线性代数练习题参考答案
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
(精品)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211 a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若2235001011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010n n .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 333231232221131211，则 323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. bn b b )1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a a aD 1101100011000110001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a .4．nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
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线性代数练习题(一)一、填空题 1.211121112= 4 ；---211121112= 0 ； 2.123234345= 0 ；a bc a b c 222111= (c-a)(c-b)(b-a) 。
3.排列6,2,3,4,5,1的逆序数是 9 ；排列4,3,1,2,7,6,5的逆序数是 8 。
4.五阶行列式展开式中的项a a a a a 1423324155前面的符号是 正号 。
5.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余子式依次为5，7，-7，4，则D= 13 。
6.矩阵()A ,,123=，B 213⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB= 13 ； BA= ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246123369 。
7.A 为7阶方阵，且满足A T=-A ，则|A|= 0 。
8.272312⎪⎪⎭⎫⎝⎛--= 2132-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 。
9.A 为3阶方阵，且2=A ，则2=A 16 。
10.方阵030001200⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵A -1=001/21/300010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
二、选择题1.如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0，D 1=313233212223313233a 2a 3a a 2a 3a a 2a 3a ，则D 1= ( D )(A)6M (B)-6M (C)±6M (D)02.如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，D 1=111113132121232331313333a 2a 3a 4a a 2a 3a 4a a 2a 3a 4a ---，则D 1= ( D ) (A)8 (B)-12 (C)-24 (D)03. A ，B 均为n 阶矩阵，且(A+B)(A-B)=A ²-B ²，则必有 ( D )(A)B=E (B)A=E (C)A=B (D)AB=BA4.A ，B 均为n 阶矩阵，且(A+B)²=A ²+2AB+B ²，则必有 ( D )(A)B=E (B)A=E (C)A=B (D)AB=BA5.A 是n 阶可逆矩阵，则|A -1|= ( A )(A)|A|-1 (B)|A|n-2 (C)|A n | (D)|A|6.A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则必有 ( B )(A)A=0或B=0 (B)|A|=0或|B|=0(C)|A+B|=0 (D)A+B=07.A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列诸式中一定正确的一项是 ( B )(A)(AB)T =A T B T (B)(A+B)T =A T +B T(C)(AB)-1=A -1B -1 (D)(A+B)-1=A -1+B -18.A,B,C,E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC=E ，则下列诸式中一定正确的是 ( B )(A)ACB=E (B)BCA=E (C)CBA=E (D)BAC=E9.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043212121，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-502413212，C=(c i j )=AB ，则c 23=( B )(A)22 (B)10 (C)3 (D)-110.如果线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+0z y 5kx 0z y 40z ky x 3 有非零解，则k= ( C ) (k=-3 .OR. -1)(A)1 (B)0 (C)-3 (D)2三、计算题1.计算行列式D n =x a a aa x a a aa x a aa a x解：D n =x a a a a x a a a a x a a a a x =(1)(1)(1)(1)x n a aa a x n a x aa x n a ax a x n a aa x +-+-+-+- =(1)000000000x n a a a ax a x a x a +----=(x-a)n-1[x+(n-1)a] 2.计算n 阶行列式300103000301003=D 解：3001030000301003=D 3001030000300008/3= =3n-1×8/3=8×3n-2 3．计算n 阶行列式12111131111=n n n nn D n解：1111111112110100113100201110001n D n n n n ==- =n ×1×1×2×…×(n-1)=n ！4.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2112，E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足BA=B+2E ，求|B|.解：由BA=B+2E 得BA-B=2E ，B （A-E ）=2E所以|B(A-E)|=|2E|=4|B||A-E|=4 |A-E|=1111-=2，所以|B|=2 5.设A 为三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵。
已知|A|= 12，求|(3A)-1-2A *| 解：|A|= 12 ，所以A 可逆，A *= |A|A -1=12A -1， ------=-=-1*111111(3A)2A A 2|A |A A A 33--=-=-=-1312216A ()A 33276.k 取何值时，矩阵A=1010k 1001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭可逆？并求其逆矩阵。
解：因为|A|=k ，所以k ≠0时，矩阵A 可逆。
由（A ，E ）=1001000k 0010111001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ～10010001001/k 0011101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭～10010001001/k 000111/k 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 得 1100A01/k 011/k 1-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭7.已知B=A ²-5A+3E ，其中A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3312，求B -1。
解：先求B=661824--⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后得 B -1=1|B| B *=1-36 246186⎛⎫ ⎪--⎝⎭=16 4131--⎛⎫ ⎪⎝⎭8.设A=101020101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且AB+E=A ²+B ，求B 。
解：由2AB E A B +=+得2-=-AB B A E ， 即()()()-=-+A E B A E A E而001010100⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，|A-E|=-1，所以A-E 可逆，故201030102⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E9.设A=033110123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，AB=A+2B ，求B.解：因为AB=A+2B ，所以AB-2B=A ，即(A-2E)B=AA-2E=233110121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由(A-2E,A)=233033110110121123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭～110110013253011033-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～110110011033002220-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ～100033010123001110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,得B=033123110⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭10.已知A=PQ ，其中P=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121，Q=(2，-1，2)，求A 10.解：A 10= (PQ)10= P(QP)9Q=P(29)Q=29 PQ=29212424212-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭四、证明题1.设A k =O(k 为正整数且k>1)，证明(E-A)-1=E+A+A ²+……+A k-1。
证明：因为(E-A)(E+A+A ²+……+A k -1)= E+A+A ²+……+A k-1-A(E+A+A ²+……+A k -1)= E+A+A ²+……+A k-1- (A+A ²+……+A k )=E-A k =E所以E-A 可逆且 (E-A)-1=E+A+A ²+……+A k -1。
2.如果方阵A 满足A ²-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求A -1及(A+2E)-1. 证明：由A ²-A-2E=O 得A ²-A=2E故A A-E 2 =E ，所以A 可逆，且A -1=A-E 2由A ²-A-2E=O 得A+2E=A ²，因为A 可逆，所以A ²可逆，即A+2E 可逆，且(A+2E)-1=(A ²)-1= (A -1)²=( A-E 2 )²=A ²-2A+E 4 =3E-A 4线性代数练习题(二)一、填空题1.矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------895143131311，则R(A)= 2 。
2. 设111111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x x x A ，且()2=R A ，则=x -2 。
3.已知12t ,,,ααα是方程组Ax=b 的解，如果1122t t c c c ααα+++仍是Ax=b 的解，则12t c c c +++= 1 。
4.设1233()2()5()-++=+αααααα，其中T 1(2,5,1,3)=α，T 2(10,1,5,10)=α，T 3(4,1,1,1)=-α，则=α (1,2,3,4)T。
5.已知T 1(1,4,3)=α，T 2(2,,1)t =-α，T 3(2,3,1)=-α线性相关，则t = -3 。
6. 若T (1,2,)t =β可由T 1(2,1,1)=α，T 2(1,2,7)=-α，T 3(1,1,4)=--α线性表示，则t = 5 。
7.向量组α1=(1,1,0)T ，α2=(2,0,1)T ，α3=(2,5,t)T， 当t= -3/2 时α3可由α1，α2线性表示。
8.四元方程组Ax=b 中R(A)=3，α1，α2，α3是它的三个解，其中α1=(2,0,3,2)T ，α2+2α3=(5,8,8,4)T ，则方程组Ax=b 的通解为(2,0,3,2)T +k(1,-8,1,2)T (k ∈R) 。
9.线性方程组⎩⎨⎧=-+=+-0x 9x 6x 30x 6x 4x 2432431的基础解系为 。
T T 12(2,2,1,0),(3,3,0,1)=-=-ξξ10.向量空间V={x=(0,x 2,x 3,…,x n )T|x 2,x 3,…,x n ∈R}的维数是 n-1 。
二、选择题1.设4,3,2,1i ,0b ,0a i i =≠≠，A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4333231342322212b a b a b a b a b a b a b a b a ，则R(A)= ( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42. 下列各向量组线性无关的是 ( C )(A) (1,2,3,4),,(4,3,2,1),(0,0,0,0)；(B) (,,),(,,),(,,),(,,)a b c b c d c d e d e f ；(C) (,1,,0,0),(,0,,2,3),(,4,,5,6)a b c d e f ；(D)(,1,2,3),(,1,2,3),(,4,2,3),(,0,0,0)a b c d . 3.n 维向量α1,α2,…,αs 线性相关的充分必要条件是 ( C )(A)α1,α2,…,αs 中有一个零向量(B)α1,α2,…,αs 中任意两个向量的分量成比例(C)α1,α2,…,αs 中有一个向量是其余向量的线性组合(D)α1,α2,…,αs 中任意一个向量是其余向量的线性组合4.向量组α1,α2,α3线性无关，β1=α1-α2,β2=α2-α3,β3=λα3- t α1也线性无关，则λ,t 满足 ( B )(A)λ=t (B)λ≠t (C)λ=t=1 (D)λ≠2t5.齐次线性方程组Ax=0(A 为m ×n 矩阵)仅有零解的充分必要条件是( B )(A)A 的列向量组线性相关(B)A 的列向量组线性无关(C)A 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性无关6. 设A 是n m ⨯矩阵，则方程组AX =β有唯一解的充要条件是 ( A )(A)()(,)==R R n βA A (B)()R n =A(C)()(,)=R R βA A (D)()(,)=<R R n βA A7. 设A 是n 阶矩阵，则下列不是．．A 可逆的充分必要条件的一项是 ( B ) (A)()=R n A (B)≠O A(C)||0≠A (D)E A 8.设有线性方程组Ax=b (1)和对应的齐次线性方程组Ax=0 (2)，则必有( B )(A)若(1)有无穷多解则(2)仅有零解 (B)若(1)仅有唯一解则(2)仅有零解(C)若(2)有非零解则(1)有无穷多解 (D)若(2)仅有零解则(1)有唯一解9.已知n 元线性方程组Ax=b ，R(A)=n-2，α1,α2,α3是方程组线性无关的解， 设c 1,c 2为任意常数，则方程组的通解是 ( D )(A)c 1(α1-α2)+c 2(α2+α1)+α1(B)c 1(α1-α3)+c 2(α2+α3)+α3(C)c 1(α2-α3)+c 2(α3+α2)+α2(D)c 1(α2-α3)+c 2(α2-α1)+α310.若向量组α1,α2,…,αs 的秩为r ，则( D )(A)r<s(B)向量组中任何小于r 个向量的部分组皆线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关(D)向量组中任意r+1个向量皆线性相关三、计算题1.矩阵A=11212208242323436046--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的秩，写出A 的一个最高阶非零子式。