2.2.2椭圆的简单几何性质详解
2.2.2椭圆的几何性质详解
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系
题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2
7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2
6
11 7
练习： 已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，
学案6：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答 案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
c随b的增大(减小)而减小(增大).
新知探究
c
3.把椭圆的焦距与长轴长的比 a 称为
椭圆的离心率，用e表示，即 e c
a
e的取值范围如何?
离心率e对椭圆的扁平程度有什么影响
e椭越圆接x近2＋于90y，2＝椭3圆6与愈3圆x2＋；4ey越2＝接4近8哪于一1，
椭个圆较愈扁扁些. ？
别是什么？
F1
ba O c F2
新知探究
对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a b 0, a2 b2 c2
y
B2
A1
ba
A2
F1 O c F2
x
B1
1.从图形上看x、y的取值范围如何？
新知探究
从椭圆的标准方程看，x、y的取值范
围如何？
x2 a2
+
y2 b2
=
1
－a≤x≤a
－b≤y≤b
画板演示
典型例题
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴 和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标.
长轴长为10，短轴长为8.
离心率 e c 3
.
a5
焦点(±3，0)，
顶点(±5，0)和(0，±4).
典型例题
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点A(－2，0)和B(0，－3)；
2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时
知识回顾
1.椭圆的标准方程和一般方程分别是：
焦点在x轴上：x2 a2
y2 b2
1 a
b
0；
焦点在y轴上：y2 a2
原创1：2.2.2 椭圆的简单几何性质
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、
短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
解由已知得椭圆标准方程为
������2
1
+
������2
1
=1,
9 16
于是 a=13,b=14,c=
1 9
-
1 16
=
127.
∴长轴长 2a=23,短轴长 2b=12,
|PF1|=2m,|F1F2|=
3m,故离心率
e=������������
=
2������ 2������
=
|������1������2| |������������1|+|������������2|
=
3������ 2������+������
=
33.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下: (1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称; (2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称; (3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于 原点对称.
3.因为离心率 e=������������ =
所以 b=2.因为 2a=2×2b,所以 a=4.
所以方程为������2
16
+
���4���2=1.
综上所述,椭圆的标准方程为���4���2+y2=1
或������2
16
+
���4���2=1.
探究一
探究二
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椭圆
2
简பைடு நூலகம்的几何性质
y2 ≤1得： 2 b
一、范围： x ≤1, 2
a -a≤x≤a,
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
00:32:12
4
二、椭圆的对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
80
2 2
。 y o
10
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
x y 16 x 25 y 400 1 25 16
2 2
a=5 b=4 c=3
00:32:12
x
0) ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A(2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
[1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0 < e < 1
1）e 越接近 1，c 就越接近 a， b就越小，此时椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0， b就越大，此时椭圆就越圆
00:32:12 即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。 8
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y
4 3 B 2 2 1
2
2
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
00:32:12
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
7
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e = a 叫做椭圆的离心率。
b
a F2
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
00:32:12
o c
B1 (0,-b)
A2(a，0)
6
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y + =1 （1 ） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x y + =1 （2） 25 4
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
00:32:12
a2=b2+c2
e c a
9
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：
焦距是
10 。短轴长是：
离心率等于：
3 5
8
。
。
6
。
焦点坐标是： (3, 0) 外切矩形的面积等于：
(5, 0) (0, 4) 。顶点坐标是： 。
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
00:32:12 2
温故知新
已知二次函数 y x 2x 3，思考
2
①值域 ②对称轴 ③顶点 ④推广到一般抛物线，其开口方向及大小 （即抛物线的形状）由哪个量决定。
1 1- k 1 = 由 e= ，得 ，即 k = 9 4 2
∴满足条件的
1 x2 y2 已知椭圆 的离心率e = ，求 k 的值 + =（ 1 k > 1） 2 00:32:12 12 k + 5 k +1
k=4
或k=
5 ． 4
5 ． 4
小结：
{1}范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b {2}椭圆的对称性:关于x轴、y轴、原点对称 {3}椭圆的顶点 y B1(0,b)
2 2
关于y轴对称
P2（-x，y） P（x，y）
Y
O
X
关于原点对称
P3（-x，-y） P1（x，-y）
关于x轴对称
00:32:12 5
三、椭圆的顶点 2 2
x y + 2 = 1( a > b > 0) 2 a b
y
B2 (0,b) A1
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
(a，0)
c {4}椭圆的离心率: e a
(-a，0)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
00:32:12
13
a = 2 ，b = 1， 解：（1）当 A(2， 0) 为长轴端点时，
2 x 椭圆的标准方程为： + y 2 = 1 ； 4 （2）当 A(2， 0) 为短轴端点时， b = 2 , a = 4 ， x2 y2 =1； 椭圆的标准方程为： + 4 16 2 2 x y x2 + y 2 =1 或 + =1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 16 4
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
（
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 （
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
a ,0
）,(0,
b)
b ,0
）,(0,
a)
(±c,0)
(0, ±c)
00:32:12 11
1 x2 y2 已知椭圆 + = 1的离心率 e = ，求k 的值 2 k +8 9
解：当椭圆的焦点在
2
练习：
x 轴上时，
2 2 c = k +1． b = 9 ，得 a = k +8 ， 1 由 e = ，得： k=4 2
当椭圆的焦点在
2
y
轴上时，
2
2 ， a = 9 b = k +8 ，得 c = 1 - k ．