第8课 给图着色
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
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K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
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Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
小学思维数学讲义：乘法原理之染色问题-带详解
乘法原理之染色问题教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?例题精讲DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例 5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种；第3步：染区域C ，由于C 不能与B 、A 同色，所以区域C 的染色方式有3种；第4步：染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种；第5步：染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种；第6步：染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种；第7步：染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G 的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例 6】 用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】 如右图，有A ，B ，C ，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B ，D 取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ，D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例 8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例 9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。
泰山版小学信息技术第一册上教案
泰山版信息技术第一册上教案第一单元计算机乐园第1课移动鼠标玩游戏第2课单击鼠标玩游戏第3课拖拽鼠标玩游戏第4课游戏大本营第二单元计算机绘画第5课初识画王第6课用卡通拼图第7课用画笔绘画第8课给图着色第9课仙女散花第10课制作卡片第11课放飞理想第三单元与键盘握握手第12课基准键位练习第13课键盘指法练习第14课双档字符练习第15课键盘综合练习第一单元计算机乐园第1课移动鼠标玩游戏教学目标：1、知识目标：了解电脑在生活中的应用，掌握鼠标的正确握法和电脑开关机操作方法，能正确移动鼠标。
引导学生初步了解Windows桌面组成，掌握安全用电的基本常识。
2、技能目标：熟练正确抓握鼠标，掌握鼠标的基本操作——能够正确进行电脑开机和关机。
3、情感目标：通过对电脑的初步接触激发学生动手操作的欲望和兴趣。
“寓教于乐”，在游戏中培养学生的观察能力。
重点和难点：1、重点：掌握鼠标的移动操作，激发学习兴趣，正确进行电脑开机和关机。
2、难点：熟练进行鼠标移动操作，掌握正确的开关机顺序。
知识点：1、电脑基本结构。
2、电脑的开机方法。
3、桌面和图标。
4、鼠标的结构和握法：鼠标通常有两键（2D）或三键（3D）；右手食指进行左键操作，中指进行右键操作，大拇指、无名指和小拇指轻握鼠标两侧。
5、鼠标的移动——游戏操作。
6、开机及开机画面结构：正确开机顺序为先开显示器等外部设备，然后打开计算机主机。
7、关机顺序：开始—关机（或ALT+F4）。
课时安排：1课时。
教学过程：一、谈话导入新课。
1、新学年咱们增加了一门新课，就是我们手中的《信息技术》，大家喜欢这门课吗？以后将由我和大家共同学习。
以前有谁接触过计算机？（家里有、见过别人用）。
（根据情况调整一下机位，找出小组长）。
主要用来做什么？（学生回答，教师补充，超市付款、医院、银行、车站）。
下面我们就来认识计算机。
二、学会开机、认识桌面。
每个同学面前正对着的像电视一样的就是显示器，下面的是主机。
3D One初级班校本课(西固区实验学校)x
兰州市西固区实验学校3D One初级班校本课教材顾毅忠【前言】3D One课程是创课教学中的重要一环，是学生实现创意设计、物化成果的主要方法之一。
3D One初级班教学计划，是针对中小学生进行3D设计的启蒙课程。
让学生掌握基本的3D One操作，了解大部分3D One命令的功能和使用方法，培养学生良好的空间感和审美。
同时，还可以增强学生立体几何、机械原理等数学、物理知识。
【学情分析】3D One初级班面对小学四年级以上学生，学习过信息技术课程。
因此，学生对计算机基本操作有一定的基础。
而且，3D One是一门特殊的课程，学习内容生动有趣、操作性强、可以3D打印出实物。
大部分学生对此有很大兴趣，学习积极性较强。
但是，信息技术课一周一节，时间间隔较长，学生容易遗忘。
要引导学生课后通过自学、交流等方式巩固每节课的学习成果。
同时，合理运用3D One校云网，对课程、学生任务、作品等进行有效管理。
鼓励学生运用学到的知识和技巧，进行自主创作。
【教学软件分析】3D One是中央电教馆指定《全国中小学电脑制作活动》参赛软件。
它简洁、实用，易于上手，是学生3d设计启蒙的绝佳工具。
整个3D One课程包分成三个阶段：3D One 初级班、3D One中级班、3D One plus高级班。
本教学计划为3D One初级班，涉及的知识点有：软件界面、功能区域、文件存取、导入导出、基本实体、草图绘制、草图编辑、特征造型（拉伸、旋转、扫掠、圆角、倒角）、特殊功能（抽壳、实体分割）、基本编辑（移动、缩放、镜像）自动吸附、组合编辑、距离测量、材质渲染。
【教学目标】1、树立学习3d创课的信心，激发学习兴趣。
2、掌握常用功能和基本命令，为后续课程打下基础。
3、融会贯通多学科知识，体验自主创造设计的乐趣。
4、提高空间想象、逻辑思维能力。
5、拓展创新思维与创新能力。
6、提升审美情趣，主动发现美、欣赏美、创造美。
【教学方法】教学主要包括以下方法和环节：1、展示法、讲授法：通过PPT和多媒体展示、讲解3D创课的内容和意义。
PS讲图象的色彩调整PPT演示课件
• HSB模式
• 此模式是基于人对颜色的感觉,将颜色看做由色相（Ｈ） 饱和度（Ｓ）和亮度（Ｂ）组成的，为了将自然颜色 转换为计算机创建的色彩提供了一种直觉方法．我们 在进行图像色彩校正时，经常都会用到色相／饱和度 命令，它看起来很直观．
快捷键为： Ctrl+B
•24
（5）用色相/饱和度来调整
色相/饱和度命令 可以调整图像中单个颜 色成分的色相、饱和度 和亮度，是一个功能非 常强大的图像颜色调整 工具。它改变的不仅是 色相和饱和度，还可以 改变图像亮度。
先来看看色相/饱和度的对话框
对话框的底端显示有两个颜色条，它们代表颜色在颜 色轮上的位置。上面的颜色条显示调整前的颜色，下面的 颜色条显示调整如何以全饱和的状态影响所有的色相。
• 如果要将彩色图像转换为双色调模式，必须先转换为灰度图 像，才可以激活双色调模式命令．
•10
该模式通过二至四种自定油墨创建双色调 （两种颜色）、三色调（三种颜色）和四色 调（四种颜色）的灰度图像。 将双色调图像导出到其它应用程序
若要准备要导出到页面排版应用程序中的双色调图像，请以 EPS 或 PDF 格式存储图像（除非图像包含专色，在这种情况下，应将其转换 为多通道模式并以 DCS 2.0 格式存储）。请记住，命名自定颜色很重 要，这样它们才能被其它应用程序识别。否则，将不能正确地打印图像 － 或者可能根本不能打印。
•3
• 理论上，纯青色 (C)、洋红 (M) 和黄色 (Y) 色素在合 成后可以吸收所有光线并产生黑色。这些颜色因此称为 减色。由于所有打印油墨都包含一些杂质，因此这三种 油墨实际生成土灰色，必须与黑色 (K) 油墨合成才能生 成真正的黑色。(为避免与蓝色混淆，黑色用 K 而非 B 表示。）将这些油墨混合重现颜色的过程称为四色印刷。 • 减色 (CMY) 和加色 (RGB) 是互补色。每对减色产 生一种加色，反之亦然。
地图着色问题课程设计
地图着色问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解地图着色问题的基本概念，掌握地图着色中涉及到的图论知识；2. 学会运用不同的算法解决地图着色问题，了解其优缺点；3. 掌握地图着色问题在实际生活中的应用，如行政区划、交通规划等。
技能目标：1. 能够运用所学知识，对给定的地图进行有效着色，提高解决问题的能力；2. 学会运用图论软件或工具进行地图着色的实际操作，培养动手实践能力；3. 通过团队合作，培养学生的沟通协调能力和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对图论和地图着色问题的兴趣，培养良好的学习态度；2. 引导学生关注地图着色问题在实际生活中的应用，提高学生的社会责任感和实践意识；3. 培养学生面对复杂问题时，保持积极的心态，勇于克服困难，寻求解决问题的方法。
课程性质：本课程为数学学科选修课程，结合图论知识，以地图着色问题为载体，培养学生的逻辑思维能力和实际操作能力。
学生特点：学生处于高年级阶段，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇心，具备一定的团队协作能力。
教学要求：注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动，提高学生的综合素养。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 图论基础知识回顾：包括图的定义、图的表示方法、顶点和边的性质等；教材章节：第一章 图的基本概念2. 地图着色问题的提出：介绍地图着色的背景、意义及应用场景；教材章节：第二章 图的着色问题3. 地图着色算法：学习并掌握贪心算法、回溯算法、遗传算法等地图着色方法；教材章节：第三章 着色问题的算法及其应用4. 地图着色问题的实际操作：运用图论软件或工具进行地图着色实践；教材章节：第四章 着色问题的实际应用5. 地图着色问题案例分析：分析生活中的地图着色问题实例，如行政区划、交通规划等；教材章节：第五章 着色问题的案例分析6. 团队合作与交流：分组讨论、分享学习心得，培养学生的团队协作和沟通能力。
有关图的染色问题的研究
nj j 1
.
引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色， 所以对任意图 G 的边色数有 ' G ， 其中 指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了 简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理： 任意(简单， 无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里， 人们一直在为解决简单图的分类问题做着不 懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分 类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类 的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多 面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长 度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。 平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是 第一类的。 对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。 而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论 首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为 临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为 的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为 的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为 临界图( ≥3) ,则 n 2
四色定理教案
四色定理教案教案标题：四色定理教案教学目标：1. 理解四色定理的概念和背后的原理。
2. 学会使用这个定理来解决地图着色问题。
3. 培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
教学准备：1. 地图着色问题的例题和练习题。
2. 活动性质的地图印刷样本，以供学生实践运用四色定理。
3. 幻灯片或其他教学工具，用于展示和解释四色定理的概念及其应用。
教学过程：引入：1. 利用一个有趣的地图着色问题作为引入，例如给学生看一张地图，要求他们用尽可能少的颜色对其进行着色。
概念解释：2. 在介绍地图着色问题后，简要解释四色定理的概念和背景，即任意一个地图都可以用不超过四种颜色进行着色，且相邻区域颜色不同。
案例分析：3. 结合具体的地图示例，解析四色定理的应用。
引导学生注意四色定理的约束条件和应用方法。
四色定理的证明：4. 简要介绍四色定理的证明，强调其复杂性和重要性。
鼓励学生思考和提问，激发他们探索数学真理的兴趣。
实践应用：5. 分发活动性质的地图印刷样本给学生，并要求他们运用四色定理为地图着色。
这一部分可以在小组活动或课堂讨论的形式下进行，以增加学生之间的合作和交流。
巩固与评价：6. 布置练习题，让学生通过解决更多的地图着色问题来巩固和应用所学的知识。
7. 展示学生的解题过程和答案，进行集体讨论和评价。
重点关注学生的逻辑推理和解决问题的能力。
拓展活动：8. 鼓励学生独立研究其他图论问题，如平面图、欧拉公式等，并尝试应用相应的定理解决这些问题。
教学反思：教师可以对整个教学过程进行回顾和反思，总结学生的学习成果和不足，以进一步调整教学策略和提升教学效果。
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第8课给图着色
--- 泰山出版社小学信息技术第一册上
惠安小学马纹纹
教学目标：
1、知识与技能：
（1）熟练掌握各种着色方法并能够合理运用。
（2）理解各种着色方法的特点。
2、过程与方法：
（1）通过三个渐进式任务，培养学生的自学能力和小组合作探究能力。
（2）通过演示操作，培养学生的观察能力和实践操作能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过利用金山画王画图程序对图画进行着色，激发学生对信息技术学科的热情。
（2）通过做作品的展示、方法的演示，体验成功的喜悦，激发学生的学习热情。
教学重难点：
重点：理解并熟练掌握各种给图着色的方法。
难点：合理地运用“区域渐变倒色”和“圆形倒色”等着色方法，掌握计算机绘画的技巧以及设计思想。
教学策略：
以“装扮海岛”作为本课的授课情境主线。
将情境中遇到的新知识按认知规律设计在三个任务中。
通过任务设置，将学生的实践活动及时予以展示和评价，使学生不仅能熟练掌握着色方法，而且激发学生对信息技术的热情。
教学准备：
本课的教学设计了三个渐进式任务：
一、给鱼着色；二、利用“区域渐变倒色”给海着色；三、装扮海岛。
任务素材：教学课件以及所需要的一张鱼的黑白线图。
教学过程：
一、导入：
师：同学们，西沙群岛的美丽景色相信大家不会忘记，祖国如此多娇，我们真感到自豪。
（课件出示图片）
师：马老师还搜集了一组西沙群岛的图片，你来看，是黑白色的。
你喜欢哪组图片呢？为什么？
生回答。
师：这节课咱们就来一起完成一个大任务：装扮海岛。
使用金山画王的着色工具就可以给这种黑白线图填上你想要的颜色。
让我们一起学习第8课《给图着色》。
（师板书课题）
二、“区域倒色”工具的使用。
完成任务一“给鱼着色”，尝试学习。
1、导入主题：着色。
师：西沙群岛美丽富饶，海里一半是水，一半是鱼。
大家先来看这些各种各样多得数不清的鱼。
（课件出示）
现在呢，老师这里还有一条用黑白线条绘制的西沙群岛的鱼，是黑白线条的。
师：怎样才能使这条鱼像刚才的那些鱼一样漂亮又有活力呢？
生回答。
2、明确任务一：给鱼着色。
师：对，这就是咱们“装扮海岛”的第一个小任务：给鱼着色。
3、使用“档案管理”打开图片。
（1）学生独立操作。
师：这条鱼已经在画档里了，名字就是鱼。
接下来，咱们要先找到并打开它，自己先试试。
（在此之前，学生机处于被广播状态，现在停止广播，自己练习。
）
（2）交流展示方法。
师：谁过来帮老师打开。
（教师机集体广播）
生：单击“档案管理”按钮，找到名为“黑白线条鱼”的画档，然后双击它即可。
师：你的操作非常熟练，表达也很清楚。
画档找到了，能否请你再帮老师找找“着色工具”呢？
4、学生实践操作，认识新知，了解每种倒色方法的含义。
生：在右侧单击“画板”，下方第三个油漆桶样子的就是“倒色”工具。
师：不过课本上说的是“着色”按钮，都是一个意思。
师：刚才这位同学在演示过程中，你有什么新的发现？
生1：鼠标停在一个图标上，会有文字提示。
师：你看得很仔细。
生2：当选中右侧的“倒色”工具时，左侧的图标按钮也相应发生了变化。
师：你很会观察。
左侧这六个按钮就对应倒色的六种方法。
（教师停止广播）
师：现在同学们首先选中第一种倒色方法，鼠标悬停一会儿，看看这种方法的名字，然后在画板区单击鼠标，看看是什么效果。
师：好，现在要尝试下一种倒色方法，直接在上一步的基础上操作可以吗？
生：应该先把刚才的操作取消。
师：如何撤销呢？
生：单击画板上方的“撤销”按钮。
师：你很会学习。
下面同学们就先撤销刚才的操作，依次尝试其它倒色方法。
师：刚才咱们自己动手操作了一下，都非常带劲，有的同学有问题就问，学习态度很好，那么要完成“给鱼着色”的任务，你想选择哪种着色方法。
谁试试？
生：区域倒色。
同时演示。
师：好，现在已经用“区域倒色”给鱼的一部分着色了。
5、独立完成给鱼着色。
师：下面咱们就先来完成第一个小任务“给鱼着色”。
如果有操作失误，可以撤销。
生自己操作，教师巡视。
教师巡视的时候对操作熟练的学生加以引导，让其尝试区域渐变倒色。
或者发现使用渐变倒色的学生，引导他谈谈使用渐变的好处。
6、展示交流并总结着色步骤：
师：同学们的操作比较熟练。
给鱼着色既漂亮又协调。
下面咱来回顾一下完成给鱼着色这个任务的步骤。
步骤：选择倒色工具，选择倒色方法，选色，着色。
当然了，选色这一步只要在着色之前，顺序可以调。
（板书贴上去）
三、“区域渐变倒色”工具的运用。
完成任务二“把鱼放入大海”，两人合作探究。
1、引入“区域渐变倒色”。
师：刚才老师发现，有的同学给鱼着色结果是这样的。
（学生演示状态）
大家来看，哪位同学说说这条鱼怎样？（如果没有使用渐变工具的就自己引出。
）
生说渐变的好处。
师：对，想使颜色过渡更自然，咱们可以使用“区域渐变倒色”工具。
（切换到广播状态）
师：同学们，你来看，按住鼠标左键由上往下拖拽，着的渐变色是什么情况？生回答。
师：大家很会观察，鼠标拖拽形成渐变方向，那么从下往上拽，渐变是从（）到（）。
（退出学生演示状态）
2、讨论研究，解决任务二“把鱼放入大海”。
（进入集体广播）
师：海阔凭鱼跃。
下面咱们就完成第二个任务“把鱼放入大海”。
课件出示：
使用“区域渐变倒色”方法，给大海着上蓝色渐变效果。
还可以自己探索给鱼画上几个吐出的小泡泡。
学生实践。
教师巡视并随机指导，了解学生情况。
记住要展示的学生的机器号。
3、交流展示。
两个学生。
（1）色彩搭配合理：（学生演示状态：指定机器号的学生作品。
）
师：能否说说你的操作过程。
（2）给鱼加上小泡泡。
（圆形倒色）
师：刚才老师发现有位同学还让小鱼吐出了泡泡。
你能不能帮老师也加上去呢？（生来到教师机，屏幕广播）
师：非常善于思考，思维很灵活，你已经找到了学习信息技术的乐趣。
没有的话，老师引导：使用前面绘制老鼠斗鸡图时的“几何画板工具”里面的圆形工具。
再选择渐变倒色单击即可。
咱们发现单击形式的渐变是：从中心向四周渐变。
师：条条道路通罗马，有时同一种效果可以有很多实现方式。
同学们要善于探索，这也是信息技术的乐趣所在。
师：现在西沙群岛漂亮的鱼儿在海水里游来游去，快活地吐着泡泡。
赶紧保存到画档吧。
生操作。
师：西沙群岛的美不止这些，下面咱们小组合作开始第三个任务“装扮海岛”。
四、拓展练习，自主创新。
完成任务三“装扮海岛”。
1、明确任务：
师：先来明确任务要求。
（广播课件。
）请位同学你来读一下。
“要求：就近四人一小组合作，分别从“海滩、房子、珊瑚、日出”四个角度完成着色。
小组长合理安排，每人完成一幅即可。
时限：7分钟。
”
（退出广播）
师：请看老师发给你的任务条，小组合作开始。
任务条内容：
任务三：“装扮海岛”。
小组合作，从四个角度进行，四幅图均在黑白线稿中，具体位置如下：
海边小房：第2页倒数第2张；海滩：第3页正数第2张；
珊瑚：第3页倒数第2张；日出：第4页正数第4张；
2、小组合作练习。
学生实践，讨论研究，解决任务。
教师巡视并随机指导，了解学生情况，及时表扬出色的学生。
3、作品展评。
小组长解说。
其余学生点评。
4、小结。
师：咱们已经西沙群岛着上了亮丽的色彩，西沙群岛的美，在同学们的手中再现了，相信也深深印入你的心中。
也保存起来吧。
五、课堂延伸：插入角色。
（视时间而定。
）
现在同学们可以结合前几课学的“插入角色、动画”知识，在你的图片上插入适当的角色、动画。
师总结：刚才老师发现同学们插入角色或者动画后，西沙群岛更加生机勃勃，保存好你的第三个任务吧。
六、课堂小结：
以对话形式总结本课教学。
师：同学们，通过本课的学习，你学会了什么？
生：给图着色。
师：给图着色的操作步骤是什么?
生：选择倒色工具，选择倒色方法，选色，着色。
（读板书）
师：通过本课的学习，你感受到了什么？
生回答。
师再次总结本节课情况。
结合典型的优秀作品从作品效果到技术的科学选用给予关键点的引导性点评。