江苏专版2018高考数学大一轮复习第十章解析几何初步56圆的方程课件文
高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件
x y
f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
高考数学总复习 83 圆的方程课件 苏教版
【点评】 求轨迹方程的步骤： (1)建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 M(x，y)； (2)写出适合条件的动点所满足的关系式，并用坐标表示，列出 方程f(x，y)＝0； (3)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； (4)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 本题关键是：PM＝ 2PN的转化．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
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5．(课本改编题)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2 ＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
解析：圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上， ∴－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1， ∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－12)2＋14.∴ab≤14. 答案：－∞，14
得最大值和最小值，此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，即b＝－2± 6 ，故y－x的
最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心
到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝ (2－ 3)2＝7－4 3.
将 P、Q 点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
①
3D－E＋F＝－10.
②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，
或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
数学一轮复习第十章10.6几何概型学案理含解析
第六节几何概型【知识重温】一、必记2个知识点1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________（②________或③________）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________。
2．在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：P（A）＝⑤______________________________________________________________________ __。
二、必明2个易误点1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确（请在括号中打“√”或“×”)．(1）几何概型中,每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．()（2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．（）（3）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(）（4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．（)二、教材改编2．某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!三、易错易混4．[2021·福建莆田质检]从区间（0,1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!5．在区间［－1，2］上随机取一个数x,则x∈［0,1］的概率为________．四、走进高考6．[2017·全国卷Ⅰ］如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(）A。
苏教版高三数学复习课件8.3圆的方程
为半径的
(1)设 ＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小
值，此时
，
解之得k＝± .故 的最大值为 ，最小值为－ .
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值 和最(3小)x2值＋，y2此表时示圆上点与原点距离，的即平b＝方－，2由±平面.故几y何－知x的识最知大它值在为原－点2 ＋ 与圆，心最小值为－2－ .
2．一般来说，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆
心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件
和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．圆的一般方
程中要加限制条件D2＋E2－4F>0.用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)
根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a，
(3)设k＝
，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的几何特征，借助图形，寻
找动点满
足的几何条件．
【例3】 (2010·山东烟台模拟)过点A(a,0)引圆x2＋y2＝a2的弦交圆于P1 点，求
弦P1A的中点M的轨迹方程．
思路点拨：有关弦的中点问题，大多利用中点与圆心连线垂直于
1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意
义进行转化．如(1)形如m＝
的最值问题，可转化为动直线斜率的
最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值ຫໍສະໝຸດ 题，可转化为直线在y(或x)轴上的
截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点
间的距离平方的最值问题．
圆的一般方程
(江苏专用)2018高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第45课 圆的方程教师用书
第45课 圆的方程[最新考纲]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．－2＜a ＜23 [由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2016·全国卷Ⅱ改编)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.－43 [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y －1)2＝1 [根据题意，圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，则标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN ＝________. 46 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0得y ＝－2＋26或y ＝－2－2 6. ∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)． ∴MN ＝4 6.](1)外接圆的圆心到原点的距离为________．(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．(1)213(2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得AB＝AC＝BC＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以AE＝23AD＝233，从而OE＝OA2＋AE2＝1＋43＝213.法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1.所以△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.因此圆心到原点的距离d＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.][规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[变式训练1] 经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) [法一：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．易知线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心为C (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －，解得a ＝2，且b ＝1.因此圆心坐标C (2,1)，半径r ＝|AC |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求MQ 的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值. 【导学号：62172245】 [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝＋2＋－2＝42，∴MQ max ＝42＋22＝62，MQ min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.[迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求MQ 的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴QC min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴MQ 的最小值为7－2 2.[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．[变式训练2] 设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 的面积的最小值．[解] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.根据对称性可知，四边形PACB 的面积为 2S △APC ＝2×12PAr ＝PA ＝PC 2－r 2.要使四边形PACB 的面积最小，则只需PC 最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－2＝105＝2. 所以四边形PACB 面积的最小值为PC 2min －r 2＝4－1＝ 3.形MONP ，求点P 的轨迹. 【导学号：62172246】[解] 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． [变式训练3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连结BN(图略)．在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[思想与方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．[易错与防范]1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．课时分层训练(四十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．(x －1)2＋(y －1)2＝2 [圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.]2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为________.【导学号：62172247】(x －2)2＋(y －1)2＝1 [(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________． 2 [圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)． 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.]4．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为________．2x ＋y －3＝0 [易知圆心坐标为(2，－1)． 由于直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴该直径所在直线的斜率k ＝－2.故所求直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.]5．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5， 所以圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.]6．经过原点并且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号：62172248】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 [设所求圆的圆心为(a ，b )． 依题意(a －2)2＋b 2＝a 2＋b 2，① ba －2＝1，②解①②得a ＝1，b ＝－1， 则半径r ＝a 2＋b 2＝2，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.]7．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则PQ 的最小值为________．4 [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为MQ ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]8．(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]9．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1.∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.]10．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝－2＋－1－2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]二、解答题11．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程. 【导学号：62172249】[解] 法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )， 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，圆的半径r ＝MP ＝－2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0，所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.又原点O (0,0)在圆C 1外，因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53，因此53＜x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．36 [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝－2＋－2＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[解] 法一：(代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则有⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D －22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2F ＝1， 故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：(几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离为4105，PM ＝4105，所以△POM 的面积为165. 4．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．[解] (1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品
解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2， （a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r， 解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二 次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0， 是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与 过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于 半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外 点距离，利用勾股定理处理.
新教材版数学苏教版选择性必修第一册课件2.1 圆的方程
2 |与圆有关的轨迹问题
1.求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:根据已知条件,直译为关于动点间的几何关系,再利用解析几何有关公 式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即 把这种关系“翻译”成含x,y的等式. (2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设方程,再确定其中的基本量,求 出动点的轨迹方程. (3)相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一 动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析 的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求 得动点的轨迹方程.
2.1 圆的方程
学习目标 1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般 方程. 2.能根据已知条件求圆的方程. 3.能利用圆的方程解决有关问题.
1 |圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.定点就是圆心,定长就是 半径.
2 |圆的标准方程
1.圆的标准方程的概念 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点① (a,b) 为圆心,② r 为半径的圆的标准 方程. 当a=b=0时,方程为x2+y2=r2(r>0),表示以③ 原点 为圆心,r为半径的圆. 2.圆的标准方程的两个基本几何要素 ④ 圆心 和⑤ 半径 分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a, b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 D2+E2-4F<0 D2+E2-4F=0
D2+E2-4F>0
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【解答】 方法一：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F>0) ， 由 圆 过 点 A(3 ， － 2) ， B(2,1) ， 得
x＝1， y＝2， 3x－y－1＝0， x ＋ y － 3 ＝ 0. 联立 x＋y－3＝0，
得
即圆心坐标为(1,2)，半径 r＝ 1－12＋2－122＝
10.
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
【精要点评】求圆的方程时，要根据已知条件选择合适的 形式，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择 一般式．不论是哪种形式，都是确定三个独立参数，所以应该 有三个独立等式．另外，充分利用圆的几何性质，也可以求得 圆的方程中的三个参数．常用的性质有：①圆心在过切点且与 切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切
第56课
圆的方程
课前热身
激活思维
1. (必修2P111练习4改编)方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆 心坐标是________ ． (3,0) ，半径是________ 3 【解析】原方程转化为(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3,0)， 半径为3. 2. (必修2P111练习3(1)改编)以两点A(－3，－1)和B(5,5) (x－1)2＋(y－2)2＝25 ． 为直径端点的圆的方程是____________________ －3＋5 －1＋5 【解析】 圆心 ， ，即 (1,2) ，直径 2R ＝ 2 2
4. 上，则
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 设点 P 到圆心的距离为 d ，圆的半径为 r. 若点 P 在圆 d＝r ；若点P在圆外，则 d>r ；若点P在圆内，
则 d<r .
(2) 设点P(m，n)，圆C：f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－r2＝x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(r>0 ， D2 ＋ E2 － 4F>0) ，则：点 P 在圆 C 外 ⇔ f(m， n)>0；点P在圆 C上⇔ f(m，n) ＝ 0 ；点 P在圆C内⇔ f(m ， n)<0.
D＝－2， 解得E＝－4， F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
方法二： 由 A(1,12)， B(7,10)， 得 AB 的中点坐标为(4,11)， 1 kAB＝－ ， 则 AB 的垂直平分线方程为 3x－y－1＝0.同理得 AC 3 的垂直平分线方程为
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2) 过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 【解答】方法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F>0)，
1＋144＋D＋12E＋F＝0， 则49＋100＋7D＋10E＋F＝0， 81＋4－9D＋2E＋F＝0，
. 圆的方程的一般形式是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
D E － ，－ 2 2 －4F>0)，其中圆心为
1 2 2 D ＋ E －4F . ，半径为 2
3. 以 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 为直径两端点的圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 .
解 得
即所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二： 由圆的几何性质知， 圆心在线段 AB 的垂直平分 线 x－3y－4＝0 上，与方程 x－2y－3＝0 联立可得圆心坐标 为 C(1，－1)，半径为 CA＝ 5，故所求圆的方程为(x－1)2＋ (y＋1)2＝5.
(2) 在两坐标轴上的四个截距之和为2.
4.
(必修2P100习题7改编)已知点P(1,1)在圆C：x2＋y2－ax
(－∞，2) ． ＋2ay－4＝0的内部，那么实数a的取值范围是__________ 【解析】 因为点 P 在圆内，所以 1 ＋ 1 － a ＋ 2a － 4<0 ，所以 a<2.
知识梳理
1.
2.
以 (a ， b) 为圆心、 r(r>0) 为半径的圆的标准方程为
【解答】方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 b＝－4a， 3－a2＋－2－b2＝r2， 有 |a＋b－1| ＝r， 2
a＝1， 解得b＝－4， r＝2 2.
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x － 3 ，与 y ＝－ 4x 联立可求得圆心为 (1 ，－ 4) ，半径 r ＝ 1－32＋－4＋22＝2 2.
课堂导学
求圆的方程
例1
求适合下列条件的圆的方程：
(1) 圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)； 【思维引导】在解决圆的方程问题时，不仅可以利用待定 系数法，还可以利用几何法，即利用圆的有关几何性质来寻求 圆的方程中的几个基本量，从而求出圆的方程．根据具体的条 件合理选择方法．
[5－－3]2＋[5－－1]2＝10 ，所以圆的方程是 (x －1)2＋(y －2)2＝25.
3.
(必修 2P102 习题 8 改编)方程 x＋1＝ 1－y2表示的
右半圆 ． 曲线是__________
【 解 析 】 方 程 x ＋ 1 ＝ 1－y2 同 解 于 方 程 (x ＋ 1)2 ＝ ( 1－y2)2，x＋1≥0，此方程化简为(x＋1)2＋y2＝1，x≥－1. 此方程表示以点(－1,0)为圆心、1 为半径的半圆，位于直线 x ＝－1 的右侧．
时，切点与两圆心三点共线．
变式
一个圆经过 A(3 ，－ 2) ， B(2,1) 两点，求分别满
足下列条件的圆的方程． (1) 圆心在直线x－2y－3＝0上；
【解答】方法一：设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2 a－2b－3＝0， 2 2 2 2 3 － a ＋ － 2 － b ＝ r ， ＝ r. 由 已 知 ， 得 2－a2＋1－b2＝r2， a＝1， b＝－1， r2＝5，