2019年北师大版初中九年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆强化练习
【核心素养】北师大版九年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 教案(表格式)
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆教学内容第2课时切线的判定及三角形的内切圆课时1核心素养目标1. 经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，在探索切线的判定条件的过程中，可采用旋转实验的方法来行之有效地解决问题，使之形象而直观地为问题的结论而服务，并能解决简单的问题.2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念4.能从数学的视角去发现问题、分析问题，会用数学语言准确刻画位置关系.知识目标1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念.教学重点理解并掌握同底数幂的乘法法则.教学难点能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？师生活动：学生自由讨论回答.预设：都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？二、小组合作，探究概念和性质知识点一：圆的切线的判定合作探究如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与AB 的夹角为⊙α. 当l 绕点 A 旋转时，（1）随着⊙α 的变化，点O 到l 的距离 d 如何变化？直线l 与⊙O 的位置关系如何变化？（2）当⊙α 等于多少度时，点O 到l 的距离 d 等于半径r ？此时，直线l 与⊙O有怎样的位置关系？为什么？设计意图：由图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆相切，从而引出本节课的课题.设计意图：教师利用多媒体演示旋转实验，探索圆的切线与过切点的半径之间的关系，让学生通过观察，猜想，动手操作，得出直线l与半径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线，然后进一步加以验证，得出切线的判定定理，便于学生理解掌握。
【北师大版】九年级数学下册：3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1教案
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O 相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OF A＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。
北师大版9年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆导学案
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆目标导航1、经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．2、直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质．3、探索切线的性质．4、能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆．5、探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法．基础过关1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，以点C为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠ADE等于____度．AE C DPOBPC2题图3题图5题图3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙A于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有_________（只要写出一对线段即可）．4．已知⊙O的半径为4cm，直线L与⊙O相交，则圆心O到直线L的距离d的取值范围是____．5．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，且∠APB=50°，点C是优弧AB上的一点，则∠ACB的度数为________．6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=_______度，∠C=______度，∠A=_______度．FO EDBA OCDB A6题图 12题图7．若∠OAB =30°，OA =10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定8．给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形， 并且只有一个外切三角形，其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如l 是⊙O 的切线，要判定AB ⊥l ，还需要添加的条件是（ ）A ．AB 经过圆心OB ．AB 是直径C ．AB 是直径，B 是切点D ．AB 是直线，B 是切点10．设⊙O 的直径为m ，直线L 与⊙O 相离，点O 到直线L 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）A ．d =mB ．d >mC ．d >2mD ．d <2m 11．在平面直角坐标系中，以点（－1，2）为圆心，1为半径的圆必与（ ）A ．x 轴相交B ．y 轴相交C ．x 轴相切D ．y 轴相切12．如图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 是切点，延长OB 到D ，使BD =OB ，连接AD ，如果∠DAC =78°，那么∠ADO 等于（ ）A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°13．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC ，作直线AD ，使∠DAC =∠CAB ，AD 交半圆于E ，交过C 点的切线于点D ．（1）试判断AD 与CD 有何位置关系，并说明理由； （2）若AB =10，AD =8，求AC 的长．14．如图，BC是半圆O的直径，P是BC延长线上一点，P A切⊙O于点A，∠B=30°．（1）试问AB与AP是否相等?请说明理由．（2）若P A O的直径．15．如图，∠P AQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C．（1）BT是否平分∠OBA?证明你的结论．（2）若已知AT=4，试求AB的长．P能力提升16．如图，有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m的三角形形状的铝皮，问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法．CBA17．如图，AB 为半圆O 的直径，在AB 的同侧作AC 、BD 切半圆O 于A 、B ，CD 切半圆O 于E ，请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、 两个三角形相似等四个正确的结论．聚沙成塔如图，已知：⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C 的直线：y =－8 与y 轴交于点P ．（1）试判断PC 与⊙D 的位置关系．（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得4EOP CDO S S ∆∆=，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
北师大版九年级数学下册课件3.6.2 切线的判定
个,并且只能作一个.
B
A
F
E
I
●
┓ C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
新知探究
做一做 :
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆 , 并说明它 们内心的位置情况.
A
A
A
●
●
┐
B
CB
内心均
新知探究
D
C
E
F
O
A
B
课堂小测
tan tan tan
∴DE=DC•tan∠DCE=1， Rt
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
●O
αd
┓α
l
A
新课导入
探究新知：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
∵ AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
B
∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r
直线和圆相切
的另一种说法.
●O
C
A
D
新知探究
例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．
B
求证 : AT是⊙O的切线.
九年级数学北师版·下册
第三章 圆
3.6.2 切线的判定
教学目标
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力． 2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力． 3.会作三角形的内切圆．
新课导入
情境引入
相交 d<r d=r d>r
相切 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
相离
那么直线 AB是⊙O的切线吗?
北师大版九年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆(含答案)
A．130°
B．60°
C．70°
D．80°
3．下列图形中一定有内切圆的四边形是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
4．如图，⊙O 内切于△ABC，切点为 D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结 OE，OF，
DE，DF，∠EDF 等于（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．70°
5.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线 AD 与⊙O 的位置关系， 并说明理由。
3.6 直线和圆的位置关系
第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆
1．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任意一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，那
么⊙P 与 OB 的位置位置是（ ）
A．相交
B．相切
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．相离 D．相交或相切
2．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为 130°，则∠A 的度数为（ ）
6.如图，BC 与⊙O 相切于点 B，AB 为⊙O 直径，弦 AD∥OC，求证：CD 是⊙O 的切线。
7.如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.
1
8.已知如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以 AB 为直径作 ⊙O，求证：⊙O 和 CD 相切.
9.如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且 OA2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.
10.如图，⊙O 分别切△ABC 的三条边 AB、BC、CA 于点 D、E、F、若 AB＝7，AC＝5，BC＝6， 求 AD、BE、CF 的长。
北师大版九年级数学下册 3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三 条角平分 线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例4 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∴DE＝4cm.
课堂小结
切线的 判定方法
定义法 1个公共点，则相切
数量关系法 d=r，则相切 判定定理 经过半径的外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径.
三角形 内切圆
有关概念 内心概念及性质
课后作业
见本课时练习
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
导入新课
情境引入 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
如何判断一条直线是否为切线呢？
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再 证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直, 证半径”.
例1
例2
二 三角形的内切圆及内心
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆O. A
分析：如果圆O与△ABC的三条边都
3.6课时2切线的判定及三角形的内切圆教学设计-2023-2024学年北师大版九年级数学下册
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
- 巩固学生在课堂上学到的切线的判定定理和三角形的内切圆的性质。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
3.6 课时2 切线的判定及三角形的内切圆 教学设计 -2023-2024学年北师大版九年级数学下册
主备人
备课成员
教材分析
“3.6 课时2 切线的判定及三角形的内切圆”是2023-2024学年北师大版九年级数学下册的一节重要课程。本节课的主要内容是切线的判定定理以及三角形的内切圆的性质。学生在学习本节课之前，已经学习了直线与圆的位置关系，了解了切线的定义，为本节课的学习打下了基础。本节课的内容不仅巩固了学生对切线的认识，还进一步拓展了学生对圆的性质的理解，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
教学难点与重点
三角形的内切圆的性质是本节课的另一个重点。教师需要讲解内切圆的定义、性质以及内切圆与三角形的关系。具体来说，教师需要讲解内切圆的半径与三角形边长、面积的关系，以及内切圆的圆心与三角形内心的关系。同时，教师还需要强调内切圆的性质的应用，例如如何利用内切圆的性质解决实际问题。
本节课的教学难点主要是切线的判定定理的证明和内切圆的性质的证明。对于切线的判定定理，学生可能难以理解切线斜率与圆心到切点的直线斜率的关系。对于内切圆的性质，学生可能难以理解内切圆的半径与三角形边长、面积的关系。
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
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第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 数学北师大版九年级下册教案
第三章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆教学目标教学反思1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.教学重难点重点：切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.难点：三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活运用.教学过程导入新课直线和圆的位置关系的性质与判定：d＞r直线l和⊙O相离；d＝r直线l和⊙O相切；d＜r直线l和⊙O相交．上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，知道了直线和圆有三种位置关系，会判断直线和圆属于哪一种位置关系.判断直线和圆相切的方法有两种，但是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．探究新知一、圆的切线的判定探究1 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？你能写出一个命题来表述这个事实吗?(1)随着∠α的变化，点O 到l 的距离d 如何变化?直线l 与⊙O 的位置关系如何变化?(2)当∠α等于多少度时，点O 到l 的距离d 等于半径r ?此时，直线l 与⊙O 有怎样的位置关系?为什么?在教学中，教师可以引导学生，拿笔当直线l ，让笔绕着点A 旋转．观察∠α发生变化时，点O 到l 的距离d 如何变化，然后互相交流意见．学生得到的结论：生1：如上图，直线l 1与AB 的夹角为α,点O 到l １的距离为d 1，d 1<r ，这时直线l 1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l 1沿顺时针方向旋转到l 位置时，∠α由锐角变为直角，点O 到l 的距离为d ，d =r ，这时直线l 与⊙O 的位置关系是相切：当把直线l 再继续旋转到l 2位置时，∠α由直角变为钝角，点O 到l 2的距离为d 2，d 2<r ，这时直线l 2与⊙O 的位置关系是相交． 生2：当∠α＝90°时，点O 到l 的距离d 等于半径．此时，直线l 与⊙O 的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O 到直线l 的距离d ＝r 时，直线与⊙O 相切．生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．得出结论：定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ∵ AB 是⊙O 的直径,直线CD 经过A 点,且CD ⊥AB , ∴ CD 是⊙O 的切线.这个定理实际上就是教学反思d =r 直线和圆相切的另一种说法.例1.如图，AT 是⊙O 的直径，∠ABT =45°，AT ＝AB ． 求证：AB 是⊙O 的切线．分析：AB 经过直径的一端，因此只要证AT 垂直于AB 即可，而由已知条件可知AT ＝AB ，所以∠ABT ＝∠ATB .又由∠ABT ＝45°，所以∠ATB ＝45°.由三角形内角和可证∠TAB ＝90°，即AT ⊥AB ．证明：∵ AB =AT ，∠ABT ＝45°，∴ ∠ATB ＝∠ABT ＝45°． ∴ ∠TAB =180°-∠ABT -∠ATB ＝90°． ∴ AT ⊥AB ，即AT 是⊙O 的切线．例2.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，E 是BC 边上的中点，连接PE .求证：PE 与⊙O 相切．证明：连接OP ，BP （图略），则OP ＝OB ，∴ ∠OBP ＝∠OPB . ∵ AB 为直径，∴ ∠APB ＝90°，∴ BP ⊥AP .在Rt △BCP 中， ∵ E 为斜边BC 的中点，∴ PE ＝12BC ＝BE ，∴ ∠EBP ＝∠EPB ，∴ ∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB ，即∠OBE ＝∠OPE .∵ BC 与⊙O 相切于点B ，∴ AB ⊥BC ，∴ OP ⊥PE ，即PE 是⊙O 的切线．总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．二、三角形的内切圆探究2 如图，在△ABC 中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.教学反思分析：在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；(2)过点I作BC的垂线，垂足为D；(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆．思考：这样的圆可以作出几个呢?为什么?因为BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.做一做分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.结论：内心均在三角形内部课堂练习1.如图，P为圆O外一点，OP交圆O于点A，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：甲：以点P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点B，则直线PB即为所求；乙：作OP的中垂线，交圆O于点B，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确? ()A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确2.如图，圆O 是△ABC 的内切圆，分别切BA ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，点P 在弧DE 上，如果∠EPF ＝70°，那么∠B ＝( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3.如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，（1）若∠ABC =50°，∠ACB =70°，则∠BOC 的度数是； （2）若∠A =80°，则∠BOC = ； （3）若∠BOC =110°，则∠A =.4.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为AC ︵的中点，AC ，BD 相交于点E ，AP 交BD 的延长线于点P ，∠P AC ＝2∠CBD . 求证：AP 是⊙O 的切线．5.如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与△ABC 的外接圆相交于点D .(1)若∠BAC ＝70°，求∠CBD 的度数； (2)求证：DE ＝DB .教学反思参考答案1.B2.A3.120° 130° 40°4.证明：∵ D 为AC ︵的中点，∴ ∠CBA ＝2∠CBD . 又∵ ∠P AC ＝2∠CBD ，∴ ∠CBA ＝∠P AC . ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠CAB ＋∠CBA ＝90°， ∴ ∠CAB ＋∠P AC ＝90°，即∠P AB ＝90°，∴ P A ⊥AB ，∴ AP 为⊙O 的切线． 5.(1)解：∵ 点E 是△ABC 的内心，∠BAC ＝70°， ∴ ∠CAD ＝12∠BAC ＝35°，∴ ∠CBD ＝∠CAD ＝35°.(2)证明：∵ 点E 是△ABC 的内心， ∴ ∠ABE ＝∠CBE ，∠BAD ＝∠CAD . ∵ ∠CBD ＝∠CAD ，∴ ∠CBD ＝∠BAD .∵ ∠BAD ＋∠ABE ＝∠BED ，∠CBE ＋∠CBD ＝∠DBE ， ∴ ∠DBE ＝∠BED ，∴ DE ＝DB .课堂小结（学生总结，老师点评） 1.圆的切线的判定定理. 2.三角形的内切圆.板书设计第三章 圆 6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1.圆的切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.教学反思。
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3.6 直线和圆的位置关系
第2课时切线的判定及三角形的内切圆
1．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
2．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）
A．130° B．60° C．70°D．80°
3．下列图形中一定有内切圆的四边形是（）
A．梯形 B．菱形 C．矩形D．平行四边形
4．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（）
A．45° B．55° C．65°D．70°
5.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直
线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
6.如图，BC与⊙O相切于点B，AB为⊙O直径，
弦AD∥OC，求证：CD是⊙O的切线。
7.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.
8.已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，
以AB为直径作⊙O，求证：⊙O和CD相切.
9.如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O
的切线.
10.如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。
11．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，
⑴探求∠EDF与∠A的度数关系。
⑵连结EF，△EDF按角分类属于什么三角形。
⑶I是△EDF的内心还是外心？。