10.2 常数项级数的审敛法

根据比值审敛法知，原级数是收敛的． ∞ 3n 例 7 判别级数 ∑ 2 n 的敛散性． n =1 n 2
提示：解法与例 6 完全类似！
2009年7月27ຫໍສະໝຸດ 星期一 17目录 上页 下页 返回
1 1 1 + + + 例 8 判别级数 1⋅ 2 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6
1 + + (2n − 1) ⋅ 2n
1 所以级数 ∑ 收敛． n =1 (2n − 1) ⋅ 2n
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⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎡1 1 1 ⎤ 1 ⎤ 1 1 ⎡ 考虑强级数+ − ⎢ ⎢ ⎣ n − p −1 n + ⎦ p −1 − ⎢1 − p −1 ⎥ ∑ ⎢ p(−1 − 1) p −1 ⎥ + p −1 ⎥ 的部分和 p −1 ⎥ ⎣ 2 ⎦ n =⎣22 3 ⎦ (n + 1) ⎣n ⎦
∞
n =1 n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ ∞
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 n ∈ Z + , 都有 u n ≤ k vn ,
令 S n 和σ n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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Sn ≤ k σ n
(1) 若强级数∑ vn 收敛, 则有 σ = lim σ n
第十章
第二节 常数项级数的审敛法
（Interrogate of constant term series）
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习
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一、正项级数及其审敛法
若 u n ≥ 0 , 则称 ∑ u n 为正项级数 . 定理 1 正项级数 ∑ u n 收敛
的敛散性.
1 解：令 un = ，则 (2n − 1) ⋅ 2n
un +1 (2n − 1) ⋅ 2n lim = lim = 1， n →∞ u n →∞ (2n + 1)(2n + 2) n
比值审敛法此时失效．
∞ 1 1 1 < 2 ，而级数 ∑ 2 收敛， 但注意到 (2n − 1) ⋅ 2n n n =1 n
同时收敛或同时发散 ; 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
∞ ∞
(n > N )
∞
n =1
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知
1 1 n→∞ ⎤ = 1− ⎡ 1 − σ n = ∑ p −1 1 p −1 ⎥ p −1 ⎢k ⎦ (k + 1) (n + 1) k =1 ⎣
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
n+3 3 n3 + 3n 2 1 = ， 解： （1）因为 lim 2n − n = lim 3 n →∞ n →∞ 2n − n 1 2 n2 ∞ ∞ n+3 1 收敛． 而 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 3 1 n =1 2 n − n n =1 n
∞
∞ 1 1 1 解： n ≤ n 且 ∑ n 收敛 3 +1 3 n =1 3 ∞
1 ∑ 3n + 1 是收敛的． n =1
∞
1 ( a > 0) 的收敛性． 例 2 判别级数 ∑ n n =1 1 + a
解： （1）当 0 < a < 1 时，
1 1 lim = =1≠ 0 ， n n →∞ 1 + a 1+ 0
n →∞
u n +1 说明: 当 lim = 1 时,级数可能收敛也可能发散. n →∞ u n 1 ∞ u n +1 1 ( n +1) p = lim 1 = 1 例如, p – 级数 ∑ p : lim n →∞ u n n →∞ p n =1 n
n
但
p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
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∞
n =1
∑ un ,
∞
定理3 (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
vn 满足 lim u n = l , 则有 ∑ n →∞ vn n =1
∞
∞
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, (3) 当 l =∞ 且 ∑ vn 发散时 ,
1 当 p ≤ 1 时 ∑ p 发散， 故当 p ≤ 1 原级数发散． n =1 n
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∞
说明：判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和 发散级数，则可以以它们为标准进行比较．
因此必须记住它们．
常用于比较的级数有 p − 级数、等比级数与调和级数，
又已知 { S n } 有界, 故{ S n } 收敛 , 从而 ∑ u n 也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
n =1
∑ un , ∑ vn 是两个正项级数,
n =1
∞
∞
∞
且存在 N ∈ Z + , 对一切 n > N , 有 u n ≤ k vn (常数 k > 0 ), 则有 (1) 若强级数 ∑ vn 收敛 , 则弱级数 ∑ u n 也收敛 ; (2) 若弱级数 ∑ u n 发散 , 则强级数∑ vn 也发散 .
1 1+ n
所以级数 ∑
∞
1
所以级数 ∑ n 2 e − n 收敛．
n =1
∞
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1 ⎛ 例 5 判别级数 ∑ ln ⎜1 + p ⎝ n n =1
∞
⎞ （ ⎟ 的敛散性． p > 0 ，且为常数） ⎠
解： （1）因为 1 ⎞ ⎛ ln ⎜ 1 + p ⎟ np np ⎤ ⎡ ⎛ ⎝ n ⎠ = lim ln ⎛ 1 + 1 ⎞ = ln ⎢ lim 1 + 1 ⎞ ⎥ = 1 lim ⎜ ⎜ p ⎟ p ⎟ n →∞ n →∞ n →∞ 1 ⎝ n ⎠ ⎢ ⎝ n ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ p n ∞ 1 而 p − 级数 ∑ p 当 p > 1 时收敛， 所以当 p > 1 时原级数收敛； n =1 n
另一方面， 由比较审敛法的定理我们知道， 它是通过与 某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，
但有时作为比较对象的级数不容易找到， 那么能不能从给 定的级数自身直接判别级数的敛散性？
为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和 根值审敛法．
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n =1 n =1 ∞ n =1 ∞
∑ un 也收敛 ; ∑ un 也发散 .
∞
n =1
证: 据极限定义, 对ε > 0, 存在 N ∈ Z + , 当n > N 时,
un vn
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−l <ε
5
(l ≠∞)
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( l − ε ) vn ≤ u n ≤ ( l + ε ) vn
n
∞ 1 ⎛1⎞ 由于级数 ∑ ⎜ ⎟ 收敛，所以级数 ∑ 收敛． n n =1 ⎝ a ⎠ n =1 1 + a
综上所述，当 0 < a ≤ 1 时，原级数发散，当 a > 1 时， 原级数收敛．
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1 1 例3 讨论 p 级数 1 + p + p + 2 3 的敛散性.
例4
2009年7月27日星期一
1 n
= lim
11
1 n
n→∞ n
=1， 又级数
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1 ∑ n 发散， n =1
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∞
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发散． n =1 1 ⎛ 1⎞ n ⎛ 1⎞ ln ⎜1 + ⎟ ln ⎜ 1 + ⎟ n ⎝ n ⎠ = lim ⎝ n ⎠ = 1 （3）因为 lim ， n →∞ n →∞ 1 1 3 n 2 n ∞ ∞ 1 1 ⎛ 1⎞ 而级数 ∑ 3 收敛，所以级数 ∑ ln ⎜1 + ⎟ 收敛． n ⎝ n⎠ n =1 2 n =1 n ∞ n2 e− n n4 1 （4）因为 lim = lim n = 0 ，而级数 ∑ 2 收敛， n →∞ n →∞ e 1 n =1 n n2
n =1 ∞
n →∞
+ 因此对一切 n ∈ Z , 有 S n ≤ k σ
由定理 1 可知, 弱级数∑ u n 也收敛 . (2) 若弱级数 ∑ u n 发散, 则有 lim S n = ∞,
n =1 ∞ n =1
∞
n →∞
因此 lim σ n = ∞ , 这说明强级数 ∑ vn 也发散 .
n →∞ n =1
n =1 n =1
un >1, 即 (3) 当l = ∞时, 存在 N ∈ Z , 当n > N 时, vn u n > vn
+
由定理2可知, 若 ∑ vn 发散 , 则 ∑ u n 也发散 .