山东省威海市2017届高三上学期期末考试数学理试题-Word版含答案

绝密★启用并使用完毕前高三理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的虚部是 A.1 B.1- C.i - D.i2.若集合5{|0}2x x x A +=≤-，{||3}x x B =<，则集合A B U 为 A.{|53}x x -<< B.{|32}x x -<< C.{|53}x x -≤<D.{|32}x x -<≤3.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A.2B.12C.1-D.2- 4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录 的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据:根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为 A.27.9 B.25.5 C.26.9 D.265.函数2cos ()6y x π=-的一条对称轴为A.6x π=-B.512x π=C.3x π=D.3x π=- 6.已知实数,x y 满足10310x y x y x k -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，若3z x y =-的最大值为3，则实数k 的值为A.1-B.1C.2D.37.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面, 下列四个命题为真命题的是 ①若,m n m α⊥⊥,则n ∥α； ②若α∥,,n m βα⊥∥β,则n m ⊥； ③若m ∥,,n m n αβ⊥⊥,则 αβ⊥；④若m ∥,,n m αβ⊥∥n ,则αβ⊥.A.②③B.③④C.②④D.①④8.已知双曲线221y x m-=与抛物线x y 82=的准线交于点,P Q ，抛物线的焦点为F ， 若PQF ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为A.43B.53 C.259 D.1699.已知Rt ABC V ，两直角边1,2AB AC ==，D 是ABC ∆内一点，且60DAB ∠=o，设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λμ=A.3B.3C.3D.10.已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,,(),(),()a b c D f a f b f c ∀∈分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①23()ln ()f x x e x e =≤≤；②()4cos f x x =-；③12()(14)f x x x =<<；④()1xx e f x e =+.其中为“三角形函数”的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[100,110),[110,120),[120,130）三组内的学生中,用分层抽样的方法选取28人参加一项活动,则从身高在[120,130）内的学生中选取的人数应为 .12.已知611e n dx x =⎰，那么5)nx 的展开式中含32x 的项的系数为 .13.不等式|21||29|10x x -++>的解集为 . 14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为. 15.定义在R 上的函数()f x 满足22(4)()2f xf x x -=+-， 则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 .三、解答题:本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos )c B B a b +=+.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若5a =，ABC ∆的面积为sin B 的值.17.（本小题满分12分）空间几何体ABCDEF 如图所示.已知面ABCD ⊥面ADEF ，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且AB ∥, CD AB AD ⊥，4CD =，2AB = AD =， G 为CE 的中点.（Ⅰ）求证：BG ∥面ADEF ； （Ⅱ）求证：面DBG ⊥面BDF .18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,0n a a =≠，122n n n a a tS +⋅=-，其中t 为常数.（Ⅰ）设1n n n b a a +=+，求证：{}n b 为等差数列； （Ⅱ）若4t =，求n S .19.（本小题满分12分）某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个 课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：左视图俯视图. （Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？ （Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.20.（本小题满分13分）已知函数2()ln (0)f x x a x x a =+-≠，2()g x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(1,)a ∈+∞，总存在12,[1,]x x a ∈，使得121()()()f x f x g x ->2()g x m -+成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知椭圆C ，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，12PF F ∆的周长为4+，直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C相交于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 与圆221x y +=相切，过椭圆C 的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线，与椭圆相交于,M N 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）.求四边形MANB 面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程；（Ⅲ）若||2AB =，试判断直线l 与圆221x y +=的位置关系.高三理科数学试题参考答案一、选择题 A C B D D, B C B A C 二、填空题11. 12； 12. 30-； 13. 91{|}22x x x <->或 ；14. 24+； 15. 43140x y +-=三、解答题16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，cos )c B B a b +=+可整理变形为sin cos )sin sin C B B A B +=+， ----------------------2分由()A B C π=-+，可得sin sin()A B C =+所以sin cos )sin()sin C B B B C B +=++整理得sin cos 1)0B C C --=， ----------------------4分 因为sin 0B ≠cos 1C C -=1sin()62C π-=，66C ππ∴-=，3C π∴=. ----------------------6分（Ⅱ）由已知5a =，ABC S ∆=1542b b ⨯==， ------8分 由余弦定理得2222cos 21c a b ab C =+-=，故c = (10)分sin sin 227b C B c ===………………12分 17．（本小题满分12分）证明：（I ）取ED 中点H ，连接HG AH 、，因为G H 、分别为EC ED 、的中点，所以HG ∥CD 且12HG DC =；-------------2分 因为AB ∥CD 且122AB CD==所以AB ∥HG ，且AB H G =， -----------------------------4分所以AHGB 为平行四边形，所以AH ∥BG ； -----------------------5分因为,BG PBC AH PBC ⊄⊂面面，所以BG ∥ADEF 面； -----------------------6分(Ⅱ) 易证ED DC ⊥（证明略）， -----------------------7分以AD 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系 ∴(0,0,0),(2,2,0),(0,2,1),(2,0,2)D B G F ∴(2,2,0),(2,0,1),(2,0,2)DB BG DF ==-=u u u r u u u r u u u r-----------------------8分设1(,,)n x y z =u r为面DBG 的法向量22020x y x z +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，解得12y z =-⎧⎨=⎩，1(1,1,2)n =-ur 为面1B PQ 的一个法向量 …9分 同理可得2(1,1,1)n =--u u r为面DPQ 的一个法向量 ----------------------10分121120n n ⋅=+-=u r u u r所以面D ⊥面BDF .----------------------12分（法二：取BD 中点O ，连接,OF OG ，可证FOG ∠为二面角F BD G --的平面角） 18．（本小题满分12分）解：（I ）122n n n a a tS +=-①，12122n n n a a tS +++=-② -----------------------1分②–①可得12112()n n n n n n a a a tS tS ta ++++-=-= 因为10n a +≠，所以22n n ta a +-=， -----------------------3分12112()()2n n n n n n n n t b b a a a a a a +++++-=+-+=-=-----------------------5分因为t 为常数，所以数列{}n b 为等差数列. -----------------------6分（II ）若4t =，由（I ）可得22n n a a +-=即数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为2的等差数列 -----------------------8分 由11,a =可得21211a a =-=-----------------------9分当n 为奇数时，{}n a 的奇数项和偶数项分别为11,22n n +-项 所以21111111[(1)][(1)]2222222n n n n n n n n S +++---+=+-++-=---------------10分当n 为偶数时，{}n a 的奇数项和偶数项分别为,22n n项 所以2[(22n n n S =+-----------------------11分综上，221,22n n n S n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数.-----------------------12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设甲至少选一门艺术体育类课程的事件为A ，122128283108()15C C C C P A C +==； 乙至多选一门自然科学类课程的事件为B ，1234663102()3C C C P B C +==； 则所求概率为8216()()()15345P A B P A P B =⋅=⨯=I -----------------------4分(Ⅱ)甲选课程的学分可能为(3,3,1),(3,2,2)，所以甲选课程的学分正好为7学分的概率为21124244310310C C C C P C +== -----------------7分（Ⅲ）X 的可能取值为4,5,6,7,8,9 ----------------------8分21243101(4)30C C P X C ===； 212124423102(5)15C C C C P X C +===； 111324443103(6)10C C C C P X C +=== ； 3(7)10P X ==；21443101(8)5C C P X C ===； 343101(9)30C P X C ===； 所以随机变量X 的分布列为：10分所以随机变量X 的数学期望12331133456789301510105305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= -----------12分 20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ----------------------1分2'2()21a x x a f x x x x-+=+-=----------------------2分令220x xa -+=，18a ∆=-（1）当180a ∆=-≤，即18a ≥时，220x x a -+≥恒成立，即'()0f x ≥恒成立， 故函数()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间.----------------------3分 （2）当0∆>，即18a <时，由220x x a -+=解得1x =2x = i ）当108a <<时，120x x <<， 所以当0x <<或x >时'()0f x > 当x <<时'()0f x <-----------------------4分（3）当0a ≤时，1104x =≤所以当14x >时'()0f x >，当104x <<时'()0f x <；------5分 综上所述： 当18a ≥时，函数()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间.当108a <<时，函数()f x 的单增区间为和)+∞，单减区间为11(44+.当0a ≤时，函数()f x 的单增区间为1()4++∞，单减区间为1(0,)4+. ----------------------6分（Ⅱ）令22()()()ln ln F x f x g x x a x x x a x x =-=+--=-，[1,]x a ∈.原问题等价于：对任意的(1,)a ∈+∞，总存在12,[1,]x x a ∈，使得12()()F x F x m ->成立，即max min ()()F x F x m->.----------------------8分'()1a a x F x x x-=-=Q ，(1,)a ∈+∞Q ，[1,]x a ∈，'()0F x ∴>， ()F x ∴在[1,]x a ∈上单调递增，max min ()()()()(1)ln 1F x F x F x F a F a a a ∴≤-=-=-+， ----------------------10分即ln 1a a a m -+>对任意的(1,)a ∈+∞恒成立，令()ln 1h a a a a =-+，(1,)a ∈+∞，只需min ()h a m >， ----------------------11分'()ln h a a =，(1,)a ∈+∞Q ，'()0h a ∴>()h a ∴在(1,)a ∈+∞上单调递增，()(1)0h a h ∴>=， ----------------------12分 所以m ≤.---------------------13分21.（本小题满分14分）解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x ya b a b +=>>，由题可知2()4c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩，--1分解得2,1a c b ===， -----------------------2分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.-----------------------3分 （II）令x =12y =±，所以1MN =， -----------------------4分直线l 与圆221x y +=1,=即221k m +=，-----------------------5分联立直线与椭圆的方程，整理得222(14)8440k x kmx m +++-= -----------6分所以1221=214MANB S MN x x k -==+ ----7分将221k m +=代入可得4MANBS k k==≤+. ------------------8分 当且仅当14k k =，即12k =±时，等号成立，此时m =.所以，当12k =±时，四边形MANB的面积具有最大值2，直线l方程是122y x =-或12y x =-. -----------------------9分- 11 - （III）122||214AB x k -==+ -----------------------10分整理得22222(14)144(1)k k m k ++-=+，所以2222222(14)3(14)144(1)4(1)k k m k k k ++=+-=++ 设圆心到直线l 的距离为d ，则2222223(14)14(1)m k d k k +==++ -----------------------11分设21,1k t t +=≥，则21k t =-，所以2222129393(1)11442t d t t t t -==-=--+≤ -----------------------12分 当32t =，即212k =时，21d =， ----------------------13分所以当k =l与圆相切，当k ≠，时，直线l 与圆相交. ------14分。