方差与原始数据单位不同,解决实际问题时,多采用标准差.第5页,总14页…○…………外…………○…………装…………○……学校:___________姓名:___________班级:__…○…………内…………○…………装…………○…… 5.2063【解析】5.解:m 取小于等于7的正整数,n 取小于等于9的正整数,共有7×9=63种取法. m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况, 则m ,n 都取到奇数的方法种数为4×5=20种. 所以m ,n 都取到奇数的概率为 4×57×9=2063 . 所以答案是 2063 .6.1:24【解析】6.解:因为D ,E ,分别是AB ,AC 的中点,所以S △ADE :S △ABC =1:4, 又F 是AA 1的中点,所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍. 即三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的高是三棱锥F ﹣ADE 高的2倍. 所以V 1:V 2= 13S △ADE ⋅ℎS△ABC ⋅H=124 =1:24.所以答案是1:24. 7.[﹣2, 12 ]【解析】7.解:由y=x 2得,y′=2x,所以y′|x=1=2,则抛物线y=x 2在x=1处的切线方程为y=2x ﹣1.令z=x+2y ,则 y =−12x =z2.画出可行域如图,所以当直线 y =−12x =z2过点(0,﹣1)时,z min =﹣2.过点( 12,0 )时, z max =12 . 所以答案是[﹣2, 12 ].答案第6页,总14页……○…………订…………○…………线※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…………线【考点精析】根据题目的已知条件,利用基本求导法则的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 8.12【解析】8.解:由题意结合向量的运算可得 DE →= DB →+BE →= 12AB →+23BC →=12AB →+23(BA→+AC →)= 12AB→−23AB→+23AC →=−16AB→+23AC →又由题意可知若 DE →=λ1 AB →+λ2 AC →, 故可得λ1= −16 ,λ2= 23 ,所以λ1+λ2= 12所以答案是: 12【考点精析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的相关知识点,需要掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使才能正确解答此题.9.√33【解析】9.解:如图,准线l :x= a 2c ,d 2= a 2c−c =b 2c, 由面积法得:d 1= bca , 若d 2= √6d 1 ,则 b 2c=√6×bca ,整理得 √6a 2﹣ab ﹣ √6b 2 =0,两边同除以a 2, 得 √6 (b a )2 +( ba )﹣ √6=0,解得b a =√63.∴e= √1−(b a )2= √33 .第7页,总14页○…………外…………○………装…………○…………订…………………线…………○…学__________姓名:___________班级:___________考号:_________○…………内…………○………装…………○…………订…………………线…………○…所以答案是: √33.10.﹣1或 √10【解析】10.解:设点P (x,1x )(x >0) ,则|PA|===,令 t =x +1x ,∵x>0,∴t≥2,令g (t )=t 2﹣2at+2a 2﹣2=(t ﹣a )2+a 2﹣2,①当a≤2时,t=2时g (t )取得最小值g (2)=2﹣4a+2a 2= (2√2)2,解得a=﹣1; ②当a >2时,g (t )在区间[2,a )上单调递减,在(a ,+∞)单调递增,∴t=a,g (t )取得最小值g (a )=a 2﹣2,∴a 2﹣2= (2√2)2,解得a= √10 . 综上可知:a=﹣1或 √10 . 所以答案是﹣1或 √10 .11.12【解析】11.解:设正项等比数列{a n }首项为a 1 , 公比为q ,由题意可得,解之可得:a 1= 132 ,q=2,故其通项公式为a n = 132×2n−1=2n ﹣6 .记T n =a 1+a 2+…+a n =132(1−2n )1−2=2n −125,S n =a 1a 2…a n =2﹣5×2﹣4…×2n ﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6= 2(n−11)n2 .答案第8页,总14页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○由题意可得T n >S n , 即 2n −125> 2(n−11)n2 ,化简得:2n﹣1> 212n 2−112n+5 ,即2n﹣ 212n 2−112n+5 >1,因此只须n > 12n 2−112n +5 ,即n 2﹣13n+10<0解得13−√1292 <n < 13+√1292, 由于n 为正整数,因此n 最大为 13+√1292的整数部分,也就是12.所以答案是:12【考点精析】关于本题考查的解一元二次不等式和等差数列的前n 项和公式,需要了解求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边;前n 项和公式:才能得出正确答案.12. (1)证明:若c=0,则a n =a 1+(n ﹣1)d , S n =n[(n−1)d+2a]2, b n=nS n n 2=(n−1)d+2a2. 当b 1,b 2,b 4成等比数列时,则 b 22=b 1b 4 ,即: (a+d 2)2=a(a +3d2) ,得:d 2=2ad ,又d≠0,故d=2a .因此: S n =n 2a , S nk =(nk)2a =n 2k 2a , n 2S k =n 2k 2a . 故: S nk =n 2S (k ,n∈N*).(2) 证明: b n =nS n n 2+c=n 2(n−1)d+2a2n 2+c=n 2(n−1)d+2a 2+c (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c= (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c. ①若{b n }是等差数列,则{b n }的通项公式是b n =A n +B 型. 观察①式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:c(n−1)d+2a2n 2+c,即 c(n−1)d+2a2,而(n−1)d+2a2≠0 ,故c=0.经检验,当c=0时{b n }是等差数列.第9页,总14页…○…………线…………____…○…………线…………【解析】12.(1)写出等差数列的通项公式,前n 项和公式,由b 1 , b 2 , b 4成等比数列得到首项和公差的关系,代入前n 项和公式得到S n , 在前n 项和公式中取n=nk 可证结论; (2)把S n 代入 b n =nS nn 2+c中整理得到b n = (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c,由等差数列的通项公式是a n =An+B 的形式,说明c(n−1)d+2a2n 2+c=0 ,由此可得到c=0.【考点精析】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等比关系的确定的相关知识点,需要掌握前n 项和公式:;等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能正确解答此题.13.(1)解:求导数可得f′(x )= 1x ﹣a∵f(x )在(1,+∞)上是单调减函数,∴ 1x ﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立, ∴a≥ 1x ,x∈(1,+∞).∴a≥1.令g′(x )=e x ﹣a=0,得x=lna .当x <lna 时,g′(x )<0;当x >lna 时,g′(x )>0. 又g (x )在(1,+∞)上有最小值,所以lna >1,即a >e . 故a 的取值范围为:a >e .(2)解:当a≤0时,g (x )必为单调函数;当a >0时,令g′(x )=e x ﹣a >0,解得a <e x ,即x >lna ,因为g (x )在(﹣1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有lna≤﹣1,即0< a ≤1e .结合上述两种情况,有 a ≤1e.①当a=0时,由f (1)=0以及f′(x )= 1x >0,得f (x )存在唯一的零点;②当a <0时,由于f (e a )=a ﹣ae a =a (1﹣e a )<0,f (1)=﹣a >0,且函数f (x )在[e a ,1]上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f′(x )= 1x ﹣a >0,故f (x )在(0,+∞)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.③当0<a≤ 1e 时,令f′(x )= 1x ﹣a=0,解得x= 1a .当0<x < 1a 时,f′(x )>0,当x > 1a 时,f′(x )<0,所以,x= 1a 是f (x )的最大值点,且最大值为f ( 1a )=﹣lna ﹣1. (i )当﹣lna ﹣1=0,即a= 1e 时,f (x )有一个零点x=e ;答案第10页,总14页……外…………○……※※请※……内…………○……(ii )当﹣lna ﹣1>0,即0<a < 1e 时,f (x )有两个零点;实际上,对于0<a < 1e ,由于f ( 1e )=﹣1﹣ ae <0,f ( 1a )>0,且函数f (x )在[ 1e ,1a ]上的图象不间断,所以f (x )在( 1e ,1a )上存在零点.另外,当0<x < 1a 时,f′(x )= 1x ﹣a >0,故f (x )在(0, 1a )上时单调增函数,所以f (x )在(0, 1a )上只有一个零点. 下面考虑f (x )在( 1a ,+∞)上的情况,先证明f ( 1e a )=a ( 1a 2−e1a )<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x ﹣x 2,则h′(x )=e x ﹣2x ,再设l (x )=h′(x )=e x ﹣2x ,则l′(x )=e x ﹣2.当x >1时,l′(x )=e x ﹣2>e ﹣2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+∞)上时单调增函数;故当x >2时,h′(x )=e x ﹣2x >h′(2)=e 2﹣4>0,从而h (x )在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x ﹣x 2>h (e )=e e ﹣e 2>0,即当x >e 时,e x >x 2 当0<a < 1e ,即 1a >e时,f ( 1e a )= 1a −ae 1a =a ( 1a 2−e1a )<0,又f ( 1a )>0,且函数f (x )在[ 1a , 1e a ]上的图象不间断,所以f (x )在( 1a , 1e a )上存在零点. 又当x > 1a 时,f′(x )= 1x ﹣a <0,故f (x )在( 1a ,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在( 1a ,+∞)上只有一个零点.综合(i )(ii )(iii ),当a≤0或a= 1e 时,f (x )的零点个数为1,当0<a < 1e 时,f (x )的零点个数为2.【解析】13.(1)求导数,利用f (x )在(1,+∞)上是单调减函数,转化为 1x ﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,利用g (x )在(1,+∞)上有最小值,结合导数知识,即可求得结论;(2)先确定a 的范围,再分类讨论,确定f (x )的单调性,从而可得f (x )的零点个数.【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减).14.证明:连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以ADO=∠ACB=90° 又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,………外……………………装…………○…………订………○…………线…………○…校:___________姓名:___________班级:___________考号:_______………内……………………装…………○…………订………○…………线…………○…所以 ,因为BC=2OC=2OD . 所以AC=2AD .【解析】14.证明Rt△ADO∽Rt△ACB,可得 BCOD =ACAD ,结合BC=2OC=2OD ,即可证明结论.15.解:设矩阵A 的逆矩阵为 ,则 = ,即 = ,故a=﹣1,b=0,c=0,d= ,从而A ﹣1= ,∴A ﹣1B= = .【解析】15.设矩阵A ﹣1= [abc d] ,通过AA ﹣1为单位矩阵可得A ﹣1 , 进而可得结论. 16.解:直线l 的参数方程为( 为参数),由x=t+1可得t=x ﹣1,代入y=2t , 可得直线l 的普通方程:2x ﹣y ﹣2=0.曲线C 的参数方程为 (t 为参数),化为y 2=2x ,答案第12页,总14页………外…………○…………线…………○※※请※………内…………○…………线…………○联立 ,解得 , ,于是交点为(2,2), .【解析】16.运用代入法,可将直线l 和曲线C 的参数方程化为普通方程,联立直线方程和抛物线方程,解方程可得它们的交点坐标.17.证明:2a 3﹣b 3﹣2ab 2+a 2b=2a (a 2﹣b 2)+b (a 2﹣b 2)=(a ﹣b )(a+b )(2a+b ), ∵a≥b>0,∴a﹣b≥0,a+b >0,2a+b >0, 从而:(a ﹣b )(a+b )(2a+b )≥0, ∴2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b .【解析】17.直接利用作差法,然后分析证明即可.【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能正确解答此题. 18.(1)解:以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz , 则由题意知A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0), A 1(0,0,4),D (1,1,0),C 1(0,2,4), ∴ A 1B →=(2,0,−4) , C 1D →=(1,﹣1,﹣4), ∴cos< A 1B →,C 1D →>=A 1B →⋅C 1D→|A 1B →|⋅|C 1D →|= √20⋅√18 = 3√1010 ,∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010.(2)解: AC →=(0,2,0) 是平面ABA 1的一个法向量,设平面ADC 1的法向量为 m →=(x,y,z) , ∵ AD →=(1,1,0),AC 1→=(0,2,4) , ∴ {m →⋅AD →=x +y =0m →⋅AC 1→=2y +4z =0,取z=1,得y=﹣2,x=2,∴平面ADC 1的法向量为 m →=(2,−2,1) , 设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ, ∴cosθ=|cos< AC →,m →>|=| 2×√9 |= 23 ,∴sinθ= √1−(23)2= √53 .∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为 √53 .【解析】18.(1)以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ,利用向量法能求出异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.(2)分别求出平面ABA 1的法向量和平面ADC 1的法向量,利用向量法能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值.【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本,需要知道异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. 19. (1)解:由数列{a n }的定义得a 1=1,a 2=﹣2,a 3=﹣2,a 4=3, a 5=3,a 6=3,a 7=﹣4,a 8=﹣4,a 9=﹣4,a 10=﹣4,a 11=5, 所以S 1=1,S 2=﹣1,S 3=﹣3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2, S 8=﹣2,S 9=﹣6,S 10=﹣10,S 11=﹣5,从而S 1=a 1,S 4=0•a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=﹣a 11, 所以集合P 11中元素的个数为5;(2)解:先证:S i (2i+1)=﹣i (2i+1)(i∈N*).事实上,①当i=1时,S i (2i+1)=S 3=﹣3,﹣i (2i+1)=﹣3,故原等式成立; ②假设i=m 时成立,即S m (2m+1)=﹣m (2m+1),则i=m+1时, S (m+1)(2m+3)=S m (2m+1)+(2m+1)2﹣(2m+2)2=﹣m (2m+1)﹣4m ﹣3 =﹣(2m 2+5m+3)=﹣(m+1)(2m+3).综合①②可得S i (2i+1)=﹣i (2i+1).于是S (i+1)(2i+1)=S i (2i+1)+(2i+1)2 =﹣i (2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).由上可知S i (2i+1)是2i+1的倍数,而a i (2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),答案第14页,总14页又S (i+1)(2i+1)=(i+1)•(2i+1)不是2i+2的倍数, 而a (i+1)(2i+1)+j=﹣(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S (i+1)(2i+1)+j=S (i+1)(2i+1)+j (2i+2)=(2i+1)(i+1)﹣j (2i+2) 不是a (i+1)(2i+1)+j (j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i (2i+1)时,集合P l 中元素的个数为1+3+…+(2i ﹣1)=i 2,于是,当l=i (2i+1)+j (1≤j≤2i+1)时,集合P l 中元素的个数为i 2+j . 又2000=31×(2×31+1)+47,故集合P 2 000中元素的个数为312+47=1008.【解析】19.(1)由数列{a n }的定义,可得前11项,进而得到前11项和,再由定义集合P l , 即可得到元素个数;(2)运用数学归纳法证明S i (2i+1)=﹣i (2i+1)(i∈N*).再结合定义,运用等差数列的求和公式,即可得到所求.【考点精析】通过灵活运用数学归纳法的定义,掌握 数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法即可以解答此题.。
2013年江苏省高考数学试卷及解析

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、(5分)函数y=3sin(2x +)的最小正周期为、2、(5分)设z=(2﹣i)2(i为虚数单位),则复数z的模为、3、(5分)双曲线的两条渐近线方程为、4、(5分)集合{﹣1,0,1}共有个子集、5、(5分)如图是一个算法的流程图,则输出的n的值为、6、(5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为、7、(5分)现在某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为、8、(5分)如图,在三棱柱A1B1C1﹣ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F﹣ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2,则V1:V2=、9、(5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)、若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是、10、(5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为、11、(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数、当x>0时,f(x)=x2﹣4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为、12、(5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d 1,F到l的距离为d2,若d2=,则椭圆C的离心率为、13、(5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点,若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为、14、(5分)在正项等比数列{a n}中,,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n 的最大正整数n的值为、二、解答题:本大题共6小题,共计90分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、(14分)已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π、(1)若|﹣|=,求证:⊥;(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值、16、(14分)如图,在三棱锥S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点、求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA、17、(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4,设圆C 的半径为1,圆心在l上、(1)若圆心C也在直线y=x﹣3上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标的取值范围、18、(16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min、在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19、(16分)设{a n}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S n是其前n项和、记b n=,n∈N*,其中c为实数、(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:S nk=n2S k(k,n∈N*);(2)若{b n}是等差数列,证明:c=0、20、(16分)设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=e x﹣ax,其中a为实数、(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答、若多做,则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)21、(10分)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D、C,AC经过圆心O,且BC=2OC、求证:AC=2AD、B、[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22、(10分)已知矩阵A=,B=,求矩阵A﹣1B、C、[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23、在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(为参数),曲线C 的参数方程为(t为参数)、试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标、D、[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24、已知a≥b>0,求证:2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、第25题、第26题,每题10分,共计20分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、(10分)如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点、(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、26、(10分)设数列{a n}:1,﹣2,﹣2,3,3,3,﹣4,﹣4,﹣4,﹣4,…,,…,即当<n≤(k∈N*)时,、记S n=a1+a2+…+a n(n∈N∗)、对于l∈N∗,定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍,n∈N∗,且1≤n≤l}(1)求P11中元素个数;(2)求集合P2000中元素个数、2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、(5分)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为π、分析:将题中的函数表达式与函数y=Asin(ωx+φ)进行对照,可得ω=2,由此结合三角函数的周期公式加以计算,即可得到函数的最小正周期、解答:解:∵函数表达式为y=3sin(2x+),∴ω=2,可得最小正周期T=||=||=π故答案为:π点评:本题给出三角函数表达式,求函数的最小正周期,着重考查了函数y=Asin (ωx+φ)的周期公式的知识,属于基础题、2、(5分)设z=(2﹣i)2(i为虚数单位),则复数z的模为5、分析:把给出的复数展开化为a+bi(a,b∈R)的形式,然后直接利用模的公式计算、解答:解:z=(2﹣i)2=4﹣4i+i2=3﹣4i、所以,|z|==5、故答案为5、点评:本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数模的求法,是基础题、3、(5分)双曲线的两条渐近线方程为、分析:先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程、解答:解:∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为:点评:本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想4、(5分)集合{﹣1,0,1}共有8个子集、分析:集合P={1,2,3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,包括空集、解答:解:因为集合{﹣1,0,1},所以集合{﹣1,0,1}的子集有:{﹣1},{0},{1},{﹣1,0},{﹣1,1},{0,1},{﹣1,0,1},∅,共8个、故答案为:8、点评:本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M 中有n个元素,则集合M的子集共有2n个、5、(5分)如图是一个算法的流程图,则输出的n的值为5、分析:由已知的程序框图可知,该程序的功能是利用循环计算a值,并输出满足a<16的最大n值,模拟程序的运行过程可得答案、解答:解:当n=1,a=1时,满足进行循环的条件,执行循环后,a=5,n=3;满足进行循环的条件,执行循环后,a=17,n=5;满足进行循环的条件,退出循环故输出n值为5故答案为:5、点评:本题考查的知识点是程序框图,由于循环的次数不多,故可采用模拟程序运行的方法进行、6、(5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为2、分析:直接由图表得出两组数据,求出它们的平均数,求出方差,则答案可求、解答:解:由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为:甲:87,91,90,89,93;乙:89,90,91,88,92;,、方差=4、=2、所以乙运动员的成绩较稳定,方差为2、故答案为2、点评:本题考查了方差与标准差,对于一组数据,在平均数相差不大的情况下,方差越小越稳定,考查最基本的知识点,是基础题、7、(5分)现在某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为、分析:求出m取小于等于7的正整数,n取小于等于9的正整数,m取到奇数,n取到奇数的方法种数,直接由古典概型的概率计算公式求解、解答:解:m取小于等于7的正整数,n取小于等于9的正整数,共有7×9=63种取法、m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则m,n都取到奇数的方法种数为4×5=20种、所以m,n都取到奇数的概率为、故答案为、点评:本题考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏,是基础的计算题、8、(5分)如图,在三棱柱A1B1C1﹣ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F﹣ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2,则V1:V2= 1:24、分析:由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值,由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍,然后直接由体积公式可得比值、解答:解:因为D,E,分别是AB,AC的中点,所以S△ADE :S△ABC=1:4,又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍、即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍、所以V1:V2==1:24、故答案为1:24、点评:本题考查了棱柱和棱锥的体积公式,考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方,是基础的计算题、9、(5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)、若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是[﹣2,] 、分析:利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程,画出可行域,找出最优解,则x+2y的取值范围可求、解答:解:由y=x2得,y′=2x,所以y′|x=1=2,则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1、令z=x+2y,则、画出可行域如图,所以当直线过点(0,﹣1)时,z min=﹣2、过点()时,、故答案为、点评:本题考查了导数的运算,考查了简单的线性规划,解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决,是基础题、10、(5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为、分析:由题意和向量的运算可得=,结合=λ1+λ2,可得λ1,λ2的值,求和即可、解答:解:由题意结合向量的运算可得=====,又由题意可知若=λ1+λ2,故可得λ1=,λ2=,所以λ1+λ2=故答案为:点评:本题考查平面向量基本定理及其意义,涉及向量的基本运算,属中档题、11、(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数、当x>0时,f(x)=x2﹣4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为(﹣5,0)∪(5,﹢∞)、分析:作出x大于0时,f(x)的图象,根据f(x)为定义在R上的奇函数,利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象,所求不等式即为函数y=f(x)图象在y=x上方,利用图形即可求出解集、解答:解:作出f(x)=x2﹣4x(x>0)的图象,如图所示,∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴利用奇函数图象关于原点对称作出x<0的图象,不等式f(x)>x表示函数y=f(x)图象在y=x上方,∵f(x)图象与y=x图象交于P(5,5),Q(﹣5,﹣5),则由图象可得不等式f(x)>x的解集为(﹣5,0)∪(5,+∞)、故答案为:(﹣5,0)∪(5,+∞)点评:此题考查了一元二次不等式的解法,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想是解本题的关键、12、(5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d 1,F到l的距离为d2,若d2=,则椭圆C的离心率为、分析:根据“d 2=”结合椭圆的半焦距,短半轴,长半轴构成直角三角形,再由等面积法可得d1=,从而得到a与b的关系,可求得,从而求出离心率、解答:解:如图,准线l:x=,d2=,由面积法得:d1=,若d 2=,则,整理得a2﹣ab﹣=0,两边同除以a2,得+()﹣=0,解得、∴e==、故答案为:、点评:本题主要考查椭圆的几何性质,即通过半焦距,短半轴,长半轴构成的直角三角形来考查其离心率,还涉及了等面积法、13、(5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点,若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为﹣1或、分析:设点P,利用两点间的距离公式可得|PA|,利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值、解答:解:设点P,则|PA|===,令,∵x>0,∴t≥2,令g(t)=t2﹣2at+2a2﹣2=(t﹣a)2+a2﹣2,①当a≤2时,t=2时g(t)取得最小值g(2)=2﹣4a+2a2=,解得a=﹣1;②当a>2时,g(t)在区间[2,a)上单调递减,在(a,+∞)单调递增,∴t=a,g(t)取得最小值g(a)=a2﹣2,∴a2﹣2=,解得a=、综上可知:a=﹣1或、故答案为﹣1或、点评:本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能,考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力、14、(5分)在正项等比数列{a n}中,,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n 的最大正整数n的值为12、分析:设正项等比数列{a n}首项为a1,公比为q,由题意可得关于这两个量的方程组,解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式,化简可得关于n的不等式,解之可得n的范围,取上限的整数部分即可得答案、解答:解:设正项等比数列{a n}首项为a1,公比为q,由题意可得,解之可得:a1=,q=2,故其通项公式为a n==2n﹣6、记T n=a1+a2+…+a n==,S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=、由题意可得T n>S n,即>,化简得:2n﹣1>,即2n﹣>1,因此只须n>,即n2﹣13n+10<0解得<n<,由于n为正整数,因此n最大为的整数部分,也就是12、故答案为:12点评:本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法,属中档题、二、解答题:本大题共6小题,共计90分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、(14分)已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π、(1)若|﹣|=,求证:⊥;(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值、分析:(1)由给出的向量的坐标,求出的坐标,由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0,由此得到结论;(2)由向量坐标的加法运算求出+,由+=(0,1)列式整理得到,结合给出的角的范围即可求得α,β的值、解答:解:(1)由=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),则=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ),由=2﹣2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,得cosαcosβ+sinαsinβ=0、所以、即;(2)由得,①2+②2得:、因为0<β<α<π,所以0<α﹣β<π、所以,,代入②得:、因为、所以、所以,、点评:本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量的模,考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数,解答的关键是注意角的范围,是基础的运算题、16、(14分)如图,在三棱锥S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点、求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA、分析:(1)根据等腰三角形的“三线合一”,证出F为SB的中点、从而得到△SAB 和△SAC中,EF∥AB且EG∥AC,利用线面平行的判定定理,证出EF∥平面ABC 且EG∥平面ABC、因为EF、EG是平面EFG内的相交直线,所以平面EFG∥平面ABC;(2)由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC,从而得到AF⊥BC、结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC,可得BC⊥平面SAB,从而证出BC⊥SA、解答:解:(1)∵△ASB中,SA=AB且AF⊥SB,∴F为SB的中点、∵E、G分别为SA、SC的中点,∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线,可得EF∥AB且EG∥AC、∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC,同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线,∴平面EFG∥平面ABC;(2)∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,AF⊂平面ASB,AF⊥SB、∴AF⊥平面SBC、又∵BC⊂平面SBC,∴AF⊥BC、∵AB⊥BC,AF∩AB=A,∴BC⊥平面SAB、又∵SA⊂平面SAB,∴BC⊥SA、点评:本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直,着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定与性质等知识,属于中档题、17、(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4,设圆C 的半径为1,圆心在l上、(1)若圆心C也在直线y=x﹣3上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标的取值范围、分析:(1)先求出圆心坐标,可得圆的方程,再设出切线方程,利用点到直线的距离公式,即可求得切线方程;(2)设出点C,M的坐标,利用|MA|=2|MO|,寻找坐标之间的关系,进一步将问题转化为圆与圆的位置关系,即可得出结论、解答:解:(1)由题设,圆心C在y=x﹣3上,也在直线y=2x﹣4上,2a﹣4=a﹣3,∴a=1,∴C(1,﹣2)、∴⊙C:(x﹣1)2+(y+2)2=1,由题,当斜率存在时,过A点切线方程可设为y=kx+3,即kx﹣y+3=0,则=1,解得:k=﹣,…(4分)又当斜率不存在时,也与圆相切,∴所求切线为x=0或y=﹣x+3,即x=0或12x+5y﹣15=0;(2)设点M(x,y),由|MA|=2|MO|,化简得:x2+(y+1)2=4,∴点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,又∵点M在圆C上,∴圆C与圆D的关系为相交或相切,∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=,∴1≤≤3,解得:0≤a≤、点评:此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定,涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方程,是一道综合性较强的试题、18、(16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min、在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?分析:(1)根据正弦定理即可确定出AB的长;(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,由余弦定理可得;(3)设乙步行的速度为v m/min,从而求出v的取值范围、解答:解:(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,从而sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理,得AB===1040m、所以索道AB的长为1040m、(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2﹣2×130t×(100+50t)×=200(37t2﹣70t+50)=200[37(t﹣)2+],因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=min时,甲、乙两游客距离最短、(3)由正弦定理,得BC===500m,乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m,还需走710m才能到达C、设乙步行的速度为v m/min,由题意得﹣3≤≤3,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在[]范围内、点评:此题考查了余弦定理,锐角三角函数定义,以及勾股定理,利用了分类讨论及数形结合的思想,属于解直角三角形题型、19、(16分)设{a n}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S n是其前n项和、记b n=,n∈N*,其中c为实数、(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:S nk=n2S k(k,n∈N*);(2)若{b n}是等差数列,证明:c=0、分析:(1)写出等差数列的通项公式,前n项和公式,由b1,b2,b4成等比数列得到首项和公差的关系,代入前n项和公式得到S n,在前n项和公式中取n=nk 可证结论;(2)把S n代入中整理得到b n=,由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式,说明,由此可得到c=0、解答:证明:(1)若c=0,则a n=a1+(n﹣1)d,,、当b1,b2,b4成等比数列时,则,即:,得:d2=2ad,又d≠0,故d=2a、因此:,,、故:(k,n∈N*)、(2)==、①若{b n}是等差数列,则{b n}的通项公式是b n=A n+B型、观察①式后一项,分子幂低于分母幂,故有:,即,而,故c=0、经检验,当c=0时{b n}是等差数列、点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,考查了学生的运算能力,解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数,此题是中档题、20、(16分)设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=e x﹣ax,其中a为实数、(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论、分析:(1)求导数,利用f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,转化为﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,利用g(x)在(1,+∞)上有最小值,结合导数知识,即可求得结论;(2)先确定a的范围,再分类讨论,确定f(x)的单调性,从而可得f(x)的零点个数、解答:解:(1)求导数可得f′(x)=﹣a∵f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,∴﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,∴a≥,x∈(1,+∞)、∴a≥1、令g′(x)=e x﹣a=0,得x=lna、当x<lna时,g′(x)<0;当x>lna时,g′(x)>0、又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e、故a的取值范围为:a>e、(2)当a≤0时,g(x)必为单调函数;当a>0时,令g′(x)=e x﹣a>0,解得a<e x,即x>lna,因为g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有lna≤﹣1,即0<、结合上述两种情况,有、①当a=0时,由f(1)=0以及f′(x)=>0,得f(x)存在唯一的零点;②当a<0时,由于f(e a)=a﹣ae a=a(1﹣e a)<0,f(1)=﹣a>0,且函数f (x)在[e a,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a,1)上存在零点、另外,当x>0时,f′(x)=﹣a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点、③当0<a≤时,令f′(x)=﹣a=0,解得x=、当0<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0,所以,x=是f(x)的最大值点,且最大值为f()=﹣lna﹣1、(i)当﹣lna﹣1=0,即a=时,f(x)有一个零点x=e;(ii)当﹣lna﹣1>0,即0<a<时,f(x)有两个零点;实际上,对于0<a<,由于f()=﹣1﹣<0,f()>0,且函数f(x)在[]上的图象不间断,所以f(x)在()上存在零点、另外,当0<x<时,f′(x)=﹣a>0,故f(x)在(0,)上时单调增函数,所以f(x)在(0,)上只有一个零点、下面考虑f(x)在(,+∞)上的情况,先证明f()=a()<0、为此,我们要证明:当x>e时,e x>x2、设h(x)=e x﹣x2,则h′(x)=e x﹣2x,再设l(x)=h′(x)=e x﹣2x,则l′(x)=e x﹣2、当x>1时,l′(x)=e x﹣2>e﹣2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上时单调增函数;故当x>2时,h′(x)=e x﹣2x>h′(2)=e2﹣4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=e x﹣x2>h(e)=e e﹣e2>0,即当x>e 时,e x>x2当0<a<,即>e时,f()==a()<0,又f()>0,且函数f(x)在[,]上的图象不间断,所以f(x)在(,)上存在零点、又当x>时,f′(x)=﹣a<0,故f(x)在(,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(,+∞)上只有一个零点、综合(i)(ii)(iii),当a≤0或a=时,f(x)的零点个数为1,当0<a<时,f(x)的零点个数为2、点评:此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,难度较大、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答、若多做,则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)21、(10分)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D、C,AC经过圆心O,且BC=2OC、求证:AC=2AD、分析:证明Rt△ADO∽Rt△ACB,可得,结合BC=2OC=2OD,即可证明结论、解答:证明:连接OD、因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,所以,因为BC=2OC=2OD、所以AC=2AD、点评:本题考查圆的切线,考查三角形相似的判定与性质,比较基础、B、[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22、(10分)已知矩阵A=,B=,求矩阵A﹣1B、分析:设矩阵A﹣1=,通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1,进而可得结论、解答:解:设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=﹣1,b=0,c=0,d=,从而A﹣1=,∴A﹣1B==、点评:本题考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力,属于基础题、C、[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23、在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(t为参数)、试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标、分析:运用代入法,可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程,联立直线方程和抛物线方程,解方程可得它们的交点坐标、解答:解:直线l的参数方程为(为参数),由x=t+1可得t=x﹣1,代入y=2t,可得直线l的普通方程:2x﹣y﹣2=0、曲线C的参数方程为(t为参数),化为y2=2x,联立,解得,,于是交点为(2,2),、点评:本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查了转化能力,属于基础题、D、[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24、已知a≥b>0,求证:2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、分析:直接利用作差法,然后分析证明即可、解答:证明:2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a(a2﹣b2)+b(a2﹣b2)=(a﹣b)(a+b)(2a+b),∵a≥b>0,∴a﹣b≥0,a+b>0,2a+b>0,从而:(a﹣b)(a+b)(2a+b)≥0,∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、点评:本题考查不等式的证明,作差法的应用,考查逻辑推理能力、第25题、第26题,每题10分,共计20分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、(10分)如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点、(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、分析:(1)以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值、(2)分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量,利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、解答:解:(1)以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),∴,=(1,﹣1,﹣4),∴cos<>===,∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为、(2)是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,∵,∴,取z=1,得y=﹣2,x=2,∴平面ADC1的法向量为,设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,∴cosθ=|cos<>|=||=,∴sinθ==、∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为、点评:本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法,考查平面与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意向量法的合理运用、26、(10分)设数列{a n}:1,﹣2,﹣2,3,3,3,﹣4,﹣4,﹣4,﹣4,…,,…,即当<n≤(k∈N*)时,、记S n=a1+a2+…+a n(n∈N∗)、对于l∈N∗,定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍,n∈N∗,且1≤n≤l}(1)求P11中元素个数;(2)求集合P2000中元素个数、分析:(1)由数列{a n}的定义,可得前11项,进而得到前11项和,再由定义集合P l,即可得到元素个数;=﹣i(2i+1)(i∈N*)、再结合定义,运用等差(2)运用数学归纳法证明S i(2i+1)数列的求和公式,即可得到所求、解答:解:(1)由数列{a n}的定义得a1=1,a2=﹣2,a3=﹣2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=﹣4,a8=﹣4,a9=﹣4,a10=﹣4,a11=5,所以S1=1,S2=﹣1,S3=﹣3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=﹣2,S9=﹣6,S10=﹣10,S11=﹣5,从而S1=a1,S4=0•a4,S5=a5,S6=2a6,S11=﹣a11,所以集合P11中元素的个数为5;(2)先证:S i(2i+1)=﹣i(2i+1)(i∈N*)、事实上,①当i=1时,S i(2i+1)=S3=﹣3,﹣i(2i+1)=﹣3,故原等式成立;②假设i=m时成立,即S m(2m+1)=﹣m(2m+1),则i=m+1时,S(m+1)(2m+3)=S m(2m+1)+(2m+1)2﹣(2m+2)2=﹣m(2m+1)﹣4m﹣3=﹣(2m2+5m+3)=﹣(m+1)(2m+3)、综合①②可得S i(2i+1)=﹣i(2i+1)、于是S(i+1)(2i+1)=S i(2i+1)+(2i+1)2=﹣i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1)、由上可知S i(2i+1)是2i+1的倍数,而a i(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以S i(2i+1)+j=S i(2i+1)+j(2i+1)是a i(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数、又S(i+1)(2i+1)=(i+1)•(2i+1)不是2i+2的倍数,而a(i+1)(2i+1)+j=﹣(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)﹣j(2i+2)=(2i+1)(i+1)﹣j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合P l中元素的个数为1+3+…+(2i﹣1)=i2,于是,当l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i+1)时,集合P l中元素的个数为i2+j又2000=31×(2×31+1)+47,故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008点评:本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力,以及运用数学归纳法的推理论证能力,有一定的难度。
2013年江苏高考数学试题及答案解析版1_(word版)

2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
.6则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .63208.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V .1:249.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 .[—2,12 ]10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 .1211.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 .(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为 .3313.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所值为 .1或1014.在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 .12二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ,=,παβ<<<0.(1)若2||=-b a ,求证:b a ⊥;(2)设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值. 解:(1)a -b =(cosα-cosβ,sin α-sin β),|a -b |2=(cosα-cosβ)2+(sin α-sin β)2=2-2(cosα·cosβ+sin α·sin β)=2, 所以,cosα·cosβ+sin α·sin β=0,所以,b a ⊥. (2)⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα,①2+②2得:cos(α-β)=-12 .所以,α-β=π32,α=π32+β,带入②得:sin(π32+β)+sin β=23cosβ+12 sin β=sin(3π+β)=1, 所以,3π+β=2π. 所以,α=65π,β=6π.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.求证: (1)平面//EFG 平面ABC ;(2)SA BC ⊥. 证:(1)因为SA =AB 且AF ⊥SB , 所以F 为SB 的中点. 又E ,G 分别为SA ,SC 的中点, 所以,EF ∥AB ,EG ∥AC .又AB ∩AC =A ,AB ⊂面SBC ,AC ⊂面ABC , 所以,平面//EFG 平面ABC . (2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,平面SAB ∩平面SBC =BC ,AF ⊂平面ASB ,AF ⊥SB .所以,AF ⊥平面SBC .又BC ⊂平面SBC , 所以,AF ⊥BC .又AB ⊥BC ,AF ∩AB =A , 所以,BC ⊥平面SAB .又SA ⊂平面SAB , 所以,SA BC ⊥.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线, 求切线的方程;A BSG F E(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐 标a 的取值范围.解:(1)联立:⎩⎨⎧-=-=421x y x y ,得圆心为:C (3,2).设切线为:3+=kx y ,d =11|233|2==+-+r k k ,得:430-==k or k .故所求切线为:343+-==x y or y .(2)设点M (x ,y ),由MO MA 2=,知:22222)3(y x y x +=-+,化简得:4)1(22=++y x ,即:点M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D . 又因为点M 在圆C 上,故圆C 圆D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD |≤3,其中22)32(-+=a a CD .解之得:0≤a ≤125 .18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
高考真题——数学江苏卷解析版Word版含答案

由题意设 则有
令
则
对称轴
1. 时,
, (舍去)
2. 时,
, (舍去)
综上 或
14.在正项等比数列 中, , .则满足 的最大正整数 的值为▲.
解析:
又 时符合题意,所以 的最大值为
二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分14分)
符合题意的 可以取 共 个
符合题意的 可以取 共 个
所以总共有 种可能符合题意
所以符合题意的概率为
8.如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则 ▲.
解析:
所以
9.抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界).若点 是区域 内的任意一点,则 的取值范围是▲.
解:(1)
①与②联立得到圆心坐标
圆方程为
切线斜率不存在时,不合题意
设切线方程为
解得 或
切线方程为 或
(2)设
则圆方程为
设
由题意
即
存在
圆 与圆 有交点
即两圆相交或相切
即
18.(本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点处下山至 处有两种路径.一种是从沿 直线步行到 ,另一种是先从 沿索道乘缆车到 ,然后从 沿直线步行到 .
1.函数 的最小正周期为▲.
解析:
2.设 (i为虚数单位),则复数 的模为▲.
解析:
3.双曲线 的两条渐近线的方程为▲.
解析:
4. 集合 共有▲个子集.
解析: (个)
5.右图是一个算法的流程图,则输出的 的值是▲
2013江苏省高考数学真题(含答案)

(第5题) 2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 .3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 4.集合}1,0,1{-共有 个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .6则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V .9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 .10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 .ABC1A DEF1B1C11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点, 若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 . 14.在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ,=,παβ<<<0.(1)若2||=-b a ,求证:b a ⊥;(2)设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l . 设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线, 求切线的方程;ABCS GFE(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐 标a 的取值范围. 18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
2013年高考理科数学江苏卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.......... 1.(2013江苏,1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________. 答案:π解析:函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2.(2013江苏,2)设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为__________.答案:5解析:|z |=|(2-i)2|=|4-4i +i 2|=|3-4i|5==5.3.(2013江苏,3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________. 答案:34y x =±解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.4.(2013江苏,4)集合{-1,0,1}共有__________个子集.答案:8解析:由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是__________.答案:3解析:第一次循环后:a ←8,n ←2; 第二次循环后:a ←26,n ←3; 由于26>20,跳出循环,输出n =3.6.(2013江苏,6)答案:2解析:由题中数据可得=90x 甲,=90x 乙. 于是2s 甲=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,2s 乙=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,由22>s s 乙甲,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为__________.答案:2063解析:由题意知m 的可能取值为1,2,3,…,7;n 的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m ,n :若m =1时,n 可取1,2,3,…,9,共9种情况;同理m 取2,3,…,7时,n 也各有9种情况,故m ,n 的取值情况共有7×9=63种.若m ,n 都取奇数,则m 的取值为1,3,5,7,n 的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4×5=20种.故所求概率为2063. 8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=__________.答案:1∶24解析:由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2,S △ADE ∶S △ABC =1∶4.因此V 1∶V 2=132AED ABCAF S AF S ∆∆⋅⋅=1∶24. 9.(2013江苏,9)抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是__________.答案:12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析:由题意可知抛物线y =x 2在x =1处的切线方程为y =2x -1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示:当直线x +2y =0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时,x +2y 取得最大值12.当直线x +2y =0平移到过点B (0,-1)时,x +2y 取得最小值-2. 因此所求的x +2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10.(2013江苏,10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,1=2AD AB ,2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为__________.答案:12解析:由题意作图如图.∵在△ABC 中,1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+,∴λ1=16-,λ2=23.故λ1+λ2=12.11.(2013江苏,11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.答案:(-5,0)∪(5,+∞)解析:∵函数f (x )为奇函数,且x >0时,f (x )=x 2-4x ,则f (x )=224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x >5或-5<x <0. 故应填(-5,0)∪(5,+∞).12.(2013江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a >0,b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若21d =,则椭圆C 的离心率为__________.答案:3解析:设椭圆C 的半焦距为c ,由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+,即bx +cy -bc =0.于是可知1bc d a ==,22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =,∴2b c =,即2ab =. ∴a 2(a 2-c 2)=6c 4.∴6e 4+e 2-1=0.∴e 2=13.∴3e =.13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数1y x=(x >0)图象上一动点.若点P ,A之间的最短距离为,则满足条件的实数a 的所有值为__________.答案:-1解析:设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,则 |P A |2=22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥,则|P A |2=t 2-2at +2a 2-2=(t -a )2+a 2-2(t ≥2).结合题意可知(1)当a ≤2,t =2时,|P A |2取得最小值.此时(2-a )2+a 2-2=8,解得a =-1,a =3(舍去). (2)当a >2,t =a 时,|P A |2取得最小值.此时a 2-2=8,解得aa=舍去).故满足条件的实数a1.14.(2013江苏,14)在正项等比数列{a n }中,512a =,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________.答案:12解析:设正项等比数列{a n }的公比为q ,则由⊂,a 6+a 7=a 5(q +q 2)=3可得q =2,于是a n =2n -6,则a 1+a 2+…+a n =51(12)13221232n n --=--.∵512a =,q =2,∴a 6=1,a 1a 11=a 2a 10=…=26a =1.∴a 1a 2…a 11=1.当n 取12时,a 1+a 2+…+a 12=27-132>a 1a 2…a 11a 12=a 12=26成立;当n 取13时,a 1+a 2+…+a 13=28-132<a 1a 2…a 11a 12a 13=a 12a 13=26·27=213.当n >13时,随着n 增大a 1+a 2+…+a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2013江苏,15)(本小题满分14分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a-b|,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a-b=c,求α,β的值.(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0.故a⊥b.(2)解:因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos cos0, sin sin1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α=cos(π-β).由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=12,而α>β,所以5π6α=,π6β=.16.(2013江苏,16)(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS =AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.17.(2013江苏,17)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,=1,解得k =0或34-, 故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1. 设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤CD ≤2+1,即13≤.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ; 由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18.(2013江苏,18)(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min ,在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A =1213,cos C =35. (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以sin A =513,sin C =45. 从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =,得12604sin 63sin 565AC AB C B =⨯=⨯=1 040(m).所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t ) m ,乙距离A 处130t m , 所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50), 因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当3537t =(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理sin sin BC AC A B =,得BC =12605sin 63sin 1365AC A B ⨯=⨯=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ,由题意得5007103350v -≤-≤,解得12506254314v ≤≤,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位:m/min)范围内. 19.(2013江苏,19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项和.记2nn nS b n c=+,n ∈N *,其中c 为实数. (1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.证明:由题设,(1)2n n n S na d -=+. (1)由c =0,得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以22b =b 1b 4,即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a .因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a .从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即2nnS n c+=b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=c (d 1-b 1).令A =112d d -,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D .(*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd1=0.即11 2d d-=0,b1-d1-a+12d=0,cd1=0.若d1=0,则由11 2d d-=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.又因为cd1=0,所以c=0.20.(2013江苏,20)(本小题满分16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=e x-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解:(1)令f′(x)=11axax x--=<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g′(x)=e x-a=0,得x=ln a.当x<ln a时,g′(x)<0;当x>ln a时,g′(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.综上,有a∈(e,+∞).(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g′(x)=e x-a>0,解得a<e x,即x>ln a.因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a≤-1,即0<a≤e-1.结合上述两种情况,有a≤e-1.①当a=0时,由f(1)=0以及f′(x)=1x>0,得f(x)存在唯一的零点;②当a<0时,由于f(e a)=a-a e a=a(1-e a)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a,1)上存在零点.另外,当x>0时,f′(x)=1x-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.③当0<a≤e-1时,令f′(x)=1x-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时,f′(x)>0,当x>a-1时,f′(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1.当-ln a-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.当-ln a-1>0,即0<a<e-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-a e-1<0,f(a-1)>0,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x∈(0,a-1)时,f′(x)=1x-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(e a-1)=a(a-2-e a-1)<0.为此,我们要证明:当x>e时,e x>x2.设h(x)=e x-x2,则h′(x)=e x-2x,再设l(x)=h′(x)=e x-2x,则l′(x)=e x-2.当x>1时,l′(x)=e x-2>e-2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h′(x)=e x-2x>h′(2)=e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=e x-x2>h(e)=e e-e2>0.即当x>e时,e x>x2.当0<a<e-1,即a-1>e时,f(e a-1)=a-1-a e a-1=a(a-2-e a-1)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x-a <0,故f (x )在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+∞)上只有一个零点.综合①,②,③,当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1, 当 0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,.........并在相应的答题区域内作答..............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(2013江苏,21)A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC .求证:AC =2AD .证明:连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC ACOD AD=. 又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD .B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A = 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B =1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故a =-1,b =0,c =0,12d =,从而A 的逆矩阵为A -1= 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以A -1B = 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =2t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2),1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b . 证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ). 因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b .【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区......域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(2013江苏,22)(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4), 所以1A B =(2,0,-4),1C D =(1,-1,-4). 因为cos 〈1A B ,1C D 〉=1111A B C D A B C D⋅10=, 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AD =(1,1,0),1AC =(0,2,4),所以n 1·AD =0,n 1·1AC =0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|=12122||||3⋅==n n n n ,得sin θ因此,平面ADC 1与平面ABA 12013年高考理科数学江苏卷word 解析版11 / 11 23.(2013江苏,23)(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,11(1),,(1)k k k k k ----个,…,即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k .记S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n |S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2 000中元素的个数. 解:(1)由数列{a n }的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;②假设i =m 时成立,即S m (2m +1)=-m (2m +1),则i =m +1时,S (m +1)(2m +3)=S m (2m +1)+(2m +1)2-(2m +2)2=-m (2m +1)-4m -3=-(2m 2+5m +3)=-(m +1)(2m +3).综合①②可得S i (2i +1)=-i (2i +1).于是S (i +1)(2i +1)=S i (2i +1)+(2i +1)2=-i (2i +1)+(2i +1)2=(2i +1)(i +1).由上可知S i (2i +1)是2i +1的倍数,而a i (2i +1)+j =2i +1(j =1,2,…,2i +1),所以S i (2i +1)+j =S i (2i +1)+j (2i +1)是a i (2i +1)+j (j =1,2,…,2i +1)的倍数.又S (i +1)(2i +1)=(i +1)(2i +1)不是2i +2的倍数,而a (i +1)(2i +1)+j =-(2i +2)(j =1,2,…,2i +2),所以S (i +1)(2i +1)+j =S (i +1)(2i +1)-j (2i +2)=(2i +1)(i +1)-j (2i +2)不是a (i +1)(2i+1)+j (j =1,2,…,2i +2)的倍数,故当l =i (2i +1)时,集合P l 中元素的个数为1+3+…+(2i -1)=i 2,于是,当l =i (2i +1)+j (1≤j ≤2i +1)时,集合P l 中元素的个数为i 2+j .又2 000=31×(2×31+1)+47,故集合P 2 000中元素的个数为312+47=1 008.。
2013年江苏省高考数学试卷加详细解析

2013年江苏省高考数学试卷加详细解析2013年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.1.(5分)(2013•江苏)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为_________.2.(5分)(2013•江苏)设z=(2﹣i)2(i为虚数单位),则复数z的模为_________.3.(5分)(2013•江苏)双曲线的两条渐近线方程为_________.4.(5分)(2013•江苏)集合{﹣1,0,1}共有_________个子集.5.(5分)(2013•江苏)如图是一个算法的流程图,则输出的n的值是_________.6.(5分)(2013•江苏)抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_________.7.(5分)(2013•江苏)现在某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为_________.8.(5分)(2013•江苏)如图,在三棱柱A1B1C1﹣ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F﹣ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2,则V1:V2= _________.9.(5分)(2013•江苏)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P (x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是_________.10.(5分)(2013•江苏)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为_________.11.(5分)(2013•江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2﹣4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为_________.12.(5分)(2013•江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C 的标准方程为(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l 的距离为d 2,若d2=,则椭圆C的离心率为_________.13.(5分)(2013•江苏)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点,若点P,A 之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为_________.14.(5分)(2013•江苏)在正项等比数列{a n}中,,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为_________.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)(2013•江苏)已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|﹣|=,求证:⊥;(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值.16.(14分)(2013•江苏)如图,在三棱锥S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.17.(14分)(2013•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(16分)(2013•江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(16分)(2013•江苏)设{a n}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S n是其前n项和.记,n∈N*,其中c 为实数.(1)若c=0,且b 1,b2,b4成等比数列,证明:(k,n∈N*);(2)若{b n}是等差数列,证明:c=0.20.(16分)(2013•江苏)设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=e x﹣ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅱ(附加题)21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选..定其中两题,并在相应的答题区域内作答...................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ,AC 经过圆心O ,且BC=2OC 。
2013年江苏高考数学试题及答案解析

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.......... 1.(2013江苏,1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________. 答案:π解析:函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2.(2013江苏,2)设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为__________.答案:5解析:|z |=|(2-i)2|=|4-4i +i 2|=|3-4i|5==5.3.(2013江苏,3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________. 答案:34y x =±解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.4.(2013江苏,4)集合{-1,0,1}共有__________个子集.答案:8解析:由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是__________.答案:3解析:第一次循环后:a ←8,n ←2; 第二次循环后:a ←26,n ←3; 由于26>20,跳出循环, 输出n =3.6.(2013江苏,6)答案:2解析:由题中数据可得=90x 甲,=90x 乙. 于是2s 甲=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,2s 乙=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,由22>s s 乙甲,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为__________.答案:2063解析:由题意知m 的可能取值为1,2,3,…,7;n 的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m ,n :若m =1时,n 可取1,2,3,…,9,共9种情况;同理m 取2,3,…,7时,n 也各有9种情况,故m ,n 的取值情况共有7×9=63种.若m ,n 都取奇数,则m 的取值为1,3,5,7,n 的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4×5=20种.故所求概率为2063. 8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=__________.答案:1∶24解析:由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2,S △ADE ∶S △ABC =1∶4.因此V 1∶V 2=132AEDABCAF S AF S ∆∆⋅⋅=1∶24.9.(2013江苏,9)抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是__________.答案:12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析:由题意可知抛物线y =x 2在x =1处的切线方程为y =2x -1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示:当直线x +2y =0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时,x +2y 取得最大值12.当直线x +2y =0平移到过点B (0,-1)时,x +2y 取得最小值-2. 因此所求的x +2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10.(2013江苏,10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,1=2AD AB ,2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为__________.答案:12解析:由题意作图如图.∵在△ABC 中,1223DE DB BE AB BC =+=+ 12()23AB AC AB =+-121263AB AC AB AC λλ=-+=+ ,∴λ1=16-,λ2=23.故λ1+λ2=12.11.(2013江苏,11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.答案:(-5,0)∪(5,+∞)解析:∵函数f (x )为奇函数,且x >0时,f (x )=x 2-4x ,则f (x )=224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x >5或-5<x <0. 故应填(-5,0)∪(5,+∞).12.(2013江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a >0,b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若21d =,则椭圆C 的离心率为__________.答案:3解析:设椭圆C 的半焦距为c ,由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+,即bx +cy -bc =0.于是可知1bcd a ==,22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =,∴2b c a=,即2ab =. ∴a 2(a 2-c 2)=6c 4.∴6e 4+e 2-1=0.∴e 2=13.∴e =. 13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数1y x=(x >0)图象上一动点.若点P ,A之间的最短距离为a 的所有值为__________.答案:-1解析:设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,则 |P A |2=22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥,则|P A |2=t 2-2at +2a 2-2=(t -a )2+a 2-2(t ≥2).结合题意可知(1)当a ≤2,t =2时,|P A |2取得最小值.此时(2-a )2+a 2-2=8,解得a =-1,a =3(舍去).(2)当a >2,t =a 时,|P A |2取得最小值.此时a 2-2=8,解得aa=舍去).故满足条件的实数a1.14.(2013江苏,14)在正项等比数列{a n }中,512a =,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________.答案:12解析:设正项等比数列{a n }的公比为q ,则由⊂,a 6+a 7=a 5(q +q 2)=3可得q =2,于是a n =2n -6,则a 1+a 2+…+a n =51(12)13221232n n --=--.∵512a =,q =2,∴a 6=1,a 1a 11=a 2a 10=…=26a =1.∴a 1a 2…a 11=1.当n 取12时,a 1+a 2+…+a 12=27-132>a 1a 2…a 11a 12=a 12=26成立;当n 取13时,a 1+a 2+…+a 13=28-132<a 1a 2…a 11a 12a 13=a 12a 13=26·27=213.当n >13时,随着n 增大a 1+a 2+…+a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2013江苏,15)(本小题满分14分)已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a -b |,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a -b =c ,求α,β的值.(1)证明:由题意得|a -b |2=2,即(a -b )2=a 2-2a·b +b 2=2. 又因为a 2=b 2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a·b =2,即a·b =0. 故a ⊥b .(2)解:因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α=co s(π-β).由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=12,而α>β,所以5π6α=,π6β=. 16.(2013江苏,16)(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF ∥AB.因为EF平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.17.(2013江苏,17)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,=1,解得k=0或34-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即13≤≤.由5a-12a+8≥0,得a∈R;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18.(2013江苏,18)(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min ,在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A =1213,cos C =35. (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以sin A =513,sin C =45. 从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =,得12604sin 63sin 565AC AB C B =⨯=⨯=1 040(m).所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t ) m ,乙距离A 处130t m , 所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50), 因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当3537t =(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =,得BC =12605sin 63sin 1365AC A B ⨯=⨯=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ,由题意得5007103350v -≤-≤,解得12506254314v ≤≤,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位:m/min)范围内. 19.(2013江苏,19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项和.记2n n nS b n c=+,n ∈N *,其中c 为实数. (1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0. 证明:由题设,(1)2n n n S na d -=+.(1)由c =0,得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以22b =b 1b 4, 即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a .因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a .从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即2nnS n c+=b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=c (d 1-b 1).令A =112d d -,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D .(*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即112d d -=0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0. 若d 1=0,则由112d d -=0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.(2013江苏,20)(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+∞)上是单调减函数,且g (x )在(1,+∞)上有最小值,求a 的取值范围; (2)若g (x )在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.解:(1)令f ′(x )=11ax a x x--=<0,考虑到f (x )的定义域为(0,+∞),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+∞)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a -1,+∞),从而a -1≤1,即a ≥1.令g ′(x )=e x -a =0,得x =ln a .当x <ln a 时,g ′(x )<0;当x >ln a 时,g ′(x )>0.又g (x )在(1,+∞)上有最小值,所以ln a >1,即a >e.综上,有a ∈(e ,+∞).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g ′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a .因为g (x )在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.①当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x>0,得f (x )存在唯一的零点; ②当a <0时,由于f (e a )=a -a e a =a (1-e a )<0,f (1)=-a >0,且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断,所以f (x )在(e a,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+∞)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点. ③当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x-a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f (a -1)=-ln a -1.当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e.当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f (e -1)=-1-a e -1<0,f (a -1)>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x-a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+∞)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h ′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h ′(x )=e x -2x ,则l ′(x )=e x -2.当x >1时,l ′(x )=e x -2>e -2>0,所以l (x )=h ′(x )在(1,+∞)上是单调增函数.故当x >2时,h ′(x )=e x -2x >h ′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x >e 时, h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a-1时,f ′(x )=1x-a <0,故f (x )在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+∞)上只有一个零点.综合①,②,③,当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当 0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(2013江苏,21)A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC .求证:AC =2AD .证明:连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC ACOD AD=. 又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD .B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A = 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B =1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故a =-1,b =0,c =0,12d =,从而A 的逆矩阵为A -1= 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以A -1B = 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =2t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2),1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b .证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ). 因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0, 从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b .【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区......域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(2013江苏,22)(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以1A B =(2,0,-4),1C D=(1,-1,-4).因为cos 〈1A B ,1C D 〉=1111A B C DA B C D⋅10=,所以异面直线A 1B 与C 1D. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AD =(1,1,0),1AC =(0,2,4),所以n 1·AD=0,n 1·1AC =0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|=12122||||3⋅==n n n n ,得sin θ.因此,平面ADC 1与平面ABA 1. 23.(2013江苏,23)(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,11(1),,(1)k k k k k ----个,…,即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k .记S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n |S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数; (2)求集合P 2 000中元素的个数.解:(1)由数列{a n }的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;②假设i =m 时成立,即S m (2m +1)=-m (2m +1),则i =m +1时,S (m +1)(2m +3)=S m (2m +1)+(2m +1)2-(2m +2)2=-m (2m +1)-4m -3=-(2m 2+5m +3)=-(m +1)(2m +3).综合①②可得S i (2i +1)=-i (2i +1).于是S (i +1)(2i +1)=S i (2i +1)+(2i +1)2=-i (2i +1)+(2i +1)2=(2i +1)(i +1).由上可知S i (2i +1)是2i +1的倍数,而a i (2i +1)+j =2i +1(j =1,2,…,2i +1),所以S i (2i +1)+j =S i (2i +1)+j (2i +1)是a i (2i +1)+j (j =1,2,…,2i +1)的倍数.又S (i +1)(2i +1)=(i +1)(2i +1)不是2i +2的倍数,而a (i +1)(2i +1)+j =-(2i +2)(j =1,2,…,2i +2),所以S (i +1)(2i +1)+j =S (i +1)(2i +1)-j (2i +2)=(2i +1)(i +1)-j (2i +2)不是a (i +1)(2i +1)+j (j =1,2,…,2i +2)的倍数,故当l =i (2i +1)时,集合P l 中元素的个数为1+3+…+(2i -1)=i 2,于是,当l =i (2i +1)+j (1≤j ≤2i +1)时,集合P l 中元素的个数为i 2+j .又2 000=31×(2×31+1)+47,故集合P 2 000中元素的个数为312+47=1 008.。