高三数学上学期第三次月考(12月)试题文(扫描版,无答案)(2021年整理)
2021年高三数学第三次联考(12月)试卷 理
2021年高三数学第三次联考（12月）试卷 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、已知集合{}(){}222230,log 1,=A x x x B x x x A B =--≤=->⋂则( )A. B. C. D. 2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知函数的值域为，则a 的值是（ ）4.在等比数列中，，，则( ）A ．-9 B. -6 C.6 D.95、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）A ．6、在矩形ABCD 中，AB ＝22，BC ＝4，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB →·AF →＝22，则AE →·BF →的值是( )A.2 2 B ． 2C ．0D ．17. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若 ，则的大小关系( )A ．B ．C ．D ．9、已知＞0，函数上单调递减．则的取值范围是（ ）10.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前xx 项和＝( )11. 定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）A． B． C． D．12.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且,则△ABC的面积最大值为（）二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡相应位置).13.已知等差数列中，，则14直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的正弦值为15. 已知变量满足,则的最大值为16. 在数列{a n}中，a1＝1，a n＋2＋(－1)n a n＝1.记S n是数列{a n}的前n项和，则S200＝三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和，证明18、（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．19. （本题满分12分）已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<<π2)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝5，PQ＝13.(1)求函数y＝f(x)的对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．20. （本题满分12分）已知函数．（1）求函数处的切线方程。
2021年高三数学上学期第三次月考试题 理(答案不全)
2021年高三数学上学期第三次月考试题 理（答案不全）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的）1、设全集，集合，则集合=（ ）A. B. C. D.2、是虚数单位，复数=（ ）A. B. C. D.3、下列命题中真命题的个数是( )①“∀x ∈R ，－x>0”的否定是“∃x ∈R ，－x<0”；② ∀x∈,＋1是奇数；③若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x <0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. B. C. D. 5、如果将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值为（ ）A. B. C. D.6、已知函数的部分如图所示，则（ ）A. =1 =B. =1 =- 是 开始输出S结束否C. =2 =D. =2 = -7、正项数列满足：，则（）A. B. C. D.8、一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9、定义在上的函数满足，则“”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10、已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（）A. 当时，有3个零点；当时，有2个零点B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）11、在等差数列中,已知,则________.12、已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为________.13、已知变量满足约束条件，则的最大值为________.14、已知正三棱锥ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.15、对于三次函数，定义是函数的导函数。
2021-2022年高三上学期第三次月考数学试题
2021年高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合2{5,log (3)},{,},A a B a b =+=集合若AB={2},则b-a=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.“”是方程表示椭圆的（ ）A. 充分必要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.项数大于3的等差数列中，各项均不为零，公差为1，且则其通项公式为（ ）A ．n-3B ．nC ．n+1D ．2n-34.要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．方向上的投影为 B ．C ．D ．6.满足条件的点构成的区域的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．7.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于（ ）A.2B.3C.-2D.-38.在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换——“一中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n n P P x y P x y P x y +++，，，，，，，，是经过“一中变换”得到的一列点，设，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数，曲线处的切线方程为，则曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10.若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 （ ）A ．点B ．线段C ．圆弧D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.函数的零点有 个12.在中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则 ．13.已知取最大值时，a 的最小值为 。
2021年高三上学期第三次月考数学试题 含答案
2021年高三上学期第三次月考数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分）1、设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛4｝D. ｛｝2、若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）3.已知向量，，若与共线，则的值为( )A. B. C. D.4.对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.3006．已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D.7.给出下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③，；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④ D．②③8.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是（）A． B． C． D．10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A． B． C． D．11.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．12.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题513.．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．已知为三角形的边的中点，点满足，，则实数的值为16．数列的通项，其前项和为，则为．17．（本小题满分12分）设的内角所对的边为，（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长。
2021年高三上学期12月月考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C． D．2．设，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．下列四种说法中，正确的个数有（）① 命题均有的否定是：使得；② “命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③ ，使是幂函数，且在上是单调递增；④ 不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图，此正三棱锥的左视图的面积为（）A． B．3 C． D．5．设，其中实数，满足，若的最大值为，则的最小值为（）A． B． C． D．6．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是（） A． B． C． D．7．若数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，则等于（）A． B． C． D．8．数列满足，对任意的都有，则（）A． B． C． D．9．定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且 B．减函数且C．增函数且 D．增函数且10．若函数的最小值为，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．11．在中，分别为角的对边，若，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．给出以下命题，其中正确的命题的个数是（ ）① 存在两个不等实数，使得等式成立； ② 若数列是等差数列，且，则；③ 若是等比数列的前n 项和，则成等比数列；④ 若是等比数列的前n 项和，且(n n S Aq B A B =+∈*其中、是非零常数,n N )， 则；⑤ 已知的三个内角所对的边分别为，若， 则一定是锐角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行 统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理 成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85； ③平均数为85； ④极差为12； 其中，正确说法的序号是____________； 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是__________；15．的外接圆圆心为，半径为， ，则在方向上的投影为____________；16．已知正三角形的三个顶点都在半径为的 球面上，球心到平面的距离为，否是点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_________；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量,BBA=(sin C=且A、B、C分别为△ABC的三边,=⋅Acos),sinsin,2),(cosa、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若18CAAB⋅ACBC-成等差数列，求c边的长．A且),(sin,,sinsin=18.（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲Array校：乙校：（1）计算x ，y 的值．（2）若规定考试成绩在内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 参考公式： 临界值表P （K≥k 0） 0.10 0.05 0.010 k 02.7063.8416.63519．（本小题满分12分）如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD ， 为棱的中点，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2． （1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点， 且，，求直线的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于，交圆于点．（1）证明：是的中点；（2）证明：．23.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设,直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数，．（1）解关于的不等式（）；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．哈尔滨市第六中学xx 届十二月月考高三文科数学参考答案一、选择题 ：二、填空题： 13. ①③ 14. 3018 15. 3 16.17.（本小题满分12分）解：（1）)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ， 又，（2）由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得， 即由余弦弦定理，，18、（本小题满分12分）解:（Ⅰ）甲校抽取110×60人，乙校抽取110×=50人，故x ＝10，y ＝7， ………4分 （Ⅱ）估计甲校优秀率为，乙校优秀率为2050＝40%. ………8分(Ⅲ) k 2＝≈2.83>2.706又因为 1－0.10＝0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。
2021-2022年高三数学上学期第三次(12月)月考试题 文
n = n+1= m+1是结束输出ma n否m = = 1开始2021-2022年高三数学上学期第三次（12月）月考试题 文一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．复数（i 为虚数单位）的共轭复数为A ．B ．C ．D ．2.设集合，集合{|,,}B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合中元素的个数是A ．B ．C ．D ．3．，是两个向量，，，且，则，的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ．4．在一次某地区中学联合考试后，汇总了 3217名文科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（ ．平均分 ．“优分”人数 C ．“优分”率．“优分”人数与非“优分”人数的比值5．等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前10项 之和是（ ） A 90 B 100 C 145 D 1906．将函数y ＝sin （2x ＋）的图象向右平移（0＜＜）个单位后的图象关于y 轴对称，则 ＝A ．B ．C ．D ．7．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，a ＝4，b ＝，cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝，则角B 的大小为A ．B ．C ．D ．9．正方体的棱长为， 为正方形的中心，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） ． ． C ． ．10．记111122ln ,ln ,ln 22a b c e e e e e e=-=-=-，其中为自然对数的底数，则这三个数正视图1122 2 2侧视图俯视图的大小关系是（）．．． D．11,若满足约束条件1133x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是（）A、B、C、D、12.已知双曲线与轴交于两点，点，则面积的最大值为( )A 1B 2C 4D 8二、填空题：（每题5分，共20分）13．双曲线的离心率为．14、从中任取两个不同的数，则能够约分的概率为。
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。
2021年高三上学期12月月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）= ．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= ．3．双曲线的两条渐近线方程为．4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．8．在等比数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为．9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则= ．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（x﹣1）≤2的解集是．13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）={2，4，6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a 的值．【解答】解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．3．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y 得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：45．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．8．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得，∴∴q=3故答案为：3法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5即a6=3a5∴q=3故答案为：39．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出A、B、F的坐标，由AB⊥BF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F（c，0），∵AB⊥BF，∴，∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得e=，故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC的中点为O，由•=4，求得=．再根据=（+）•（+）=﹣，计算求得结果．【解答】解：如图，设BC的中点为O，由•=4、||=3，可得（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=4，求得=．则=（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=6，故答案为：6．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f （x﹣1）≤2的解集是[﹣1，3] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数当x≥0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=2x﹣2，∴此时函数单调递增，由f（x）=2x﹣2=2得2x=4，则x=2，即不等式f（x﹣1）≤2等价为f（x﹣1）≤f（2），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式等价为f（|x﹣1|）≤f（2），即|x﹣1|≤2，则﹣2≤x﹣1≤2即﹣1≤x≤3，则不等式的解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．从而sinB=2sinBcosA．…因为sinB≠0，所以cosA=．因为0＜A＜π，所以A=．…（2）sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+sincosB﹣cossinB=sinB+cosB=sin（B+）．…因为0＜B＜，所以＜B+＜．所以sinB+sinC的取值范围为（，]．…16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．【解答】解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C 对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；…6分（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，又EF∥BC，∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【解答】解：（1）在△ABC中，，则，…又，则，…所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（θ）====，其定义域为{θ|60°＜θ＜120°}．…（2）=，…令t'（θ）=0，则，当时，t'（θ）＞0；当时，t'（θ）＜0，…所以，当时，因为60°≤θ≤120°，所以时，t（θ）取得最小值，此时，最小值为．答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由点的坐标得到向量的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x 的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；（3）设出M点坐标，由把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式，由m得范围进一步求解λ的范围．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）．∵A（a，0），B（0，﹣b），C（0，b），∴．∵，∴ac+b2=5①．又，a2=b2+c2②．由①②得．∴椭圆E的方程为；（2）由题意可得线段FC的方程为．设P（x，y），则．=．当取得最小值时，，此时点P的坐标为；（3）设M（0，m），由，得N（﹣1﹣λ，﹣λm）．代入椭圆的方程得：3（﹣1﹣λ）2+4（﹣λm）2﹣12=0．即4（λm）2=12﹣3（1+λ）2．∵，∴0≤4（λm）2≤12λ2．则0≤12﹣3（1+λ）2≤12λ2．解得：﹣3≤λ≤﹣1（舍）或．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．【解答】（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X 的分布列与数学期望．【解答】解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==∴随机变量X的分布列为：X12 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．xx年1月17日p33233 81D1 臑21347 5363 卣25727 647F 摿33148 817C 腼I40462 9E0E 鸎bt37336 91D8 釘38676 9714 霔{24026 5DDA 巚d36890 901A 通。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无答案）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（海南省琼海市2018届高三数学上学期第三次月考（12月）试题文（扫描版，无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为海南省琼海市2018届高三数学上学期第三次月考（12月）试题文（扫描版，无答案）的全部内容。
版,无答案）。